《極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的處理策略和探究》

1、范文范例指導(dǎo)參考 word版整理 極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的處理策略及探究 所謂極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，是指對(duì)于單極值函數(shù)，由于函數(shù)極值點(diǎn)左右的增減速度不同，使 得函數(shù)圖像沒(méi)有對(duì)稱性。若函數(shù)f (x)在X = X0處取得極值，且函數(shù) y二f (x)與直線y二b 交于A(x1,b) , B(x2,b)兩點(diǎn)，貝U AB的中點(diǎn)為M(xx ,b)，而往往x0 - * q%2 如下圖 所示. 極值點(diǎn)左偏 極值點(diǎn)沒(méi)有偏移 此類問(wèn)題在近幾年高考及各種?？?，作為熱點(diǎn)以壓軸題的形式給出，很多學(xué)生對(duì)待此類 問(wèn)題經(jīng)常是束手無(wú)策。 而且此類問(wèn)題變化多樣， 有些題型是不含參數(shù)的， 而更多的題型又是 含有參數(shù)的。不含參數(shù)的如何解決？含參數(shù)

2、的又該如何解決，參數(shù)如何來(lái)處理？是否有更方 便的方法來(lái)解決？其實(shí)，處理的手段有很多，方法也就有很多，我們先來(lái)看看此類問(wèn)題的基 本特征，再?gòu)膸讉€(gè)典型問(wèn)題來(lái)逐一探索！ 【問(wèn)題特征】 極值點(diǎn)左偏：x =-處切線與*軸不平行匸 若八斛上凸(八町遞減L則廠|弓勺卜/欣)丸，若遞增)、則廣$尹)”仏上九 粗值點(diǎn)右個(gè)：斗+斗jr=Ai處切線與蠱軸不平行； 若上凸則/五學(xué)卜廠比=0若”工)下凸屮劉遞增h則/f斗主卜廠憶)=0 V 2 JV 2 J 【處理策略】 一、不含參數(shù)的問(wèn)題 例 1. (2010 天津理)已知函數(shù) f(x)=xe(x R)，如果，且 f(X!)=f(X2), 證明：x-i x22. 【解

3、析】法一：f(x)=(1-x)e，易得f (x)在(-：,1)上 單調(diào)遞增，在(1,=)上單調(diào)遞減，x)-:時(shí)， f(x)：，f(0)=0, x； :時(shí)，f(x)O，函 1 數(shù)f (x)在x=1處取得極大值f(1)，且fX,如圖所示. e 由 f (xj = f(X2), X1 = X2，不妨設(shè) X1 :： X2，則必有 0 ： X1 : 1 :： X2， 構(gòu)造函數(shù) F(x)二 f(1 x)_f(1_x),x (0,1， 則 F (x) =f (1 x) f (1-x)二爲(wèi)(e2x -1) 0，所以 F(x)在 x (0,1上單調(diào)遞增, e F(x) F(0) =0，也即 f (1 x) f

4、(1 -x)對(duì) x (0,1恒成立 由 0 ： X! : 1 ： x2，則 1 -x f (1(1x )二 f X 戶 f 他)即 f(2X1)f(X2)， 又因?yàn)?-X1,X2(1, ：)，且f (x)在(1,=)上單調(diào)遞減， 所以 2 -X : x2，即證 x-i x2 - 2. 法二：欲證 x1x22，即證 x2 2 - 禺，由法一知 0 ： % ： 1 ： x2，故 2 - 為，x2 (1, ：)， 又因?yàn)閒 (x)在(1,=)上單調(diào)遞減，故只需證f (x2) ： f (2 -x,)，又因?yàn)閒( f (x2)， 故也即證f(xj ： f(2 -xj，構(gòu)造函數(shù)H (x) = f (x)

5、- f (2 - x),x (0,1)，則等價(jià)于證明 H(x) ：0對(duì) x (0,1)恒成立. 1 x 由 H (x) = f (x) f (2-x) x (1-e2xr 0,則 H(x)在 x(0,1)上單調(diào)遞增，所以 e H(x) ： H(1)=0，即已證明H(x)：0對(duì)x，(0,1)恒成立，故原不等式 X1 X2 2亦成立. 法三：由f(xj = f(X2)，得=x2e，化簡(jiǎn)得二翌, X1 不妨設(shè) X2 Xi，由法一知，0 ：: Xi : 1 ：: X2 令 t=X2-Xi，則 t0,xt Xi，代入式, 得 et = -一Xi，反解出 論，貝U X1 x2x-it = -t2tt，故要

6、證： x x22 , x-ie -1e -1 2t 即證： t 2，又因?yàn)?1.0，等價(jià)于證明：2t 億-2)心-1) .0, e -1 構(gòu)造函數(shù) G(t2t (t -2)(et -1),(t .0)，則 G =(t _1)d 1,G (t) =tet0, 故G(t)在r (0, v)上單調(diào)遞增，G(t) .G(0)=：0，從而G(t)也在r (0, ：)上單調(diào)遞 增，G(t) G(0) =0，即證 式成立，也即原不等式 X1 x2 2成立 法四：由法三中 式，兩邊同時(shí)取以 e為底的對(duì)數(shù)，得 X2 x2 -捲=In In冷- In論，也即 Xi In x2 -In x1 X -X1 從而 Xi

7、 X2=(Xi X2)InX2nX1 x2 X2 +1 X2X.X2X1, X2 InIn X2 - XiXiX21Xi Xi 令 t =(t 1), Xi 則欲證：x1 x22，等價(jià)于證明: t In t 2 , t -1 構(gòu)造“(“育乂右)葉(一1)，則M “、t2-1-2tl nt (t) 2 ， t(t1) 又令(t)=t212tlnt,(tn1)，則1+2=1 許)一 t ，由于 tlnlnt 所以(1)= 0 , 對(duì)t(1,：)恒成立，故，(t)0 ,(t)在t (1,：)上單調(diào)遞增, 從而M (t )0,故M (t)在t (1,：)上單 調(diào)遞增，由 洛比塔法則知： (t 1)ln

8、 t 即證M (t) a 2 即證 Iim M (t) TimIim 迫 1)In t)二 Iim(In X 1X_it -1xj(t -1)X 1 式成立，也即原不等式XiX22成立 【點(diǎn)評(píng)】以上四種方法均是為了實(shí)現(xiàn)將雙變?cè)牟坏仁睫D(zhuǎn)化為單變?cè)坏仁?，方法一、二?用構(gòu)造新的函數(shù)來(lái)達(dá)到消元的目的，方法三、四則是利用構(gòu)造新的變?cè)?將兩個(gè)舊的變?cè)?換成新變?cè)獊?lái)表示，從而達(dá)到消元的目的 二、含參數(shù)的問(wèn)題 例2已知函數(shù)f(x)二x-aeX有兩個(gè)不同的零點(diǎn) Xi, X2，求證：x-i x2 2 【解析】思路1：函數(shù)f (x)的兩個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于方程 xe = a的兩個(gè)實(shí)根，從而這一問(wèn)題 與例1完全等

9、價(jià)，例1的四種方法全都可以用； 思路2：也可以利用參數(shù) a這個(gè)媒介去構(gòu)造出新的函數(shù).解答如下: 因?yàn)楹瘮?shù)f (x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1, x2， 所以丿 % = aex1(1) x X2 = ae2(2) 要證明 由(1) (2)得：X1 X2 =a(eX1 e)， X1 X2 2，只要證明 a(e1 e2) 2， 由-(2)得：X2=a(eeX2)，即 a=弋， e -e 即證: 不妨設(shè) X1XX1 _X2 /、e +e c ,、e +1 (X1 X2)X1X2 2二(X1 -X2)飛巨2， e1 _e2e _1 ，記 t =劉 一 X2，則 t0,et1， e 12(e 1) t -t2 ：=

10、t t 0， et -1et 1 x1x2 因此只要證明: Xi-X2 再次換元令 =x 1, t =ln x，即證 In x -)0 一x (1,：) x +1 構(gòu)造新函數(shù) F(x) =1 nx 2，F(xiàn)(1) =0 求導(dǎo)F (x) 14 = 2 x (x 1)2 x(x 1) x 1 (x，)0，得 F(x)在(1,：)遞增, 所以F(x) *0，因此原不等式x1 x2 2獲證. 【點(diǎn)評(píng)】含參數(shù)的極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，在原有的兩個(gè)變?cè)?Xi,X2的基礎(chǔ)上，又多了一個(gè)參數(shù), 從而轉(zhuǎn)化成不含參數(shù)的問(wèn)題去解決；或 f (x)有兩個(gè)零點(diǎn)x,x2， 故思路很自然的就會(huì)想到： 想盡一切辦法消去參數(shù), 者以參數(shù)

11、為媒介，構(gòu)造出一個(gè)變?cè)男碌暮瘮?shù)。 例3.已知函數(shù)f(x)=lnx-ax， a為常數(shù)，若函數(shù) 試證明：X1 X2 e2. 【解析】法一：消參轉(zhuǎn)化成無(wú)參數(shù)問(wèn)題： In x f(x) =0= Inx=ax=ln x = ae ， x1, x2是方程 f(x)=0 的兩根，也是方 程 In x=aelnx 的兩根，則 In x1,ln x2 是 x=aeX，設(shè) g = In X), u2 =ln x2， g(x) = xe，則 2 g(uj =g(U2)，從而X1X2 e二ln X1 ln X22= 5 U2 2，此問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化成為例 1，下略. 法二：利用參數(shù)a作為媒介，換元后構(gòu)造新函數(shù)： 不妨設(shè)

12、x1 x?， Tn x -ax = 0,ln x2 _ax2 InxiInx2 *，欲證明 =0 ,Inx-iInx2= a(x1x2),ln捲一 Inx2 = a(Xj- 冷), 2 Tn x In x2 二 a(x x2), 即證a2一 , x1 +x2 X1X2e，即證 In x1In x22. 原命題等價(jià)于證明 心吐丄，即證：m帚込勺，令t=J(t1), 捲 _X2X1 X2X2X1 X2X2 構(gòu)造刈如-晉1，此問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化成為例2中思路二的解答，下略. 法三：直接換元構(gòu)造新函數(shù)： In 為 In x2 a = xix2 In x2 In x1 x2x2 -,設(shè) Xi ：X2,t-,(

13、t1), X1 X2 xi 則 x2 =tx1, In tx1 In x-i In t In x1 In x1 晉1譏小牧1 tInt t-1， 故 XjX2e2 = In x1In x22 = t亠1 Int 2，轉(zhuǎn)化成法二，下同，略 t -1 例4.設(shè)函數(shù)f(x) =ex -ax a(a R)，其圖像與 x軸交于 A(x1,0), B(x2,0)兩點(diǎn)，且 Xi : X2 證明：f ( . x x2) ： 0 . 【解析】由f (x)二ex-ax a, f (x)二ex-a，易知：a的取值范圍為(e2,-：), f (x)在 (-：,ln a)上單調(diào)遞減，在(Ina, ：)上單調(diào)遞增. 法一

14、：利用通法構(gòu)造新函數(shù)，略； 法二：將舊變?cè)D(zhuǎn)換成新變?cè)?e -e a 二 x2 .e _略a-0,兩式相減得: eX2 -ax2 a =0, 記 t 二西Xl,(t0)，貝U f ( 2 XiX2 ) 2 ) 2X, 2 e2e X2 - Xi 設(shè) g(t) =2(et -e4),(t 0)，則 g (t) =2e冷：0，所以 g(t)在 t (0,：)上單 調(diào)遞減，故妙0),而旨所以f(寧)0 又 f(X)二ex -a是R上的遞增函數(shù)，且 f 人 X2 ) : 0. 容易想到，但卻是錯(cuò)解的過(guò)程： +X,楓 欲證：f C Xi X2) ： 0，即要證：f (篤上2) : 0，亦要證 e -

15、a :： 0，也即證：eX1 % ： a2， leXl ax, a = 0,eXi 二 a(x,1), 很自然會(huì)想到：對(duì)11八兩式相乘得： eX2 _ax2+a = 0,eX2 = a(x2 _1), eXi沁二a2(X1 -1)(X2 -1)，即 證：(為-1)(X2 -1) ： 1 .考慮用 基本 不等式 x + x _ 2 (X1 -1)(X2)2 ，也即只要證：捲+ x2 In a .當(dāng)取a = e3 將得到x23，從而x1x24.而二元一次不等式x1x2: 4對(duì)任意a(e2,：)不恒成 立，故此法錯(cuò)誤. 【迷惑】此題為什么兩式相減能奏效，而變式相乘卻失??？?jī)墒较鄿p的思想基礎(chǔ)是什么？其

16、 他題是否也可以效仿這兩式相減的思路？ 【解決】此題及很多類似的問(wèn)題，都有著深刻的高等數(shù)學(xué)背景 拉格朗日中值定理：若函數(shù)f (x)滿足如下條件： (1) 函數(shù)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)； (2) 函數(shù)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得f()二f (b)f (a) b a 當(dāng)f(b)二f(a)時(shí)，即得到羅爾中值定理. 上述問(wèn)題即對(duì)應(yīng)于羅爾中值定理， 設(shè)函數(shù)圖像與x軸交于A(x1,0), B(x2,0),兩點(diǎn)，因此 kAB=0二 f(X2)f(X1)=o二(宀ea(X1-X2)=oa= , x2 2x2 x1 由于 f(xj =f (X2)=0，顯然 f(xj f(X1)=0

17、與 f(xj f(X1)=0，與已知 f(xj = f (X2)=0不是充要關(guān)系，轉(zhuǎn)化的過(guò)程中范圍發(fā)生了改變 例5. (11年，遼寧理) 已知函數(shù) f(x)=lnxax2(2a)x. (I)討論f(x)的單調(diào)性； 111 (II )設(shè) a 0，證明：當(dāng) 0 ： x 時(shí)，f ( x) f( x)； aaa (III )若函數(shù)y二f (x)的圖像與x軸交于代B兩點(diǎn)，線段 AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0，證明: f(X。)：0. 1 【解析】 易得：當(dāng)aO時(shí)，f(x)在(0, ：)上單調(diào)遞增；當(dāng)a 0時(shí)，f(x)在(0,-) a 1 上單調(diào)遞增，在(一，：)上單調(diào)遞減. a 1 1 1 (II )法一：構(gòu)造

18、函數(shù) g(x) = f ( X) f ( -X),(0 ：: X ：:)，利用函數(shù)單調(diào)性證明，方 a 法上同，略； 法二：構(gòu)造以a為主元的函數(shù)， h( a)= In 十右 x -) kna( x - , hs(a) a a 設(shè)函數(shù) h(a) 1 =f( x) 1 f(x)，則 a a X X 3 2 2x a 石1 + -2x22 ，由 0 ： ： x ： 1 ax 1 -ax 1-a2x2 a 111 解得 0 ： a ，當(dāng) 0 ： a 時(shí)，h (a)0，而 h(0) 0 ，所以 h(a) 0，故當(dāng) 0 ： x :：一 xxa 11 時(shí)，f ( x) f ( x). aa (III )由(I

19、)知，只有當(dāng)a 0時(shí)，且f (x)的最大值f (1) 0 ,函數(shù)y二f(x)才會(huì)有兩 a 111 個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè) A(X1,0), B(x2,0),0 ：為：x，則 0 ：為X2，故xr (0,一)，由 aaa 21111 (II)得：f(x)=f( + x)nf一( x) = f(X )=f(X ,)又由 f (X)在 aa aaa /1、2為 x21上，、小 (,=-)上單調(diào)遞減，所以X2X1，于是X0-2 ，由(I)知，f (x) ”： 0. aa2 a 【問(wèn)題的進(jìn)一步探究】 對(duì)數(shù)平均不等式的介紹與證明 (a = b). a - b 兩個(gè)正數(shù)a和b的對(duì)數(shù)平均定義: L(a,b)二 In

20、a-1 n b la(a = b). 對(duì)數(shù)平均與算術(shù)平均、幾何平均的大小關(guān)系： 、品(a,b) -備b (此式記為對(duì)數(shù)平均不等式) 取等條件：當(dāng)且僅當(dāng) a=b時(shí)，等號(hào)成立. a亠b 只證：當(dāng)a=b時(shí)，、ab；：L(a,b).不失一般性，可設(shè) a b.證明如下: 2 先證:、.ab : L(a,b) 不等式 二 In aI nbS= In - 1) Tabb Vb VaxVb ) 1211 構(gòu)造函數(shù) f(x)=2l nx-(x),(x 1)，則 f(x) 12 =(1)2.因?yàn)?x 1 時(shí), xx xx f (x) : 0，所以函數(shù)f (x)在(1：)上單調(diào)遞減，故f (x) ： f (1) =

21、 0 ,從而不等式 成立; (II)再證： L(a,b)： 2 不等式 In a -1 n b 2(a -b) a b b Inx 2)(其中：1) 構(gòu)造函數(shù)g(x) =ln x _ 衛(wèi),(x 1)，貝H g (x)二丄 (x 1)x 4 (x 1)2 (x-1)2 x(x 1)2 因?yàn)閤 1時(shí), g (x) 0,所以函數(shù)g(x)在(1：)上單調(diào)遞增，故g(x)：g(1)=0,從而不等式成立; a 十 b 綜合(I) (II)知，對(duì)-a,b R ，都有對(duì)數(shù)平均不等式、ab 一 L(a,b)成立，當(dāng)且 僅當(dāng)a = b時(shí)，等號(hào)成立 前面例題用對(duì)數(shù)平均不等式解決 例1. (2010天津理)已知函數(shù)

22、f(x)二xe(xR)，如果x- x2，且f(x,)=f(x2), 證明：x1 x2 - 2. 【解析】法五：由前述方法四，可得1xL 1 ,利用對(duì)數(shù)平均不等式得： In x -In x2 11212，即證：x1 x2 2,秒證. In 為一In x22 說(shuō)明：由于例2，例3最終可等價(jià)轉(zhuǎn)化成例1的形式，故此處對(duì)數(shù)平均不等式的方法省略. 例4.設(shè)函數(shù)f (x)二ex - ax a(a R)，其圖像與 x軸交于A(X1,0) , B(X2,0)兩點(diǎn)，且 x1 : x2 .證明:f (. x x2) ： 0. eX1eX2 【解析】法三：由前述方法可得：a(1 ：捲：In a ”： x2),等式兩邊

23、取以e為 X| _1 x2 _1 底的對(duì)數(shù)，得 In aXj-l門(mén)(論-1) = 乂2-1 n(x2-1)，化簡(jiǎn)得：1(Xl_(2_ ,由 In (捲1)I n(x21) 對(duì)數(shù)平均不等式知：1 (Xl -1) -(x2 ) 任 _1)(X2 -1)，即 X/2 - (x1 x2) :： 0 , In(捲 _1)一1 n(x2 _1)用 故要證 f (.,肚2)： 0：= 證.X1X2 : lna ：= 證2 X1X2 ：為I門(mén)(為1) X2In(X21) 二 證 In(捲 -1) In( x2 -1)：捲 x2 - 2.：= 證 In(x1x(x1 x2) 1p： x x2 -2、. x1x2

24、 t x1x(x1 x2) : 0 In( X|X2 - (x1 x2) 1： In1 = 0 , 而 X1 X2 -2 X1X2. X2)2 0 - In(x1x(xl - x2) 1： n - x2 -2 x1x2 顯然成立，故原問(wèn)題得證. 例5. (11年，遼寧理) 已知函數(shù) f(x)=Inxax2(2a)x. (I)討論f (x)的單調(diào)性； 111 (Il )設(shè) a 0，證明：當(dāng) 0 . x 時(shí)，f x) f ( x)； aaa (Ill )若函數(shù)y = f (x)的圖像與x軸交于 代B兩點(diǎn)，線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0，證明： f (X0) 0. 【解析】(I) (II)略， (III

25、 ) 由 f (xj = f (x2) = 0 22 =In xax1(2 -aX = In x2 -ax2(2 -a)x2 二 0 2 2 =Inx1Tnx22(捲 一 x2)= a(x1-x2x1-x2) In x1 Tn x22(x1 - x2) xj _x22x -x2 a 二 故要證 f (X0) 0 x。二兇 X2 - 2 a + 2 2 . =X1X2-X2X1 -X2= 2 In X1 Tn X2 十2(X1 X2)In x In x 2 % -x2 二: ln Xi Jn X2 .根據(jù)對(duì)數(shù)平均不等，此不等式顯然成立，故原不等式得證 X1 x2為 _x2 【挑戰(zhàn)今年高考?jí)狠S題】

26、 (2016年新課標(biāo)I卷理數(shù)壓軸21題)已知函數(shù)f (x) =(X_2)ex a(x_1)2有兩個(gè)零點(diǎn)x1, x2. 證明：x-i x： 2. 【解析】由 f (x) =(x2)ex +a(x1)2，得 f x) =(xe x a ，可知 f (x)在(亠,1) 上單調(diào)遞減，在(1, ：)上單調(diào)遞增要使函數(shù)y= f (x)有兩個(gè)零點(diǎn)x-i, x2，則必須a 0. 法一：構(gòu)造部分對(duì)稱函數(shù) 不妨設(shè) Xi ： x，由單調(diào)性知 * (-二，1),X2 (1,：)，所以 2 -X2,1)，又/ f(x)在 (-：，1)單調(diào)遞減，故要證：x,x： 2，等價(jià)于證明：f (2-X2)： f(xj =0 , 又

27、 f (2 -X2)=-X2e2公2 a(x2 -1)2，且 f (x?)=(血 - 2)e a(x2 -1)0 2 （X-1） 那么g x二 X e ，當(dāng)X ：1時(shí), g x 0 , g x單調(diào)遞減；當(dāng) x 1時(shí), f (2 -X2) = -X2e2 -(X2 -2)eX2，構(gòu)造函數(shù) g(x)二-xe2 -(x -2)ex,( x (1,：), 由單調(diào)性可證，此處略 法二：參變分離再構(gòu)造差量函數(shù) 由已知得： f Xl = f X2 = 0 ,不難發(fā)現(xiàn) N 匯 1 , X2 1 , 故可整理得： 區(qū)2 e（X2 2 Je _a _2 一2 X1 -1 i-1 i x-2eX 則 g X1 二

28、g X2 g x 0, g x單調(diào)遞增. 設(shè)m 0，構(gòu)造代數(shù)式： m 1 1 m m -1心 1 m 1 _rn_1 2m g 1 m -g 1 -m廠e廠e廠ee 1 mmmm十1丿 設(shè) h m =m：1e2m 1 , m 0 m +1 則h m _ 2m 2e2m 0，故h m單調(diào)遞增，有 h m h 0 = 0 . 因此，對(duì)于任意的 m .0, g 1m 1-m . 由g xi =g X2可知x、x2不可能在g x的同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上，不妨設(shè)人：x2，則 必有 x ：1 ：x2 令 m=1Xi0，則有 g |11 xi：| g|1- 1 xi= g 2 xi. gxi= g 而2 -Xi

29、.1, X2 1, g x在1,； 上單調(diào)遞增，因此：g2-x( 冷：=2-為必 整理得：x1 x? 2 . 法三：參變分離再構(gòu)造對(duì)稱函數(shù) 由法二，得g x = x_2 ：，構(gòu)造g(x)二g(x)-g(2-x),(x(-二，1)，利用單調(diào)性可證， (x-1) 此處略 法四：構(gòu)造加強(qiáng)函數(shù) 【分析說(shuō)明】由于原函數(shù)f(x)的不對(duì)稱，故希望構(gòu)造一個(gè)關(guān)于直線 x=1對(duì)稱的函數(shù)g(x), 使得當(dāng)x : 1時(shí)，f(x) ：g(x)，當(dāng)x 1時(shí)，f(x) .g(x)，結(jié)合圖像，易證原不等式成立 x2x 【解答】由f(x)=(x-2)e a(x -1) , f(x)=(x-1)(e2a)，故希望構(gòu)造一個(gè)函數(shù) F(x),使得 F(x)