初三數(shù)學(xué) 動(dòng)點(diǎn)問題探究—幾何圖形中的動(dòng)點(diǎn)問題教案

1、動(dòng)點(diǎn)問題探究幾何圖形中的動(dòng)點(diǎn)問題適用學(xué)科適用區(qū)域初中數(shù)學(xué)全國通用適用年級(jí)課時(shí)時(shí)長（分鐘）初中三年級(jí) 120知識(shí)點(diǎn)教學(xué)目標(biāo)教學(xué)重點(diǎn)教學(xué)難點(diǎn)圖形的平移、圖形的旋轉(zhuǎn)、圖形的翻折、動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖像 會(huì)列出函數(shù)或方程等解決圖形的動(dòng)點(diǎn)問題會(huì)解決圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等問題會(huì)利用函數(shù)及方程解決圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等問題教學(xué)過程一、課堂導(dǎo)入動(dòng)點(diǎn)所產(chǎn)生的函數(shù)及方程問題在初中數(shù)學(xué)中占有相當(dāng)?shù)谋戎?，在全國各地的中考?shù)學(xué)試卷中占到 10% 到 20%的比重。主要研究在幾何圖形運(yùn)動(dòng)中，伴隨著一定的數(shù)量關(guān)系、圖形位置關(guān)系的“變”和“不變性”，就運(yùn)動(dòng)對象而言，有點(diǎn)動(dòng)、 線動(dòng)和面動(dòng)，常常集代數(shù)與幾何于一體，有較強(qiáng)的綜合性

2、，題目靈活多變，動(dòng)中有靜，靜中有動(dòng)，動(dòng)靜結(jié)合二、復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)1. 平移，是指在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形上的所有點(diǎn)都按照某個(gè)方向作相同距離的移動(dòng)，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)叫做圖形的平移運(yùn) 動(dòng)，簡稱平移。平移不改變圖形的形狀和大小。圖形經(jīng)過平移，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等，對應(yīng)點(diǎn)所連的線段相等。2. 軸對稱圖形，是指在平面內(nèi)沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形，這條直線就叫做對稱軸。3. 在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形繞一點(diǎn)按某個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，這樣的運(yùn)動(dòng)叫做圖形的旋轉(zhuǎn)。這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng) 的角度叫做旋轉(zhuǎn)角。圖形的旋轉(zhuǎn)是圖形上的每一點(diǎn)在平面上繞著某個(gè)固定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)固定角度的位置移動(dòng)，其中對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相

3、等， 對應(yīng)線段的長度、對應(yīng)角的大小相等，旋轉(zhuǎn)前后圖形的大小和形狀沒有改變。三、知識(shí)講解考點(diǎn) 1單點(diǎn)運(yùn)動(dòng)及雙點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問題關(guān)于點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的問題，一般根據(jù)圖形變化，探索動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)和規(guī)律，作出符合條件的草圖。解這類題的關(guān)鍵是抓住動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中不變的量，用含未知數(shù)的代數(shù)式去表示所需的線段，根據(jù)題意中隱含的條件借助 相似等方式構(gòu)造方程或函數(shù)表達(dá)式?？键c(diǎn) 2圖形運(yùn)動(dòng)問題圖形的運(yùn)動(dòng)包括圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等，圖形在運(yùn)動(dòng)過程中，對應(yīng)線段、對應(yīng)角不變，以三角形、四邊形的運(yùn)動(dòng)是 常見的一種題型。這里需注意：平移、旋轉(zhuǎn)、翻折都改變了圖形的位置，不改變圖形的形狀和大小。對于此類題目，關(guān)鍵在于抓住運(yùn)動(dòng)圖形的特殊位置、臨界

4、位置及特殊性質(zhì)，其基本方法是把握圖形運(yùn)動(dòng)與變化的全過程， 以不變應(yīng)萬變，解答過程中常需借用函數(shù)或方程來解答?？键c(diǎn) 3 線運(yùn)動(dòng)問題解決此類題的關(guān)鍵是根據(jù)線運(yùn)動(dòng)的變化，研究圖形的變化由圖形變化前后的關(guān)系及圖形的性質(zhì)綜合解決問題，如本題利用平移性質(zhì)及三角形面積建立方程解決問題.1四、例題精析考點(diǎn)一雙點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問題例 1如圖 14 ，在abc 中，b = 90，ab = 6cm ，bc = 12cm ，動(dòng)點(diǎn) p 以 1cm/s 的速度從 a 出發(fā)沿邊 ab 向點(diǎn) b移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn) q 以 2cm/s 的速度同時(shí)從點(diǎn) b 出發(fā)沿 bc 向點(diǎn) c 移動(dòng)1 pbq 的面積 s(cm2)與點(diǎn) p 移動(dòng)時(shí)間 t (s)

5、的函數(shù)關(guān)系式為 _ ，其中 t 的取值范圍為_ ；2 判斷pbq 能否與abc 相似，若能，求出此時(shí)點(diǎn) p 移動(dòng)的時(shí)間，若不能，說明理由；3 設(shè) m 是 ac 的中點(diǎn)，連接 mp、mq，試探究點(diǎn) p 移動(dòng)的時(shí)間是多少時(shí)，mpq 的面積為abc 面積的 ？46 ,6【規(guī)范解答】（1）s =-t2+ t 0t6（2）由題意知 ap=t，bq=2t，若pbq 與 abc 相似，則bp bq 6 -t 2t = ， =ba bc 6 12，解得 t=3bp bq 6 -t 2t = ， =bc ba 12 6，解得 t=65即當(dāng)點(diǎn) p 移動(dòng) 3s 或 s 時(shí)，pbq 與abc 相似5（3）作 mdab

6、 于 d，mebc 于 ead amadm=90，又b=90，adm=b，dmbc，ad am=db mc又m 是 ac 的中點(diǎn)， = =1 ，即 d 是 ab 的中點(diǎn)，dm mc1dm = bc =261，同理 em = ba =3 26 126 9 0s =dmpq14s ， s +s +s dabc dapm dpbq dmqc3= s4dabc1 1 1 3 1t 6 + (6 -t ) 2t + (12 -2t ) 3 = 2 2 2 4 2即t 2 - t + = ， t =t =3 ，1 2即點(diǎn) p 移動(dòng) 3s 時(shí)，sdmpq=14sdabc【總結(jié)與反思】（1）要求pbq 的面積

7、，只需用含 t 的代數(shù)式表示三角形的底和高即可得到。（2）若pbq 與abc 相似，分兩種情況討論：bp bq bp bq= ， = ，分別用含 t 的代數(shù)式表示各線段的長度后 ba bc bc ba帶入即可。（3）用含 t 的代數(shù)式表示mpq 的面積后，按照題意建立起含有 t 的方程，便可以求出移動(dòng)的時(shí)間了。例 2 如圖， abc 中，acb=90，ac=6cm，bc=8cm ，動(dòng)點(diǎn) p 從點(diǎn) b 出發(fā)，在 ba 邊上以每秒 5cm 的速度向點(diǎn)a 勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn) q 從點(diǎn) c 出發(fā)，在 cb 邊上以每秒 4cm 的速度向點(diǎn) b 勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t 秒（0t2）， 連接 pq（1）

8、若bpq 與abc 相似，求 t 的值；（2） 連接 aq，cp，若 aqcp，求 t 的值；（3） 試證明：pq 的中點(diǎn)在abc 的一條中位線上【規(guī)范解答】解：（1）當(dāng)bpqbac 時(shí)，= ，bp=5t，qc=4t ，ab=10cm，bc=8cm ，當(dāng)bpqbca 時(shí)，= ，t=1； = ， = ，t=，t=1 或時(shí)，bpq 與abc 相似；（2）如圖所示，過 p 作 pmbc 于點(diǎn) m，aq，cp 交于點(diǎn) n，則有 pb=5t，pm=3t，mc=8 4t，nac+nca=90，pcm+nca=90，nac=pcm 且acq=pmc=90，acq cmp = ， = ，解得：t= ；（3）如

9、圖，仍有 pmbc 于點(diǎn) m，pq 的中點(diǎn)設(shè)為 d 點(diǎn)，再作 peac 于點(diǎn) e，dfac 于點(diǎn) f，acb=90，df 為梯形 pecq 的中位線，df= ，qc=4t，pe=8bm=84t，df=平行于 ac，rc=df=4 成立，d 在過 r 的中位線上，pq 的中點(diǎn)在abc 的一條中位線上=4，bc=8，過 bc 的中點(diǎn) r 作直線【總結(jié)與反思】（1）分兩種情況討論：當(dāng)bpqbac 時(shí)，=，當(dāng)bpqbca 時(shí)，= ，再根據(jù) bp=5t，qc=4t ，ab=10cm ，bc=8cm，代入計(jì)算即可；（2）過 p 作 pmbc 于點(diǎn) m，aq，cp 交于點(diǎn) n，則有 pb=5t，pm=3t

10、， mc=84t，根據(jù)acqcmp 得出= ，代入計(jì)算即可；（3）作 peac于點(diǎn) e，dfac 于點(diǎn) f，先得出 df= ，再把 qc=4t，pe=8bm=84t 代入求出 df，過 bc 的中點(diǎn) r 作直線平行于 ac ，得出 rc=df，d 在過 r 的中位線上，從而證出 pq 的中點(diǎn)在abc 的 一條中位線上考點(diǎn)二圖形運(yùn)動(dòng)問題例 3 如圖，矩形紙片 abcd 中，ab=6，bc=8；折疊紙片使點(diǎn) b 落在 ad 上，落點(diǎn)為 b；點(diǎn) b從點(diǎn) a 開始沿 ad 移動(dòng)，折痕所在直線 l 的位置也隨之改變，當(dāng)直線 l 經(jīng)過點(diǎn) a 時(shí)，點(diǎn) b停止移動(dòng)，連接 bb；設(shè)直線 l 與 ab 相交于點(diǎn)

11、e，與 cd 所在直線相交于點(diǎn) f，點(diǎn) b的移動(dòng)距離為 x，點(diǎn) f 與點(diǎn) c 的距離為 y；（1） 求證bef=abb；（2） 求 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出 x 的取值范圍；【規(guī)范解答】（1）證明，如圖，由四邊形 abcd 是矩形和折疊的性質(zhì)可知，be=be，bef=bef，在等腰beb中，ef 是角平分線，efbb，boe=90，abb+bef=90， abb+abb=90，bef=abb；（2）解當(dāng)點(diǎn) f 在 cd 之間時(shí)，如圖 1，作 fmab 交 ab 于點(diǎn) e，ab be cfab=6，be=eb，ab=x，bm=fc=y，在 eab中，eb2=ae2+ab2，（6ae

12、）2=ae2+x2解得 ae= ，tanabb= =，tanbef= = ，由（1）知bef= ab b，= ，化簡，得 y= x當(dāng)點(diǎn) f 在點(diǎn) c 下方時(shí)，如圖 2 所示設(shè)直線 ef 與 bc 交于點(diǎn) k2x+3，（0x82 ）設(shè)abb=bke=ckf=，則 tan q = = = ，bk=ab bk ck，ck=bc bk=8cf=cktan=（8 ）tan=8tanbe=xbe在 eab 中，eb2=ae2+ab2，（6be）2+x2=be2解得 be=，cf=xbe=x = x2+x3，y= x2+x3（82 x6）綜上所述，y=【總結(jié)與反思】（1）先由等腰三角形中的三線合一，得出bo

13、e=90，再由abb+bef=90，abb+abb=90， 得出bef=abb；（2）當(dāng)點(diǎn) f 在線段 cd 上時(shí)，如圖 1 所示作 fmab 交 ab 于點(diǎn) e，在 eab中，利用勾股定理求出 ae，再由 tanabb=tanbef 列出關(guān)系式寫出 x 的取值范圍即可，當(dāng)點(diǎn) f 在點(diǎn) c 下方時(shí)，如圖 2 所示,利用勾股定理與三角函數(shù)，列出關(guān)系式，寫出 x 的取值范圍.考點(diǎn)三線運(yùn)動(dòng)問題例 4 如圖，在abc 中，ab=ac，adab 于點(diǎn) d，bc=10cm ，ad=8cm 點(diǎn) p 從點(diǎn) b 出發(fā)，在線段 bc 上以每秒3cm 的速度向點(diǎn) c 勻速運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)，垂直于 ad 的直線 m 從

14、底邊 bc 出發(fā)，以每秒 2cm 的速度沿 da 方向勻速平移，分別交 ab、ac、ad 于 e、f、h，當(dāng)點(diǎn) p 到達(dá)點(diǎn) c 時(shí)，點(diǎn) p 與直線 m 同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t 秒（t0）（1） 當(dāng) t=2 時(shí)，連接 de、df，求證：四邊形 aedf 為菱形；（2） 在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，所形成的pef 的面積存在最大值，當(dāng)pef 的面積最大時(shí)，求線段 bp 的長；（3） 是否存在某一時(shí)刻 t，使pef 為直角三角形？若存在，請求出此時(shí)刻 t 的值；若不存在，請說明理由【規(guī)范解答】（1）證明：當(dāng) t=2 時(shí)，dh=ah=2 ，則 h 為 ad 的中點(diǎn)，如答圖 1 所示 又efad，ef 為

15、 ad 的垂直平分線，ae=de，af=dfab=ac，adab 于點(diǎn) d，adbc，b=cefbc，aef=b，afe=c，aef=afe，ae=af，ae=af=de=df，即四邊形 aedf 為菱形（2）解：如答圖 2 所示，由（1）知 efbc， aefabcpefpef ，即 ，解得：ef=10 ts = efdh= （10 t）2t= t2+10t= （t2）2+10當(dāng) t=2 秒時(shí)，s 存在最大值，最大值為 10，此時(shí) bp=3t=6 （3）解：存在理由如下：若點(diǎn) e 為直角頂點(diǎn)，如答圖 3所示，此時(shí) pead，pe=dh=2t，bp=3tpead， ，即 ，此比例式不成立，故此

16、種情形不存在； 若點(diǎn) f 為直角頂點(diǎn)，如答圖 3所示，此時(shí) pead，pf=dh=2t，bp=3t，cp=10 3tpfad， ，即 ，解得 t= ；若點(diǎn) p 為直角頂點(diǎn)，如答圖 3所示過點(diǎn) e 作 embc 于點(diǎn) m，過點(diǎn) f 作 fnbc 于點(diǎn) n，則 em=fn=dh=2t，emfnad emad， ，即 ，解得 bm= t，pm=bpbm=3t t= t在 emp 中，由勾股定理得：pe2=em2+pm2=（2t）2+（ t）2=t2fnad， ，即 ，解得 cn= t，pn=bcbpcn=10 3t t=10t在 fnp 中，由勾股定理得：pf2=fn2+pn 2=（2t）2+（10 t）2= t285t+100 在 pef 中，由勾股定理得：ef2=pe2+pf2，即：（10 t）2=（t2）+（ t285t+100 ）化簡得：解得：t=t= t235t=0，或 t=0（舍去）綜上所述，當(dāng) t=秒或 t=秒時(shí)，pef 為直角三角形【總結(jié)與反思】（