方程與不等式專題

1、學(xué)習(xí)好資料歡迎下載專題二方程與不等式中考點(diǎn)擊考點(diǎn)分析:內(nèi)容要求1、方程的解、解方程及各種方程（組）的有關(guān)概念I(lǐng)2、一兀一次方程及其解法和應(yīng)用；二兀一次方程組及其解法和應(yīng)用n3、用直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法角一兀二次方程n4、可化為一兀一次方程、一兀二次方程的分式方程的解法及其應(yīng)用n5、一兀二次方程根的判別式及應(yīng)用I6、不等式（組）及解集的有關(guān)概念，會(huì)用數(shù)軸表示不等式（組）的解集I7、不等式的基本性質(zhì)n8、一兀一次不等式（組）的解法及應(yīng)用n命題預(yù)測：方程與方程組始終是中考命題的重點(diǎn)內(nèi)容，近幾年全國各地的中考試題中， 考查方程和方程組的分值平均占到25%，試卷涉及的主要考點(diǎn)有方程和方

2、程組的解法；一元二次方程根的判別式以及根與系數(shù)關(guān)系的簡單運(yùn)用；列方程和方程組解應(yīng)用題三大類問 題其中列一元一次方程求解商品利潤問題以選擇題為主；一元二次方程的解法以選擇題和解答題為主；根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系以選擇題和解答題為主，但難度一般不大；列二元一次方程組解應(yīng)用題以解答題為主，主要考查解工程類、 方案設(shè)計(jì)類及愉策類問題.結(jié)合2007 2008年的中考題不難看出，課改區(qū)對方程（組）的考題難度已經(jīng)有所降低，如根與 系數(shù)關(guān)系的運(yùn)用，課改區(qū)幾乎不再考查.不等式與不等式組的分值一般占到5 8%左右，其常見形式有一元一次不等式（組）的解法，以選擇題和填空題為主，考查不等式的解法；不等式（組）解集的

3、數(shù)軸表示及整數(shù) 解問題，以選擇題和填空題為主；列不等式（組）解決方案設(shè)計(jì)問題和決策類問題，以解答 題為主近年試題顯示，不等式（組）的考查熱點(diǎn)是其應(yīng)用，即列不等式（組）求解實(shí)際生 活中的常見問題.由此可見，在方程（組）與不等式（組）這一專題中，命題趨勢將會(huì)是弱化純知識(shí)性的 考題，而更加熱衷于數(shù)學(xué)知識(shí)在生活中的應(yīng)用問題.難點(diǎn)透視例1解方程:x _ 242x -1x 1 x -1【考點(diǎn)要求】本題考查了分式方程的解法.驗(yàn)根只需將【思路點(diǎn)撥】去分母將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程是解分式方程的基本方法, 結(jié)果代入最簡公分母即可.x24原方程變形為方程兩邊都乘以（x T）（x -1）,去分母并整x_1 x+1（x

4、+1）（x_1）理得x2x -2 =0 ,解這個(gè)方程得 捲=2,x2二T .經(jīng)檢驗(yàn)，x = 2是原方程的根，x = -1是原方程的增根原方程的根是x = 2 .【答案】x = 2 .【方法點(diǎn)撥】部分學(xué)生在解分式方程時(shí)，往往不能拿到全部分?jǐn)?shù)，其中很多人是因?yàn)橥洐z驗(yàn)突破方法：牢牢記住分式方程必須驗(yàn)根，檢驗(yàn)這一步不可缺少.,4x例2 J2x2 2-y =o,-xy 3=0.要根據(jù)方程組的特點(diǎn)選取適當(dāng)方法.4X2 _y2 =0,二 2X _xy 3 =0. 由方程可得2x y 2x-y =0 ,【考點(diǎn)要求】本題考查用消元法解二元二次方程組. 【思路點(diǎn)撥】解方程組的基本思路就是消元和降次， 2x y

5、=0,或2x y =0 它們與方程分別組成兩個(gè)方程組:2x + y = 0 x2 -xy+4 =02x - y = 0x2 - xy+4 = 0解方程組丿2：+y0可知，此方程組無解;x 一 xy + 4 = 0x2 = 2Y2 = -4解方程組；2：*0得；2x _ xy + 4 = 0x2 = 4所以原方程組的解是X! = 2x2 =4rX2J2二-2-4【答案】x1 =2x2 =4x2 = -22= -4【規(guī)律總結(jié)】少數(shù)學(xué)生未能掌握二元二次方程組的基本解題思路，不知如何處理.突破方法：將第一個(gè)方程通過因式分解，得到兩個(gè)一次方程，再分別與第二個(gè)方程組成兩個(gè)新的 方程組，求解.解題關(guān)鍵：解二

6、元二次方程組的基本解題思想是消元，即化二元為一元.常用的方法就是通過因式分解進(jìn)行降次，再重新組成新的方程組求解，所求得的結(jié)果即為原方程組的解.例3下列一元方程中，沒有實(shí)數(shù)根的是（）2A . x 2x -1 = 0B. x22.2x 2=0C. x22x 1 = 0D. - x2 x 2 = 0【考點(diǎn)要求】本題考查一元二次方程根的判別式.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)u二b2 -4ac,確定好選項(xiàng)方程中的各項(xiàng)的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)，代入根的 判別式進(jìn)行計(jì)算，如果所求結(jié)果非負(fù)，則有實(shí)數(shù)根；否則沒有實(shí)數(shù)根.C選項(xiàng)中L二b2 -4ac =（、2）2-4 1 1 - -2 v0，方程無實(shí)數(shù)根.【答案】選C.【錯(cuò)解分析】出現(xiàn)錯(cuò)

7、誤的學(xué)生主要是兩原因：一是根的判斷式未能記牢， 出現(xiàn)使用錯(cuò)誤,二是在確定各項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)時(shí)，弄錯(cuò)符號(hào)，導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤.突破方法：將一元二次方程化為一般式后，再確定系數(shù)及常數(shù)項(xiàng).解題關(guān)鍵：根據(jù)LI二b? _4ac可知，若二次項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)異號(hào)，則方程必有實(shí)數(shù)根， 從而縮小解題范圍.例4用換元法解分式方程 x2T二 一時(shí)，如果設(shè)申x ,那么原方程可化為關(guān)x +x于y的一元二次方程的一般形式是 .【考點(diǎn)要求】本題考查利用換元法將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程.【思路點(diǎn)撥】整體代換（換元法） 也是我們解方程常用的方法之一，它在解方程中起到消元、降次簡化運(yùn)算的作用.把y =x2 - x代入原方程得，y 1 =，即

8、y2 y -2 =0，故答案應(yīng)填寫y2 y -2 = 0 .y【答案】y2 y -2 = 0 .【方法點(diǎn)撥】整體換元要求原方程具備一定結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，如果不具備，必須設(shè)法通過變形 化出相同或者相關(guān)的形式再進(jìn)行換元.例5若不等式組丿2x3x-3的正整數(shù)解只有2,求a的整數(shù)值.?x a -6【考點(diǎn)要求】本題考查解不等式組及不等式組的解集等知識(shí)的綜合運(yùn)用.要求a的值，可先求出不等式組中的各不等式的解集，再根據(jù)不等式組的正整數(shù)解只 有2,列出關(guān)于a的不等式組，進(jìn)而求出 a的值.2x:3x-33x a 6x ： 3 ，解得 a 6 .xI 3又原不等式組只有正整數(shù)解2 .由右圖，應(yīng)有1 0則m的取值范圍是（）

9、2y+3x =m + 14m3B. m -C. m 1 D . - 0,解得m一一.或773者也可整體求值，把第式乘以4減去第（1）式直接得7y 143m 4 ,得2x 亠 y = 4 0，解得 m一.73【答案】選A.【方法點(diǎn)撥】本題一般做法是把 m看作是已知系數(shù)，用含 m的代數(shù)式表示x、y,解出 方程組的解，然后再把所求的 x、y的值入題目中的不等式，從而得到只含 m的不等式，求 出解集.或者也可以依據(jù)題目條件的特點(diǎn)，從整體考慮，直接進(jìn)行整理得到與不等式相關(guān)的代數(shù)式，進(jìn)行求解.例8根據(jù)對話的內(nèi)容，試求出餅干和牛奶的標(biāo)價(jià)各是多少元？小朋友，本來你用10元錢買一盒餅干 是夠的，但要再買一袋牛奶

10、就不夠了!一盒餅干的標(biāo)價(jià)可是整數(shù)元哦！今天是兒童節(jié)，我給你買的餅干打9折,兩樣?xùn)|西請拿好！還有找你的 8角錢.阿姨，我買一盒餅干和一 袋牛奶(遞上10元錢)【考點(diǎn)要求】本題考查方程在實(shí)際情境中的運(yùn)用，結(jié)合現(xiàn)實(shí)問題情景，需把方程和不等式有關(guān)內(nèi)容有機(jī)結(jié)合起來，求出整數(shù)解.【思路點(diǎn)撥】設(shè)餅干的標(biāo)價(jià)每盒 x元，牛奶的標(biāo)價(jià)為每袋 y元，x y10貝V 0.9x +y =10-0.8ix 10 x 8由得8v xv 10/ x是整數(shù) x=9將 x=9 代入，得 y=9.2 0.9 X 9=1.1【答案】餅干一盒標(biāo)價(jià)9元，一袋牛奶標(biāo)價(jià) 1.1元.【方法點(diǎn)撥】部分學(xué)生不習(xí)慣這種情境題，不能很好地從情景對話中找

11、出有用的信息 來突破方法：因?yàn)轭}目中的條件只是兩人對話，因此要緊緊圍繞兩人的對話進(jìn)行分析，綜合各數(shù)據(jù)列出不等式組求解.解題關(guān)鍵：情境題中的條件一般不會(huì)很多，但每一句話都可能給出重要信息，因此要仔細(xì)閱讀分析.例9某商場計(jì)劃撥款9萬元從廠家購買50臺(tái)電視機(jī)，已知該廠家生產(chǎn)三種不同型號(hào)的 電視機(jī)的出廠價(jià)分別為：甲種每臺(tái)1500元，乙種每臺(tái)2100元，丙種每臺(tái)2500元，商場銷售一臺(tái)甲種電視機(jī)可獲利150元，銷售乙種電視機(jī)每臺(tái)可獲利200元，銷售丙種電視機(jī)每臺(tái)可獲利250元.(1) 若同時(shí)購進(jìn)其中兩種不同型號(hào)電視機(jī)共50臺(tái)，用去9萬元，請你研究一下商場的進(jìn)貨方案；(2) 經(jīng)市場調(diào)查這三種型號(hào)的電視機(jī)是

12、最受歡迎的，且銷售量乙種是丙種的3倍商場要求成本不能超過計(jì)劃撥款數(shù)額，利潤不能少于8500元的前提，購進(jìn)這三種型號(hào)的電視機(jī)共50臺(tái)，請你設(shè)計(jì)這三種不同型號(hào)的電視機(jī)各進(jìn)多少臺(tái)？【考點(diǎn)要求】本題考查方程(組)在實(shí)際生活中的應(yīng)用.【思路點(diǎn)撥】在市場經(jīng)濟(jì)大環(huán)境背景下，用數(shù)學(xué)知識(shí)確定價(jià)格，預(yù)計(jì)利潤，是中考應(yīng)用性問題的常見題型.我們通過運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)能夠避免盲目的投資，創(chuàng)造最大的經(jīng)濟(jì).(1) ( I )設(shè)甲種電視機(jī)x臺(tái)，乙種電視機(jī)y臺(tái). x+y =50 X =25貝V L 1500x 2100y =90000，解得y =25(n)設(shè)甲種電視機(jī)x臺(tái)，丙種電視機(jī)z臺(tái). x-z=50 x=35則 L 1500x+

13、2500z 40000 ,解得 z=15（川）設(shè)乙種電視機(jī) y臺(tái)，丙種電視機(jī)z臺(tái) y 4z=50J y =87.5人則2100y -250090000 ,解得 z-37.5（舍去）（2）設(shè)甲種電視機(jī)（50_4z）臺(tái)，乙種電視機(jī)3z臺(tái)，丙種電視機(jī)z臺(tái). 1500（50 _4z）+2100x3z+2500z蘭90000由題意得 150（50 _4z） 200 3z 250z_8500解得：4 乞 z 乞5.357 二 z =4,5進(jìn)貨方案有：甲、乙、丙各為 34臺(tái)、12臺(tái)和4臺(tái)；甲、乙、丙各為 30臺(tái)、15臺(tái)和5臺(tái)；商場的利潤為 34 150 12 200 4 250 =8500 （元） 30 1

14、50 15 200 5 250 = 8750 （元）要是商場獲利最大，則進(jìn)貨方案為甲、乙、丙各為 30臺(tái)、15臺(tái)和5臺(tái)；【答案】（1）方案一：甲種電視機(jī) 25臺(tái)，乙種電視機(jī)25臺(tái)，方案二：甲種電視機(jī) 35 臺(tái)，乙種電視機(jī)15臺(tái)；（2）要是商場獲利最大，則進(jìn)貨方案為甲、乙、丙各為 30臺(tái)、15 臺(tái)和5臺(tái).【方法點(diǎn)撥】部分學(xué)生完成此題時(shí)，解題不能完整.突破方法：本題以現(xiàn)實(shí)問題為背景，以方案設(shè)計(jì)為主題，體現(xiàn)分類討論的數(shù)學(xué)思想例10某工廠現(xiàn)有甲種原料 360千克，乙種原料290千克，計(jì)劃利用這兩種原料生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，共50件已知生產(chǎn)一件 A種產(chǎn)品，需用甲種原料 9千克，乙種原料3千克； 生產(chǎn)一件B

15、種產(chǎn)品，需用甲種原料 4千克，乙種原料10千克.（1）據(jù)現(xiàn)有條件安排 A、B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)件數(shù)，有哪幾種方案，請你設(shè)計(jì)出來.（2）若甲種原料每千克 80元，乙種原料每千克120元，怎樣設(shè)計(jì)成本最低.【考點(diǎn)要求】本題考查運(yùn)用不等式知識(shí)解決實(shí)際生活和生產(chǎn)中的問題，不僅考查學(xué)生 對知識(shí)的掌握，靈活運(yùn)用知識(shí)的解題的能力，同時(shí)考查學(xué)生數(shù)學(xué)建模的能力.【思路點(diǎn)撥】（1）設(shè)生產(chǎn)A種產(chǎn)品x件，B種產(chǎn)品（50 -x）件按這樣生產(chǎn)需甲種的原料 pxWO-x)603x+10(50 x)蘭 290x蘭32即：30Ex蘭32 . x為整數(shù),x = 30,31,32,有三種生產(chǎn)方案.第一種方案：生產(chǎn)第二種方案：生產(chǎn)第三種

16、方案：生產(chǎn)A種產(chǎn)品30件,A種產(chǎn)品31件,A種產(chǎn)品32件,B種產(chǎn)品20件;B種產(chǎn)品19件;B種產(chǎn)品18件.x 30.（2）第一種方案的成本:80 (9 304 20) 120 (3 30 10 20) = 62800(元)第二種方案的成本：80 (9 314 19)120 (3 3110 19)=62360 (元).第三種方案的成本：80 (9 32 4 18) - 120 (3 30 10 18)=61920 (元).第三種方案成本最低.【答案】（1）第一種方案：生產(chǎn) A種產(chǎn)品30件，B種產(chǎn)品20件；第二種方案：生產(chǎn) A種產(chǎn)品31件，B種產(chǎn)品19件；第三種方案：生產(chǎn) A種產(chǎn)品32件，B種產(chǎn)品

17、18件.（2 ）第三種方案成本最低.【方法點(diǎn)撥】解決本題的關(guān)鍵在于找出生產(chǎn) A種產(chǎn)品和B種產(chǎn)品分別甲種原料和乙種原料的數(shù)量，再根據(jù)廠里現(xiàn)有甲乙兩種原料的數(shù)量列出不等式組，解不等式組得出結(jié)果可得三種生產(chǎn)方案再根據(jù)三種不同方案，求出最低成本.難點(diǎn)突破方法總結(jié)方程（組）及方程（組）的應(yīng)用問題是中考命題的重點(diǎn)，主要考查學(xué)生的應(yīng)用能力，題 型內(nèi)容貼近生活實(shí)際，考查學(xué)生的分析問題和解決問題的能力，在解題時(shí)應(yīng)注意以下問題：1. 正確理解和掌握方程與方程組的相關(guān)概念，性質(zhì)，結(jié)論和方法，這是解決有關(guān)方程與方程組問題的前提.2. 用化歸思想求解二元一次方程組，可化為一元一次方程和一元二次方程的分式方程.3. 熟練

18、掌握用換元法解方程及方程組.4. 關(guān)注社會(huì)，積累生活經(jīng)驗(yàn)，通過閱讀、觀察、比較、分析、歸納、綜合等方法解決與 生產(chǎn)、生活密切相關(guān)的社會(huì)熱點(diǎn)問題.拓展演練一、填空題1“某數(shù)與6的和的一半等于12 ”，設(shè)某數(shù)為 x,則可列方程 .2. 方程2x+ y = 5的所有正整數(shù)解為 .3. 當(dāng)x=時(shí)，代數(shù)式3x+ 2與6 5x的值相等.0丄x y =34. 方程組（y的解是.2x _3y = -4!x y = a!x = 25. 已知方程組的一組解是，則其另外一組解是.x y = by = 36. 3名同學(xué)參加乒乓球賽，每兩名同學(xué)之間賽一場，一共需要 場比賽，則5名同學(xué)一共需要 比賽.x 27 .不等式2

19、蘭1的解集是.3&當(dāng)x時(shí)，代數(shù)代2-3x的值是正數(shù).4x v3x +19.不等式組X、X -1的解集是 .12 一 310 .不等式3x10蘭0的正整數(shù)解是 .11. x2的最小值是a, x蘭6的最大值是b,則a+b =.12 .生產(chǎn)某種產(chǎn)品，原需 a小時(shí)，現(xiàn)在由于提高了工效，可以節(jié)約時(shí)間8%至 15%若現(xiàn)在所需要的時(shí)間為 b小時(shí)，則 b .二、選擇題2 213 .關(guān)于x的一元二次方程（aT）xx a T=0的一個(gè)根是0,則a的值為（）A. 1B. lC. 1或11D.214.2使分式X-5X-6的值等于零的x是（）x 1A.6B.-1或6C.-1D.-615.若兩個(gè)連續(xù)整數(shù)的積是56,則它們

20、的和是（）A.11B.15C.-15D. 15ax +（a 1）v = 616. 若方程組丿 n 的解x、y的值相等，則a的值為 （）3x+3y =14A. - 4B. 4 C . 2D. 117. 不解方程判斷下列方程中無實(shí)數(shù)根的是（）A.- x=2x-1B.4X+4x+5 =0; C. 、2x1 2 - X - . 3 = 0 D.（ x+2）（ x-3）=-5418. 若/是方程x2 2x -2007 =0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則2 3二 心的值 （）1000萬元，如果平A. 2007 B . 2005 C2007 D . 401019. 某超市一月份的營業(yè)額為200萬元，已知第一季度的總營業(yè)額

21、共均每月增長率為x,則由題意列方程應(yīng)為()2A.200(1 +x) =1000B.200+200 X 2x=10002C.200+200 X 3x=1000 D.2001+(1+x)+(1+ x) =100020. 一元一次不等式組2x-1 3x的解集是A. -2 v xv 3B . -3 v xv 2 C . xv -3 D . xv 221.如圖1，在數(shù)軸上所表示的是哪一個(gè)不等式的解集（）-3 -2 -101圖11 x 3A.x -1 B3 C x+1-1 D . -2x 42 222 .關(guān)于x的方程2a -3x =6的解是非負(fù)數(shù)，那么 a滿足的條件是()A. a3 B . a 3三、解答

22、題23 .已知關(guān)于x、y的方程組x+2y=1& _2y = m24已知方程組/x + y=5k+6的解為負(fù)數(shù)，求k的取值范圍.、x_2y = _1725. 某電廠規(guī)定該廠家屬區(qū)的每戶居民如果一個(gè)月的用電量不超過A度，那么這個(gè)月這戶只需交10元用電費(fèi)，如果超過 A度，則這個(gè)月除了仍要交 10元用電費(fèi)外，超過部 分還要按每度0.5元交費(fèi). 該廠某戶居民2月份用電90度，超過了規(guī)定的A度，則超過部分應(yīng)該交電費(fèi)多少 元（用A表示）？ 下表是這戶居民3月、4月的用電情況和交費(fèi)情況：月份用電量（度）交電費(fèi)總數(shù)（兀）3月80254月4510根據(jù)上表數(shù)據(jù)，求電廠規(guī)定 A度為多少?26. 藝商場按標(biāo)價(jià)銷售某種工

23、藝品時(shí)，每件可獲利45元；按標(biāo)價(jià)的八五折銷售該工藝品8件與將標(biāo)價(jià)降低35元銷售該工藝品12件所獲利潤相等.（1）該工藝品每件的進(jìn)價(jià)、標(biāo)價(jià)分別是多少元？（2）若每件工藝品按（1）中求得的進(jìn)價(jià)進(jìn)貨，標(biāo)價(jià)售出，工藝商場每天可售出該工藝品100件.若每件工藝品降價(jià)1元，則每天可多售出該工藝品4件.問每件工藝品降價(jià)多少元出售，每天獲得的利潤最大？獲得的最大利潤是多少元？27. 近幾年我省高速公路的建設(shè)有了較大的發(fā)展，有力地促進(jìn)了我省的經(jīng)濟(jì)建設(shè)，正 在修建的某段高速公路要招標(biāo)，現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)，若甲、乙兩隊(duì)合作24天可以完成,需費(fèi)用120萬元，若甲單獨(dú)做20天后，剩下的工程由乙做，還需 40天才能完成

24、，這樣需費(fèi) 用110萬元.問：（1）甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程，各需要多少天？ （2 ）甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程，各需要費(fèi)用多少萬元？習(xí)題答案專題二方程與不等式一、填空題11. （x 6） =122X =1X = 22. ,（提示：將原方程化為 y=5-2x，x從1取起，求出相應(yīng)的y的值,y=2 y=1要求均為正）13. x（提示：列方程3x 2 = 6-5x）2_|_x =14. （提示：用代入消元或加減消元法）2_|Lx = 3-Cx = 25. （將代入原方程然后所得解方程即可）y=6（y=36. 3 , 10 （提示：設(shè)x名學(xué)生參加比賽，每人需參賽（x 1）場，因?yàn)榧赘冶荣悤r(shí),1也是乙跟甲比，所以總共比賽場次為一x（x-1）2XW 5 （利用不等式的基本性質(zhì)）22xv（提示：由題意，2 3x0，解得xv332 xv 1 （提示：求兩不等式解集的公共部分）107.8.9.10.1 , 2, 3 （提示：先求出不等式的解集為XW，再取其中的正整數(shù)）311. 4 （提示：X2 最小值 a=2, xw 6,最大值 b=6, a + b=2+ （ 6）= 4） 12.85%av bv 92%a （提示：由題意可列不等式（1 15% av bv（ 1 8% a）二、選擇題13.B （提示：把x=0代入原方程，解得