千題百煉——高中數(shù)學(xué)100個熱點(diǎn)問題(三)：第95煉 統(tǒng)計(jì)初步

1、第十二章一、基礎(chǔ)知識：（一）隨機(jī)抽樣：第 95 煉 高中涉及的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識第 95 煉 高中涉及的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識其它高考考點(diǎn)1、抽簽法：把總體中的n個個體編號，把號碼寫在號簽上，將號簽放在一個容器中攪拌均勻后，每次從中抽取一個號簽，連續(xù)抽取n次，就得到容量為n的樣本2、系統(tǒng)抽樣：也稱為等間隔抽樣，大致分為以下幾個步驟： （1）先將總體的 n 個個體編號（2）確定分段間隔 k ，設(shè)樣本容量為 n ，若n n 為整數(shù)，則 k =n n（3）在第一段中用簡單隨機(jī)抽樣確定第一個個體編號l，則后面每段所確定的個體編號與前一段確定的個體編號差距為k，例如：第 2 段所確定的個體編號為l +k，第m段所確定的個體

2、編號為l +(m-1)k，直至完成樣本注：（1）若nn不是整數(shù)，則先用簡單隨機(jī)抽樣剔除若干個個體，使得剩下的個體數(shù)能被 n 整除，再進(jìn)行系統(tǒng)抽樣。例如 501 名學(xué)生所抽取的樣本容量為 10，則先隨機(jī)抽去 1 個，剩下的500個個體參加系統(tǒng)抽樣（2）利用系統(tǒng)抽樣所抽出的個體編號排成等差數(shù)列，其公差為k3、分層抽樣：也稱為按比例抽樣，是指在抽樣時，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨(dú)立地抽取一定數(shù)量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本。分層抽樣后樣本中各層的比例與總體中各個層次的比例相等，這條結(jié)論會經(jīng)常用到 （二）頻率分布直方圖：1、頻數(shù)與頻率（1） 頻數(shù)：指一組數(shù)據(jù)中個別數(shù)

3、據(jù)重復(fù)出現(xiàn)的次數(shù)或一組數(shù)據(jù)在某個確定的范圍內(nèi)出現(xiàn)的 數(shù)據(jù)的個數(shù).（2） 頻率：是頻數(shù)與數(shù)據(jù)組中所含數(shù)據(jù)的個數(shù)的比，即頻率=頻數(shù)/總數(shù)（3） 各試驗(yàn)結(jié)果的頻率之和等于 12、頻率分布直方圖：若要統(tǒng)計(jì)每個小組數(shù)據(jù)在樣本容量所占比例大小，則可通過頻率分布 表（表格形式）和頻率分布直方圖（圖像形式）直觀的列出（1） 極差：一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差（2） 組距：將一組數(shù)據(jù)平均分成若干組（通常 5-12 組），則組內(nèi)數(shù)據(jù)的極差稱為組距，所2第十二章第 95 煉 高中涉及的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識其它高考考點(diǎn)以有組距=極差/組數(shù)（3）統(tǒng)計(jì)每組的頻數(shù)，計(jì)算出每組的頻率，便可根據(jù)頻率作出頻率分布直方圖 （4）在頻率分布直

4、方圖中：橫軸按組距分段，縱軸為“頻率/組距”（5）頻率分布直方圖的特點(diǎn)： 頻率=頻率組距組距，即分布圖中每個小矩形的面積 因?yàn)楦髟囼?yàn)結(jié)果的頻率之和等于 1，所以可得在頻率分布直方圖中，各個矩形的面積和 為 1（三）莖葉圖：通?？捎糜诮y(tǒng)計(jì)和比較兩組數(shù)據(jù)，其中莖是指中間的一列數(shù)，通常體現(xiàn)數(shù)據(jù)中除了末位數(shù)前面的其他數(shù)位，葉通常代表每個數(shù)據(jù)的末位數(shù)。并按末位數(shù)之前的數(shù)位進(jìn)行 分類排列，相同的數(shù)據(jù)需在莖葉圖中體現(xiàn)多次（四）統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中的數(shù)字特征：1、 眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)值，叫做眾數(shù)2、 中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)從小到大排列，位于中間位置的數(shù)稱為中位數(shù)，其中若數(shù)據(jù)的總數(shù) 為奇數(shù)個，則為中間的數(shù)；若數(shù)

5、據(jù)的總數(shù)為偶數(shù)個，則為中間兩個數(shù)的平均值。3、平均數(shù)：代表一組數(shù)據(jù)的平均水平，記為x，設(shè)一組數(shù)據(jù)為：x , x , , x 1 2n，則有：x +x +x = 1 2n+xn4、方差：代表數(shù)據(jù)分布的分散程度，記為 s ，設(shè)一組數(shù)據(jù)為：x , x ,1 2, xn，其平均數(shù)為 x ，則有：s 2 =1n (x-x)2+(x-x)2 1 2+(x-x)2 n，其中s 2越小，說明數(shù)據(jù)越集中5、標(biāo)準(zhǔn)差：也代表數(shù)據(jù)分布的分散程度，為方差的算術(shù)平方根 二、典型例題例 1：某校高中部有三個年級，其中高三有學(xué)生1000人，現(xiàn)采用分層抽樣法抽取一個容量為185的樣本，已知在高一年級抽取了75人，高二年級抽取了

6、60人，則高中部共有學(xué)生_人思 路 ： 分 層 抽 樣 即 按 比 例 抽 樣 ， 由 高 一 年 級 和 高 二 年 級 的 人 數(shù) 可 得 高 三 人 數(shù) 為185 -75 -60 =50人，所以抽樣比為50 1 1= ，從而總?cè)藬?shù)為185 =3700 1000 20 20人答案：3700例 2：某企業(yè)三月中旬生產(chǎn)，abc 三種產(chǎn)品共 3000 件，根據(jù)分層抽樣的結(jié)果；企業(yè)統(tǒng)計(jì)第十二章第 95 煉 高中涉及的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識員制作了如下的統(tǒng)計(jì)表格：產(chǎn)品類別 a b 產(chǎn)品數(shù)量（件）1300樣本容量（件）130c其它高考考點(diǎn)由于不小心，表格中 ac 產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)已被污染看不清楚，統(tǒng)計(jì)員記得 a 產(chǎn)

7、品的樣本容量比 c 產(chǎn)品的樣本容量多 10，根據(jù)以上信息，可得 c 的產(chǎn)品數(shù)量是件思路：由b產(chǎn)品可得抽樣比為130 1=1300 10，所以若 a 產(chǎn)品的樣本容量比 c 產(chǎn)品的樣本容量多 10 ， 則 a 產(chǎn)品的數(shù)量 比 c 產(chǎn)品的數(shù)量多10 110=100 ，且 a, c 產(chǎn) 品數(shù)量和 為3000 -1300 =1700，從而可解得c產(chǎn)品的數(shù)量為800答案：800例 3：某棉紡廠為了了解一批棉花的質(zhì)量，從中隨機(jī)抽測了100 根棉花纖維的長度（棉花纖維所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間5,40 中，其頻率分布直方圖如圖所示，則在抽測的 100 根中_根棉花纖維的長度小于 15mm思 路 ： 由 頻 率 直 方

8、圖 的 橫 縱 軸 可 得 ： 組 距 為 5mm ， 所 以 小 于 15mm 的 頻 率 為(0.01 +0.01)5=0.1，所以小于 15mm 共有100 0.1=10根答案：10例 4：某班甲、乙兩位同學(xué)升入高中以來的 5 次數(shù)學(xué)考試成績的莖葉圖如圖，則乙同學(xué)這 5次數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)是 ；已知兩位同學(xué)這 5 次成績的平均數(shù)都是 84，成績比較穩(wěn) 定的是 （第二個空填“甲”或“乙”）(第十二章第 95 煉 高中涉及的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識其它高考考點(diǎn)思路：由莖葉圖可讀出，乙同學(xué)的成績?yōu)?9,80,82,88,91，甲同學(xué)的成績?yōu)?1,82,83,84,91，所以乙同學(xué)的成績的中位數(shù)為82，相比較而

9、言，甲同學(xué)的成績比較集中，所以比較穩(wěn)定的是甲答案： 82 ，甲小煉有話說：在求中位數(shù)時要注意先將數(shù)據(jù)從小到大排列，判斷成績穩(wěn)定，本題甲，乙穩(wěn)定性的判斷定量上要依靠方差，但因?yàn)楸绢}從莖葉圖上看出甲，乙數(shù)據(jù)穩(wěn)定性差距較大，所以 定性的判斷。例 6：某校從參加高三年級期末考試的學(xué)生中隨機(jī)抽取 100 名學(xué)生，將其數(shù)學(xué)成績分成五段： 50,70 ),70,90),90,110),110,130)，130,150，它的頻率分布直方圖如圖所示，則該批 學(xué)生中成績不低于 90 分的人數(shù)是_思路：90,100)的高度未知，但由于直方圖體現(xiàn)的是全部樣本的情況，所以各部分頻率和為 1，可以考慮間接法。從圖中可觀察

10、到 50,90 的頻率為(0.0025 +0.0150)20=0.35，所以不低于 90 分的頻率為1 -0.35 =0.65，故人數(shù)為100 0.65 =65（人）答案：65第十二章第 95 煉 高中涉及的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識其它高考考點(diǎn)例 7：從某小區(qū)抽取 100 戶居民進(jìn)行月用電量調(diào)查,發(fā)現(xiàn)其用電量都在 50 到 350 度之間,頻 率分布直方圖所示（1）直方圖中x的值為_；（2）在這些用戶中,用電量落在區(qū)間100,250)內(nèi)的戶數(shù)為_思路：（ 1 ）依題意可得頻率直方圖中的頻率和等于 1 ，由圖可得組距為50，所以有(0.0024 +0.0036 +0.0060 +x +0.0024 +0.00

11、12 )50=1，解得 x =0.0044（戶）（ 2 ） 圖 中 100,250 )的頻率 為 100 0.7 =70(0.0036 + 0.006+0.0044) =50 ，0.7所以 用 戶 數(shù) 為答案：（1）x =0.0044（2） 70 戶例 7：某校 1000 名學(xué)生的數(shù)學(xué)測試成績分布直方圖如圖所示，分?jǐn)?shù)不低于 a 即為優(yōu)秀，如果優(yōu)秀的人數(shù)為 175 人，則a的估計(jì)值是_思路：可先從頻率直方圖中按分?jǐn)?shù)從高到低統(tǒng)計(jì)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)，組距為10 ，從而可得：(140,150的人數(shù)為1000 (0.0110)=100，同理可得 (130,140的人數(shù)為150 人，而優(yōu)秀的人數(shù)為175人，所以

12、應(yīng)包含(140,150的全體，以及(130,140中的一半人數(shù)，所以估計(jì)值為130到140的中間值，即135答案：a 135第十二章第 95 煉 高中涉及的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識其它高考考點(diǎn)例 8：某地區(qū)為了解中學(xué)生的日平均睡眠時間（單位：h）,隨機(jī)選擇了n位中學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,根據(jù)所得數(shù)據(jù)，畫出樣本的頻率分布直方圖如圖所示,且從左到右的第 1 個、第 4 個、第 2個、第 3 個小長方形的面積依次構(gòu)成公差為 0.1 的等差數(shù)列，又第一小組的頻數(shù)是 10，則 _.n =思路：設(shè)第一個的面積為s =a1，則第 4 個為s =a +0.1 4，第 2 個為s =a +0.2 2，第 3個為s =a +0.3 3，依題意可得四部分的頻率和為1，從而s +s +s +s =1 1 2 3 4可解得a =0.1 ，所以 s =0.1 ，從而 n =1100答案：100.1=100例 9：某單位有職工 200 名，現(xiàn)要從中抽取 40 名職工作樣本，用系統(tǒng)抽樣法，將全體職工隨機(jī)按 1200 編號，并按編號順序平均分為 40 組（15 號，610 號，196200 號）. 若第 5 組抽出的號碼為 22，則第 10 組抽出的號碼應(yīng)是_思路：由系統(tǒng)抽樣可知，每組抽出的號碼依次成等差數(shù)列，且公差為組距d =5，所以a =225，則a =a +5d =22 +25 =47 10