數(shù)學(xué)歸納法知識(shí)點(diǎn)大全(綜合)復(fù)習(xí)過(guò)程

1、數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法是用于證明與正整數(shù) n 有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的正確性的 一種嚴(yán)格的推理方法在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中占有很重要的地位（1）第一數(shù)學(xué)歸納法設(shè) p ( n) 是一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題，如果1 n =n （ n n 1數(shù)學(xué)歸納法的基本形式）時(shí)， p ( n ) 成立； 0 01 假設(shè) n =k ( k n , k n ) 成立，由此推得 n =k +1時(shí)，p ( n) 也成立，0那么，根據(jù)對(duì)一切正整數(shù) n n 時(shí)， p ( n) 成立0（2）第二數(shù)學(xué)歸納法設(shè) p ( n) 是一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題，如果當(dāng) n =n （ n n ）時(shí)， p ( n ) 成立；0 0假設(shè) n k ( k n , k n

2、 ) 成立，由此推得 n =k +1時(shí)，p ( n ) 也成立，0那么，根據(jù)對(duì)一切正整數(shù) n n 時(shí)， p ( n) 成立02數(shù)學(xué)歸納法的其他形式（1）跳躍數(shù)學(xué)歸納法1 當(dāng) n =1,2,3, l , l 時(shí)， p (1), p (2), p (3), l , p (l ) 成立，2 假設(shè) n =k 時(shí) p ( k ) 成立，由此推得 n =k +l 時(shí)，p ( n ) 也成立，那么， 根據(jù)對(duì)一切正整數(shù) n 1 時(shí)， p ( n) 成立（2）反向數(shù)學(xué)歸納法設(shè) p ( n) 是一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題，如果1 / 51 p ( n) 對(duì)無(wú)限多個(gè)正整數(shù) n 成立；1 假設(shè) n =k 時(shí)，命題 p (

3、 k ) 成立，則當(dāng) n =k -1時(shí)命題 p ( k -1) 也成 立，那么根據(jù)對(duì)一切正整數(shù) n 1 時(shí)， p ( n) 成立例如，用數(shù)學(xué)歸納法證明：為非負(fù)實(shí)數(shù)，有在證明中，由真，不易證出真；然而卻很容易證出真，又容易證明不等式對(duì)無(wú)窮多個(gè) （只要型的自然數(shù)）為真；從而證明，不等式成立（ 3 ）螺旋式歸納法p （n）， q（ n ）為兩個(gè)與自然數(shù) 有關(guān)的命題，假如1 p(n0) 成立；2 假設(shè) p(k) (kn0) 成立，能推出 q(k) 成立，假設(shè) q(k) 成立，能 推出 p(k+1) 成立；綜合（ 1 ）（ 2 ） , 對(duì)于一切自然數(shù) n（n0 ）， p(n),q(n) 都成立； （ 4

4、 ）雙重歸納法設(shè)是一個(gè)含有兩上獨(dú)立自然數(shù)的命題與對(duì)任意自然數(shù)成立；若由和成立，能推出成立；根據(jù)（1）、（2）可斷定，對(duì)一切自然數(shù)均成立3應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法的技巧（1）起點(diǎn)前移：有些命題對(duì)一切大于等于 1 的正整數(shù)正整數(shù) n 都成 立，但命題本身對(duì) n =0 也成立，而且驗(yàn)證起來(lái)比驗(yàn)證 n =1 時(shí)容易，2 / 5因此用驗(yàn)證 n =0 成立代替驗(yàn)證 n =1 ，同理，其他起點(diǎn)也可以前移， 只要前移的起點(diǎn)成立且容易驗(yàn)證就可以因而為了便于起步，有意 前移起點(diǎn)（2） 起點(diǎn)增多：有些命題在由 n =k 向 n =k +1跨進(jìn)時(shí)，需要經(jīng)其他 特殊情形作為基礎(chǔ)，此時(shí)往往需要補(bǔ)充驗(yàn)證某些特殊情形，因此需 要適當(dāng)增

5、多起點(diǎn)（3） 加大跨度：有些命題為了減少歸納中的困難，適當(dāng)可以改變跨 度，但注意起點(diǎn)也應(yīng)相應(yīng)增多（4） 選擇合適的假設(shè)方式：歸納假設(shè)為一定要拘泥于“假設(shè) n =k 時(shí) 命題成立”不可，需要根據(jù)題意采取第一、第二、跳躍、反向數(shù)學(xué) 歸納法中的某一形式，靈活選擇使用（5） 變換命題：有些命題在用數(shù)學(xué)歸納證明時(shí)，需要引進(jìn)一個(gè)輔助 命題幫助證明，或者需要改變命題即將命題一般化或加強(qiáng)命題才能 滿足歸納的需要，才能順利進(jìn)行證明5歸納、猜想和證明在數(shù)學(xué)中經(jīng)常通過(guò)特例或根據(jù)一部分對(duì)象得出的結(jié)論可能是正確 的，也可能是錯(cuò)誤的，這種不嚴(yán)格的推理方法稱為不完全歸納法不 完全歸納法得出的結(jié)論，只能是一種猜想，其正確與否

6、，必須進(jìn)一 步檢驗(yàn)或證明，經(jīng)常采用數(shù)學(xué)歸納法證明不完全歸納法是發(fā)現(xiàn)規(guī) 律、解決問(wèn)題極好的方法從 0 以外的數(shù)字開(kāi)始如果我們想證明的命題并不是針對(duì)全部自然數(shù)，而只是針對(duì) 所有大于等于某個(gè)數(shù)字 b 的自然數(shù)，那么證明的步驟需要做如下 修改：3 / 5第一步，證明當(dāng) n=b 時(shí)命題成立。 第二步，證明如果 n=m(m b)成立，那么可以推導(dǎo)出 n=m+1 也成立。 用這個(gè)方法可以證 明諸如“當(dāng) n 3 時(shí)， n22n ”這一類命題。只針對(duì)偶數(shù)或只針對(duì)奇數(shù)如果我們想證明的命題并不是針對(duì)全部自然數(shù)，而只是針對(duì) 所有奇數(shù)或偶數(shù)，那么證明的步驟需要做如下修改：奇數(shù)方面：第一步，證明當(dāng) n=1 時(shí)命題成立。

7、第二步，證明如果 n=m 成立，那么可以推導(dǎo)出 n=m+2 也成立。偶數(shù)方面：第一步，證明當(dāng) n=0 或 2 時(shí)命題成立。 第二步，證明如果 n=m 成立，那么可以推導(dǎo)出 n=m+2 也成立。遞降歸納法數(shù)學(xué)歸納法并不是只能應(yīng)用于形如 “對(duì)任意的 n ”這樣的命題。 對(duì)于形如“對(duì)任意的 n=0,1,2,.,m ”這樣的命題，如果對(duì)一般的 n 比較復(fù)雜，而 n=m 比較容易驗(yàn)證，并且我們可以實(shí)現(xiàn)從 k 到 k - 1 的遞推， k= 1,., m 的話，我們就能應(yīng)用歸納法得到對(duì)于任意的 n=0,1,2,.,m ，原命題均成立。（一）第一數(shù)學(xué)歸納法：一般地，證明一個(gè)與自然數(shù) n 有關(guān)的命題 p(n），有如下步驟：（1） 證明當(dāng) n 取第一個(gè)值 n0 時(shí)命題成立。n0 對(duì)于一般數(shù)列取值為 0 或 1，但也有特殊情況；（2） 假設(shè)當(dāng) n=k（kn0，k 為自然數(shù)）時(shí)命題成立，證明當(dāng) n=k+1 時(shí)命題也成立。綜合（1）（2），對(duì)一切自然數(shù) n（n0），命題 p(n）都成立。4 / 5（二）第二數(shù)學(xué)歸納法：對(duì)于某個(gè)與自然數(shù)有關(guān)的命