數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)歸納

1、數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)歸納必修5數(shù)列礎(chǔ)知識(shí)歸納一.數(shù)列的有關(guān)概念：1. 數(shù)列的定義：按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列.(1) 數(shù)列中的每個(gè)數(shù)都叫這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).記作如，在數(shù)列第一個(gè)位置的項(xiàng)叫第1項(xiàng)(或 首項(xiàng))，在第二個(gè)位置的叫第2項(xiàng)，序號(hào)為“的項(xiàng)叫第項(xiàng)(也叫通項(xiàng))，記作如(2) 數(shù)列的一般形式：a, aij 03,皿,簡(jiǎn)記作伽2. 通項(xiàng)公式的定義：如果數(shù)列如的第料項(xiàng)及舁之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這 個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.說明：(1) 如表示數(shù)列,血表示數(shù)列中的第n項(xiàng),如二和)表示數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2) 同一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式的形式不一定唯一.例如，1)彳；廣1(心)；(3) 不是每個(gè)數(shù)列都有通

2、項(xiàng)公式.例如，1, 1.4, 1.41, 1.414, (4) 從函數(shù)觀點(diǎn)看，數(shù)列實(shí)質(zhì)上是定義域?yàn)檎麛?shù)集N*(或它的有限子集)的函數(shù)知)， 當(dāng)自變量從1開始依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一系列函數(shù)值幾1)/(2),/(3), /(小.通 常用來代替f(n),其圖象是一群孤立的點(diǎn).3數(shù)列的分類：(1) 按數(shù)列項(xiàng)數(shù)是有限還是無限分：有窮數(shù)列和無窮數(shù)列；(2) 按數(shù)列項(xiàng)及項(xiàng)之間的大小關(guān)系分：?jiǎn)握{(diào)數(shù)列(遞增數(shù)列、遞減數(shù)列)、常數(shù)列和擺動(dòng) 數(shù)列.4. 遞推公式的定義：如果已知數(shù)列如的笫1項(xiàng)(或前兒項(xiàng))，且任一項(xiàng)如及它的前一項(xiàng)如丨(或前兒項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞 推公式.5.

3、數(shù)列如的前”項(xiàng)和的定義：Sn = d +G2 + Q3+如=山稱為數(shù)列如的前n項(xiàng)利 要食i理解&及如之間的關(guān)系6. 等差數(shù)列的定義:一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)及它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么 這個(gè)數(shù)列就叫等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母表示.即:an為等比數(shù)列o an + 1 - Un 二 O 2（ln + 1 = Cln + Cln + 2 伽=kn + /? 5/t = An2 + Bn.7. 等比數(shù)列的定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2現(xiàn)砂，每一項(xiàng)及它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)帯數(shù)，那么 這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這爪常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比.公比通常用字母表示

4、（工 0）,即：an為等比數(shù)列 an + ! : a” = q （q H 0） o a*2 = ana2.注意條件“從第2項(xiàng)起S “常數(shù)S山定義可知：等比數(shù)列的公比和項(xiàng)都不為零.二、等差、等比數(shù)列的性質(zhì):等差數(shù)列（AP）等比數(shù)列（GP）通項(xiàng)公式an = a + （n 一 1）an = acf1 （fli H 0, g H 0）前項(xiàng)和S”=“S”=*叫、q = 1,4（1 一/）,山八q性質(zhì)an = am + （n 一 m）dan = am（fmm + n = s + t,貝lj am + an = as +Ch+ n = s + t,貝lj am an = as arSim Sun S3? S

5、2】，成APS” S2111 Sin Sn - Szm，成 GP （少-1或加不為偶數(shù)）如 依+加 依+ 2/ 成AP, （I9=md如Uk+nif依+ 2加成GP, if = cfn注：1.等差（等1匕）數(shù)列如的任意等距離的項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列仍為等差（等比）數(shù)列.2. 三個(gè)數(shù)成等差的設(shè)法：a ch a, a + ch四個(gè)數(shù)成等差的設(shè)法：。-3乩a d a + d, a + 3；3. 三個(gè)數(shù)成等比的設(shè)法：alq, a, aq；四個(gè)數(shù)成等比的錯(cuò)誤設(shè)法：a/q a/q, aq, aqy （為 什么？）4. 如為等差數(shù)列，則#（c0）是等比數(shù)列.5. %（加0）是等比數(shù)列，則log血（c 0且chI）是等

6、差數(shù)列.6. 公差為的等差數(shù)列如中，若0,則如是遞增數(shù)列;若 =0,則如是常數(shù)列; 若6/0,1或a 0, 0 vq V 1時(shí)為遞增數(shù)列； （2）當(dāng)a 1或山0,0（70, 0時(shí)，必有最大值；10時(shí)，S”有最小值.（2）,最值的求法： 若已知S”，可用二次函數(shù)最值的求法（77 e N*）；若已知如 則必取最值時(shí)的值（n e N*河如下確定：必最大值嚴(yán)（或S“最小 so值1.1 n 三、常見數(shù)列通項(xiàng)的求法：1. 定義法（利用AP，GP的定義）.2. 累力口法（伽 + 1 Cln = Cn 型）：Un = Cl + （2 一 1） +（43 C11） + + （伽一一 I）= 6/1 + C +

7、C2 + + Cw- 1（/? 2）.3. 公式法:S =1)(淪 2)4. 累乘法(亞= 型)：an = a 2= Qi ci C2cw-i(n 2).5 n4 %5. 待定系數(shù)法：an+i =qan + b (qOf gHl, /?工0)型，轉(zhuǎn)化為 +i +x = q(an + x).可 以將其改寫變形成如下形式：為廠+丄二g(如+丄)，于是可依據(jù)等比數(shù)列的定義求出其通項(xiàng)公式.g_lq-16間接法(例如:tin + 1 伽二4伽+ Cln = !丄=4 )%5四、數(shù)列的求和方法：除化歸為等差數(shù)列或等比數(shù)列求和外，還有以下一些常用方法：1. 拆項(xiàng)求和法(an = bnCn)：將一個(gè)數(shù)列拆成若

8、干個(gè)簡(jiǎn)單數(shù)列(如等差數(shù)列、等比數(shù)列、 常數(shù)數(shù)列等等)，然后分別求和.如二2“ + 32. 并項(xiàng)求和法：將數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)(或若干項(xiàng))并成一項(xiàng)(或一組)先求和，然后再求S”. 如 u 5 = 12 - 22 + 32 - 42 + 52 - 62+-+(2-1)2-(2)2 f，的求和.3. 裂項(xiàng)相消法：將數(shù)列的每一項(xiàng)拆(裂開)成兩項(xiàng)之差，即= fn + 1)使得正負(fù)項(xiàng)能互相抵消，剩下首尾若干項(xiàng).用裂項(xiàng)相消法求和，需要掌握一些常見的裂項(xiàng), 如：“?二丄(_一_八 _二丄一丄、亠丄(麗一0)等.4. 錯(cuò)位相減法：將一個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)都作相同的變換，然后將得到的新數(shù)列錯(cuò)動(dòng)一個(gè) 位置及原數(shù)列的各項(xiàng)相減，這

9、是仿照推導(dǎo)等比數(shù)列前舁項(xiàng)和公式的方法.對(duì)一個(gè)山 等差數(shù)列及等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積組成的數(shù)列的前項(xiàng)和，常用錯(cuò)位相減法.即錯(cuò)位 相減法一般只要求解決下述數(shù)列的求和：若Un = bnCn,其中九是等差數(shù)列，cn 是等比數(shù)列，則數(shù)列伽的求和運(yùn)用錯(cuò)位相減法.記 Sn = bC + b2C2 + b3C3 + + bncn9 則 qSn = bc2 + b2C3 + + % -+ bncn 如二71)2.5倒序相加法:將一個(gè)數(shù)列的倒數(shù)第項(xiàng)伙=1, 2, 3,，町變?yōu)轫様?shù)第R項(xiàng),然后 將得到的新數(shù)列及原數(shù)列相加，這是仿照推導(dǎo)等差數(shù)列前/項(xiàng)和公式的方法.注意：(1) “數(shù)列求和”是數(shù)列中的重要內(nèi)容，在中學(xué)高考范圍內(nèi)，學(xué)習(xí)數(shù)列求和不需 要學(xué)習(xí)任何理論，上面所述求和方法只是將一些常用的數(shù)式變換技巧運(yùn)用于數(shù)列求和 之中.“錯(cuò)位”及“倒序”求和的方法是比較特殊的方法.(3) 數(shù)列求通項(xiàng)及和的方法多種多樣，要視具體情形選用合適的方法.(4) 重要公式：= -H( + 1)； l2 + 22 + +n2=l(n+ l)(2/i + 1)； l3 + 23