5曲線在一點(diǎn)附近的結(jié)構(gòu)

1、作者：王幼寧第二章曲線的局部微分幾何5 曲線在一點(diǎn)附近的結(jié)構(gòu)對無逗留點(diǎn)的曲線，本節(jié)將具體說明由 Frenet 公式可確定其在一點(diǎn)附 近的許多性質(zhì)曲線的局部規(guī)范形式按照 Taylor 展開式的 基本思想 ，曲線的位置向量函數(shù)在所指定的任意 點(diǎn)鄰近都可以用適當(dāng)次數(shù)的多項(xiàng)式向量函數(shù)來 逼近對于 C3 弧長 s參數(shù)化曲線 C: r r(s) ，任取其上一點(diǎn) P0: r(s0) ，不妨設(shè) s0 0 ，則有 Peano余項(xiàng) 形式的 Taylor 展開式(5.1)2sr(s) r(0) sr (0) 2 r (0)s33s r (0)o(s3) ，其中余項(xiàng) o(s3) 是 s3 的高階無窮小向量 若 C 無

2、逗留點(diǎn)，則上式可用Frenet 標(biāo)架表出 事實(shí)上，記r(0); T(0), N(0), B(0) r0; T0 , N0 , B0 ， (0) 0， (0) 0， 則易知有(5.2) r(0) T0 , r (0) 0N0 , r (0)(0)N0 0 0T0 0B0 此式說明： 通過對線性無關(guān)向量組 r (s), r (s), r (s) 進(jìn)行規(guī)范的 Schmidt 正交化，所得到的標(biāo)準(zhǔn)單位正交基實(shí)際上就是 Frenet 標(biāo)架基向量組 T(s), N(s), B(s) 同時，取 r0; T0 , N0 , B0 為 E3 的一個新的單位正交右手標(biāo) 架，所建立的新直角坐標(biāo)系坐標(biāo)記為 (x*,

3、y*, z*) ，則此時曲線 C 的參數(shù)方 程轉(zhuǎn)化為r* r*(s) (x*( s), y*( s), z*( s) x*( s)T0 + y*( s)N0 + z*( s)B 0 ，其中 r*(s) r(s)x*(5.3)y*z*r0 由此，將 (5.2) 式代入 (5.1) 式， 260 s3 ox*(s3)20 s26(0 ) s3 oy*(s3) ，0 0 3 306 0 s3 oz* (s3)C 的分量形式即為其中余項(xiàng) ox* ( s3), oy*(s3), oz*(s3) 分別是 s3 的高階無窮小此式稱為曲線 C 在 點(diǎn) P0 處的 標(biāo)準(zhǔn)展開 或局部規(guī)范形式 ，或稱為 Bouqu

4、et 公式 作者：王幼寧曲線的局部近似曲線對于撓曲線，其 局部規(guī)范形式的主要部分 確定了一條三次多項(xiàng)式曲線(5.4) C*: r*(s) (s , 02s , 0 60 s ) 直接計算 表明，其位置向量的導(dǎo)向量函數(shù)在P0 點(diǎn)與曲線 C 具有相同的取值進(jìn)一步， 曲線 C* 與曲線 C 在 P0 點(diǎn)具有相同的 Frenet 標(biāo)架以及相同的 曲率值和撓率值 （參見習(xí)題 ）；這說明它們的幾何行為在 P0 點(diǎn)附近也是很 接近的曲線 C* 稱為曲線 C在 P0點(diǎn)的局部 近似曲線 注意， 曲線 C* 與 曲線 C 的弧長參數(shù)并不一定一致 （ 參見習(xí)題 ），只是上述各取值相同之處 一定包含著所考慮的點(diǎn) P0

5、 而已但無論如何， 從逼近的角度去看，近似曲 線的局部形狀已經(jīng)足以反映出原有撓曲線的局部形狀為觀察 近似曲線 （5.4） 在 P0 點(diǎn)附近的圖形 ，可以通過觀察其 向 Frenet 標(biāo)架坐標(biāo)面上的投影曲 線的圖形而進(jìn)行，從而得到其基 本特征 向密切平面上的投影曲 線為拋物線(5.5)02 y* x* 2 ， y*2 x* ，z* 0 ；向從切平面的投影曲線為立方拋物線(5.6)z*y*0 0 x*36 x*向法平面的投影曲線為半立方拋物線右旋上升”穿過法平面和密切平面而去圖2-9示意了 當(dāng) 0 0 時，近似曲線和原曲線都是從密切平面“下方”曲線和原曲線都是從密切平面“上方”“右旋下降”穿過法平

6、面和密切平 面而去 此時曲線的局部基本狀況分別類似于右旋上升的圓柱螺線和右旋 下降的圓柱螺線并且， (5.3) 式和 (5.4) 式說明 主法向量總是指向原曲線 和近似曲線 “凹”的一側(cè)，曲線局部也總是落在這一側(cè)三曲線的切觸為了比較兩條曲線 在某個局部的接近程度 ，通常為了方便而將所考慮 的一對對應(yīng)點(diǎn)視為兩條曲線的公共點(diǎn)如果還想知道這兩條曲線的位置差 異程度，那么，引進(jìn)所謂切觸及其階數(shù)的概念將是方便的設(shè)相交于點(diǎn) P0 的曲線 C: r(s) 和曲線 C*: r*(s) 同時以 s 為弧長參數(shù) ， 并且不妨設(shè) OP0 r(s0) r*( s0) ，則兩條曲線上的 點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系規(guī)定為取相 同的參數(shù)

7、值 ，幾何意義即為對應(yīng)點(diǎn)到公共交點(diǎn)P0 的弧段具有相同的有向長度此時， 對應(yīng)點(diǎn)之間在 E3 中的距離 若為它們 到交點(diǎn) P0 的弧段長度 的高 階無窮小，即(5.8)lsims r(s) r*(s) 0 ，s s0s s0則稱兩條曲線 C和 C* 在點(diǎn) P0切觸若正整數(shù) n使(5.9)lsims r( s(s) rs0*()ns)s s0(s s0)lsims0 r (ss) sr0)*(n+s1)則稱兩條曲線 C 和 C* 在點(diǎn) P0 有 n 階切觸 (或 n 階密切 )(5.3) 式和 (5.4) 式說明 撓曲線及其近似曲線有至少二階切觸作者：王幼寧從 (5.1) 式和 (5.2) 式還可

8、以看到， 相切的兩條曲線若在切點(diǎn)具有相同 的非零曲率值和相同的有向密切平面，則它們在切點(diǎn)有 至少 二階切觸 由 此， 密切平面上存在以曲率半徑為半徑的圓周與原曲線有 至少 二階切觸 ； 稱該圓周為原曲線在切觸點(diǎn)的 曲率圓周 ，稱曲率圓周的圓心為原曲線的 曲 率中心 曲線與曲面的接近程度也可以用 同樣的方法 進(jìn)行考察習(xí)題 對于以 (5.3) 式確定的無逗留點(diǎn)的 C3 弧長 s 參數(shù)化曲線 C: r r(s) ，以 (5.4) 式確定 了曲線 C* 試證：參數(shù) s不一定是 C* 的弧長參數(shù)，但在點(diǎn) s 0 處C* 和 C具有 相同的曲率和撓率 已知兩條正則曲線關(guān)于一張平面對稱，并且按對稱關(guān)系確定了點(diǎn)點(diǎn)對應(yīng)試證： 在對應(yīng)點(diǎn)，這兩條曲線具有相同的曲率和符號相