初中幾何圖形輔助線作法精練

1、三角形中作輔助線的常用方法舉例一、在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時，若直接證不出來，可連接兩點 或延長某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個或幾個三角形中，再運用三 角形三邊的不等關(guān)系證明，如：例 1：已知如圖 1-1：d、e 為abc 內(nèi)兩點,求證:abacbddece.證明：（法一）將 de 兩邊延長分別交 ab、ac 于 m、n，在amn 中，aman mddene;（1） 在bdm 中，mbmdbd； （2）在cen 中，cnnece； （3）由（1）（2）（3）得：amanmbmdcnnemddenebdce abacbddeecaamd endgefb圖1 -1cb圖1 -

2、2c（法二：）如圖 1-2， 延長 bd 交 ac 于 f，延長 ce 交 bf 于 g，在abf 和gfc 和gde 中有：abaf bddggf （三角形兩邊之和大于第三邊）（1）gffcgece（同上）（2）dggede（同上）（3）由（1）（2）（3）得：abafgffcdggebddggfgecedeabacbddeec。二、在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時如直接證不出來時，可連 接兩點或延長某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在某個三角形的外角的位置上， 小角處于這個三角形的內(nèi)角位置上，再利用外角定理：4例如：如圖 2-1：已知 d 為abc 內(nèi)的任一點，求證：bdcbac。

3、分析：因為bdc 與bac 不在同一個三角形中，沒有直接的聯(lián)系， 可適當(dāng)添加輔助線構(gòu)造新的三角形，使bdc 處于在外角的位置，abac 處于在內(nèi)角的位置；ge證法一：延長 bd 交 ac 于點 e，這時bdc 是edc 的外角，bdcdec，同理decbac，bdcbac 證法二：連接 ad，并延長交 bc 于 fbdf圖2 -1cbdf 是abd 的外角bdfbad，同理，cdfcadbdfcdfbadcad即：bdcbac。注意：利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時，通常將大角放在某三角形的外角位置上，小 角放在這個三角形的內(nèi)角位置上，再利用不等式性質(zhì)證明。三、有角平分線時，通常在角的兩邊截取

4、相等的線段，構(gòu) 造全等三角形，如：例如：如圖 3-1：已知 ad 為abc 的中線，且12,3 4,求證：becfef。分析：要證 becfef ，可利用三角形三邊關(guān)系定理證明，須 把 be，cf，ef 移到同一個三角形中，而由已知12，3 4，可在角的兩邊截取相等的線段，利用三角形全等對應(yīng)邊相 等，把 en，fn，ef 移到同一個三角形中。證明：在 da 上截取 dndb，連接 ne，nf，則 dndc， 在dbe 和dne 中：dn = db ( 輔助線的作法 )1=2(已知 )ed = ed (公共邊 )dbedne （sas）bene（全等三角形對應(yīng)邊相等）同理可得：cfnf在efn

5、中 enfnef（三角形兩邊之和大于第三邊） becfef。ane f231b d圖3 -1c注意：當(dāng)證題有角平分線時，常可考慮在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，然 后用全等三角形的性質(zhì)得到對應(yīng)元素相等。四、有以線段中點為端點的線段時，常延長加倍此線段，構(gòu)造全等三角形。例如：如圖 4-1：ad 為abc 的中線，且12，34，求證：becfef證明：延長 ed 至 m，使 dm=de，連接cm，mf。在bde 和cdm 中， bd =cd (中點的定義 )ae f1=cdm ( 對頂角相等 ) ed =md (輔助線的作法 )b12d34cbdecdm （sas）又12，34 （已知）

6、1234180（平角的定義）32=90，即：edf90fdmedf 90在edf 和mdf 中ed =md(輔助線的作法)edf =fdm (已證)df =df (公共邊 )edfmdf （sas）efmf （全等三角形對應(yīng)邊相等）在cmf 中，cfcmmf（三角形兩邊之和大于第三邊） becfef注：上題也可加倍 fd，證法同上。圖 4 -1m注意：當(dāng)涉及到有以線段中點為端點的線段時，可通過延長加倍此線段，構(gòu)造全等三角 形，使題中分散的條件集中。五、有三角形中線時，常延長加倍中線，構(gòu)造全等三角形。例如：如圖 5-1：ad 為 abc 的中線，求證：abac2ad。分析：要證 abac2ad，

7、由圖想到： ab bdad,accd ad，所以有 abac bdcdadad2ad，左邊比要證abdce結(jié)論多 bdcd，故不能直接證出此題，而由 2ad 想到要構(gòu)造 2ad，即加倍中線，把所要證的 線段轉(zhuǎn)移到同一個三角形中去。證明：延長 ad 至 e，使 de=ad，連接 be，則 ae2adad 為abc 的中線 （已知）bdcd （中線定義）在acd 和ebd 中bd =cd (已證)adc =edb(對頂角相等)ad =ed(輔助線的作法)acdebd （sas）beca（全等三角形對應(yīng)邊相等）在abe 中有：abbeae（三角形兩邊之和大于第三邊） abac2ad。（常延長中線加倍

8、，構(gòu)造全等三角形）eb圖5 -1ad c圖5 -2f練習(xí)：已知abc，ad 是 bc 邊上的中線，分別以 ab 邊、ac 邊為直角邊各向形外作等腰直角 三角形，如圖 5-2， 求證 ef2ad。六、截長補短法作輔助線。例如：已知如圖 6-1：在abc 中，abac，12，p 為 ad 上任一點。求證：abacpbpc。分析：要證： ab acpbpc，想到利用三角形三邊關(guān)系 定理證之，因為欲證的是線段之差，故用兩邊之差小于第 三邊，從而想到構(gòu)造第三邊 abac，故可在 ab 上截取 an 等于 ac，得 abacbn， 再連接 pn，則 pcpn，又在na1d2pcpnb 中，pbpnbn，即

9、：abacpbpc。b圖6 -1m證明：（截長法）在 ab 上截取 anac 連接 pn , 在apn 和apc 中an = ac (輔助線的作法 ) 1=2(已知)ap = ap (公共邊 )apnapc （sas）pcpn （全等三角形對應(yīng)邊相等）在bpn 中，有 pbpnbn （三角形兩邊之差小于第三邊） bppcabac證明：（補短法） 延長 ac 至 m，使 amab，連接 pm，在abp 和amp 中ab = am (輔助線的作法 )1=2(已知)ap =ap (公共邊 )abpamp （sas）pbpm （全等三角形對應(yīng)邊相等）又在pcm 中有：cmpmpc(三角形兩邊之差小于第

10、三邊) abacpbpc。七、延長已知邊構(gòu)造三角形：例如：如圖 7-1：已知 acbd，adac 于 a ，bcbd 于 b，求證：adbc分析：欲證 adbc，先證分別含有 ad，bc 的三角形全等，有幾種方案：adc 與bcd， aod 與boc，abd 與bac，但根據(jù)現(xiàn)有條件，均無法證全等，差角的相等，因此可設(shè) 法作出新的角，且讓此角作為兩個三角形的公共角。證明：分別延長 da，cb，它們的延長交于 e 點， adac bcbd （已知）caedbe 90 （垂直的定義）e在dbe 與cae 中e=e (公共角) dbe =cae (已證) bd =ac (已知)ado圖7 -1bcd

11、becae （aas）edec ebea （全等三角形對應(yīng)邊相等） edeaeceb即：adbc。（當(dāng)條件不足時，可通過添加輔助線得出新的條件，為證題創(chuàng)造條件。）八 、連接四邊形的對角線，把四邊形的問題轉(zhuǎn)化成為三角形來解決。例如：如圖 8-1：abcd，adbc求證：ab=cd。分析：圖為四邊形，我們只學(xué)了三角形的有關(guān)知識，必須把它轉(zhuǎn)化為三角形來解決。 證明：連接 ac（或 bd）abcd adbc （已知）12，34 （兩直線平行，內(nèi)錯角相等）在abc 與cda 中a13d1=2(已證) ac =ca(公共邊 ) 3 =4(已證)b圖8 -142cabccda （asa）abcd（全等三角形

12、對應(yīng)邊相等）九、有和角平分線垂直的線段時，通常把這條線段延長。例如：如圖 9-1：在 rtabc 中，abac，bac90，12，cebd 的延長于 e 。 求證：bd2ce分析：要證 bd2ce，想到要構(gòu)造線段 2ce，同時 ce 與abc 的平分線垂直，想到要將其延長。f證明：分別延長 ba，ce 交于點 f。aebecf （已知）dbefbec90 （垂直的定義）12在bef 與bec 中，bc圖9 -11=2(已知)be =be (公共邊 )bef =bec (已證)befbec（asa）ce=fe=12cf （全等三角形對應(yīng)邊相等）bac=90 becf （已知）baccaf90 1

13、bda901bfc90bdabfc在abd 與acf 中bac =caf (已證) bda =bfc (已證)abac (已知)abdacf （aas）bdcf （全等三角形對應(yīng)邊相等） bd2ce十、連接已知點，構(gòu)造全等三角形。例如：已知：如圖 10-1；ac、bd 相交于 o 點，且 abdc，acbd，求證：ad。分析：要證ad，可證它們所在的三角形abo 和dco 全等，而只有 abdc 和對頂角 兩個條件，差一個條件，難以證其全等，只有另尋其它的三角形全等，由 abdc，ac bd，若連接 bc，則abc 和dcb 全等，所以，證得ad。證明：連接 bc，在abc 和dcb 中 ab

14、 =dc (已知)ac =db (已知)aodbc =cb (公共邊)bc圖10 -1abcdcb (sss)ad (全等三角形對應(yīng)邊相等)十一、取線段中點構(gòu)造全等三有形。例如：如圖 11-1：abdc，ad 求證：abcdcb。分析：由 abdc，ad，想到如取 ad 的中點 n，連接 nb，nc，再由 sas 公理有abn dcn，故 bncn，abndcn。下面只需證nbcncb，再取 bc 的中點 m，連接 mn，則由 sss 公理有nbmncm，所以nbcncb。問題得證。證明：取 ad，bc 的中點 n、m，連接 nb，nm，nc。則 an=dn，bm=cm， abn 和dcnan

15、 =dn (輔助線的作法 )中 a=d (已知)ab =dc (已知)abndcn （sas）abndcn nbnc （全等三角形對應(yīng)邊、角相等） 在nbm 與ncm 中nab m圖11 -1dcnbnc (已證)bmcm (輔助線的作法) nmnm (公共邊)nmbncm，(sss) nbcncb （全等三角形對應(yīng)角相等）nbcabn ncbdcn 即abcdcb。巧求三角形中線段的比值例 1. 如圖 1，在abc 中，bd：dc1：3，ae：ed2：3，求 af：fc。解：過點 d 作 dg/ac，交 bf 于點 g所以 dg：fcbd：bc因為 bd：dc1：3所以 bd：bc1：4即

16、dg：fc1：4，fc4dg因為 dg：afde：ae 所以 dg：af3：2即又因為 ae：ed2：3所以 af：fc ：4dg 1：6例 2. 如圖 2，bccd，affc，求 ef：fd解：過點 c 作 cg/de 交 ab 于點 g，則有 ef：gcaf：ac因為 affc所以 af：ac1：2即 ef：gc1：2， 因為 cg：debc：bd又因為 bccd所以 bc：bd1：2 cg：de1：2因為 fdedef即 de2gc所以 ef：fd小結(jié)：以上兩例中，輔助線都作在了“已知”條件中出現(xiàn)的兩條已知線段的交點 處，且所作的輔助線與結(jié)論中出現(xiàn)的線段平行。請再看兩例，讓我們感受其中的

17、 奧妙！例 3. 如圖 3，bd：dc1：3，ae：eb2：3，求 af：fd。 解：過點 b 作 bg/ad，交 ce 延長線于點 g。 所以 df：bgcd：cb因為 bd：dc1：3所以 cd：cb3：4即 df：bg3：4，因為 af：bgae：eb又因為 ae：eb2：3所以 af：bg2：3即所以 af：df例 4. 如圖 4，bd：dc1：3，affd，求 ef：fc。 解：過點 d 作 dg/ce，交 ab 于點 g所以 ef：dgaf：ad因為 affd所以 af：ad1：2即 ef：dg1：2因為 dg：cebd：bc，又因為 bd：cd1：3， 即 dg：ce1：4，ce

18、4dg因為 fcceef所以 ef：fc 1：7練習(xí)：1. 如圖 5，bddc，ae：ed1：5，求 af：fb。2. 如圖 6，ad：db1：3，ae：ec3：1，求 bf：fc。所以 bd：bc1：4圖 4答案：1、1：10； 2. 9：1初中幾何輔助線二 由角平分線想到的輔助線口訣：圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)。 角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。角平分線具有兩條性質(zhì)：a、對稱性；b、角平分線上的點到角兩邊的距離相 等。對于有角平分線的輔助線的作法，一般有兩種。1 從角平分線上一點向兩邊作垂線；2 利用角平分線，構(gòu)造對稱圖形

19、（如作法是在一側(cè)的長邊上截取短邊）。 通常情況下，出現(xiàn)了直角或是垂直等條件時，一般考慮作垂線；其它情況下考慮構(gòu)造對稱圖形。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件。 與角有關(guān)的輔助線（一）、截取構(gòu)全等ea幾何的證明在于猜想與嘗試，但這種嘗試與odc猜想是在一定的規(guī)律基本之上的，希望同學(xué)們能圖1-1fb掌握相關(guān)的幾何規(guī)律，在解決幾何問題中大膽地去猜想，按一定的規(guī)律去嘗試。下面就幾何中常見的定理所涉及到的輔助線作以 介紹。如圖 1-1，aoc=boc，如取 oe=of，并連接 de、df，則有oedofd， 從而為我們證明線段、角相等創(chuàng)造了條件。a例1 如圖 1-2，ab/cd，be 平分bcd

20、， ce 平分bcd，點 e 在 ad 上，求證：bc=ab+cd。分析 ：此題中就涉及到角平分線，可以利e d用角平分線來構(gòu)造全等三角形，即利用解平分 線來構(gòu)造軸對稱圖形，同時此題也是證明線段b f圖1-2c的和差倍分問題，在證明線段的和差倍分問題中常用到的方法是延長法或截取法 來證明，延長短的線段或在長的線段長截取一部分使之等于短的線段。但無論延 長還是截取都要證明線段的相等，延長要證明延長后的線段與某條線段相等，截 取要證明截取后剩下的線段與某條線段相等，進而達到所證明的目的。簡證 ：在此題中可在長線段 bc 上截取 bf=ab，再證明 cf=cd，從而達到證明 的目的。這里面用到了角平

21、分線來構(gòu)造全等三角形。另外一個全等自已證明。此 題的證明也可以延長 be 與 cd 的延長線交于一點來證明。自已試一試。例2 已知：如圖 1-3，ab=2ac，bad=cad，da=db，求證 dcac 分析 ：此題還是利用角平分線來構(gòu)造全等三角形。構(gòu)造的方法還是截取線段相等。其它問題自已證明。acebd圖1-3例3 已知：如圖 1-4，在abc 中，c=2b,ad 平分bac，求證：ab- ac=cd分析 ：此題的條件中還有角的平分線，在證明 中還要用到構(gòu)造全等三角形，此題還是證明線段的 和差倍分問題。用到的是截取法來證明的，在長的a線段上截取短的線段，來證明。試試看可否把短的e延長來證明呢

22、？練習(xí)1已知在abc 中，ad 平分bac，b=bd圖1-4c2c，求證：ab+bd=ac2已知：在abc 中，cab=2b，ae 平分cab 交 bc 于 e，ab=2ac，求證：ae=2ce3已知：在abc 中，abac,ad 為bac 的平分線，m 為 ad 上任一點。求證：bm-cmab-ac4已知：d 是abc 的bac 的外角的平分線 ad 上的任一點，連接 db、dc。求證：bd+cdab+ac。（二）、角分線上點向角兩邊作垂線構(gòu)全等過角平分線上一點向角兩邊作垂線，利用角平分線上的點到兩邊距離相等的性質(zhì)來證明 問題。例1 如圖 2-1，已知 abad, bac=fac,cd=bc

23、。 求證：adc+b=180a分析 ：可由 c 向bad 的兩邊作垂線。近而證adcedf與b 之和為平角。bc圖 2-1例2 如圖 2-2，在abc 中，a=90 ，ab=ac，abd=cbd。 求證：bc=ab+ada分析 ：過 d 作 debc 于 e，則 ad=de=ce，則構(gòu)造出d全等三角形，從而得證。此題是證明線段的和差倍分問題，從中利用了相當(dāng)于截取的方法。b圖2-2ec例3 已知如圖 2-3，abc 的角平分線 bm、cn 相交于點 p。求證：bac的平分線也經(jīng)過點 p。分析 ：連接 ap，證 ap 平分bac 即可，也就是證 p 到 ab、 ac 的距離相等。練習(xí)：bandp圖

24、2-3mfc1如圖 2-4aop=bop=15 ，pc/oa，pdoa，cb如果 pc=4，則 pd=（ ）a 4 b 3 c 2 d 1o圖2-4pda2已知在abc 中，c=90 ，ad 平分cab，cd=1.5,db=2.5.求 ac。3已知：如圖 2-5, bac=cad,abad，ceab， 1ae= 2 （ab+ad）.求證：d+b=180 。a4.已知：如圖 2-6,在正方形 abcd 中，e 為 cd 的中點，edf 為 bc上的點，fae=dae。求證：af=ad+cf。bc圖2-55已知：如圖 2-7，在 rtabc 中，acb=90 ,cdab，垂足為 d，ae 平分ca

25、b 交 cd 于 f，過 f 作 fh/ab 交 bc 于 h。求證 cf=bh。acdeefhb圖2-6f ca d圖2-7b（三）：作角平分線的垂線構(gòu)造等腰三角形從角的一邊上的一點作角平分線的垂線，使之與角的兩邊相交，則截得一個等腰三角形，垂足為底邊上的中點，該角平分線又成為底邊上的中線和高，以利用中位線的性質(zhì)與等腰三角形的三線合一的性質(zhì)。（如果題目中有垂直于角平分線的線段，則延長該線段與角的另一 邊相交）。例1 已知：如圖 3-1，bad=dac，abac,cdad 于 d，h 是 bc 中點。1求證：dh= （ab-ac）2分析 ：延長 cd 交 ab 于點 e，則可得全等三角形。問題

26、可證。adce例2 已知：如圖 3-2，ab=ac，bac=90 ，ad 為abh圖示 3-1afbc 的平分線，cebe.求證：bd=2ce。分析 ：給出了角平分線給出了邊上的一點作角平分線的deb垂線，可延長此垂線與另外一邊相交，近而構(gòu)造出等腰三角圖3-2c形。例 3已知：如圖 3-3 在abc 中，ad、ae 分別bac 的內(nèi)、外角平分線， 過頂點 b 作 bfad，交 ad 的延長線于 f，連結(jié) fc 并延長交 ae 于 m。am求證：am=me。bd分析 ：由 ad、ae 是bac 內(nèi)外角平分線，可得 eafceaf，從而有 bf/ae，所以想到利用比例線段證相等。n圖3-3例4 已

27、知：如圖 3-4，在abc 中，ad 平分bac，ad=ab，cmad 交 ad1延長線于 m。求證：am= （ab+ac）2分析 ：題設(shè)中給出了角平分線 ad，自然想到以 ad 為軸作對稱變換，作d 關(guān)于 ad 的對稱aed，然后只需證 dm=12ec，另外a1由求證的結(jié)果 am= （ab+ac），即 2am=ab+ac，也可2嘗試作acm 關(guān)于 cm 的對稱fcm，然后只需證 df=cbdenfcf 即可。練習(xí) ：m圖3-41已知：在abc 中，ab=5，ac=3，d 是 bc 中點，ae 是bac 的平分線，且 ceae 于 e，連接 de，求 de。2已知 be、bf 分別是abc 的

28、abc 的內(nèi)角與外角的平分線，afbf于 f，aebe 于 e，連接 ef 分別交 ab、ac 于 m、n，求證 mn=12bc（四）、以角分線上一點做角的另一邊的平行線有角平分線時，常過角平分線上的一點作角的一邊的平行線，從而構(gòu)造等腰 三角形?；蛲ㄟ^一邊上的點作角平分線的平行線與另外一邊的反向延長線相交， 從而也構(gòu)造等腰三角形。如圖 4-1 和圖 4-2 所示。cahidefgbca圖4-1b圖4-2例 4如圖，abac, 1=2，求證：abacbdcd。ca12db例 5如圖，bcba，bd 平分abc，且 ad=cd，求證：a+c=180。abd例 6c如圖，abcd，ae、de 分別平

29、分bad 各ade，求證：ad=ab+cd。d cea練習(xí)：1. 已知，如圖，c=2a，ac=2bc。求證：abc 是直角三角形。bcab2已知：如圖，ab=2ac，1=2，da=db，求證：dcaca1 2cb3已知 ce、ad 是abc 的角平分線，b=60，求證：ac=ae+cdaedbd c4已知：如圖在abc 中，a=90，ab=ac，bd 是abc 的平分線，求證： bc=ab+adadbc三 由線段和差想到的輔助線口訣：線段和差及倍半，延長縮短可試驗。線段和差不等式，移到同一三角去。 遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時，一般方法是截長補短法：1、 截長：在長線段中截取一段等于另

30、兩條中的一條，然后證明剩下部分等 于另一條；2、 補短：將一條短線段延長，延長部分等于另一條短線段，然后證明新線 段等于長線段。對于證明有關(guān)線段和差的不等式，通常會聯(lián)系到三角形中兩線段之和大于第 三邊、之差小于第三邊，故可想辦法放在一個三角形中證明。一、在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時，如直接證不出來，可連接兩點或廷長某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個或幾個三角形中， 再運用三角形三邊的不等關(guān)系證明，如：例1、 已知如圖 1-1：d、e 為abc 內(nèi)兩點,求證:ab+acbd+de+ce.證明：（法一）將 de 兩邊延長分別交 ab、ac 于 m、n， 在amn 中，am+anmd

31、+de+ne;（1）mad en在bdm 中，mb+mdbd；（2）在cen 中，cn+nece；（3） 由（1）+（2）+（3）得： am+an+mb+md+cn+nemd+de+ne+bd+ceab+acbd+de+ecb圖1 -1ac（法二：圖 1-2）gf延長 bd 交 ac 于 f，廷長 ce 交 bf 于 g，在abf 和 gfc 和gde 中有：ab+afbd+dg+gf（三角形兩邊之和大于第三邊） （1）gf+fcge+ce（同上）（2）dg+gede（同上）（3）bde圖1 -2ac由（1）+（2）+（3）得：geab+af+gf+fc+dg+gebd+dg+gf+ge+ce

32、+deab+acbd+de+ec。二、在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)bdf圖2 -1c4角時如直接證不出來時，可連接兩點或延長某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在 某個三角形的外角的位置上，小角處于這個三角形的內(nèi)角位置上，再利用外角定 理：例如：如圖2-1：已知 d 為abc 內(nèi)的任一點，求證：bdcbac。分析：因為bdc 與bac 不在同個三角形中，沒有直接的聯(lián)系，可適當(dāng)添加輔助線構(gòu)造新的三角形，使bdc 處于在外角的位置，bac 處于在內(nèi)角 的位置；證法一：延長 bd 交 ac 于點 e，這時bdc 是edc 的外角，bdcdec，同理decbac，bdcbac證法二：連接 ad，

33、并廷長交 bc 于 f，這時bdf 是abd 的外角，bdfbad，同理，cdfcad，bdf+cdfbad+cad，即：bdcbac。注意：利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時，通常將大角放在某三角形的外 角位置上，小角放在這個三角形的內(nèi)角位置上，再利用不等式性質(zhì)證明。三、如：有角平分線時，通常在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，a例如：如圖 3-1：已知 ad 為abc 的中線，且1=2,3=4,求證：be+cfef。n分析：要證 be+cfef，可利用三角形三邊關(guān)系定理證明，須把 be，cf ，ef 移到同一個三角形中，而由 已知1=2，e f2 31b d圖3 1c3=4，可在角的兩

34、邊截取相等的線段，利用三角形全等對應(yīng)邊相等，把 en，fn，ef 移到同個三角形中。證明：在 dn 上截取 dn=db，連接 ne，nf，則 dn=dc，在dbe 和nde 中：dn=db（輔助線作法）1=2（已知）ed=ed（公共邊）dbende（sas）be=ne（全等三角形對應(yīng)邊相等）同理可得：cf=nf在efn 中 en+fnef（三角形兩邊之和大于第三邊）be+cfef。注意：當(dāng)證題有角平分線時，?？煽紤]在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全 等三角形，然后用全等三角形的對應(yīng)性質(zhì)得到相等元素。四、 截長補短法作輔助線。例如：已知如圖 6-1：在abc 中，abac，1=2，p 為 ad 上

35、 任一點求證：ab-acpb-pc。分析：要證： ab-acpb-pc，想到利用三角形三邊關(guān)系，定理證之，因為欲證的線段之差，故用兩邊之差小于第三邊，從而想到構(gòu)造第三邊 ab-ac，故可 在 ab 上截取 an 等于 ac，得 ab-ac=bn，再連接 pn，則 pc=pn，又在pnb 中， pb-pnpb-pc。證明：（截長法）在 ab 上截取 an=ac 連接 pn,在apn 和apc 中an=ac（輔助線作法）1=2（已知）ap=ap（公共邊）apnapc（sas）,pc=pn（全等三角形對應(yīng)邊相等）在bpn 中，有 pb-pnbn（三角形兩邊之差小于第三邊） bp-pcpm-pc(三角

36、形兩邊之差小于第三邊) ab-acpb-pc。例 1如圖，ac 平分bad，ceab，且b+d=180，求證：ae=ad+be。a debc例 2 如圖，在四邊形 abcd 中，ac 平分bad，ceab 于 e，ad+ab=2ae，求證：adc+b=180dca e b例 3 已知：如圖，等腰三角形 abc 中，ab=ac， a=108，bd 平分 abc。求證：bc=ab+dc。adbc例 4 如圖，已知 rtabc 中，acb=90，ad 是cab 的平分線，dmab1a于 m，且 am=mb。求證：cd= 2 db。mc d b1如圖，abcd，ae、de 分別平分bad 各ade，求

37、證：ad=ab+cd。d cea b2.如圖，abc 中，bac=90，ab=ac，ae 是過 a 的一條直線，且 b，c 在 ae 的異側(cè)，bdae 于 d，ceae 于 e。求證：bd=de+ce四 由中點想到的輔助線口訣：三角形中兩中點，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。 在三角形中，如果已知一點是三角形某一邊上的中點，那么首先應(yīng)該聯(lián)想到三角形的中線、中位線、加倍延長中線及其相關(guān)性質(zhì)（直角三角形斜邊中線性質(zhì)、 等腰三角形底邊中線性質(zhì)），然后通過探索，找到解決問題的方法。（一）、中線把原三角形分成兩個面積相等的小三角形即如圖 1，ad 是 abc 的中線，則 s abd=s

38、acd= s abc（因為 abd 與 acd是等底同高的）。例 1如圖 2， abc 中，ad 是中線，延長 ad 到 e，使 de=ad，df 是 dce 的中線。已知 abc 的面積為 2，求： cdf 的面積。解：因為 ad 是 abc 的中線，所以 s acd= s abc= 2=1，又因 cd 是 ace 的中線，故 s cde=s acd=1，因 df 是 cde 的中線，所以 s cdf= s cde= 1= 。 cdf 的面積為 。（二）、由中點應(yīng)想到利用三角形的中位線例 2如圖 3，在四邊形 abcd 中，ab=cd，e、f 分別是 bc、ad 的中點，ba、 cd 的延長

39、線分別交 ef 的延長線 g、h。求證：bge=che。證明：連結(jié) bd，并取 bd 的中點為 m，連結(jié) me、mf，me 是 bcd 的中位線，me cd，mef=che，mf 是 abd 的中位線，mf ab，mfe=bge，ab=cd，me=mf，mef=mfe，從而bge=che。（三）、由中線應(yīng)想到延長中線例 3圖 4，已知 abc 中，ab=5，ac=3，連 bc 上的中線 ad=2，求 bc 的長。 解：延長 ad 到 e，使 de=ad，則 ae=2ad=22=4。在 acd 和 ebd 中，ad=ed，adc=edb，cd=bd， acd ebd，ac=be，從而 be=ac

40、=3。在 abe 中，因 ae2+be2=42+32=25=ab2，故e=90，bd= = = ，故 bc=2bd=2 。例 4如圖 5，已知 abc 中，ad 是bac 的平分線，ad 又是 bc 邊上的中 線。求證： abc 是等腰三角形。證明：延長 ad 到 e，使 de=ad。仿例 3 可證： bed cad，故 eb=ac，e=2，又1=2，1=e，ab=eb，從而 ab=ac，即 abc 是等腰三角形。（四）、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)例 5如圖 6，已知梯形 abcd 中，ab/dc，acbc，adbd，求證：ac=bd。 證明：取 ab 的中點 e，連結(jié) de、ce，則 de、c

41、e 分別為 rt abd，rt abc斜邊 ab 上的中線，故 de=ce= ab，因此cde=dce。ab/dc，cde=1，dce=2，1=2，在 ade 和 bce 中，de=ce，1=2，ae=be， ade bce，ad=bc，從而梯形 abcd 是等腰梯形，因此 ac=bd。（五）、角平分線且垂直一線段，應(yīng)想到等腰三角形的中線例 6如圖 7， abc 是等腰直角三角形，bac=90，bd 平分abc 交 ac 于點 d，ce 垂直于 bd，交 bd 的延長線于點 e。求證：bd=2ce。證明：延長 ba，ce 交于點 f，在 bef 和 bec 中，1=2，be=be，bef=be

42、c=90， bef bec，ef=ec，從而 cf=2ce。又1+f=3+f=90，故1=3。在 abd 和 acf 中，1=3，ab=ac，bad=caf=90， abd acf，bd=cf，bd=2ce。注：此例中 be 是等腰 bcf 的底邊 cf 的中線。（六）中線延長口訣：三角形中有中線，延長中線等中線。題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線，常延長加倍此線段，再將端點連結(jié)，便可 得到全等三角形。例一 ：如圖 4-1：ad 為abc 的中線，且1=2，3=4，求證：be+cfef。證明 ：廷長 ed 至 m，使 dm=de，連接 cm，mf。 在bde 和cdm 中，bd=cd（中點定義）ae f1=5（對頂角相等）1234ced=md（輔助線作法） bdecdm（sas）bd又1=2，3=4（已知）圖4 1m1+2+3+4=180（ 平角的定義）3+2=90即：edf=90fdm=edf=90在edf 和mdf 中ed=md（輔助線作法）edf=fdm（已證）df=df（公共邊）edfmdf（sas）ef=mf（全等三角形對應(yīng)邊相等）在cmf 中，cf+cmmf（三角形兩邊之和大于第三邊）be+cfef上題也可加倍 fd，證法同上。注意：當(dāng)涉及到有以線段中點為端點的線段時，可通過延長加倍此線段，構(gòu) 造全等三角形，使題中分散的條件集中。例二 ：如圖 5-1：ad 為abc 的