巧算和速算方法

1、巧算和速算方法校本課程 數(shù)學(xué)計(jì)算方法目錄第一講第二講第三講第四講第五講第六講第七講第八講第九講第十講第十一講第十二講第十三講第十四講第十五講第十六講生活中幾十乘以幾十巧算方法 . - 3 -常用巧算速算中的思維與方法（ 1） . - 5 -常用巧算速算中的思維與方法（ 2） . - 7 -常用巧算速算中的思維與方法（ 3） . - 10 -常用巧算速算中的思維與方法（ 4） . - 11 -常用巧算速算中的思維與方法（ 5） . - 15 -常用巧算速算中的思維與方法（ 6） . - 17 -小數(shù)的速算與巧算. - 19 -乘法速算 1 . - 20 -乘法速算 2 . - 22 -乘法速算

2、3 . - 24 -乘法速算 4 . - 24 -乘法速算 5 . - 25 -乘法速算 6 . - 26 -乘法速算 7 . - 29 -乘法速算 8 . - 31 -注：速算技巧 . - 34 - 2 -第一講生活中幾十乘以幾十巧算方法1.十幾乘十幾：口訣：頭乘頭，尾加尾，尾乘尾。 例：1214= ？解: 1 1 = 11214=168注：個(gè)位相乘，不夠兩位數(shù)要用 0 占位。.頭相同，尾互補(bǔ)(尾相加等于 10)：口訣：一個(gè)頭加后，頭乘頭，尾乘尾。 例：2327= ？解：2 3 212327=621注：個(gè)位相乘，不夠兩位數(shù)要用 0 占位。.第一個(gè)乘數(shù)互補(bǔ)，另一個(gè)乘數(shù)數(shù)字相同：口訣：一個(gè)頭加后

3、，頭乘頭，尾乘尾。- 3 -例：3744= ？解：3+1=444=1674=283744=1628注：個(gè)位相乘，不夠兩位數(shù)要用 0 占位。 .幾十一乘幾十一：口訣：頭乘頭，頭加頭，尾乘尾。 例：2141= ？解：24=82+4=611=12141=861.11 乘任意數(shù)：口訣：首尾不動(dòng)下落，中間之和下拉。 例：1123125=？解：2+3=53+1=41 +2=32 +5=7- 4 -2 和 5 分別在首尾1123125=254375注：和滿十要進(jìn)一。.十幾乘任意數(shù)：口訣：第二乘數(shù)首位不動(dòng)向下落，第一因數(shù)的個(gè)位乘以第二因數(shù)后面每一個(gè)數(shù)字，加 下一位數(shù)，再向下落。例：13326= ？解：13 個(gè)

4、位是 333+2=1132+6=1236=1813326=4238注：和滿十要進(jìn)一。第二講常用巧算速算中的思維與方法（ 1）【順逆相加】用 “順逆相加 ”算式可求出若干個(gè)連續(xù)數(shù)的和。例如著名的大數(shù)學(xué)家高斯（德國）小時(shí)候就做過的 “百數(shù)求和 ”題，可以計(jì)算為 1+2 + +99+100所以，123499100- 5 -=1011002=5050“3+5+7+97+99=？3+5797+99=（993）492= 2499。這種算法的思路，見于書籍中最早的是我國古代的張丘建算經(jīng)。張丘建利用這一 思路巧妙地解答了“有女不善織”這一名題：“ 今有女子不善織，日減功，遲。初日織五尺，末日織一尺，今三十日織

5、訖。問織幾 何？ ”題目的意思是：有位婦女不善于織布，她每天織的布都比上一天減少一些，并且減少 的數(shù)量都相等。她第一天織了 5 尺布，最后一天織了 1 尺，一共織了 30 天。問她 一共織了多少布？張丘建在算經(jīng)上給出的解法是：“并初末日織尺數(shù)，半之，余以乘織訖日數(shù)，即得?！薄按鹪唬憾ヒ徽伞?。 這一解法，用現(xiàn)代的算式表達(dá)，就是1 匹=4 丈， 1 丈=10 尺，90 尺=9 丈=2 匹 1 丈。張丘建這一解法的思路，據(jù)推測為：如果把這婦女從第一天直到第 30 天所織的布都 加起來，算式就是：51在這一算式中，每一個(gè)往后加的加數(shù)，都會(huì)比它前一個(gè)緊挨著它的加數(shù)，要遞減一個(gè) 相同的數(shù)，而這一遞減的數(shù)

6、不會(huì)是個(gè)整數(shù)。若把這個(gè)式子反過來，則算式便是 ： 1+5此時(shí)，每一個(gè)往后的加數(shù)，就都會(huì)比它前一個(gè)緊挨著它的加數(shù)，要遞增一個(gè)相同的數(shù)。 同樣，這一遞增的相同的數(shù)，也不是一個(gè)整數(shù)。假若把上面這兩個(gè)式子相加，并在相加時(shí)，利用 “對(duì)應(yīng)的數(shù)相加和會(huì)相等”- 6 -這一特點(diǎn)，那么，就會(huì)出現(xiàn)下面的式子：所以，加得的結(jié)果是 630=180（尺）但這婦女用 30 天織的布沒有 180 尺，而只有 180 尺布的一半。所以，這婦女 30 天 織的布是1802=90（尺）可見，這種解法的確是簡單、巧妙和饒有趣味的。第三講常用巧算速算中的思維與方法（ 2）方法一：分組計(jì)算一些看似很難計(jì)算的題目，采用 “分組計(jì)算”的方

7、法，往往可以使它很快地解答出來。 例如：求 1 到 10 億這 10 億個(gè)自然數(shù)的數(shù)字之和。這道題是求 “10 億個(gè)自然數(shù)的數(shù)字之和 ”，而不是 “10 億個(gè)自然數(shù)之和 ”。什么是“數(shù)字之和 ”？例如，求 1 到 12 這 12 個(gè)自然數(shù)的數(shù)字之和，算式是12345+6+78+9+10+1+1+12=5l。顯然，10 億個(gè)自然數(shù)的數(shù)字之和，如果一個(gè)一個(gè)地相加，那是極麻煩，也極費(fèi)時(shí)間 （很多年都難于算出結(jié)果）的。怎么辦呢？我們不妨在這 10 億個(gè)自然數(shù)的前面添上 一個(gè) “0”，改變數(shù)字的個(gè)數(shù)，但不會(huì)改變計(jì)算的結(jié)果。然后，將它們分組：0 和 999，999，999；1 和 999，999，998；

8、2 和 999，999，997；3 和 999，999，996；4 和 999，999，995；5 和 999，999， 994； 依次類推，可知除最后一個(gè)數(shù)，1，000，000，000 以外，其他的自然數(shù)與添上的 0 共- 7 -10 億個(gè)數(shù)，共可以分為 5 億組，各組數(shù)字之和都是 81，如0+9+9+9+999999=811 +9+9999+9+9+98=812 +9+9999+9+9+97=81最后的一個(gè)數(shù) 1，000，000，000 不成對(duì)，它的數(shù)字之和是 1。所以，此題的計(jì)算結(jié) 果是（81500，000，000）1=40，500，000，0001=40，500，000，001方法二：

9、由小推大計(jì)算復(fù)雜時(shí)，我們可以從數(shù)目較小的特殊情況入手，研究題目特點(diǎn)，找出一般規(guī)律， 再推出題目的結(jié)果。例如：（1）計(jì)算下面方陣中所有的數(shù)的和。這是個(gè)“100100”的大方陣，數(shù)目很多，關(guān)系較為復(fù)雜。不妨先化大為小，再由小推 大。先觀察 “55”的方陣，如下圖（圖 4.1）所示。容易看到，對(duì)角線上五個(gè) “5”之和為 25。這時(shí)，如果將對(duì)角線下面的部分（右下部分）用剪刀剪開，如圖 4.2 那樣拼接，那么將會(huì)發(fā)現(xiàn)，這五個(gè)斜行，每行數(shù)之和都是25 。所以， “55” 方陣的所有數(shù)之和為255=125，即 53=125。于是，很容易推出大的數(shù)陣 “100100”的方陣所有數(shù)之和為 1003 - 8 -=

10、1，000，000。（2）把自然數(shù)中的偶數(shù)，像圖 4.3 那樣排成五列。最左邊的叫第一列，按從左到右 的順序，其他叫第二、第三 第五列。那么 2002 出現(xiàn)在哪一列：列數(shù)一1632二214183034三412202836四610222638五82440 圖 4.3因?yàn)閺?2 到 2002，共有偶數(shù) 20022=1001（個(gè)）。從前到后，是每 8 個(gè)偶數(shù)為一組， 每組都是前四個(gè)偶數(shù)分別在第二、三、四、五列，后四個(gè)偶數(shù)分別在第四、三、二、 一列（偶數(shù)都是按由小到大的順序）。所以，由 10018=1251，可知這 1001 個(gè)偶數(shù)可以分為 125 組，還余 1 個(gè)。故 2002 應(yīng)排在第二列。方法三

11、：湊整巧算用“湊整方法 ”巧算，常常能使計(jì)算變得比較簡便、快速。例如（1） 99.9+11.1=（9010）+（9+1）（ 0.9+0.1）=111（2） 9979986=（9+1）（ 973）（ 9982）=101001000=1110（3）125125125125120125125125=155125125125（ 120+5）125125+125-5=1258-5=1000-5=995- 9 -第四講常用巧算速算中的思維與方法（ 3）方法一：巧妙試商除數(shù)是兩位數(shù)的除法，可以采用一些巧妙試商方法，提高計(jì)算速度。（1）用“商五法”試商。當(dāng)除數(shù)（兩位數(shù)）的 10 倍的一半，與被除數(shù)相等（或相近

12、）時(shí)，可以直接試商 “5”。 如 7014=5 ，12525=5。當(dāng)除數(shù)一次不能除盡被除數(shù)的時(shí)候，有些可以用 “無除半商五”。“無除”指被除數(shù)前兩 位不夠除，“半商五”指若被除數(shù)的前兩位恰好等于（或接近）除數(shù)的一半時(shí)，則可直 接商 “ 5”。例如 124824=52，238545=53（2）同頭無除商八、九?！巴^ ”指被除數(shù)和除數(shù)最高位上的數(shù)字相同?！盁o除 ”仍指被除數(shù)前兩位不夠除。這時(shí)， 商定在被除數(shù)高位數(shù)起的第三位上面，再直接商 8 或商 9。574258=99 ，417648=87 。（3）用“商九法”試商。當(dāng)被除數(shù)的前兩位數(shù)字臨時(shí)組成的數(shù)小于除數(shù)，且前三位數(shù)字臨時(shí)組成的數(shù)與除數(shù)之 和

13、，大于或等于除數(shù)的 10 倍時(shí)，可以一次定商為 “9”。一般地說，假如被除數(shù)為 m，除數(shù)為 n，只有當(dāng) 9nm10n 時(shí)，n 除 m 的商才是 9。 同樣地， 10nmn11n。這就是我們上述做法的根據(jù)。例如 450849=92，648072=90 。（4）用差數(shù)試商。當(dāng)除數(shù)是 11、12、1318 和 19，被除數(shù)前兩位又不夠除的時(shí)候，可以用“差 數(shù)試商法 ”，即根據(jù)被除數(shù)前兩位臨時(shí)組成的數(shù)與除數(shù)的差來試商的方法。若差數(shù)是 1 或 2，則初商為 9；差數(shù)是 3 或 4，則初商為 8；差數(shù)是 5 或 6，則初商為 7；差數(shù) 是 7 或 8，則初商是 6；差數(shù)是 9 時(shí)，則初商為 5。若不準(zhǔn)確，

14、只要調(diào)小 1 就行了。 例如147618=82 （18 與 14 差 4，初商為 8，經(jīng)試除，商 8 正確）；127817=75 （17 與 12 的差為 5，初商為 7，經(jīng)試除，商 7 正確）。- 10 -為了便于記憶，我們可將它編成下面的口訣：差一差二商個(gè)九，差三差四八當(dāng)頭；差五差六初商七，差七差八先商六；差數(shù)是九五上陣，試商快速無憂愁。方法二：恒等變形恒等變形是一種重要的思想和方法，也是一種重要的解題技巧。它利用我們學(xué)過的知識(shí)，去進(jìn)行有目的的數(shù)學(xué)變形，常常能使題目很快地獲得解答。 例如（1）183268=（1832-32）（68+32）=1800100=1900（2）359.7-9.9=

15、（359.7+0.1）-（9.9+o.1）=359.8-10=349.8第五講常用巧算速算中的思維與方法（ 4）方法一：拆數(shù)加減在分?jǐn)?shù)加減法運(yùn)算中，把一個(gè)分?jǐn)?shù)拆成兩個(gè)分?jǐn)?shù)相減或相加，使隱含的數(shù)量關(guān)系明朗 化，并抵消其中的一些分?jǐn)?shù)，往往可大大地簡化運(yùn)算。（1） 拆成兩個(gè)分?jǐn)?shù)相減。例如- 11 -又如（2）拆成兩個(gè)分?jǐn)?shù)相加。例如- 12 -又如方法二：同分子分?jǐn)?shù)加減同分子分?jǐn)?shù)的加減法，有以下的計(jì)算規(guī)律：分子相同，分母互質(zhì)的兩個(gè)分?jǐn)?shù)相加（減）時(shí)，它們的結(jié)果是用原分母的積作分母， 用原分母的和（或差）乘以這相同的分子所得的積作分子。分子相同，分母不是互質(zhì)數(shù)的兩個(gè)分?jǐn)?shù)相加減，也可按上述規(guī)律計(jì)算，只是最后

16、需要 注意把得數(shù)約簡為既約（最簡）分?jǐn)?shù)。例如（注意：分?jǐn)?shù)減法要用減數(shù)的原分母減去被減數(shù)的原分母。）- 13 -由上面的規(guī)律還可以推出，當(dāng)分子都是 1，分母是連續(xù)的兩個(gè)自然數(shù)時(shí)，這兩個(gè)分?jǐn)?shù) 的差就是這兩個(gè)分?jǐn)?shù)的積，根據(jù)這一關(guān)系，我們也可以簡化運(yùn)算過程。例如方法三：先借后還“先借后還 ”是一條重要的數(shù)學(xué)解題思想和解題技巧。例如- 14 -做這道題，按先通分后相加的一般辦法，勢必影響解題速度?，F(xiàn)在從“湊整 ”著眼，采 用“先借后還 ”的辦法，很快就將題目解答出來了。第六講常用巧算速算中的思維與方法（ 5）方法一：個(gè)數(shù)折半下面的幾種情況下，可以運(yùn)用“個(gè)數(shù)折半 ”的方法，巧妙地計(jì)算出題目的得數(shù)。 （1）

17、分母相同的所有真分?jǐn)?shù)相加。求分母相同的所有真分?jǐn)?shù)的和，可采用“個(gè)數(shù)折半 法”，即用這些分?jǐn)?shù)的個(gè)數(shù)除以 2，就能得出結(jié)果。這一方法，也可以敘述為分母相同的所有真分?jǐn)?shù)相加，只要用最后一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子除 以 2，就能得出結(jié)果。（ 2）分母為偶數(shù)，分子為奇數(shù)的所有同分母的真分?jǐn)?shù)相加，也可用 “ 個(gè)數(shù)折半法 ”求 得數(shù)。比方（3）分母相同的所有既約真分?jǐn)?shù)（最簡真分?jǐn)?shù)）相加，同樣可用 “個(gè)數(shù)折- 15 -半法 ”求得數(shù)。 比方方法二：帶分?jǐn)?shù)減法帶分?jǐn)?shù)減法的巧算，可用下面的兩個(gè)方法。 （1）減數(shù)湊整。例如（2）交換位置。例如- 16 -在這兩種方法中，第（ 1）種 “湊整”法，也可以運(yùn)用到帶分?jǐn)?shù)的加法中去。

18、例如第七講常用巧算速算中的思維與方法（ 6）方法一：帶分?jǐn)?shù)乘法有些特殊的帶分?jǐn)?shù)相乘，可以采用一些特殊的巧算方法。（ 1）相乘的兩個(gè)帶分?jǐn)?shù)整數(shù)部分相同，分?jǐn)?shù)部分的和是 1，則乘積也是個(gè)帶分?jǐn)?shù)， 它的整數(shù)部分是一個(gè)因數(shù)的整數(shù)部分乘以比它大 1 的數(shù)，分?jǐn)?shù)部分是兩個(gè)因數(shù)的分 數(shù)部分的乘積。例如（2）相乘的兩個(gè)帶分?jǐn)?shù)整數(shù)部分相差 1，分?jǐn)?shù)部分和為 1，則積也是個(gè)帶分?jǐn)?shù)，它用- 17 -較大數(shù)的整數(shù)部分的平方，減去分?jǐn)?shù)部分的平方，所得的差就是這兩個(gè)帶分?jǐn)?shù)的乘積。 例如（注：這是根據(jù) “（ab）（a-b）=a2-b2”推出來的。）（3）相乘的兩個(gè)帶分?jǐn)?shù)，整數(shù)部分都是 1，分子也都是 1，分母相差 1，則乘

19、積也是 個(gè)帶分?jǐn)?shù)。這個(gè)帶分?jǐn)?shù)的整數(shù)部分是 1，分子是 2，分母與較大因數(shù)的分母相同。例 如讀者自己去試一試，此處略）。方法二：兩分?jǐn)?shù)相除有些分?jǐn)?shù)相除，可以采用以下的巧算方法：（ 1）分子、分母分別相除。在個(gè)別情況下，分?jǐn)?shù)除法可沿用整數(shù)除法的做法：用分 子相除的商作分子，用分母相除的商作分母。不過，這只有在被除數(shù)的分子、分母， 分別是除數(shù)的分子、分母的整數(shù)倍數(shù)的情況下，計(jì)算才比較簡便。例如- 18 -（ 2）分母相除，一次得商。在兩個(gè)帶分?jǐn)?shù)相除的算式中，當(dāng)被除數(shù)和除數(shù)的整數(shù)與 分母調(diào)換了位置，而它們的分子又相同時(shí)，根據(jù)分?jǐn)?shù)除法法則，只要用原除數(shù)的分母 除以被除數(shù)的分母，所得的數(shù)就是它們的商。例如

20、（注：用除法法則可以推出這種方法，此處略。）第八講小數(shù)的速算與巧算【知識(shí)精要】湊整法是小數(shù)加減法速算與巧算運(yùn)用的主要方法。用的時(shí)候主要看末位。但是小數(shù)計(jì) 算中 “小數(shù)點(diǎn) ”一定要對(duì)齊?！纠}精講】湊整法例 1、 計(jì)算 5.6+2.38+4.4+0.62。【分析】 5.6 與 4.4 剛好湊成 10，2.38 與 0.62 剛好湊成 3，這樣先湊整運(yùn)算起來會(huì) 更加簡便。【解答】原式 =（5.6+4.4）+（2.38+0.62）=10+3=13【評(píng)注】湊整，特別是 “湊十”、“湊百”等，是加減法速算的重要方法。- 19 -例 2、計(jì)算：1.999+19.99+199.9+1999?！痉治觥恳?yàn)樾?shù)

21、計(jì)算起來容易出錯(cuò)。剛好 1999 接近整千數(shù) 2000，其余各加數(shù)看做 與它接近的容易計(jì)算的整數(shù)。再把多加的那部分減去?！窘獯稹?1.999+19.99+199.9+1999=2+20+200+2000-0.001-0.01-0.1-1=2222-1.111=2220.889【評(píng)注】所謂的湊整，就是兩個(gè)或三個(gè)數(shù)結(jié)合相加，剛好湊成整十整百，我們也可以 引申為讀整法，譬如此題。 “1.999”剛好與“2”相差 0.001，因此我們就可以先把它讀 成“2”來進(jìn)行計(jì)算。但是，一定要記住剛才 “多加的”要“減掉”?！岸鄿p的 ”要“加上”！第九講乘法速算 1一前數(shù)相同的：1.1.十位是 1,個(gè)位互補(bǔ),即

22、a=c=1,b+d=10,s=(10+b+d)10+ab方法：百位為二，個(gè)位相乘，得數(shù)為后積，滿十前一。例： 131713 + 7 = 2- - （ “-”在不熟練的時(shí)候作為助記符，熟練后就可以不使用了） 3 7 = 21-221即 1317= 2211.2.十位是 1,個(gè)位不互補(bǔ) ,即 a=c=1, b+d10,s=(10+b+d)10+ab方法：乘數(shù)的個(gè)位與被乘數(shù)相加，得數(shù)為前積，兩數(shù)的個(gè)位相乘，得數(shù)為后積， 滿十前一。例： 151715 + 7 = 22- （ “-”在不熟練的時(shí)候作為助記符，熟練后就可以不使用了）- 20 -5 7 = 35-255即 1517 = 2551.3.十位相

23、同 ,個(gè)位互補(bǔ) ,即 a=c,b+d=10,s=a(a+1)10+ab方法 :十位數(shù)加 1，得出的和與十位數(shù)相乘，得數(shù)為前積，個(gè)位數(shù)相乘，得數(shù)為后 積例： 56 54(5 + 1) 5 = 30- -6 4 = 24-30241.4.十位相同 ,個(gè)位不互補(bǔ) ,即 a=c,b+d10,s=a(a+1)10+ab方法 1:先頭加一再乘頭兩，得數(shù)為前積，尾乘尾，的數(shù)為后積，乘數(shù)相加，看比 十大幾或小幾，大幾就加幾個(gè)乘數(shù)的頭乘十，反之亦然例： 67 64（6+1）6=4274=287+4=1111-10=14228+60=4288-4288方法 2：兩首位相乘（即求首位的平方），得數(shù)作為前積，兩尾數(shù)的

24、和與首位相 乘，得數(shù)作為中積，滿十進(jìn)一，兩尾數(shù)相乘，得數(shù)作為后積。例： 67 646 6 = 36- -（4 + 7）6 = 66 - 21 -4 7 = 28 -4288第十講乘法速算 2二、后數(shù)相同的：2.1. 個(gè)位是 1，十位互補(bǔ) 即 b=d=1, a+c=10 s=10a10c+101 方法：十位與十位相乘，得數(shù)為前積，加上 101.。- -8 2 = 16- -101-17012.2. 個(gè)位是 1 ，十位不互補(bǔ) 10c+10c+10a +1即 b=d=1, a+c 10 s=10a 方法：十位數(shù)乘積，加上十位數(shù)之和為前積，個(gè)位為 1.。 例： 71 9170 90 = 63 - -7

25、0 + 90 = 16 -1-64612.3 個(gè)位是 5，十位互補(bǔ) 即 b=d=5, a+c=10 s=10a10c+25 方法：十位數(shù)乘積，加上十位數(shù)之和為前積，加上 25。 例： 35 753 7+ 5 = 26- -25- 22 -26252.4個(gè)位是 5，十位不互補(bǔ) 即 b=d=5, a+c10 s=10a10c+525 方法：兩首位相乘（即求首位的平方），得數(shù)作為前積，兩十位數(shù)的和與個(gè)位相乘，得數(shù)作為中積，滿十進(jìn)一，兩尾數(shù)相乘，得數(shù)作為后積。例: 75 957 9 = 63 - -（7+ 9） 5= 80 -25-71252.5. 個(gè)位相同，十位互補(bǔ) 即 b=d, a+c=10 s=

26、10a10c+b100+b2方法：十位與十位相乘加上個(gè)位，得數(shù)為前積，加上個(gè)位平方。例： 86 268 2+6 = 22- -36-22362.6.個(gè)位相同，十位非互補(bǔ)方法：十位與十位相乘加上個(gè)位，得數(shù)為前積，加上個(gè)位平方，再看看十位相加 比 10 大幾或小幾，大幾就加幾個(gè)個(gè)位乘十，小幾反之亦然例： 734374+3=3197+4=113109 +30=3139-3139- 23 -第十一講 乘法速算 32.7.個(gè)位相同，十位非互補(bǔ)速算法 2方法：頭乘頭，尾平方，再加上頭加尾的結(jié)果乘尾再乘 10例： 734374=2892809+（7+4）310=2809+1130=2809+330=3139

27、-3139三、特殊類型的：3.1、一因數(shù)數(shù)首尾相同，一因數(shù)十位與個(gè)位互補(bǔ)的兩位數(shù)相乘。方法：互補(bǔ)的那個(gè)數(shù)首位加 1，得出的和與被乘數(shù)首位相乘，得數(shù)為前積，兩尾 數(shù)相乘，得數(shù)為后積，沒有十位用 0 補(bǔ)。例： 66 37（3 + 1） 6 = 24- -6 7 = 42-2442第十二講 乘法速算 43.2、一因數(shù)數(shù)首尾相同，一因數(shù)十位與個(gè)位非互補(bǔ)的兩位數(shù)相乘。方法：雜亂的那個(gè)數(shù)首位加 1，得出的和與被乘數(shù)首位相乘，得數(shù)為前積，兩尾 數(shù)相乘，得數(shù)為后積，沒有十位用 0 補(bǔ)，再看看非互補(bǔ)的因數(shù)相加比 10 大幾或小幾， 大幾就加幾個(gè)相同數(shù)的數(shù)字乘十，反之亦然例： 3844（3+1）4=16- 24

28、-8*4=3216323+8=1111-10=11632+40=1672-1672第十三講 乘法速算 53.3、一因數(shù)數(shù)首尾互補(bǔ)，一因數(shù)十位與個(gè)位不相同的兩位數(shù)相乘。方法：乘數(shù)首位加 1，得出的和與被乘數(shù)首位相乘，得數(shù)為前積，兩尾數(shù)相乘， 得數(shù)為后積，沒有十位用 0 補(bǔ)，再看看不相同的因數(shù)尾比頭大幾或小幾，大幾就加幾 個(gè)互補(bǔ)數(shù)的頭乘十，反之亦然例： 4675（4+1）*7=356*5=305-7=-22*4=83530-80=3450-34503.4、一因數(shù)數(shù)首比尾小一，一因數(shù)十位與個(gè)位相加等于 9 的兩位數(shù)相乘。方法：湊 9 的數(shù)首位加 1 乘以首數(shù)的補(bǔ)數(shù)，得數(shù)為前積，首比尾小一的數(shù)的尾數(shù)

29、的補(bǔ)數(shù)乘以湊 9 的數(shù)首位加 1 為后積，沒有十位用 0 補(bǔ)。例： 563610-6=4，3+1=4，369 也等于 45*（10-6）=20- 25 -4*（10-6）=16“注：（10-6）也可以寫作（ 3+1）和（369）”-20163.5、兩因數(shù)數(shù)首不同，尾互補(bǔ)的兩位數(shù)相乘。方法：確定乘數(shù)與被乘數(shù)，反之亦然。被乘數(shù)頭加一與乘數(shù)頭相乘，得數(shù)為前積， 尾乘尾，得數(shù)為后積。再看看被乘數(shù)的頭比乘數(shù)的頭大幾或小幾，大幾就加幾個(gè)乘數(shù) 的尾乘十，反之亦然例： 7456（7+1）*5=404*6=247-5=22*6=1212*10=1204024+120=4144 -4144第十四講 乘法速算 63

30、.6、兩因數(shù)首尾差一，尾數(shù)互補(bǔ)的算法方法：不用向第五個(gè)那么麻煩了，取大的頭平方減一，得數(shù)為前積，大數(shù)的尾平 方的補(bǔ)整百數(shù)為后積例： 2436323*3-1=862=36100-36=64- 26 -8643.7、近 100 的兩位數(shù)算法方法：確定乘數(shù)與被乘數(shù)，反之亦然。再用被乘數(shù)減去乘數(shù)補(bǔ)數(shù)，得數(shù)為前積， 再把兩數(shù)補(bǔ)數(shù)相乘，得數(shù)為后積（未滿 10 補(bǔ)零，滿百進(jìn)一）例： 9391100-91=993-9=84100-93=77*9=63-84633.8、頭互補(bǔ)，尾不同的兩位數(shù)乘法方法：先確定乘數(shù)與被乘數(shù)，前兩位為將被乘數(shù)的頭和乘數(shù)的頭相乘加上乘數(shù)的 個(gè)位數(shù)。后兩位為被乘數(shù)與乘數(shù)尾數(shù)的積。再看被乘

31、數(shù)末尾的數(shù)比乘數(shù)末尾數(shù)字小幾 或大幾，小幾就減幾個(gè)乘數(shù)的頭乘十，反之亦然例： 22812*8+1=172*1=22=1+11702+1*80=1782-1782、平方速算一、求 1119 的平方同上 1.2，乘數(shù)的個(gè)位與被乘數(shù)相加，得數(shù)為前積，兩數(shù)的個(gè)位相乘，得數(shù)為后 積，滿十前一例： 17 17- 27 -17 7 = 24-7 7 = 49-289二、個(gè)位是 5 的兩位數(shù)的平方同上 1.3，十位加 1 乘以十位，在得數(shù)的后面接上 25。例： 35 35（3 + 1） 3 = 12-25-1225三、十位是 5 的兩位數(shù)的平方同上 2.5，個(gè)位加 25，在得數(shù)的后面接上個(gè)位平方。例： 53

32、5325 + 3 = 28-3 3 = 9-2809四、 2150 的兩位數(shù)的平方求 2550 之間的兩數(shù)的平方時(shí)，記住 125 的平方就簡單了 , 1119 參照第一條, 下面四個(gè)數(shù)據(jù)要牢記：21 21 = 44122 22 = 48423 23 = 52924 24 = 576求 2550 的兩位數(shù)的平方，用底數(shù)減去 25，得數(shù)為前積， 50 減去底數(shù)所得的 差的平方作為后積，滿百進(jìn) 1，沒有十位補(bǔ) 0。例： 37 37- 28 -37 - 25 = 12-（50 - 37）2 = 169-1369第十五講 乘法速算 7五、知道平方后的速算5.1 相鄰奇（偶）數(shù)的速算方法，取平均數(shù)的平方減

33、去 1例： 21*23222=484，484-1=483-4835.2 兩數(shù)相加為 100 的速算（限用于小數(shù)為 25-49）方法：將大數(shù)減去 50，再用 2500 減去差的平方例： 36*6464-50=142500-142=2500-196=2304-23045.3 兩數(shù)相加為 100 的速算（限用于小數(shù)為 1-25）方法，將小數(shù)乘以 100，減去小數(shù)的平方即可例： 11*891100-112=1100-121=979-9795.4（三位乘三位）兩因數(shù)第一位相同，后兩位互補(bǔ)的乘法- 29 -方法：前兩位為被乘數(shù)第一位加 1 和另一個(gè)被乘數(shù)第一位的積；后面四位為兩個(gè) 數(shù)字中每個(gè)數(shù)末尾兩位的積

34、例： 436*46464-50=142500-142=2500-196=23044*5=20-2023045.5 和為 200 的兩數(shù)乘法方法：將大數(shù)百位上的 1 直接去掉，再用 10000 減去去掉后數(shù)的平方例： 127*73272=72910000-729=9271-92715.6 兩數(shù)字（三位數(shù)）后兩位互補(bǔ)，百位數(shù)差一的乘法方法：將大數(shù)百位上的數(shù)字直接去掉，再用大數(shù)平方減一作為前兩位，后四位為 10000 減去去掉后數(shù)的平方例： 217*18322=310000-172=10000=289=9711-397115.7 十位數(shù)相差 2，個(gè)位數(shù)相同的乘法方法：取平均數(shù)的平方減去 100例：

35、25*45（25+45）2=35352-100=1125- 30 -11255.8 百位互補(bǔ)，后兩位相同的乘法方法：取兩數(shù)的百位相乘加上并乘以 10 后加上后兩位為前兩位，后面三位為后 兩位的平方（位數(shù)不夠用 0 補(bǔ)，滿十進(jìn)一）例： 323*7233*7*10+23=233232=529-233529第十六講 乘法速算 8六：多位數(shù)特殊算法6.1 一數(shù)和為 9，一數(shù)為順子的算法方法：湊 9 的數(shù)字按 3.4 條的方法處理，再將此數(shù)乘以順子的頭和尾的補(bǔ)數(shù)，中 間的數(shù)字全部替換為上一步處理完的數(shù)。例： 45*234567步驟 1：4+1=5，10-5=5，459=5（任選一個(gè)即可）步驟 2：5*2

36、=10；5*（10-7）=15步驟 3：將中間的 3456 替換為全部替換為 5-105555156.2、一數(shù)和為 9，一數(shù)為含 890 的順的算法方法：湊 9 的數(shù)字按 3.4 條的方法處理，再將此數(shù)乘以順子的頭和尾的補(bǔ)數(shù)。中 間的數(shù)字除 9 以外全部替換為上一步處理完的數(shù)， 9 替換成 0，若 0 為結(jié)尾則先約掉 0 按 6.1 的方法算出答案后再補(bǔ) 0。例： 36*6789012- 31 -步驟 1：3+1=4，10-6=4，369=4(任選一個(gè)即可 )步驟 2：4*6=24；4*（10-2）=32步驟 3：將 78901 替換為 44044-2444044326.3、一數(shù)和為 9，一數(shù)

37、為缺八順的算法（末尾可以是 789）方法：湊 9 的數(shù)字按 3.4 條的方法處理，再將此數(shù)乘以順子的頭和尾的補(bǔ)數(shù)。中 間的數(shù)字全部替換為上一步處理完的數(shù)。若 0 為結(jié)尾則先約掉 0 按 6.1 的方法算出答 案后再補(bǔ) 0。例： 36*567901234步驟 1：3+1=4，10-6=4，369=4（任選一個(gè)即可）步驟 2：4*5=20；4*（10-4）=24步驟 3：將 6790123 全部替換為 4-204444444246.4、一數(shù)互補(bǔ)，一數(shù)為相同數(shù)的算法方法：頭加一和尾同時(shí)與相同數(shù)的任意一位數(shù)字相乘。 中間的數(shù)字位數(shù)為相同 數(shù)的位數(shù)減 2，數(shù)字不變例： 46*444444444步驟 1：

38、（4+1）*4=20，6*4=24步驟 2：444444444 有 9 個(gè) 4，9-2=7，抄 7 個(gè) 4-204444444246.5、一數(shù)為相同數(shù)，一數(shù)位兩位循環(huán)（相鄰兩位互補(bǔ)）的算法方法：先將相同數(shù)的任意一位乘以循環(huán)節(jié)首位 +1，再將相同數(shù)的任意一位乘以尾 數(shù)，中間數(shù)字替換成相同數(shù)的任意一位數(shù)例 1：77*646464步驟 1：（6+1）*7=49，7*4=28- 32 -步驟 2：將 4646 替換為 7777-49777728例 2：44*7373737步驟 1：（7+1）*4=32，7*4=28步驟 2：將 37373 替換為 44444-3244444286.6、多個(gè) 9 乘以任

39、意數(shù)（位數(shù)要少于或等于前數(shù)的總位數(shù)）方法：先將（任意數(shù)） 1，然后把（任意數(shù)）的位數(shù)和（多個(gè) 9）比較位數(shù)的 多少，少幾位則在中間寫幾個(gè) 9，寫完 9 后寫補(bǔ)數(shù)。熟練者可以直接看出位數(shù)，寫補(bǔ) 數(shù)。如果兩個(gè)數(shù)位數(shù)相同，中間則沒有 9。例： 1536*999999第一步： 1536-1=1535第二步： 6（6 個(gè) 9）-4（1536 是 4 位數(shù)）=2第三步： 10000-1536=8464答案：1535998464、加減法一、補(bǔ)數(shù)的概念與應(yīng)用補(bǔ)數(shù)的概念：補(bǔ)數(shù)是指從 10、100、1000中減去某一數(shù)后所剩下的數(shù)。 例如 10 減去 9 等于 1，因此 9 的補(bǔ)數(shù)是 1，反過來， 1 的補(bǔ)數(shù)是

40、9。補(bǔ)數(shù)的應(yīng)用：在速算方法中將很常用到補(bǔ)數(shù)。例如求兩個(gè)接近 100 的數(shù)的乘法或 除數(shù)，將看起來復(fù)雜的減法運(yùn)算轉(zhuǎn)為簡單的加法運(yùn)算等等。、除法速算一、某數(shù)除以 5、25、125 時(shí)1、 被除數(shù) 5= 被除數(shù) (10 2)= 被除數(shù) 10 2- 33 -= 被除數(shù) 2 102、 被除數(shù) 25= 被除數(shù) 4 100= 被除數(shù) 2 2 1003、 被除數(shù) 125= 被除數(shù) 8 1000= 被除數(shù) 2 2 2 1000注：速算技巧、乘法速算 一、十位數(shù)是 1 的兩位數(shù)相乘乘數(shù)的個(gè)位與被乘數(shù)相加，得數(shù)為前積，乘數(shù)的個(gè)位與被乘數(shù)的個(gè)位相乘，得數(shù)為后 積，滿十前一。例： 151715 + 7 = 225 7

41、= 35-255即 1517 = 255解釋：1517=15 （10 + 7）=15 10 + 15 7=150 + （10 + 5） 7=150 + 70 + 5 7=（150 + 70）+（5 7）為了提高速度，熟練以后可以直接用 “15 + 7”，而不用 “150 + 70”。例： 17 19- 34 -17 + 9 = 267 9 = 63連在一起就是 255，即 260 + 63 = 323二、個(gè)位是 1 的兩位數(shù)相乘方法：十位與十位相乘，得數(shù)為前積，十位與十位相加，得數(shù)接著寫，滿十進(jìn)一，在 最后添上 1。例： 51 3150 30 = 150050 + 30 = 80-1580因?yàn)?/p>

42、 1 1 = 1 ，所以后一位一定是 1，在得數(shù)的后面添上 1，即 1581。數(shù)字 “0”在不 熟練的時(shí)候作為助記符，熟練后就可以不使用了。例： 81 9180 90 = 720080 + 90 = 170-7370-7371原理大家自己理解就可以了。三、十位相同個(gè)位不同的兩位數(shù)相乘被乘數(shù)加上乘數(shù)個(gè)位，和與十位數(shù)整數(shù)相乘，積作為前積，個(gè)位數(shù)與個(gè)位數(shù)相乘作為 后積加上去。例： 43 46（43 + 6） 40 = 19603 6 = 18- 35 -1978例： 89 87（89 + 7） 80 = 76809 7 = 63-7743四、首位相同，兩尾數(shù)和等于 10 的兩位數(shù)相乘十位數(shù)加 1，得出的和與十位數(shù)相乘，得數(shù)為前積，個(gè)位數(shù)相乘，得數(shù)為后積，沒有 十位用 0 補(bǔ)。例： 56 54(5 + 1) 5 = 30-6 4 = 24-3024例: 73 77(7 + 1) 7 = 56-3 7 = 21-5621例: 21 29(2 + 1) 2 = 6-1 9 = 9-60