2018蘇教版基本不等式

1、基本不等式 高考題型精練1若正數(shù)x, y滿足x+ 3y = 5xy,則3x+ 4y的最小值是 答案 513解析方法一由x+ 3y= 5xy可得右+ 3 = 1,5y 5x ，3x+ 4y= (3x+ 4y)(5y+ 僉)94 3x 12v 1312口，3x 12y=5+ 4+習(xí)+17！+ F=5(當(dāng)且僅當(dāng)?shù)V孟1即x= 1 , y = 2時(shí)，等號(hào)成立)，：3x+ 4y的最小值是5.方法由 x+ 3y= 5xy 得 x=3y5y- 1=5,當(dāng)且僅當(dāng)y113y-5云+ 212時(shí)等號(hào)成立,9y13 93x+ 4y=+ 4y=5 + 5 15y-15 5y- 153x+ 4y的最小值是 5.11192.

2、若正數(shù)a, b滿足- +1 = 1,則；+ ；的最小值是 a ba1b1答案 611解析 正數(shù)a, b滿足- + -= 1,aba.b = 口0,解得a1.同理可得b 1,1- +a- 19b- 11+a- 11+ 9(a- 1) 2 a- 1當(dāng)且僅當(dāng)+ 9(a 1)，即a= 4時(shí)等號(hào)成立, 最小值為6.3 .已知a 0, b 0,若不等式嘰 一3 0恒成立，則 m的最大值為3a+ b a b答案 16解析因?yàn)閍0。,所以由話-a-卜0恒成立得m23b 3a當(dāng)且僅當(dāng)a= b時(shí)等號(hào)成立，所以10 +浮+ 3a 16, 所以m 16,即m的最大值為16.4. 一個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員投籃一次得3分的概率為a

3、,得2分的概率為b,不得分的概率為c（a、b、2 1c （0,1），已知他投籃一次得分的均值為2,則-+ 3b的最小值為 .答案163解析由已知得，3a + 2b + 0 x c 2,2即 3a+ 2b= 2，其中 0v av3, 00,a1a20,則使得|aix-2|（i 1,2）恒成立的x的取值范圍是答案0,-a*解析因?yàn)閙2+ 1m-m+ m2（當(dāng)且僅當(dāng)m 1時(shí)等號(hào)成立）,所以要使不等式恒成立, 則 2 |aix 2|(i 1,2)恒成立,即一2 aix 2 2，所以 0w aix a2 0,所以即 O w xw -,aiOw x w a?4所以使不等式恒成立的x的取值范圍是0,不.6.

4、 已知直線 ax+ by+ c 1 = 0(b, c0)經(jīng)過(guò)圓x2 + y2 2y 5 = 0的圓心，則是答案 9解析 圓x2+ y2 2y 5 = 0化成標(biāo)準(zhǔn)方程,得 x2 + (y 1)2= 6,所以圓心為C(0,1),因?yàn)橹本€ax+ by+ c 1 = 0經(jīng)過(guò)圓心 C,所以 ax 0+ b x 1 + c 1 = 0，即 b + c= 1.廠“ 4141 4c b因此 b+ c =(b+c)(b+c 訂+ c+ 5因?yàn)閎, c0,所以+2b c當(dāng)且僅當(dāng)詐b時(shí)等號(hào)成立.2141由此可得b= 2c,且b+ c= 1，即b = 3, c = 3時(shí)，+ ；取得最小值9.7. 已知 x0, y 0

5、, x + 3y+ xy= 9,貝U x+ 3y 的最小值為 .答案 6解析由已知得x= 9.1 + y方法一(消元法)3 y+ 1 6x 0, y 0,.0 v yv 3 ,.x+ 3y = _3+ 3y= + 3(y+ 1) 6 2 . 竺1 + y1 + yi 1 + y12=6，當(dāng)且僅當(dāng) =3(y+ 1), 即卩 y= 1, x= 3 時(shí)，(x+ 3y)min = 6.1 + y方法二tx0, y0, 9 (x + 3y)= xy= gx (3y)w * X；3y 41 x+ 4x 3x+ 1 設(shè) f(x)=1+1=K，X(。.,當(dāng)且僅當(dāng) x = 3y 時(shí)等號(hào)成立.設(shè) x+ 3y= t

6、 0，貝U t2 + 12t 1080,(t 6)(t + 18) 0,又Tt0,.t6.故當(dāng) x= 3, y= 1 時(shí)，(x+ 3y)min = 6.a + c b , = * . t&已知三個(gè)正數(shù) a, b, c成等比數(shù)列，則Y + a+c的最小值為 .5答案5 a + c / aca + c解析由條件可知a0, b0, c0,且b2= ac,即卩b=jac,故 =2,令 =b bb115t，則t2,所以y=t+ 在2 ,+ )上單調(diào)遞增，故其最小值為2+ 2 = 2*9.已知x, y R且滿足X2+ 2xy+ 4y2= 6，則z = X2 + 4y2的取值范圍為 .答案4,12X2+ 4

7、y2解析2xy= 6 (X2+ 4)，而 2xy2,X2 + .6 (X2 + 4y2) 4(當(dāng)且僅當(dāng)x= 2y時(shí)取等號(hào))，又(x+ 2y)2= 6+ 2xy0,即卩 2xy 6,.z= x2+ 4y2= 6 2xym -恒成立，則 m的最大值為1 XX答案 9解析 方法一（函數(shù)法）由已知不等式可得4t 1令 t = 3x+ 1，貝U x=p, t (1,4),則函數(shù)f(x)可轉(zhuǎn)化為g(t) =t12 5_4 -9t + 9t - 99tt2 + 5t 44因?yàn)?t (1,4)，所以 5 t + t 4,49Ov (t + Q+ 5 w 1,4 9,t+ t + 5即g(t) 9,+ )，故m

8、的最大值為9.方法(基本不等式法)由已知不等式可得14mw：+ ，因?yàn)?x (0,1),x 1 x則 1 x (0,1)，設(shè)y= 1 x (0,1)，顯然 x+ y= 1.414x+ y 4 x + y=一+ 一= +1 x xy x yy 4x/y 4x=5 + (x+ 7)5+ 2 fx廠9，當(dāng)且僅當(dāng)y= 4x，即 y=2, x= 3時(shí)等號(hào)成立.14所以要使不等式mw_+恒成立，m的最大值為9.x 1 x11 運(yùn)貨卡車(chē)以每小時(shí) x千米的速度勻速行駛 130千米，按交通法規(guī)限制x2千米/時(shí))假設(shè)汽油的價(jià)格是每升2元，而汽車(chē)每小時(shí)耗油2+36o 升,時(shí)14元.50 xw 100(單位:司機(jī)的工

9、資是每小(1) 求這次行車(chē)總費(fèi)用 y關(guān)于x的表達(dá)式；(2) 當(dāng)x為何值時(shí)，這次行車(chē)的總費(fèi)用最低，并求出最低費(fèi)用的值.解(1)設(shè)所用時(shí)間為t= 130(小時(shí)),x130 X 2Xxx22 + 360+ 14X130x 50,100.x ，所以，這次行車(chē)總費(fèi)用y關(guān)于x的表達(dá)式是2 34013y= 廠 + 18X，x 50,100 姑竽+26 .10,當(dāng)且僅當(dāng)2 340x13x花，即x= 18 10時(shí)等號(hào)成立.故當(dāng)x= 1&.10千米/時(shí)，這次行車(chē)的總費(fèi)用最低，最低費(fèi)用的值為26 70元.12.某種商品原來(lái)每件售價(jià)為25元，年銷(xiāo)售8萬(wàn)件.(1) 據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，若價(jià)格每提高1元，銷(xiāo)售量將相應(yīng)減少2 000件，要使銷(xiāo)售的總收入不低于 原收入，該商品每件定價(jià)最多為多少元？(2) 為了擴(kuò)大該商品的影響力，提高年銷(xiāo)售量.公司決定明年對(duì)該商品進(jìn)行全面技術(shù)革新和1營(yíng)銷(xiāo)策略改革，并提高定價(jià)到x元.公司擬投入-(x2- 600)萬(wàn)元作為技改費(fèi)用，投入 50萬(wàn)元61作為固定宣傳費(fèi)用，投入 5x萬(wàn)元作為浮動(dòng)宣傳費(fèi)用.試問(wèn)：當(dāng)該商品明年的銷(xiāo)售量a至少應(yīng)達(dá)到多少萬(wàn)件時(shí)，才可能使明年的銷(xiāo)售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時(shí)商品 的每件定價(jià).解(1)設(shè)每件定價(jià)為t元，t 25依題意，有 8 X 0.2 t25 X 8,1整理得 t2 65t+ 1 000W 0，解得 25 t 25時(shí)，不等式 ax25