《函數與方程思想》教學設計示例

1、函數與方程思想教學設計示例（2）齊宗鎖（寶雞石油中學）吳曉英（寶雞金臺區(qū)教研室）摘要：函數與方程思想一直是高考的重點內容之一，在近幾年的高考中，函數思想主要用于求變量的取值范圍、解不等式等。本教學設計通過追溯課本,明確思想；體驗高考,建構思想；典例分析,深化思想；錯誤剖析,反思思想；課題小結，完善思想；反饋練習，應用思想六個環(huán)節(jié)來參悟函數與方程思想，讓學生恰當的設方程，建函數，能有意識的應用函數與方程思想解題，明確知識間的內在聯(lián)系，提高思維的深刻性與思辨性，體驗數學的理性美。（發(fā)表與中學數學教學參考2013.1.2期）關鍵詞：明確、建構、深化、反思、完善、應用4.2 體驗高考,建構思想例2(1

2、)（2012高考數學湖北理科第19題的第一問）如圖1,過動點A作,垂足D在線段BC上且異于點B,連接AB,沿將折起,使(如圖2所示). 當的長為多少時,三棱錐的體積最大.BCDAACDB圖2圖1設計意圖: 函數的思想的另一重要方面就是用運動和變化的觀點，構造函數，運用函數的圖象和性質去分析問題、轉化問題使問題獲得解決. 本題就是利用立體幾何線面的基本位置關系建立三棱錐的體積的函數關系,應用導數討論函數性質,求得三棱錐體積最大時的長度, 充分體現建構函數過程.師生活動：先讓學生獨立思考，嘗試以的長度為自變量，列出三棱錐的體積的函數關系.教師板書過程，并讓學生指明所設變量的范圍，即函數的定義域，然

3、后學生利用導數討論出函數的單調性,從而求得三棱錐的體積最大值時的長度.學生小結本題是如何建函數的?在立體幾何中應用函數思想時應注意那些問題?解:在如圖1所示的中,設,則. 由,知,為等腰直角三角形,所以. 由折起前知,折起后(如圖2),且, 所以平面.又,所以.得. 令,下解略. (2)（2012高考數學江蘇第10題）設是定義在上且周期為2的函數，在區(qū)間上，其中，若，則的值為 .設計意圖:方程思想一個重要的方面就是如何應用函數性質,建立方程或方程組,求解有關參數值或范圍.本題就是利用函數的周期,列出關于參數的方程組,求得的值.師生活動：學生應用方程思想.靈活應用函數的周期為2構造出的方程組即可

4、求解.解:由題知,函數的周期為,且,且,下解略. (3)（2010高考數學遼寧理科第16題）已知數列滿足則的最小值為_.設計意圖:利用數列的遞推式疊加得出數列的通項公式,從而構造出函數,進而再利用函數的單調性求出最大值,充分體現如何在數列中利用數列有關方法建構函數,并應用函數思想怎樣求解的過程.從近幾年高考看,以知識為載體,以數學思想為魂,在知識的交匯點處命題,正是考查學生實踐能力和創(chuàng)新意識的重要途徑.師生活動：給學生時間先求解數列的通項公式,然后回歸到函數,求出最大值,學生體驗應用函數思想,在數列中建構函數以及怎樣應用函數的性質進行求解.解: , ,設,再根據對勾函數單調性求得最大值.下解略

5、.（4）(2011高考數學浙江理科第16題)設為實數，若則的最大值是 .設計意圖:本題的解法多,主要是通過此題讓學生整體代換變成以某一個變量為主元的二次方程,再利用方程有根求得式子的最大值，充分體現怎樣構建方程,并應用方程進行求解,這是方程思想的一個重要體現方式.師生活動：讓學生嘗試尋找解題的方法,即設,整理成以或為主元的二次方程求解,學生解法對比中提煉出構建方程的方法. 解:設，代人整理得，.關于的方程有根,下解略.4.3 典例分析,深化思想例3(2012高考數學重慶文科第16題)已知數列為等差數列，且（1）求數列的通項公式；（2）記的前項和為，若成等比數列，求正整數的值.設計意圖:學生深刻

6、理解在等差、等比數列中如何應用方程思想,設變量,建立方程和方程組,求解問題的過程.師生活動:(1)問學生試進行求解,建立首項和公差的方程組,求出通項,(2)問學生根據等比中項的概念建立關于正整數的方程,求出值,學生小結在此題中應用數列知識體現了什么數學思想?怎樣應用思想來求解的?在數列中還有那些地方體現此思想?解:（1）設數列 的公差為d,由題意知 解得所以;（2）由（1）可得 因 成等比數列，所以 得 解得 或（舍去），因此 .例4(2012高考數學遼寧文科第21題) 設， 證明：(1)當時，； (2)當時，設計意圖：本題意在把要證明的不等式經過變形構造出函數,求導數討論函數的單調性使得問題

7、得以解決.訓練學生把推理論證能力、運算求解能力結合在一起,體會在證明不等式中函數與方程思想、轉化與化歸的思想綜合應用. 師生活動：（1）問讓學生嘗試做差構造新函數,求導討論新函數的單調性完成證明,或從分離出函數,討論其單調性并應用常見結論使不等式得到證明；（2）問讓學生再次做差構造新函數或變形構造新函數求解,并板書解題過程，體會在導數中如何建構函數的過程.這也是函數思想在導數應用中的集中體現.解：(1)(證法一)設下解略. (證法二)由均值不等式，當時, ,得,令,則,故,即,由得,當時，(2)(證法一)設,由(1)得,令,下解略.(證法二)設,下解略.例5（2009全國高考數學全國理科第21

8、題）如圖，已知拋物線與圓相交于、四個點.（1）求得取值范圍；（2）當四邊形的面積最大時，求對角線、的交點坐標.設計意圖：本題意在利用拋物線和圓方程,二次方程根存在條件,導數等基礎知識、把推理論證能力、運算求解能力、綜合分析能力結合在一起,體會解析幾何中函數與方程思想、數形結合思想、轉化與化歸的思想綜合應用.師生活動：（1）問讓學生利用方程思想,消元變成一元二次方程,應用方程有兩個正根的充要條件列出關于不等式組,從而求得范圍,(1)問的解決過程,就是建方程,應用方程性質,求解參數取值范圍,這是方程思想在解析幾何的主要表現形式;（2）問師生共同探究利用設而不求、整體代入的方法處理,找到四邊形的面積的平方的函數表達式,應用導數得出函數單調性求得四邊形的面積最大值,(2)問的解決過程,就是建函數,應用函數性質,求值,這是函數思想在解析幾何的主要表現形式;通過此題,過程中讓學生充分體驗解析幾何中方程與函數思想是如何應用和建構的.解：（1）將拋物線代入圓的方程，消去，整理得拋物線與圓相交于、四個點的充要條件是方程有兩個不相等的正根下解略.（2） 設四個交點的坐標分別為、則直線AC、BD的方程分別為解得點