關(guān)系與映射學(xué)習(xí)指導(dǎo)重點(diǎn)

1、關(guān)系與映射學(xué)習(xí)指導(dǎo)學(xué)習(xí)目標(biāo)理解笛卡爾積、二元關(guān)系、運(yùn)算關(guān)系等概念，理解映射、滿射、單射、雙射等概念，理 解有關(guān)定理，掌握有關(guān)定理的證明方法和有關(guān)的例題的處理方法。內(nèi)容提要(一)笛卡爾積：AX B =( a,b) | a A, b B，注意(a,b)為有次序的元素偶從集合A到B中的關(guān)系：AX B中的每一子集R稱為從A到B中的關(guān)系若(a,b) R,則稱a與b是R-相關(guān)的，記作aRb.關(guān)系R的定義域：Dom(R)= a丨存在b B，使aRb( A).關(guān)系R的值域：Ran(R)= b丨存在a A，使aRb(二B).關(guān)系R的象集：R( A)= b丨存在a A，使得aRb( B).其中集合A A.關(guān)系R的

2、逆： 設(shè)R二A X B,則B X A的子集R=(b,a) | aRb稱為R的逆.關(guān)系的復(fù)合：S R =( a,c) | 存在 b B,使得 aRb, bSc，其中 R AX B, S BX C. 設(shè)A, B, C, D為集合；R AX B, S B X C, T C X D，則有關(guān)系的逆與復(fù)合運(yùn)算滿 足：(1) (R)=R;(2) (S R) d=RJ S ；(3) T (S R)=( T S) R.(二) 映射： F : XtY,即- x X,有唯一 y Y,使得xFy. 映射F的象：y=F(x)，即對(duì)于每一 x X,使得xFy成立的y.映射F的原象： F (y)，即對(duì)于y Y,使得xFy成

3、立的x(x X).映射的復(fù)合： (G F)( x)=G(F(x)，其中 F : XtY, G : Yt乙 滿射： 若f(X)=Y,則稱f為從X到丫上的滿射.單射： 若一花，X2 X, X!豐X2，有f(花)豐f( X2 )，則稱f為從X到丫上的單射. 雙射： 若f即是單射又是滿射的.逆映射：由y=f(x)確定的從Y到X的映射f二:YtX，其中f : Xt Y是雙射.注論1:設(shè)f : XtY, A, B Y,則逆映射f，滿足(1) fJ(A U B)= f J(A)Uf J(B);(2) f(A A B)= f J(A)nf，(B);(3) fJ(A-B)= f (A)-f4(B).結(jié)論2：設(shè)f

4、 : Xt y!(1) 若f是單射，則對(duì)于X的任意子集A，有f (f(A)= A.(2) 若f是滿射，則對(duì)于丫的任意子集B，有f( f ( B)= B.(三) 運(yùn)算運(yùn)算： 映射f： AX BtC是一個(gè)從A X B到C中的運(yùn)算.特別的，映射f: AX AtA是A上 的一個(gè)運(yùn)算，并且稱運(yùn)算f在A上封閉.若f(a, b)=f(b, a),則稱運(yùn)算f滿足交換律；若f(f(a, b), c)=f(a,f( b, c),則稱運(yùn)算f滿 足結(jié)合律.f 的右零元 e：V a A,使f( a, e)= a;f 的左零元 e：- a A,使f( e, a)= a;f的零元e：既是f的左零元，又是f的右零元.a的右逆

5、元a :對(duì)于a A，若T a A，使f( a, a )=e；a的左逆元a :對(duì)于a A，若 a A，使f( a , a)=e；a的逆元a :既是a的左逆元，又是a的右逆元.重難點(diǎn)解析(二)關(guān)于關(guān)系與映射世界上存在各種各樣的事物，這些事物之間的相互聯(lián)系，我們稱之為“關(guān)系”.本節(jié)用統(tǒng)一的數(shù)學(xué)語言來描述這些表面看起來似乎無關(guān)的，但本質(zhì)上卻有其共性的“關(guān)系”.本節(jié)介紹的二元關(guān)系、運(yùn)算和映射等概念也是本課程的基礎(chǔ)，它們?cè)诤罄m(xù)各章節(jié)中都有應(yīng)用.因此，我們?cè)趯W(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容時(shí)應(yīng)該理解笛卡爾積、二元關(guān)系、運(yùn)算關(guān)系等概念，理解映射、滿 射、單射、雙射等概念，掌握有關(guān)定理的證明方法和有關(guān)的例題的處理方法。1 笛卡爾積

6、是一種集合的二元運(yùn)算，是本節(jié)最基本的概念之一.集合A與B的笛卡爾積A B = ( a , b) | a：=A , b ：= B 是一個(gè)集合，這個(gè)集合的元素都是一些有序?qū)Γ@些有序?qū)χ械牡谝粋€(gè)成員都是取自集合 A，第二個(gè)成員都是取自集合 B,不能隨意取出寫之.集合A, B的笛卡爾積與這兩個(gè)集合的次序有關(guān).一般地，若A與 B非空，只要A豐B,則有AX BM BX A.也就是說交換律不成立.例如，集合 A= a, b, c , B=1,2，則A B=a, b, c 1,2 = ( a , 1), (a , 2), (b , 1), (b , 2), (c , 1), (c , 2)A B= 1,2a

7、, b, c = (1 , a), (1 , b), (1 , c), (2 , a), (2 , b), (2 , c)所以 A X BM B X A.2.二元關(guān)系R是一個(gè)有序?qū)M成的集合.因此，一個(gè)二元關(guān)系是一個(gè)集合，可以用集合形式表示.但是任意一個(gè)集合就不一定是一個(gè)二元關(guān)系了，只有當(dāng)這個(gè)集合是由有序?qū)M成的，才能稱為二元關(guān)系.例如，R1 =( a, 1), (b, 2), R2 = a, (b, 2)，那么R1是二元關(guān)系，而R2不是二元關(guān)系,僅僅是一個(gè)集合二元關(guān)系R也可以用關(guān)系圖表示.設(shè)集合A = a1 , a2 ,，am , B= b1 , b2 ,，bn , 若R是從A到B的一個(gè)關(guān)系

8、，則用m空心點(diǎn)表示a1 , a2 ,，am，用n空心點(diǎn)表示b1 , b2 ,ai到結(jié)點(diǎn)bj作一條有向弧，箭頭指bn ,這些空心點(diǎn)統(tǒng)稱為 結(jié)點(diǎn).如果ai Rbj，那么由結(jié)點(diǎn)向bj ；如果佝，bj) R，那么結(jié)點(diǎn)ai與bj之間沒有 弧連結(jié)，這樣的圖形稱為R的關(guān)系圖.若R是A上一個(gè)關(guān)系，如果ai Raj (i =j)，有向弧的畫法與上面相同；如果 ai Rai，則畫一條從結(jié)點(diǎn) ai到結(jié)點(diǎn)ai 的帶箭頭的封閉弧，稱為自回路例如，集合 A=1 , 2, 3, 4上的關(guān)系 R =(1 , 1) , (1 , 2), (2,3), (2,4), (3,3), (4,2)，則 R 的關(guān)系圖如圖 1-6所示.3

9、 關(guān)系R的定義域是指 R中有序?qū)Φ牡谝辉厮试S選取對(duì)象的集合，關(guān)系R的值域是指R中有序?qū)Φ牡诙厮试S選取對(duì)象的集合.例如，集合 A= a, b, c , B=1,2, 3,從A到B的關(guān)系R = (a , 2), (b , 1), (b , 3)那么，Dom(R) = a, b , Ran(R) = 1,2, 3.4.在映射的定義(定義2.5)中，條件“如果 x X,有唯一 y Y ,使得xFy , ”表示映 射是單值的，也就是說，定義域中的任意一個(gè)x與值域中唯一的y有關(guān)系，所以用y =F(x)表示.另外，該條件還指出，集合 X就是映射F的定義域，即Dom(F) =X .因此，從集合X到Y(jié)

10、的映射F是一個(gè)二元關(guān)系，但是從 X到丫的二元關(guān)系R不一定是一個(gè)映 射.例如，實(shí)數(shù)集R上的二元關(guān)系f =(a, b)a =b2不是映射，因?yàn)?4,-2)，f, (4, 2)，f，不滿 足映射的單值性.由此可知，若映射F是雙射，則存在逆映射F A ;若映射F不是雙射，則不存在逆映射F , 或者說F 4不是映射.對(duì)于從集合X到Z中復(fù)合關(guān)系G F，因?yàn)镕是從X到丫的映射，G是從丫到Z的映射，由映射 的定義可知，映射F的值域是映射G的定義域的子集，即 Ran(F) Dom(G)，它保證了復(fù)合 映射G F是非空的.典型例題解析例 1 設(shè)集合 A= 1,2, 3, 4上的二元關(guān)系 R= (1, 1), (1

11、,2), (2, 4), (3, 1), (3, 3),S= (1,3),(2, 2), (3, 2), (4, 4)，用定義求 S R,R S,R2,Rj,1,Sj Rj.思路求復(fù)合關(guān)系S R，就是要分別將 R中有序?qū)?a, b)的第2個(gè)元素b與S中的每 個(gè)有序?qū)?c, d)的第1個(gè)元素進(jìn)行比較，若它們相同(即b=c),則可組成S R中的1個(gè)元素 (a, d)，否則不能.幕關(guān)系的求法與復(fù)合關(guān)系類似1求關(guān)系R的逆關(guān)系，只要把 R中的每個(gè)有序?qū)Φ膬蓚€(gè)元素交換位置，就能得到R中的所有有序?qū)?S R= (1, 1), (1,2), (2, 4), (3, 1), (3, 3)(1,3), (2,

12、2), (3, 2), (4, 4)=(1,3), (1,2), (2, 4), (3, 3), (3, 2)R S=(1,3), (2, 2), (3, 2), (4, 4)(1, 1), (1,2), (2, 4), (3, 1), (3, 3)=(1, 1), (1,3), (2, 4), (3, 4)2R =R R = (1, 1), (1,2), (2, 4), (3, 1), (3, 3)(1, 1), (1,2), (2, 4), (3, 1), (3, 3)=(1, 1), (1,2), (1,4), (3, 1), (3, 2), (3, 3)1 1R =(1, 1), (1

13、,2), (2, 4), (3, 1), (3, 3) =(1, 1), (1, 3), (2, 1), (3, 3), (4, 2)1 1S =(1, 3), (2, 2), (3, 2), (4, 4) =(2, 2), (2, 3), (3, 1), (4, 4)1 1S R =(1, 1), (1, 3), (2, 1), (3, 3), (4, 2)(2, 2), (2, 3), (3, 1), (4, 4)=(1, 1), (3, 1), (4, 2), (4, 3)注：由例1可知，關(guān)系的復(fù)合運(yùn)算不滿足交換率，即 SR S.例2對(duì)于以下給定的集合A、B和關(guān)系f，判斷是否構(gòu)成映射f：

14、 A B.如果是，試說明f： A B是否為單射、滿射或雙射的(1) A=1,2, 3,4, 5，B=6,7,8, 9,10，f =(1,8),(3,9),(4,10),(2,6), (5, 9)；(2) A=1,2, 3,4, 5，B=6,7,8, 9,10，f =(1,7),(2,6),(4,5), (1,9), (5,10)；(3) A=1,2, 3,4, 5，B=6,7,8, 9,10，f =(1,8),(3,10), (2, 6),(4,9)(4) A=B=R，f (x) =x，(一XR)；1(5) A=B=R， f(X)2，(一x R)；X +1思路首先按照1.2節(jié)的定義2.5，判斷

15、A、B和f是否構(gòu)成映射，即判斷f是否具有單值性以及Dom(f )是否等于A.然后再按照定義2.6，說明f： A B具有的性質(zhì).解(1)因?yàn)?Dom(f ) = A，且對(duì)任意A( i=1,2, 3, 4, 5)，都有唯一的 j B，使(i, j ) f . 所以A、B和f能構(gòu)成函數(shù)f： A B.因?yàn)榇嬖?, 5, A，且3=5,但映射f (3)= f (5) = 9，所以f： A B不是單射的； 又因?yàn)榧螧中的元素7不屬于f的值域，即f (A) = B，所以f: A B不是滿射的.(2)因?yàn)閷?duì) V A，存在7, 9 B，有f (1)= 7，f (1)= 9，即f不滿足映射定義的單值性f (x)

16、,/321丿、-3 -2 -K123/-1-廠A B.所以A、B圖 1-12條件.所以A、B和f不能構(gòu)成映射f：B.(3) 因?yàn)?Domf =1,2, 3, 4 -A， 和f不能構(gòu)成映射f： A B.x3 R，使(4) 因?yàn)閷?duì)* R，都有唯一的(x, x3)f .所以A、B和f能構(gòu)成映射f： A； 由圖1-12可知，f： A- B，f (x)= x3是雙射的.(5)因?yàn)閷?duì)-XR，都有唯一的x211 使(x,p-)X 1 f: A B.所以A、B和f能構(gòu)成映射因?yàn)樵撚成湓赬= 0處，f (-x)= f (x)，且f (R) -R，所以映射f: A； B不是單射的，也不是滿射的例 3 證明：若 f

17、: X； Y, A，B 二丫，貝U f J(A- B) = f(A)- f J (B) 證明；-x f J(A- B), y (A- B)，即 y A但 B,使得 y = f (x), 從而有 x f J(A)但 x f J(B)，故 x ( f J(A)- f J (B).1 11 f (A-B)二 f (A) - f (B).又 x ( f(A)- f J(B)，由于 x f(A )但 x f J(B)，從而 f (x) A 但 f (x)_ B,f J(A)-1 1f (B)二 f (A- B)1f(A- B)=1 1=f (A)- f (B).即 f (x)(A- B),故 x f(A

18、- B).因此,例4設(shè)有映射f:A A.若 a A, f(a)=a,則稱映射f是恒等映射，表示為I a設(shè)有兩個(gè)映射f：A B, g: B A.若g f = IA ,則f是單射，g是滿射.證明(1)證明映射f是單射.對(duì)任意的 b - B，如果存在 a1, a2 A，使 f (a” = b, f (a2)= b，即 f (a” = b = f (a2). 因?yàn)?a1= I A(a1)=(g f )(a1)= g(f )=g(f (a2) =(g f )(a2) = I a(a2)= a2 .所以f是單射的.證明映射g是滿射.因?yàn)?g f )(A)= I a(A)= A,所以g f是滿射的.a A，使(g f )(a) = c.又對(duì)任意的c A，由g f是滿