勻速圓周運(yùn)動(dòng)專題

1、勻速圓周運(yùn)動(dòng)專題從現(xiàn)行高中知識體系來看，勻速圓周運(yùn)動(dòng)上承牛頓運(yùn)動(dòng)定律，下接萬 有引力，因此在高一物理中占據(jù)極其重要的地位，同時(shí)學(xué)好這一章還將為 高二的帶電粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)及高三復(fù)習(xí)中解決圓周運(yùn)動(dòng)的綜合咨詢題 打下良好的基礎(chǔ)。（一）基礎(chǔ)知識1. 勻速圓周運(yùn)動(dòng)的差不多概念和公式（1）線速度大小v S 2，方向沿圓周的切線方向，時(shí)刻變化；2 T（2） 角速度一，恒定不變量；t T（3）周期與頻率t丄；2 f（4）向心力F 叱 mr 2，總指向圓心，時(shí)刻變化，向心加速度2rr 2，方向與向心力相同；r（5）線速度與角速度的關(guān)系為v r，v、T、f的關(guān)系為r 2 rf。因此在T、f中若一個(gè)量確定，其余

2、兩個(gè)量也就確定了，而v還和r有關(guān)2. 質(zhì)點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的條件（1）具有一定的速度；（2）受到的合力（向心力）大小不變且方向始終與速度方向垂直。合 力（向心力）與速度始終在一個(gè)確定不變的平面內(nèi)且一定指向圓心。3. 向心力有關(guān)講明向心力是一種成效力。任何一個(gè)力或者幾個(gè)力的合力，或者某一個(gè)力 的某個(gè)分力，只要其成效是使物體做圓周運(yùn)動(dòng)的，都能夠認(rèn)為是向心力。 做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，向心力確實(shí)是物體所受的合力，總是指向圓心； 做變速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，向心力只是物體所受合外力在沿著半徑方向上的 一個(gè)分力，合外力的另一個(gè)分力沿著圓周的切線，使速度大小改變，因此 向心力不一定是物體所受的合外力。（二）解決圓周

3、運(yùn)動(dòng)咨詢題的步驟1. 確定研究對象；2. 確定圓心、半徑、向心加速度方向；3. 進(jìn)行受力分析，將各力分解到沿半徑方向和垂直于半徑方向；4. 按照向心力公式，列牛頓第二定律方程求解。差不多規(guī)律：徑向合外力提供向心力 F合F向（三）常見咨詢題及處理要點(diǎn)1. 皮帶傳動(dòng)咨詢題例1:如圖1所示，為一皮帶傳動(dòng)裝置，右輪的半徑為 r，a是它邊緣 上的一點(diǎn)，左側(cè)是一輪軸，大輪的半徑為4r，小輪的半徑為2r, b點(diǎn)在小輪上，到小輪中心的距離為r，c點(diǎn)和d點(diǎn)分不位于小輪和大輪的邊緣上， 若在傳動(dòng)過程中，皮帶不打滑，則（）A. a點(diǎn)與b點(diǎn)的線速度大小相等B. a點(diǎn)與b點(diǎn)的角速度大小相等G a點(diǎn)與c點(diǎn)的線速度大小相等

4、2r r rD. 點(diǎn)與d點(diǎn)的向心加速度大小相等4r7/d圖1解析：皮帶不打滑，故a、c兩點(diǎn)線速度相等，選 C； c點(diǎn)、b點(diǎn)在同 一輪軸上角速度相等，半徑不同，由v r ，b點(diǎn)與c點(diǎn)線速度不相等，故 a與b線速度不等，A錯(cuò)；同樣可判定a與c角速度不同，即a與b角速度2不同，B錯(cuò)；設(shè)a點(diǎn)的線速度為V，則a點(diǎn)向心加速度aa ，由vc 2r ，rVd 4r ，因此Vd 2Vc 2Va，故ad， D正確。本題正確答案 C、D。點(diǎn)評：處理皮帶咨詢題的要點(diǎn)為：皮帶（鏈條）上各點(diǎn)以及兩輪邊緣 上各點(diǎn)的線速度大小相等，同一輪上各點(diǎn)的角速度相同。2. 水平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤：物體在轉(zhuǎn)盤上隨轉(zhuǎn)盤一起做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，

5、物體與轉(zhuǎn)盤間分無 繩和有繩兩種情形。無繩時(shí)由靜摩擦力提供向心力；有繩要考慮臨界條件。例1:如圖2所示，水平轉(zhuǎn)盤上放有質(zhì)量為 m的物體，當(dāng)物塊到轉(zhuǎn)軸的距離為r時(shí)，連接物塊和轉(zhuǎn)軸的繩剛好被拉直（繩上張力為零）。物體和 轉(zhuǎn)盤間的最大靜摩擦力是其正壓力的倍。求：習(xí)）當(dāng)轉(zhuǎn)盤的角速度i $時(shí)，細(xì)繩的拉力Ft1。（2）當(dāng)轉(zhuǎn)盤的角速度 2時(shí)，細(xì)繩的拉力Ft2。 2r圖2解析：設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)過程中物體與盤間恰好達(dá)到最大靜摩擦力時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為0，則mg m 0r，解得 嚴(yán)（1） 因?yàn)閕 、g，因此物體所需向心力小于物與盤間的最大摩 2r擦力，則物與盤產(chǎn)生的摩擦力還未達(dá)到最大靜摩擦力，細(xì)繩的拉力仍為0,即 Ft1 0。（

6、2） 因?yàn)? 3 g0，因此物體所需向心力大于物與盤間的最大靜 2r摩擦力，則細(xì)繩將對物體施加拉力FT2，由牛頓第二定律得FT2 mg m |r， 解得 Ft 2 -。2點(diǎn)評：當(dāng)轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動(dòng)角速度0時(shí)，物體有繩相連和無繩連接是一樣的，現(xiàn)在物體做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力是由物體與圓臺間的靜摩擦力提供的， 求出0 :?？梢姡?是物體相對圓臺運(yùn)動(dòng)的臨界值，那個(gè)最大角速度0 與物體的質(zhì)量無關(guān)，僅取決于 和r。這一結(jié)論同樣適用于汽車在平路上轉(zhuǎn) 彎。圓錐擺：圓錐擺是運(yùn)動(dòng)軌跡在水平面內(nèi)的一種典型的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。 其特點(diǎn)是由物體所受的重力與彈力的合力充當(dāng)向心力，向心力的方向水平。也能夠講是其中彈力的水平分力提供向心力（彈

7、力的豎直分力和重力互為 平穩(wěn)力）。例2:小球在半徑為R的光滑半球內(nèi)做水平面內(nèi)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，試|,I分析圖3中的 （小球與半球球心連線跟豎直方向的夾角）與線速度v、周期T的關(guān)系 （小球的半徑遠(yuǎn)小于 R）。G解析：小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心在和小球等高的水平面上（不在半 球的球心），向心力F是重力G和支持力Fn的合力，因此重力和支持力的2 合力方向必定水平。如圖3所示有mg tan mvRsi n由此可得 v JgRtan sin ， T 2 CS 可見， 越大（即軌跡所在平面越高），V越大,mRsi nT越小。做勻速圓周飛行等在水平面內(nèi)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)的咨詢題。 和彈力的合力提供向心乍力，向心力方

8、向水平。面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng) 繩g豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)最高點(diǎn)處的受力特點(diǎn)及題型分類（圖4）。_or.3.共同點(diǎn)是由重力點(diǎn)評：本題的分析方法和結(jié)論同樣適用于火車轉(zhuǎn)彎、飛機(jī)在水平面內(nèi)圖4這類咨詢題的特點(diǎn)是：由于機(jī)械能守恒，物體做圓周運(yùn)動(dòng)的速率時(shí)刻 在改變，因此物體在最高點(diǎn)處的速率最小，在最低點(diǎn)處的速率最大。物體 在最低點(diǎn)處向心力向上，而重力向下，因此彈力必定向上且大于重力；而 在最高點(diǎn)處，向心力向下，重力也向下，因此彈力的方向就不能確定了， 要分三種情形進(jìn)行討論。2（1） 彈力只可能向下，如繩拉球。這種情形下有F mg凹匕mg，R即v gR，否則不能通過最高點(diǎn)；2（2）彈力只可能向上，如車過橋。在這種情形下

9、有 mg F 以 mg，RvgR，否則車將離開橋面，做平拋運(yùn)動(dòng)；（3） 彈力既可能向上又可能向下，如管內(nèi)轉(zhuǎn)（或桿連球、環(huán)穿珠）。這種情形下，速度大小V能夠取任意值。但能夠進(jìn)一步討論：a.當(dāng)v gR 時(shí)物體受到的彈力必定是向下的；當(dāng)v gR時(shí)物體受到的彈力必定是向上的；當(dāng)v gR時(shí)物體受到的彈力恰好為零。b.當(dāng)彈力大小F mg時(shí)，向心 力有兩解mg F ;當(dāng)彈力大小F mg時(shí)，向心力只有一解F mg ;當(dāng)彈力F mg時(shí)，向心力等于零，這也是物體恰能過最高點(diǎn)的臨界條件。結(jié)合牛頓定律的題型例3:如圖5所示，桿長為I，球的質(zhì)量為m，桿連球在豎直平面內(nèi)繞 軸0自由轉(zhuǎn)動(dòng)，已知在最高點(diǎn)處，桿對球的彈力大小為

10、 F 1mg，求這時(shí) 小球的瞬時(shí)速度大小。解析：小球所需向心力向下，本題中mg，因此彈力的方向可能向上也可能向下。（1）若F向上，則 mg F（2）若F向下，則 mg F2mvI 2， mvvv1F mg2圖8點(diǎn)評：本題是桿連球繞軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)，按照機(jī)械能守恒，還能求出小球 在最低點(diǎn)的即時(shí)速度需要注意的是：若題目中講明小球在桿的帶動(dòng)下在豎直面內(nèi)做勻速圓 周運(yùn)動(dòng)，則運(yùn)動(dòng)過程中小球的機(jī)械能不再守恒，這兩類題一定要分清。結(jié)合能量的題型例4: 一內(nèi)壁光滑的環(huán)形細(xì)圓管，位于豎直平面內(nèi)，環(huán)的半徑為R （比 細(xì)管的半徑大得多），在圓管中有兩個(gè)直徑與細(xì)管內(nèi)徑相同的小球A、B，質(zhì)量分不為m!、m2，沿環(huán)形管順時(shí)針運(yùn)

11、動(dòng)，通過最低點(diǎn)的速度差不多上vo， 當(dāng)A球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，B球恰好到最高點(diǎn)，若要現(xiàn)在作用于細(xì)管的合力 為零，那么m!、m2、R和v0應(yīng)滿足的關(guān)系是。解析：由題意分不對 A、B小球和圓環(huán)進(jìn)行受力分析如圖 6所示。 2 關(guān)于A球有Fni mig miv 關(guān)于BB球有Fn2 m2gJN2 按照機(jī)械能守恒定律12 由環(huán)的平穩(wěn)條件Fn2 Fni p Fni而 F N1 F N1 ， Fn2 由以上各式解得（mi 5mFN）1gR （mi m?； 0R 2m?vR2 1 2m2v0m2v m2g 2R20voN2mig點(diǎn)評：圓周運(yùn)動(dòng)與能量咨詢題常聯(lián)系在一起，在解這類咨詢題時(shí)，除 要對物體受力分析，運(yùn)用圓周

12、運(yùn)動(dòng)知識外，還要正確運(yùn)用能量關(guān)系（動(dòng)能 定理、機(jī)械能守恒定律）。連接咨詢題的題型例5:如圖7所示，一根輕質(zhì)細(xì)桿的兩端分不固定著 A、B兩個(gè)質(zhì)量 均為Am的小球，0點(diǎn)是一光滑水平軸，已知AO l，OB 21，使細(xì)桿從水 平位當(dāng) B球轉(zhuǎn)到0點(diǎn)正下方時(shí)，它對細(xì)桿的拉力大小是多少？圖7解析:對A、1 2mvA2B兩球組成的系統(tǒng)應(yīng)用機(jī)械能守恒定律得1 2mvB2mg2l mgl因A、B兩球用輕桿相連，故兩球轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度相等，即 Ft，由牛頓第二定律得VaVbl 2l設(shè)B球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)細(xì)桿對小球的拉力為2mvBFt mg 百解以上各式得Ft 1.8mg，由牛頓第三定律知，B球?qū)?xì)桿的拉力大小等于1.8m

13、g，方向豎直向下講明：桿件模型的最明顯特點(diǎn)是桿上各點(diǎn)的角速度相同。這是與后面解決雙子星咨詢題的共同點(diǎn)（四）難點(diǎn)咨詢題選講1. 極值咨詢題例6:如圖8所示，用細(xì)繩一端系著的質(zhì)量為 M 0.6kg的物體A靜止 在水平轉(zhuǎn)盤上，細(xì)繩另一端通過轉(zhuǎn)盤中心的光滑小孔0吊著質(zhì)量為m 0.3kg的小球B，A的重心到O點(diǎn)的距離為0.2m。若A與轉(zhuǎn)盤間的最大 _靜摩擦力為F； 2N，為使小球B保持靜止，求轉(zhuǎn)盤繞中心 O旋轉(zhuǎn)的角速 度的取值范疇。（取g 10m/s2）B解析：要使B靜止，A必須有關(guān)于轉(zhuǎn)盤靜止一一具有與轉(zhuǎn)盤相同的角 速度。A需要的向心力由繩拉力和靜摩擦力合成。角速度取最大值時(shí)， A 有離心趨勢，靜摩擦力

14、指向圓心 0;角速度取最小值時(shí)，A有向心運(yùn)動(dòng)的 趨勢，靜摩擦力背離圓心0。關(guān)于B: Ft mg關(guān)于 A: Ft Ff Mr 1， FtFfMr聯(lián)立解得 1 6.5rad/s，2 2.9rad/s因此 2.9rad / s 6.5rad /s點(diǎn)評：在水平面上做圓周運(yùn)動(dòng)的物體，當(dāng)角速度變化時(shí)，物體有遠(yuǎn)離或向著圓心運(yùn)動(dòng)的（半徑有變化）趨勢。這時(shí)要按照物體的受力情形， 判定物體受的某個(gè)力是否存在以及那個(gè)力存在時(shí)方向朝哪（專門是一些接 觸力，如靜摩擦力、繩的拉力等）。2. 微元咨詢題例7:如圖9所示，露天娛樂場空中列車是由許多完全相同的車廂組 成，列車先沿光滑水平軌道行駛，然后滑上一固定的半徑為R的空中

15、圓形光滑軌道，若列車全長為I （I2 R），R遠(yuǎn)大于一節(jié)車廂的長度和高度， 那么列車在運(yùn)行到圓環(huán)前的速 度至少要多大，才能使整個(gè)列車安全通過固定的圓環(huán)軌道（車廂間的距離 不計(jì)）？vOR圖9解析：當(dāng)列車進(jìn)入軌道后，動(dòng)能逐步向勢能轉(zhuǎn)化，車速逐步減小，當(dāng) 車廂占滿環(huán)時(shí)的速度最小。設(shè)運(yùn)行過程中列車的最小速度為v,列車質(zhì)量為m,則軌道上的那部分車的質(zhì)量為 2 Rm由機(jī)械能守恒定律得-mvo - mv22 Rm gR22I由圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律可知，列車的最小速率 v gR，聯(lián)立解得if D 4 gR2vo 十3. 數(shù)理咨詢題在第一個(gè)半圓內(nèi) 在第二個(gè)半圓內(nèi) 在第三個(gè)半圓內(nèi) 在第n個(gè)半圓內(nèi)令 Fto FTm 7N，

16、Ftp得nn取8,經(jīng)歷的時(shí)刻為t t1 t2tn n I 12 3v(n 1)Io V 血宀8.2s例&如圖10,光滑的水平桌面上釘有兩枚鐵釘 A、B，相距I。0.1m , 長I 1m的柔軟細(xì)線一端拴在 A上，另一端拴住一個(gè)質(zhì)量為 500g的小球， 小球的初始位置在 AB連線上A的一側(cè)，把細(xì)線拉直，給小球以2m/s的垂 直細(xì)線方向的水平速度，使它做圓周運(yùn)動(dòng)，由于釘子B的存在，使細(xì)線逐步纏在A、B上，若細(xì)線能承擔(dān)的最大拉力FTm 7N，則從開始運(yùn)動(dòng)到細(xì)線 斷裂的時(shí)刻為多少B.一J I _一：.了一一一.，”廠.芥”匚俗力讐彩躍圖10解析：小球轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，由于細(xì)線逐步繞在 A、B兩釘上，小球的轉(zhuǎn)動(dòng)半

17、徑逐步變小，但小球轉(zhuǎn)動(dòng)的線速度大小不變。小球交替地繞A、B做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，線速度不變，隨著轉(zhuǎn)動(dòng)半徑的 減小，線中拉力Ft持續(xù)增大，每轉(zhuǎn)半圈的時(shí)刻t持續(xù)減小mv2I，t1Vmv 丄 (I Io)，t2 mv2 t(V 2Io)召曠t V I (n 1)It nI (n 1)Iov8.1，即在第8個(gè)半圓內(nèi)線還未斷,【模擬試題】1. 關(guān)于互成角度（不為零度和180 ）的一個(gè)勻速直線運(yùn)動(dòng)和一個(gè)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)，下列講法正確的是（）A. 一定是直線運(yùn)動(dòng)B. 一定是曲線運(yùn)動(dòng)C. 可能是直線，也可能是曲線運(yùn)動(dòng)D. 以上答案都不對2. 一架飛機(jī)水平勻速飛行，從飛機(jī)上每隔1s開釋一個(gè)鐵球，先后開釋4個(gè)，若

18、不計(jì)空氣阻力，則這 4個(gè)球（）A. 在空中任何時(shí)刻總是排列成拋物線，它們的落地點(diǎn)是等間距的B. 在空中任何時(shí)刻總是排列成拋物線，它們的落地點(diǎn)是不等間距的C. 在空中任何時(shí)刻總是在飛機(jī)的正下方排列成豎直直線，它們的落地點(diǎn)是不等間距的D. 在空中任何時(shí)刻總是在飛機(jī)的正下方排列成豎直直線，它們的落地點(diǎn)是等間距的3. 圖1中所示為一皮帶傳動(dòng)裝置，右輪的半徑為r，a是它邊緣上的一 點(diǎn)，左側(cè)是一輪軸，大輪的半徑為 4r，小輪的半徑為2r、b點(diǎn)在小輪上， 到小輪中心的距離為r。c點(diǎn)和d點(diǎn)分不位于小輪和大輪的邊緣上。若在傳 動(dòng)過程中，皮帶不打滑。則（）A. a點(diǎn)與b點(diǎn)的線速度大小相等B. a點(diǎn)與b點(diǎn)的角速度大

19、小相等dC. a4點(diǎn)與c點(diǎn)的線速度大小相等b:廠乳aD. cOr點(diǎn)與d點(diǎn)的周期大小相等圖14. 在抗洪搶險(xiǎn)中，戰(zhàn)士駕駛摩托艇救人，假設(shè)江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度為V1，摩托艇在靜水中的航速為V2，戰(zhàn)士救人的 地點(diǎn)A離岸邊最近處O的距離為d,如戰(zhàn)士想在最短時(shí)刻內(nèi)將人送上岸， 則摩托艇登陸的地點(diǎn)離O點(diǎn)的距離為（）A.B. 0C. d 上 D.觀v； V：V2Vl5. 火車軌道在轉(zhuǎn)彎處外軌高于內(nèi)軌，其高度差由轉(zhuǎn)彎半徑與火車速度確定。若在某轉(zhuǎn)彎處規(guī)定行駛速度為 V，則下列講法中正確的是（） 當(dāng)以V的速度通過此彎路時(shí)，火車重力與軌道面支持力的合力提供 向心力 當(dāng)以V的速度通過此彎路時(shí)，火

20、車重力、軌道面支持力和外軌對輪 緣彈力的合力提供向心力 當(dāng)速度大于V時(shí)，輪緣擠壓外軌 當(dāng)速度小于V時(shí)，輪緣擠壓外軌A. B. C. D.6. 在做“研究平拋物體的實(shí)驗(yàn)”時(shí)，讓小球多次沿同一軌道運(yùn)動(dòng)，通 過描點(diǎn)法畫小球做平拋運(yùn)動(dòng)的軌跡，為了能較準(zhǔn)確地描畫運(yùn)動(dòng)軌跡，下面 列出了一些操作要求，將你認(rèn)為正確的選項(xiàng)前面的字母填在橫線上：。A. 通過調(diào)劑使斜槽的末端保持水平B. 每次開釋小球的位置必須不同C. 每次必須由靜止開釋小球D. 記錄小球位置用的木條（凹槽）每次必須嚴(yán)格地等距離下降E. 小球運(yùn)動(dòng)時(shí)不應(yīng)與木板上的白紙（或方格紙）相接觸F. 將球的位置記錄在紙上后，取下紙，用直尺將點(diǎn)連成折線7. 試按照平拋運(yùn)動(dòng)原理設(shè)計(jì)測量彈射器彈丸出射初速的實(shí)驗(yàn)方法。按 照實(shí)驗(yàn)器材：彈射器（含彈丸，見圖 2所示）：鐵架臺（帶有夾具）；米尺。（1） 在安裝彈射器時(shí)應(yīng)注意：；（2） 實(shí)驗(yàn)中需要測量的量是：；（3） 由于彈射器每次射出的彈丸初速不可能完全相等，在實(shí)驗(yàn)中應(yīng)采取的方法是：；/ a 、二八4）運(yùn)算公式：1Xumm1 J圖28. 在一次“飛車過黃河”的表演中，汽車在空中飛經(jīng)最高點(diǎn)后在對岸著地。已知汽車從最高點(diǎn)到著地經(jīng)歷時(shí)刻為t 0.8s，兩點(diǎn)