一元二次方程應用題歸納分類及經(jīng)典例題

1、元二次方程應用題總結(jié)分類及經(jīng)典例題1、列一元二次方程解應用題的特點列一元二次方程解應用題是列一元一次方程解應用題的繼續(xù)和發(fā)展，從列方程解應用題的方法來講， 列出一元二次方程解應用題與列出一元一次方程解應用題是非常相似的，由于一元一次方程未知數(shù)是一次， 因此這類問題大部分都可通過算術(shù)方法來解決如果未知數(shù)出現(xiàn)二次，用算術(shù)方法就很困難了，正由于未 知數(shù)是二次的，所以可以用一元二次方程解決有關(guān)面積問題，經(jīng)過兩次增長的平均增長率問題，數(shù)學問題 中涉及積的一些問題，經(jīng)營決策問題等等2、列一元二次方程解應用題的一般步驟和列一元一次方程解應用題一樣，列一元二次方程解應用題的一般步驟是：“審、設、列、解、答”

2、(1) “審”指讀懂題目、審清題意，明確已知和未知，以及它們之間的數(shù)量關(guān)系這一步是解決問題的基礎(chǔ)；(2) “設”是指設元，設元分直接設元和間接設元，所謂直接設元就是問什么設什么，間接設元雖然所設未 知數(shù)不是我們所要求的，但由于對列方程有利，因此間接設元也十分重要恰當靈活設元直接影響著列 方程與解方程的難易；(3) “列”是列方程，這是非常重要的步驟，列方程就是找出題目中的等量關(guān)系，再根據(jù)這個相等關(guān)系列出 含有未知數(shù)的等式，即方程找出相等關(guān)系列方程是解決問題的關(guān)鍵；(4) “解”就是求出所列方程的解；(5) “答”就是書寫答案，應注意的是一元二次方程的解，有可能不符合題意，如線段的長度不能為負數(shù)

3、， 降低率不能大于 100%等等因此，解出方程的根后，一定要進行檢驗3、數(shù)與數(shù)字的關(guān)系兩位數(shù)=(十位數(shù)字)X 10+個位數(shù)字4、翻一番三位數(shù)=(百位數(shù)字)X 100+ (十位數(shù)字)X 10+個位數(shù)字翻一番即表示為原量的 2倍，翻兩番即表示為原量的 4 倍5、增長率問題(1) 增長率問題的有關(guān)公式：增長數(shù)=基數(shù)X增長率實際數(shù) =基數(shù)+增長數(shù)(2) 兩次增長，且增長率相等的問題的基本等量關(guān)系式為：原來的X (1 +增長率)增長期數(shù)=后來的說明： (1) 上述相等關(guān)系僅適用增長率相同的情形；(2) 如果是下降率，則上述關(guān)系式為：原來的X (1 增長率)下降期數(shù)=后來的6、利用一元二次方程解幾何圖形中

4、的有關(guān)計算問題的一般步驟(1) 整體地、系統(tǒng)地審讀題意； (2) 尋求問題中的等量關(guān)系 ( 依據(jù)幾何圖形的性質(zhì) ) ；(3) 設未知數(shù)，并依據(jù)等量關(guān)系列出方程； (4) 正確地求解方程并檢驗解的合理性； (5) 寫出答案7、列方程解應用題的關(guān)鍵(1) 審題是設未知數(shù)、列方程的基礎(chǔ)，所謂審題，就是要善于理解題意，弄清題中的已知量和未知數(shù)，分清 它們之間的數(shù)量關(guān)系，尋求隱含的相等關(guān)系；(2) 設未知數(shù)分直接設未知數(shù)和間接設未知數(shù)，這就需根據(jù)題目中的數(shù)量關(guān)系正確選擇設未知數(shù)的方法和正 確地設出未知數(shù)8、列方程解應用題應注意：(1) 要充分利用題設中的已知條件，善于分析題中隱含的條件，挖掘其隱含關(guān)系；

5、(2) 由于一元二次方程通常有兩個根，為此要根據(jù)題意對兩根加以檢驗即判斷或確定方程的根與實際背景 和題意是否相符，并將不符合題意和實際意義的(一) 傳播問題1. 市政府為了解決市民看病難的問題， 決定下調(diào)藥品的價格。某種藥品經(jīng)過連續(xù)兩次降價后， 由每盒 200 元下調(diào)至 128 元，則這種藥品平均每次降價的百分率為2. 有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有 121 人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了個人。3. 某種植物的主干長出若干數(shù)目的支干，每個支干又長出同樣數(shù)目的小分支，主干、支干和小分支的總 數(shù)是 91，每個支干長出小分支。4. 參加一次足球聯(lián)賽的每兩隊之間都進行一場比賽，共比賽45

6、場比賽，共有個隊參加比賽。5. 參加一次足球聯(lián)賽的每兩隊之間都進行兩次比賽，共比賽90 場比賽，共有個隊參加比賽。182 件，這個小6. 生物興趣小組的學生，將自己收集的標本向本組其他成員各贈送一件，全組共互贈了組共有多少名同學？7. 一個小組有若干人，新年互送賀卡，若全組共送賀卡 72 張，這個小組共有多少人？8. 某種電腦病毒傳播非?？?，如果一臺電腦被感染，經(jīng)過兩輪感染后就會有 81 臺電腦被感染請你用學 過的知識分析， 每輪感染中平均一臺電腦會感染幾臺電腦？若病毒得不到有效控制，3 輪感染后，被感染的電腦會不會超過 700 臺？（二）平均增長率問題變化前數(shù)量X（ 1 X）n=變化后數(shù)量1

7、. 青山村種的水稻 2001 年平均每公頃產(chǎn) 7200 公斤， 2003 年平均每公頃產(chǎn) 8450 公斤， 水稻每公頃產(chǎn)量的 年平均增長率為。2. 某種商品經(jīng)過兩次連續(xù)降價，每件售價由原來的 90元降到了 40 元，求平均每次降價率是。3. 周嘉忠同學將 1000 元壓歲錢第一次按一年定期含蓄存入“少兒銀行” ，到期后將本金和利息取出，并 將其中的 500 元捐給“希望工程” ，剩余的又全部按一年定期存入，這時存款的年利率已下調(diào)到第一次 存款時年利率的 60%，這樣到期后，可得本金和利息共530 元，求第一次存款時的年利率 . （利息稅為20%，只需要列式子） 。4. 某種商品，原價50元，受

8、金融危機影響，1月份降價10%,從2月份開始漲價，3月份的售價為元， 求2、3月份價格的平均增長率。5. 某藥品經(jīng)兩次降價，零售價降為原來的一半，已知兩次降價的百分率相同，求每次降價的百分率？6. 為了綠化校園，某中學在 2007年植樹400棵，計劃到2009年底使這三年的植樹總數(shù)達到1324棵，求該校植樹平均每年增長的百分數(shù)。7. 王紅梅同學將1000元壓歲錢第一次按一年定期含蓄存入“少兒銀行”，到期后將本金和利息取出，并將其中的500元捐給“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，這時存款的年利率已下調(diào)到第一次存款時年利率的90%這樣到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款時的年利率

9、 .（假設不計利息稅）（三）商品銷售問題售價一進價=利潤單件利潤X銷售量=總利潤單價X銷售量=銷售額1. 某商店購進一種商品，進價30元試銷中發(fā)現(xiàn)這種商品每天的銷售量P（件）與每件的銷售價 X（元）滿足關(guān)系：P-100-2X銷售量P,若商店每天銷售這種商品要獲得200兀的利潤，那么每件商品的售價應定為多少元？每天要售出這種商品多少件?2. 某玩具廠計劃生產(chǎn)一種玩具熊貓，每日最高產(chǎn)量為4 0只，且每日產(chǎn)出的產(chǎn)品全部售出，已知生產(chǎn)x只熊貓的成本為R (元)，售價每只為P (元)，且R、P與x的關(guān)系式分別為 R=500+30X P=170-2X。(1) 當日產(chǎn)量為多少時每日獲得的利潤為1750元？(

10、2) 若可獲得的最大利潤為1950元，問日產(chǎn)量應為多少？3. 某水果批發(fā)商場經(jīng)銷一種高檔水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進貨價不變的情況下，若每千克漲價1元，日銷售量將減少20千克?，F(xiàn)該商品要保證每天盈利6000元，同時又要使顧客得到實惠，那么每千克應漲價多少元？4. 服裝柜在銷售中發(fā)現(xiàn)某品牌童裝平均每天可售出2 0件，每件盈利4 0元。為了迎接“六一”兒童節(jié)，商場決定采取適當?shù)慕祪r措施，擴大銷售量，增加盈利，減少庫存。經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件童裝每降價4元，那么平均每天就可多售出8件。要想平均每天在銷售這種童裝上盈利1200元，那么每件童裝應降價多少元？5

11、. 西瓜經(jīng)營戶以2元/千克的價格購進一批小型西瓜，以3元/千克的價格出售，每天可售出2 0 0千克。為了促銷，該經(jīng)營戶決定降價銷售。經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種小型西瓜每降價元/千克，每天可多售出 40千克。另外，每天的房租等固定成本共2 4元。該經(jīng)營戶要想每天盈利200元，應將每千克小型西瓜的售價降低多少元？6. 益群精品店以每件 21 元的價格購進一批商品，該商品可以自行定價，若每件商品售價 a 元，則可賣出 (350 10a)件，但物價局限定每件商品的利潤不得超過20%商店計劃要盈利 400元，需要進貨多少件？每件商品應定價多少？7. 利達經(jīng)銷店為某工廠代銷一種建筑材料(這里的代銷是指廠家先免費提供

12、貨源，待貨物售 出后再進行結(jié)算， 未售出的由廠家負責處理) 。當每噸售價為 260元時，月銷售量為 45 噸。 該經(jīng)銷店為提高經(jīng)營利潤，準備采取降價的方式進行促銷。經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：當每噸售價 每下降 10 元時，月銷售量就會增加噸。綜合考慮各種因素，每售出一噸建筑材料共需支 付廠家及其它費用 100元。(1)當每噸售價是 240 元時，計算此時的月銷售量； (2)在遵 循“薄利多銷”的原則下，問每噸材料售價為多少時，該經(jīng)銷店的月利潤為 9000 元。(3) 小靜說：“當月利潤最大時，月銷售額也最大。 ”你認為對嗎？請說明理由。8. 國家為了加強對香煙產(chǎn)銷的宏觀管理 , 對銷售香煙實行征收附加稅

13、政策 . 現(xiàn)在知道某種品牌的香煙每 條的市場價格為 70元,不加收附加稅時 , 每年產(chǎn)銷 100 萬條,若國家征收附加稅 ,每銷售 100元征稅 x 元(叫做稅率 x%), 則每年的產(chǎn)銷量將減少 10x 萬條.要使每年對此項經(jīng)營所收取附加稅金為 168萬元, 并使香煙的產(chǎn)銷量得到宏觀控制 ,年產(chǎn)銷量不超過 50萬條, 問稅率應確定為多少 ?9. 春秋旅行社為吸引市民組團去天水灣風景區(qū)旅游，推出了如圖 1 對話中收費標準 . 某單位組織員工去天 水灣風景區(qū)旅游，共支付給春秋旅行社旅游費用27000 元. 請問該單位這次共有多少員工去天水灣風景區(qū)旅游？如果人數(shù)不超過25人，人均旅游費用為1000元

14、.但人均旅游費用不得低人，人均旅游費用降低如果人數(shù)超過25人（四）面積問題判斷清楚要設什么是關(guān)鍵1. 一個直角三角形的兩條直角邊的和是14cm,面積是24cm，兩條直角邊的長分別是。2. 一個直角三角形的兩條直角邊相差5皿，面積是7 cm 2,斜邊的長是。3. 一個菱形兩條對角線長的和是10 cm，面積是12 cm 2,菱形的周長是。（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）4. 為了綠化學校，需移植草皮到操場，若矩形操場的長比寬多14米，面積是3200平方米則操場的長為米，寬為米。5. 若把一個正方形的一邊增加2cm另一邊增加1cm得到的矩形面積的 2倍比正方形的面積多 11cm，則原正方形的邊長為 cm.6

15、. 如圖，在長為10cm,寬為8cm的矩形的四個角上截去四個全等的正方形，使得留下的圖形（圖中陰影部分）面積是原矩形面積的 80，所截去的小正方形的邊長是。7. 張大叔從市場上買回一塊矩形鐵皮，他將此矩形鐵皮的四個角各剪去一個邊長為 1 米的正方形后，剩 下的部分剛好能圍成一個容積為 15立方米的無蓋長方體箱子，且此長方體箱子的底面長比寬多 2 米， 現(xiàn)已購買這種鐵皮每平方米需 20 元錢，問張大叔購買這張鐵皮共花了是元錢8. 如圖， 在寬為 20m ，長為 30m ，的矩形地面上修建兩條同樣寬且互相垂直的道路， 余分作為耕地為 551 m2。則道路的寬為是。9. 如圖某農(nóng)場要建一個長方形的養(yǎng)

16、雞場，雞場的一邊靠墻（墻長18m,另三邊用木欄圍成，木欄長 35m雞場的面積能達到i5om嗎？雞場的面積能達到i8om嗎？如果能，請你給出設計方案；如果不能， 請說明理由。（3）若墻長為am,另三邊用竹籬笆圍成，題中的墻長度am對題目的解起著怎樣的作用 ？（五）工程問題1. 某公司需在一個月（ 31 天）內(nèi)完成新建辦公樓的裝修工程如果由甲、乙兩個工程隊合做，12天可完成；如果由甲、乙兩隊單獨做，甲隊比乙隊少用10天完成（1）求甲、乙兩工程隊單獨完成此項工程所需的天數(shù)（2）如果請甲工程隊施工，公司每日需付費用2000 元；如果請乙隊施工，公司每日需付費用1400元在規(guī)定時間內(nèi)：A.請甲隊單獨完成

17、此項工程出.B請乙隊單獨完成此項工程；C.請甲、乙兩隊合作完成此項工程以上三種方案哪一種花錢最少？2. 搬運一個倉庫的貨物，如果單獨搬空，甲需 10小時完成，乙需 12小時完成，丙需 15 小時完成，有貨 物存量相的兩個倉庫 A和B,甲在A倉庫，乙在B倉庫同時開始搬運貨物，丙開始幫助甲搬運，中途又 轉(zhuǎn)向幫助乙，最后兩個倉庫的貨物同時搬完，丙幫助甲乙各多少時間？（列式子）3. 乙兩人都以不變的速度在環(huán)形路上跑步，相向而行，每隔2 分鐘相遇一次；同向而行，每隔 6 分鐘相遇一次，已知甲比乙跑得快，求甲、乙每分鐘各跑幾圈？4. 某油庫的儲油罐有甲、乙兩個注油管，單獨開放甲管注滿油罐比單獨開放乙管注滿

18、油罐少用4 小時，兩管同時開放 3 小時后，甲管因發(fā)生故障停止注油，乙管繼續(xù)注油 9小時后注滿油罐，求甲、乙兩管 單獨開放注滿油罐時各需多少小時？六）行程問題1、A、B兩地相距82km,甲騎車由A向B駛?cè)ィ?分鐘后，乙騎自行車由 B出發(fā)以每小時比甲快 2km的速度向A駛?cè)ィ瑑扇嗽谙嗑?B點40km處相遇。問甲、乙的速度各是多少甲、乙二人分別從相距 20千米的A、B兩地以相同的速度同時相向而行，相遇后，二人繼續(xù)前進，乙的速 度不變，甲每小時比原來多走1千米，結(jié)果甲到達 B地后乙還需30分鐘才能到達 A地，求乙每小時走多少千米3、 甲、乙兩個城市間的鐵路路程為 1600 公里，經(jīng)過技術(shù)改造，列車實

19、施了提速，提速后比提速前速度增 加 20公里/小時，列車從甲城到乙城行駛時間減少 4小時，這條鐵路在現(xiàn)有的安全條件下安全行駛速度不 得超過 140公里/小時.請你用學過的數(shù)學知識說明在這條鐵路現(xiàn)有的條件下列車還可以再次提速.4、甲、乙兩人分別騎車從 A，B兩地相向而行，甲先行 1小時后，乙才出發(fā)，又經(jīng)過 4小時兩人在途中的 C 地相遇，相遇后兩人按原來的方向繼續(xù)前進。乙在由C地到達A地的途中因故停了 20分鐘，結(jié)果乙由 C地到達A地時比甲由C地到達B地還提前了 40分鐘，已知乙比甲每小時多行駛4千米，求甲、乙兩人騎車的速度。七）、增長率問題：1、恒利商廈九月份的銷售額為 200 萬元，十月份的

20、銷售額下降了20%，商廈從十一月份起加強管理，改善經(jīng)營，使銷售額穩(wěn)步上升，十二月份的銷售額達到了萬元，求這兩個月的平均增長率.2、某種電腦病毒傳播非常快，如果一臺電腦被感染，經(jīng)過兩輪感染后就會有81 臺電腦被感染請你用學過的知識分析， 每輪感染中平均一臺電腦會感染幾臺電腦？若病毒得不到有效控制，3 輪感染后，被感染的電腦會不會超過 700 臺？3、王紅梅同學將 1000 元壓歲錢第一次按一年定期含蓄存入“少兒銀行” ，到期后將本金和利息取出，并將 其中的 500 元捐給“希望工程” ，剩余的又全部按一年定期存入，這時存款的年利率已下調(diào)到第一次存款時 年利率的 90%，這樣到期后，可得本金和利息共530 元，求第一次存款時的年利率 . （假設不計利息稅）4、周嘉忠同學將 1000 元壓歲錢第一次按一年定期含蓄存入“少兒銀行” ，到期后將本金和利息取出，并將 其中的 500 元捐給“希望工程” ，剩余的又全部按一年定期存入，這時存款的年利率已下調(diào)到第一次存款時 年利率的 60%，這樣到期后，可得本金和利息共530 元，求第一次存款時的年利率 . （利息稅為 20%，只需要列式子）5、市政府為了解決市民看病難的問題，決定下調(diào)藥品的價格。某種藥品經(jīng)過連續(xù)兩次降價后，由每盒200元下調(diào)至 128 元，則這種藥品平均每次降價的百分率為七、動