初二數(shù)學(xué) 直角三角形練習(xí)題

1、一選擇題（共 5 小題）1已知下列語句：（1） 有兩個銳角相等的直角三角形全等；（2） 一條斜邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等；（3） 三個角對應(yīng)相等的兩個三角形全等；（4） 兩個直角三角形全等其中正確語句的個數(shù)為（ ）a0 b1 c2 d32對于條件：兩條直角邊對應(yīng)相等；斜邊和一銳角對應(yīng)相等；斜邊和一 直角邊對應(yīng)相等；直角邊和一銳角對應(yīng)相等；以上能斷定兩直角三角形全等的 有（ ）a1 個 b2 個 c3 個 d4 個3如圖，acb=90，ac=bc，ae ce 于 e，bdce 于 d，ae=5cm，bd=2cm，則 de 的長是（ ）a8 b5 c3 d24如圖 abc 中，ab=ac=10

2、，ad 平分bac 交 bc 于點 d，點 e 為 ac 的中點， 連接 de，則 de 的長為（ ）a10 b6 c8 d55如圖，在abc 中，cdab 于點 d，beac 于點 e，f 為 bc 的中點，de=5 ， bc=8，則def 的周長是（ ）第1頁（共35頁）a21 b18 c13 d15二填空題（共 10 小題）6如圖，點a 和動點 p 在直線 l 上，點 p 關(guān)于點 a 的對稱點為 q，以 aq 為邊作 rtabq，使baq=90，aq：ab=3：4直線 l 上有一點 c 在點 p 右側(cè)，pc=4cm， 過點 c 作射線 cdl，點 f 為射線 cd 上的一個動點，連結(jié) a

3、f當(dāng)afc 與abq 全等時，aq= cm7如圖，ca ab，垂足為點 a，ab=8，ac=4，射線 bmab，垂足為點 b，一 動點 e 從 a 點出發(fā)以 2/秒的速度沿射線 an 運動，點 d 為射線 bm 上一動點，隨著 e 點運動而運動，且始終保持 ed=cb，當(dāng)點 e 運動 全等秒時，deb 與bca8如圖，acb=90，ac=bc，bece 于 e，adce 于 d，下面四個結(jié)論： abe=bad；cebadc；ab=ce；adbe=de正確的是 （將你認(rèn)為正確的答案序號都寫上）第2頁（共35頁）9如圖，在abc 中，c=90，b=30，ab 的垂直平分線 ed 交 ab 于點 e

4、， 交 bc 于點 d，若 cd=3 ，則 bd 的長為 10如圖，在abc 中，acb=90，b=30，bc=6，cd 為 ab 邊上的高，點 p 為射線 cd 上一動點，當(dāng)點 p 運動到使abp 為等腰三角形時，bp 的長度為 11如圖，在直角abc 中，已知acb=90，ab 邊的垂直平分線交 ab 于點 e，交 bc 于點 d，且adc=30 ，bd=18cm，則 ac 的長是cm12如圖，在abc 中，ad 為cab 平分線，bead 于 e，efab 于 f，dbe=c=15，af=2，則 bf=13如圖，四邊形 abcd 中，a=c=90，abc=60，ad=4 ，cd=10，則

5、 bd 的長等于 第3頁（共35頁）14如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形abcd 定點 a、b 在 y 軸、x 軸上，當(dāng) b 在 x 軸上運動時，a 隨之在 y 軸運動，矩形 abcd 的形狀保持不變，其中 ab=2， bc=1，運動過程中，點 d 到點 o 的最大距離為 15如圖，在abc 中，ab=ac=7，bc=5，afbc 于 f，beac 于 e，d 是 ab 的中點，則def 的周長是 三解答題（共 11 小題）16如圖，在abc 中，ab=ac，de 是過點 a 的直線，bdde 于 d，cede 于 點 e；（1）若 b、c 在 de 的同側(cè)（如圖所示）且 ad=ce 求證：

6、abac；（2）若 b、c 在 de 的兩側(cè)（如圖所示），其他條件不變，ab 與 ac 仍垂直嗎？ 若是請給出證明；若不是，請說明理由第4頁（共35頁）17如圖 1，oa=2，ob=4，以 a 點為頂點、ab 為腰在第三象限作等腰 rtabc （1）求 c 點的坐標(biāo)；（2）如圖 2，p 為 y 軸負(fù)半軸上一個動點，當(dāng) p 點向 y 軸負(fù)半軸向下運動時，以 p 為頂點，pa 為腰作等腰 rtapd ，過 d 作 dex 軸于 e 點，求 opde 的值18如圖，已知在abc 中，ab=ac，bac=90，分別過 b、c 向過 a 的直線作 垂線，垂足分別為 e、f（1） 如圖過 a 的直線與斜邊

7、 bc 不相交時，求證：ef=be+cf；（2） 如圖過 a 的直線與斜邊 bc 相交時，其他條件不變，若 be=10 ，cf=3，求： fe 長19如圖，abc 中，a=30 ，c=90，be 平分abc，ac=9cm，求 ce 的長第5頁（共35頁）20如圖所示，ab=ac，a=120，點 e 在 ab 邊上，ef 垂直平分 ab ，交 bc 于 f，egbc，垂足為 g ，若 gf=4，求 cf 的長21已知man，ac 平分man（1）在圖 1 中，若man=120，abc=adc=90，求證：ab+ad=ac； （2）在圖 2 中，若man=120 ，abc+adc=180，則（1）

8、中的結(jié)論是否仍 然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由22如圖，在abc 中，b=90，bc=12 厘米，ab 的值是等式 x31=215 中的 x 的值點 p 從點 a 開始沿 ab 邊向 b 點以 1.5 厘米秒的速度移動，點 q 從點 b 開始沿 bc 邊向 c 點以 2 厘米秒的速度移動1 求 ab 的長度厘米2 如果 p、q 分別從 a、b 兩點同時出發(fā)，問幾秒鐘后，pbq 是等腰三角形并 求出此時這個三角形的面積23已知：如圖，bac=bdc=90 ，點 e 在 bc 上，點 f 在 ad 上，be=ec，af=fd 求 證：efad 第6頁（共35頁）24如圖，abc

9、中，cd、be 分別是 ab、ac 邊上的高，m、n 分別是線段 bc、 de 的中點（1） 求證：mn de ；（2） 連結(jié) dm ，me ，猜想a 與dme 之間的關(guān)系，并寫出推理過程； （3）若將銳角abc 變?yōu)殁g角abc，如圖，上述（1）（2）中的結(jié)論是否都成 立？若結(jié)論成立，直接回答，不需證明；若結(jié)論不成立，說明理由25如圖，abc 中，cfab，垂足為 f，m 為 bc 的中點，e 為 ac 上一點，且 me=mf （1） 求證：beac；（2） 若a=50，求fme 的度數(shù)26如圖，在 rtabc 中，abc=90，點 d 是 ac 的中點，作adb 的角平分 線 de 交 ab

10、 于點 e，（1） 求證：de bc；（2） 若 ae=3 ，ad=5，點 p 為線段 bc 上的一動點，當(dāng) bp 為何值時，dep 為等 腰三角形請求出所有 bp 的值第7頁（共35頁）第8頁（共35頁）2017 年 02 月 16 日精銳教育 4 的初中數(shù)學(xué)組卷參考答案與試題解析一選擇題（共 5 小題）1（2016 秋東寶區(qū)校級期中）已知下列語句：（1） 有兩個銳角相等的直角三角形全等；（2） 一條斜邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等；（3） 三個角對應(yīng)相等的兩個三角形全等；（4） 兩個直角三角形全等其中正確語句的個數(shù)為（ ）a0 b1 c2 d3【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理 hl、sas

11、、aas、asa 分別進(jìn)行分析即可 【解答】解：（1）有兩個銳角相等的直角三角形全等，說法錯誤；（2） 一條斜邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等，說法錯誤；（3） 三個角對應(yīng)相等的兩個三角形全等，說法錯誤；（4） 兩個直角三角形全等，說法錯誤故選：a【點評】此題主要考查了直角三角形的判定，關(guān)鍵是掌握三角形全等的判定定理2（2015 秋武漢校級期中）對于條件：兩條直角邊對應(yīng)相等；斜邊和一銳 角對應(yīng)相等；斜邊和一直角邊對應(yīng)相等；直角邊和一銳角對應(yīng)相等；以上能 斷定兩直角三角形全等的有（ ）a1 個 b2 個 c3 個 d4 個【分析】根據(jù)直角三角形的判定定理進(jìn)行選擇即可【解答】解：兩條直角邊對應(yīng)相等，

12、根據(jù)“sas”，正確；2 斜邊和一銳角對應(yīng)相等，根據(jù)“aas”，正確；3 斜邊和一直角邊對應(yīng)相等，根據(jù)“hl”，正確；4 直角邊和一銳角對應(yīng)相等，根據(jù)“asa”或“aas”，正確；第9頁（共35頁）故選 d【點評】本題考查了直角三角形的判定定理，除 hl 外，一般三角形的全等有四 種方法，做題時要結(jié)合已知條件與全等的判定方法逐一驗證3（2014 春棲霞市期末）如圖，acb=90，ac=bc，aece 于 e，bdce 于d，ae=5cm，bd=2cm，則 de 的長是（ ）a8 b5 c3 d2【分析】根據(jù)已知條件，觀察圖形得cae +acd=acd+bcd，cae= bcd， 然后證aecc

13、db 后求解【解答】解：acb=90，ac=bc，aece 于 e，bdce 于 d，cae +acd=acd+bcd，cae= bcd，又aec=cdb=90，ac=bc，aeccdbce=bd=2，cd=ae=5，ed=cd ce=52=3（cm）故選 c【點評】本題考查了直角三角形全等的判定方法；題目利用全等三角形的判定和 性質(zhì)求解，發(fā)現(xiàn)并利用cae +acd=acd+bcd，cae= bcd，是解題的關(guān) 鍵4（2016 春羅湖區(qū)期末）如圖，abc 中，ab=ac=10，ad 平分bac 交 bc 于 點 d，點 e 為 ac 的中點，連接 de ，則 de 的長為（ ）第10頁（共35

14、頁）a10 b6 c8 d5【分析】由等腰三角形的性質(zhì)證得 bd=dc ，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì) 即可求得結(jié)論【解答】解：ab=ac=10，ad 平分bac，bd=dc，e 為 ac 的中點，de= ab= 10=5，故選 d【點評】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的中位線，熟練掌握三角形 的中位線是解決問題的關(guān)鍵5（2016 秋蘇州期中）如圖，在abc 中，cdab 于點 d，beac 于點 e，f 為 bc 的中點，de=5 ，bc=8，則def 的周長是（ ）a21 b18 c13 d15【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出 df、ef ，再根據(jù)三 角形的

15、周長的定義解答【解答】解：cdab，f 為 bc 的中點，df= bc= 8=4 ，beac，f 為 bc 的中點，ef= bc= 8=4 ，def 的周長=de +ef+df=5 +4+4=13故選 c【點評】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題， 熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵第11頁（共35頁）二填空題（共 10 小題）6（2016 秋瑞安市校級期中）如圖，點 a 和動點 p 在直線 l 上，點 p 關(guān)于點 a 的對稱點為 q，以 aq 為邊作 rtabq，使baq=90，aq：ab=3：4直線 l 上 有一點 c 在點 p 右側(cè)，pc=4cm，過點 c 作射線

16、 cdl，點 f 為射線 cd 上的一個 動點，連結(jié) af當(dāng)afc 與abq 全等時，aq= cm【分析】根據(jù)直角三角形的全等的判定解答即可 【解答】解：要使afc 與abq 全等，則應(yīng)滿足 ，aq：ab=3：4，aq=ap，pc=4cm，aq=故答案為：【點評】此題考查直角三角形的全等問題，關(guān)鍵是根據(jù) sas 證明三角形的全等7（2015 秋沛縣校級月考）如圖，ca ab ，垂足為點 a，ab=8，ac=4，射線 bmab，垂足為點 b，一動點 e 從 a 點出發(fā)以 2/秒的速度沿射線 an 運動，點 d為射線 bm 上一動點，隨著 e 點運動而運動，且始終保持 ed=cb，當(dāng)點 e 運動0

17、，2，6，8秒時，deb 與bca 全等【分析】此題要分兩種情況：當(dāng) e 在線段 ab 上時，當(dāng) e 在 bn 上，再分別 分成兩種情況 ac=be，ac=be 進(jìn)行計算即可第12頁（共35頁）【解答】解：當(dāng) e 在線段 ab 上，ac=be 時，acbbed，ac=4，be=4，ae=8 4=4，點 e 的運動時間為 42=2 （秒）；當(dāng) e 在 bn 上，ac=be 時，ac=4，be=4，ae=8 +4=12，點 e 的運動時間為 12 2=6（秒）；當(dāng) e 在線段 ab 上，ab=eb 時，acbbde，這時 e 在 a 點未動，因此時間為 0 秒；當(dāng) e 在 bn 上，ab=eb 時

18、，acbbde，ae=8 +8=16，點 e 的運動時間為 162=8 （秒），故答案為：0，2，6，8【點評】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有： sss、sas、asa、aas、hl注意：aaa、ssa 不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊 的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角8（2009 秋大港區(qū)期末）如圖，acb=90，ac=bc，bece 于 e，ad ce 于 d，下面四個結(jié)論：abe=bad；cebadc；ab=ce；adbe=de正確的是 （將你認(rèn)為正確的答案序號都寫上）第13頁（共35頁）【分析】首先由aef 與adf

19、 中分別有兩個直角及對頂角得到是正確的，利 用等腰三角形的性質(zhì)及其它條件，證明 ceb adc ，則其他結(jié)論易求，而無 法證明是正確的【解答】解：bef=adf=90，bfe=afdabe=bad正確1+2=902+cad=90 1=cad又e=adc=90，ac=bccebadc ce=ad，be=cd adbe=de 而不能證明， 故答案為、 故填、正確正確【點評】本題考查了直角三角形全等的判定及等腰三角形的判定與性質(zhì)；要充分 利用全等三角形的性質(zhì)來找到結(jié)論，利用相等線段的等量代換是正確解答本題的 關(guān)鍵；9（2016黔南州）如圖，在abc 中，c=90 ，b=30，ab 的垂直平分線 ed

20、交 ab 于點 e，交 bc 于點 d，若 cd=3 ，則 bd 的長為6第14頁（共35頁）【分析】 根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端距離相等可得 ad=bd，可得 dae=30，易得adc=60，cad=30 ，則 ad 為bac 的角平分線，由角平分 線的性質(zhì)得 de=cd=3 ，再根據(jù)直角三角形 30角所對的直角邊等于斜邊的一半可 得 bd=2de ，得結(jié)果【解答】解：de 是 ab 的垂直平分線，ad=bd ，dae=b=30，adc=60 ，cad=30 ，ad 為bac 的角平分線，c=90，de ab，de=cd=3 ，b=30，bd=2de=6 ，故答案為：6【點評】本題主

21、要考查了垂直平分線的性質(zhì)，角平分線上的點到角的兩邊距離相 等的性質(zhì)，直角三角形 30 角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，熟記各性質(zhì) 是解題的關(guān)鍵10（2016 貴陽模擬）如圖，在abc 中，acb=90，b=30 ，bc=6，cd 為 ab 邊上的高，點 p 為射線 cd 上一動點，當(dāng)點 p 運動到使abp 為等腰三角形時，bp 的長度為4或 6第15頁（共35頁）【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到acd=abc=30 ，根據(jù)含 30的角的直角三角形的性質(zhì)得到 ad= ac=，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論【解答】解：acb=90，cdab， adab，acd=abc=30 ，ac= bc=

22、2ad= ac=當(dāng) ap=ab=4pd=，時，=3，bd=bc=3，pb=當(dāng) pb=ab=4=6，綜上所述：pb=4或 6故答案為：4或 6【點評】本題考查了含 30 的角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等腰三角形的性 質(zhì)，熟練掌握含 30 的角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵11（2016 秋羅莊區(qū)期末）如圖，在直角abc 中，已知acb=90，ab 邊的垂直平分線交 ab 于點 e，交 bc 于點 d，且adc=30 ，bd=18cm，則 ac 的長是第16頁（共35頁）9cm【分析】利用垂直平分線的性質(zhì)可得 ad=bd ，根據(jù)含 30 度角的直角三角形的性 質(zhì)：在直角三角形中，30 角所對的直

23、角邊等于斜邊的一半可得 ac 的長 【解答】解：ab 邊的垂直平分線交 ab 于點 e，bd=18cm，ad=bd=18cm，在直角abc 中，已知acb=90，adc=30，ac= ad=9cm 故答案為：9【點評】本題主要考查了垂直平分線的性質(zhì)和含 30 直角三角形的性質(zhì)，綜合運 用各性質(zhì)定理是解答此題的關(guān)鍵12（2016 秋江陰市期中）如圖，在abc 中，ad 為cab 平分線，bead 于e，efab 于 f，dbe= c=15，af=2，則 bf= 6【分析】先由垂直的定義及三角形內(nèi)角和定理得出 bda=75，根據(jù)三角形外角 的性質(zhì)得出 dac=60，再由角平分線定義求得 bad=6

24、0，則fea=30 ，根據(jù)在直角三角形中，30角所對的直角邊等于斜邊的一半，得到 ef=2 fbe=30，進(jìn)而得出 bf= ef=6 【解答】解：dbe=15，bed=90，bda=75，bda=dac+c，而c=15，dac=60，ad 為cab 平分線，第17頁（共35頁），再求出bad=dac=60， efab 于 f， fea=30，af=2，ef=2，feb=60，fbe=30，bf= ef=6 故答案為 6【點評】本題考查了垂直的定義，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，角平 分線定義，直角三角形的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度適中13（2016 春紹興校級期中）如圖，四邊形 abcd 中

25、，a=c=90，abc=60，ad=4 ，cd=10，則 bd 的長等于4【分析】延長 ba、cd 交于 e，求出e，求出 de 、ce 長，在 rtcbe 中，求出 bc，在 rtcbd 中，根據(jù)勾股定理求出 bd 即可【解答】解：延長 ba、cd 交于 e， c=90，abc=60， e=18090 60=30，第18頁（共35頁）de=2ad=8 ，ce=10+8=18，tanabc=，tan60=，bc=6在 rtbcd 中，由勾股定理得：bd= 故答案為：4= =4【點評】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，含 30 度角的直角三角形，勾股定理 的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運用定理進(jìn)行計算的能力，

26、題目具有一定的代表性，難度 適中14（2016鄭州校級模擬）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形 abcd 定點 a、 b 在 y 軸、x 軸上，當(dāng) b 在 x 軸上運動時，a 隨之在 y 軸運動，矩形 abcd 的形狀保持不變，其中 ab=2，bc=1，運動過程中，點 d 到點 o 的最大距離為 +1【分析】取 ab 的中點 e，連接 od、oe、de，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等 于斜邊的一半可得 oe= ab，利用勾股定理列式求出 de ，然后根據(jù)三角形任意 兩邊之和大于第三邊可得 od 過點 e 時最大【解答】解：如圖，取 ab 的中點 e，連接 od、oe、de ，mon=90，ab=

27、2，第19頁（共35頁）oe=ae= ab=1，bc=1，四邊形 abcd 是矩形， ad=bc=1，de= = =，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，odoe+de ，當(dāng) od 過點 e 是最大，最大值為+1故答案為： +1【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性 質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，勾股定理，確定出 od 過 ab 的中點時值最大是解題的 關(guān)鍵15（2016 秋江陰市期中）如圖，在abc 中，ab=ac=7，bc=5，afbc 于 f， beac 于 e，d 是 ab 的中點，則def 的周長是 【分析】 根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得de=df= ab

28、，ef= bc，然后代入數(shù)據(jù)計算即可得解【解答】解：ab=ac=7，bc=5，afbc 于 f，beac 于 e，d 是 ab 的中點， bce 是直角三角形，ef 是 rtbce 的中線，ef=bf=fc= bc= ，又點 d 是 ab 的中點，df 是 rtafb 的中線，也是 rtaeb 的中線，de=df= ac= ，三角形 def 的周長=de+df+ef= + + =，第20頁（共35頁）故答案為 【點評】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等腰三角 形三線合一的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵三解答題（共 11 小題）16（2016 秋臨沂期末）如圖，在abc 中，

29、ab=ac，de 是過點 a 的直線，bd de 于 d，cede 于點 e；（1）若 b、c 在 de 的同側(cè)（如圖所示）且 ad=ce 求證：abac；（2）若 b、c 在 de 的兩側(cè)（如圖所示），其他條件不變，ab 與 ac 仍垂直嗎？ 若是請給出證明；若不是，請說明理由【分析】（1）由已知條件，證明 abdace，再利用角與角之間的關(guān)系求證 bad+cae=90，即可證明 abac；（2）同（1），先證 abdace，再利用角與角之間的關(guān)系求證bad+cae=90 ， 即可證明 abac【解答】（1）證明：bdde，cede，adb=aec=90，在 rtabd 和 rtace 中，

30、 ，rtabdrtcae 第21頁（共35頁）dab=eca，dba=ace dab+dba=90，eac+ace=90， bad+cae=90 bac=180（bad+cae ）=90 abac（2）abac理由如下：同（1）一樣可證得 rtabdrtace dab=eca，dba=eac， cae +eca=90，cae +bad=90，即bac=90， abac【點評】三角形全等的判定是中考的熱點，一般以考查三角形全等的方法為主， 借助全等三角形的性質(zhì)得到相等的角，然后證明垂直是經(jīng)常使用的方法，注意掌 握、應(yīng)用17（2009 秋澄海區(qū)校級期中）如圖 1，oa=2，ob=4，以 a 點為頂

31、點、ab 為腰 在第三象限作等腰 rtabc（1） 求 c 點的坐標(biāo)；（2） 如圖 2，p 為 y 軸負(fù)半軸上一個動點，當(dāng) p 點向 y 軸負(fù)半軸向下運動時，以 p 為頂點，pa 為腰作等腰 rtapd ，過 d 作 dex 軸于 e 點，求 opde 的值第22頁（共35頁）【分析】如圖 1，過 c 作 cmx 軸于 m 點，則可以求出macoba，可 得 cm=oa=2，ma=ob=4，故點 c 的坐標(biāo)為（6，2）如圖 2，過 d 作 dqop 于 q 點，則 de=oq利用三角形全等的判定定理可得aoppqd（aas）進(jìn)一步可得 pq=oa=2，即 opde=2 【解答】解：（1）如圖

32、1，過 c 作 cmx 軸于 m 點，mac+oab=90，oab+oba=90，則mac=oba，在mac 和oba 中macoba（aas），cm=oa=2，ma=ob=4，om=oa+am=2+4=6 ，點 c 的坐標(biāo)為（6，2）（2）如圖 2，過 d 作 dqop 于 q 點，則 de=oq opde=op oq=pq，apo+qpd=90 ，apo+oap=90，qpd=oap，在aop 和pqd 中，第23頁（共35頁）aoppqd（aas） pq=oa=2即 opde=2 【點評】本題重點考查了三角形全等的判定定理，普通兩個三角形全等共有四個 定理，即 aas、asa、sas、s

33、ss，直角三角形可用 hl 定理，關(guān)鍵還要巧妙作出輔 助線，再結(jié)合坐標(biāo)軸才能解出，本題難度較大18（2008 秋上饒期末）如圖，已知在abc 中，ab=ac，bac=90 ，分別過 b、c 向過 a 的直線作垂線，垂足分別為 e、f（1） 如圖過 a 的直線與斜邊 bc 不相交時，求證：ef=be+cf；（2） 如圖過 a 的直線與斜邊 bc 相交時，其他條件不變，若 be=10 ，cf=3，求： fe 長【分析】（1 ）此題根據(jù)已知條件容易證明 bea afc ，然后利用對應(yīng)邊相等 就可以證明題目的結(jié)論；（2）根據(jù)（1）知道beaafc 仍然成立，再根據(jù)對應(yīng)邊相等就可以求出 ef 了【解答】

34、（1）證明：beea，cfaf，bac=bea=cfe=90 ，eab+caf=90 ，eba+eab=90，第24頁（共35頁）caf= eba，在abe 和afc 中，bea=afc=90，eba=caf ，ab=ac，beaafcea=fc，be=afef=eb+cf（2）解：beea，cfaf，bac=bea=cfe=90 ，eab+caf=90 ，abe+eab=90，caf= abe，在abe 和afc 中，bea=afc=90，eba=caf ，ab=ac，beaafcea=fc=3，be=af=10ef=afcf=103=7【點評】此題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，利用它們

35、解決問題，經(jīng)常用 全等來證線段和的問題19（2012 秋巫山縣期末）如圖 abc 中，a=30，c=90，be 平分abc， ac=9cm ，求 ce 的長【分析】在三角形 abc 中，由 a 和 c 的度數(shù)，利用三角形的內(nèi)角和定理求出 abc 的度數(shù)，再由 be 平分abc，可得出eba=a=cbe=30，利用等角對等 邊得到 be=ae，設(shè) ce=x，由 acce 及 ac 的長表示出 ae，可表示出 be，在三角 形 bce 中，由=cbe=30 ，利用直角三角形中，30角所對的直角邊等于斜邊的 一半，可得出 ce 為 be 的一半，列出關(guān)于 x 的方程，求出方程的解得到 x 的值，第2

36、5頁（共35頁）即為 ce 的長【解答】解：abc 中，a=30，c=90，abc=60，又 be 平分abc，cbe=abe= abc=30 ，abe=a=30 ，eb=ea，又 ac=9cm，設(shè) ec=xcm，則 ae=be=acce=（9x）cm，在 rtbce 中，cbe=30 ，ce= be，即 x= （9x），解得：x=3，則 ce=3【點評】此題考查了含 30 角直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，以及角平 分線的性質(zhì)，利用了方程的思想，熟練掌握性質(zhì)及判定是解本題的關(guān)鍵20（2010 秋本溪期中）如圖所示，ab=ac，a=120，點 e 在 ab 邊上，ef 垂 直平分 ab，交

37、 bc 于 f ，egbc，垂足為 g，若 gf=4，求 cf 的長【分析】連接 af，由 ab=ac，且bac=120，利用等邊對等角及三角形的內(nèi)角 和定理求出b 與c 的度數(shù)為 30 ，再由 ef 垂直于 ab，eg 垂直于 bc，得到兩 對角互余，利用同角的余角相等得到gef 的度數(shù)為 30 ，在直角三角形 efg 中， 利用 30所對的直角邊等于斜邊的一半，由 gf 的長求出 ef 的長，在直角三角形 efb 中，再利用 30 所對的直角邊等于斜邊的一半，由 ef 的長求出 bf 的長，即 為 af 的長，由bacbaf 求出fac 為直角，利用 30 所對的直角邊等于斜 邊的一半，由

38、 af 的長即可求出 fc 的長【解答】解：連接 afab=ac，bac=120，b=c=30，第26頁（共35頁）efab，egbf，beg+gef=90 ，又b+beg=90， gef=b=30，gf=4，在 rtgef 中，ef=2gf=8，在 rtbef 中，bf=2ef=16，ef 垂直平分 ab，af=bf=16 ， baf=b=30，fac=12030=90，又c=30，fc=2af=32【點評】此題考查了含 30 直角三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線定理，以及等腰 三角形的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵21（2009 秋崇明縣期末）已知man ，ac 平分man （1）在圖

39、 1 中，若man=120，abc=adc=90，求證：ab+ad=ac； （2）在圖 2 中，若man=120 ，abc+adc=180，則（1）中的結(jié)論是否仍 然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由【分析】（1）根據(jù)含 30角的直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明；（2）作 ceam、cfan 于 e、f根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得 ce=cf ，根據(jù)等角 的補(bǔ)角相等，得cde=abc，再根據(jù) aas 得到cdecbf，則 de=bf 再由 man=120，ac 平分man ，得到eca=fca=30 ，從而根據(jù) 30所對的直角 邊等于斜邊的一半，得到 ae= ac，af= ac，等量代換后即可證

40、明 ad+ab=ac第27頁（共35頁）仍成立【解答】（1）證明：man=120，ac 平分man ， cad= cab=60又abc=adc=90，ad= ac，ab= ac，ab+ad=ac（2）解：結(jié)論仍成立理由如下：作 ceam、cfan 于 e、f則ced= cfb=90， ac 平分man ，ce=cfabc+adc=180 ，adc+cde=180cde=abc，在cde 和cbf 中，cdecbf（aas），de=bfman=120，ac 平分man ，mac=nac=60，eca=fca=30 ，在 rtace 與 rtacf 中，則有 ae= ac，af= ac，則 ad+

41、ab=ad+af+bf=ad+af+de=ae+af= ac+ ac=ac ad+ab=ac【點評】此題綜合考查了角平分線的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定及含 30角 的直角三角形的知識；作出輔助線是正確解答本題的關(guān)鍵注意：在探索（ 2）第28頁（共35頁）pbq的結(jié)論的時候，能夠運用（1）的結(jié)論22（2009 秋荊州區(qū)校級期中）如圖，在abc 中，b=90，bc=12 厘米，ab的值是等式 x31=215 中的 x 的值點 p 從點 a 開始沿 ab 邊向 b 點以 1.5 厘米秒的速度移動，點 q 從點 b 開始沿 bc 邊向 c 點以 2 厘米秒的速度移動 求 ab 的長度厘米如果 p、q

42、 分別從 a、b 兩點同時出發(fā)，問幾秒鐘后，pbq 是等腰三角形并 求出此時這個三角形的面積【分析】先計算 x31=215，易求 x=6，即 ab=6，再設(shè)經(jīng)過 x 秒后，pbq 是等腰三角形，那么有 61.5x=2x，易得 x=，再根據(jù)三角形面積公式易求其面積【解答】解：（1）x31=215，x3=216 ，x=6，故 ab=6cm；（2）設(shè)經(jīng)過 x 秒后，pbq 是等腰三角形，那么 bp=bq，即 61.5x=2x ，解得 x=，s= bp2= （）2=答：經(jīng)過秒鐘后，pbq 是等腰三角形，此時這個三角形的面積是第29頁（共35頁）【點評】本題考查了立方根的計算、三角形的面積計算、等腰三角

43、形的性質(zhì)解 題的關(guān)鍵是先畫圖，并求出 ab23（2016 秋青龍縣期末）已知：如圖，bac=bdc=90，點 e 在 bc 上，點 f 在 ad 上，be=ec，af=fd求證：efad 【分析】連接 ae，de，由直角三角形斜邊的中線是斜邊的一半易得 ae=de=，由全等三角形的判定定理可得 aef def，由全等三角形的性質(zhì)定理可得 afe=dfe=90，即得出結(jié)論【解答】解：連接 ae，de ，bac=bdc=90，be=ec，ae=，de=，ae=de ，在aef 與def 中， ，aefdef （sss）， afe=dfe=90， 即 efad 第30頁（共35頁）【點評】本題主要考

44、查了直角三角形斜邊上的中線和全等三角形的判定及性質(zhì)， 作出適當(dāng)?shù)妮o助線是解答此題的關(guān)鍵24（2016 春廣饒縣期末）如圖，abc 中，cd、be 分別是 ab、ac 邊上的高， m、n 分別是線段 bc、de 的中點（1） 求證：mn de ；（2） 連結(jié) dm ，me ，猜想a 與dme 之間的關(guān)系，并寫出推理過程； （3）若將銳角abc 變?yōu)殁g角abc，如圖，上述（1）（2）中的結(jié)論是否都成 立？若結(jié)論成立，直接回答，不需證明；若結(jié)論不成立，說明理由【分析】（1）連接 dm 、me ，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得 dm= bc，me= bc，從而得到 dm=me，再根據(jù)等腰

45、三角形三線合一的性質(zhì)證 明；（2） 根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得 abc+acb=180 a，再根據(jù)等腰三角 形兩底角相等表示出bmd +cme，然后根據(jù)平角等于 180表示出dme ，整 理即可得解；（3） 根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得 abc+acb=180 a，再根據(jù)等腰三角 形兩底角相等和三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和表示出 bme+cme，然后根據(jù)平角等于 180表示出dme ，整理即可得解【解答】解：（1）如圖，連接 dm ，me，cd、be 分別是 ab、ac 邊上的高，m 是 bc 的中點，第31頁（共35頁）dm= bc，me= bc，dm=me又n 為 de 中點，mn de；（2