2020-2021學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)必修5課后習(xí)題：2.3 解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例含解析

1、攀上山峰，見識(shí)險(xiǎn)峰，你的人生中，也許你就會(huì)有蒼松不懼風(fēng)吹和不懼雨打的大無(wú)畏精神，也許就會(huì)有臘梅的凌寒獨(dú)自開的氣魄，也許就會(huì)有春天的百花爭(zhēng)艷的畫卷，也許就會(huì)有鋼鐵般的意志。祝：學(xué)子考試順利，學(xué)業(yè)有成3解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例課后篇鞏固探究1.如圖所示,為了測(cè)量某湖泊兩側(cè)a,b間的距離,某同學(xué)首先選定了與a,b不共線的一點(diǎn)c,然后給出了四種測(cè)量方案:(abc的角a,b,c所對(duì)的邊分別記為a,b,c)測(cè)量a,c,b測(cè)量a,b,c測(cè)量a,b,a測(cè)量a,b,b則一定能確定a,b間距離的所有方案的序號(hào)為()a.b.c.d.解析:已知三角形的兩角及一邊,可以確定三角形,故正確;已知兩邊及夾角,可以確定三角形,

2、故正確;已知兩邊與其中一邊的對(duì)角,滿足條件的三角形可能有一個(gè)或兩個(gè),故錯(cuò)誤.故選a.答案:a2.已知某路邊一樹干被臺(tái)風(fēng)吹斷后,樹尖與地面成45角,樹干也傾斜為與地面成75角,樹干底部與樹尖著地處相距20 m,則折斷點(diǎn)與樹干底部的距離是()m.a.2063b.106c.1063d.202解析:如圖,設(shè)樹干底部為o,樹尖著地處為b,折斷點(diǎn)為a,則abo=45,aob=75,所以oab=60.由正弦定理知,aosin45=20sin60,所以ao=20sin45sin60=2063(m).答案:a3.已知一艘船以4 km/h的速度與水流方向成120的方向航行,已知河水流速為2 km/h,則經(jīng)過3 h

3、,該船實(shí)際航程為()a.215 kmb.6 kmc.221 kmd.8 km解析:如圖,因?yàn)閨oa|=2km/h,|ob|=4km/h,aob=120,所以oac=60,|oc|=22+42-224cos60=23(km/h).經(jīng)過3h,該船的實(shí)際航程為233=6(km).答案:b4.甲船在b島的正南方10 km處,且甲船以4 km/h的速度向正北方向航行,同時(shí)乙船自b島出發(fā)以6 km/h的速度向北偏東60的方向行駛,當(dāng)甲、乙兩船相距最近時(shí)它們航行的時(shí)間是()a.1507 minb.157 hc.21.5 mind.2.15 h解析:如圖,設(shè)經(jīng)過xh后甲船處于點(diǎn)p處,乙船處于點(diǎn)q處,兩船的距離

4、為s,則在bpq中,bp=(10-4x)km,bq=6xkm,pbq=120,由余弦定理可知s2=pq2=bp2+bq2-2bpbqcospbq,即s2=(10-4x)2+(6x)2-2(10-4x)6xcos120=28x2-20x+100.當(dāng)x=-20228=514時(shí),s最小,此時(shí)514h=1507min.答案:a5.已知一貨輪航行到m處,測(cè)得燈塔s在貨輪的北偏東15,與燈塔s相距20海里,隨后貨輪按北偏西30的方向航行30分后,又測(cè)得燈塔在貨輪的東北方向,則貨輪的速度為()a.20(2+6)海里/時(shí)b.20(6-2)海里/時(shí)c.20(6+3)海里/時(shí)d.20(6-3)海里/時(shí)解析:設(shè)貨輪

5、航行30分后到達(dá)n處,由題意可知nms=45,mns=105,則msn=180-105-45=30.而ms=20海里,在mns中,由正弦定理得mnsin30=mssin105,即mn=20sin30sin105=10sin(60+45)=10sin60cos45+cos60sin45=106+24=10(6-2)(海里).故貨輪的速度為10(6-2)12=20(6-2)(海里/時(shí)).答案:b6.飛機(jī)沿水平方向飛行,在a處測(cè)得正前下方地面目標(biāo)c的俯角為30,向前飛行10 000 m到達(dá)b處,此時(shí)測(cè)得正前下方目標(biāo)c的俯角為75,這時(shí)飛機(jī)與地面目標(biāo)的水平距離為()a.2 500(3-1) mb.5

6、0002 mc.4 000 md.4 0002 m解析:如圖,bac=30,dbc=75,ab=10000m,所以acb=45.由正弦定理,得10000sin45=bcsin30,又cos75=bdbc,所以bd=10000sin30sin45cos75=2500(3-1)(m).答案:a7.臺(tái)風(fēng)中心從a地以20 km/h的速度向東北方向移動(dòng),離臺(tái)風(fēng)中心30 km內(nèi)的地區(qū)為危險(xiǎn)區(qū),城市b在a的正東40 km處,b城市處于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)的持續(xù)時(shí)間為()a.0.5 hb.1 hc.1.5 hd.2 h解析:設(shè)th后,b市處于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi),則由余弦定理得(20t)2+402-220t40cos45302.化簡(jiǎn)

7、得4t2-82t+70,所以t1+t2=22,t1t2=74.從而|t1-t2|=(t1+t2)2-4t1t2=1.答案:b8.如圖,已知海岸線上有相距5 n mile的兩座燈塔a,b,燈塔b位于燈塔a的正南方向.海上停泊著兩艘輪船,甲位于燈塔a的北偏西75方向,與a相距32 n mile的d處;乙船位于燈塔b的北偏西60方向,與b相距5 n mile的c處,則兩艘船之間的距離為n mile.解析:連接ac,bc=ab=5nmile,abc=60,所以abc為等邊三角形,所以ac=5nmile,且dac=180-75-60=45.在acd中,由余弦定理得cd2=(32)2+52-2325cos

8、45=13,所以cd=13nmile.故兩艘船之間的距離為13nmile.答案:139.如圖,山頂上有一座電視塔,在塔頂b處測(cè)得地面上一點(diǎn)a的俯角=60,在塔底c處測(cè)得點(diǎn)a的俯角=45.已知塔高60 m,則山高為.解析:在abc中,bc=60m,bac=15,abc=30,由正弦定理,得ac=60sin30sin15=30(6+2)(m).所以cd=acsin45=30(3+1)(m).答案:30(3+1)m10.如圖,為測(cè)量山高mn,選擇a和另一座山的山頂c為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn).從點(diǎn)a測(cè)得點(diǎn)m的仰角man=60,點(diǎn)c的仰角cab=45及mac=75,從點(diǎn)c測(cè)得mca=60.已知山高bc=50 m,則

9、山高mn= m.解析:在rtabc中,cab=45,bc=50m,所以ac=502m.在amc中,mac=75,mca=60,從而amc=45,由正弦定理得,acsin45=amsin60,因此am=503m.在rtmna中,am=503m,man=60,由mnam=sin60,得mn=50332=75(m).答案:7511.導(dǎo)學(xué)號(hào)33194045如圖,cm,cn為某公園景觀湖畔的兩條木棧道,mcn=120.現(xiàn)擬在兩條木棧道的a,b兩處設(shè)置觀景臺(tái),記bc=a,ac=b,ab=c(單位:百米).(1)若a,b,c成等差數(shù)列,且公差為4,求b的值;(2)已知ab=12,記abc=,試用表示觀景路線

10、a-c-b的長(zhǎng),并求觀景路線a-c-b長(zhǎng)的最大值.解(1)因?yàn)閍,b,c成等差數(shù)列,且公差為4,所以a=b-4,c=b+4,因?yàn)閙cn=120,所以由余弦定理得,(b+4)2=(b-4)2+b2-2b(b-4)cos120,解得b=10.(2)由題意,得acsin=bcsin(60-)=12sin120,所以ac=83sin,bc=83sin(60-),所以觀景路線a-c-b的長(zhǎng)ac+bc=83sin+83sin(60-)=83sin(60+)(03,所以此時(shí)沒有觸礁的危險(xiǎn).(2)方法一:要使船沒有觸礁危險(xiǎn),只要使d3,即5tan-tan3.因?yàn)?0,所以tan-tan53,所以當(dāng),滿足tan

11、-tan3時(shí)沒有觸礁危險(xiǎn).13.某海軍護(hù)航艦艇在某海域執(zhí)行護(hù)航任務(wù)時(shí),收到某漁船在航行中發(fā)出的求救信號(hào),海軍艦艇在a處獲悉后,立即測(cè)出該漁船在方位角為45、距離a為10 n mile的c處,并測(cè)得漁船正沿方位角為105的方向,以9 n mile/h的速度航行,海軍艦艇立即以21 n mile/h的速度前去營(yíng)救,試問艦艇應(yīng)按照怎樣的航向前進(jìn)?并求出靠近漁船所用的時(shí)間(角度精確到0.1,時(shí)間精確到1 min).解如圖,設(shè)艦艇從a處靠近漁船所用的時(shí)間為xh,則ab=21xnmile,bc=9xnmile,ac=10nmile,acb=1+2=45+(180-105)=120,根據(jù)余弦定理可得ab2=ac2+bc2-2acbccos120,即(21x)2=102+(9x)2-2109xcos120,亦即36x2-9