高中數(shù)學(xué)雙曲線知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)

1、 (第二章 2.3 雙曲線雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程（焦點(diǎn)在 x 軸） x 2 y 2- =1( a 0, b 0) a 2 b 2標(biāo)準(zhǔn)方程（焦點(diǎn)在 y 軸） y 2 x 2- =1( a 0, b 0) a 2 b 2第一定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn) f ， f 的距離的差的絕對(duì)值是常數(shù)（小于 f f ）的1 2 1 2點(diǎn)的軌跡叫雙曲線。這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫焦距。m mf - mf =2 a 2a 1 時(shí)， 動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線。定點(diǎn) f 叫做雙曲線的焦點(diǎn)，定直線叫做雙曲線的準(zhǔn)線，常數(shù)e（ e 1 ）叫做雙曲線的離心率。pyyp pxyfy2f1f2xxxpf1范圍x a ， y ry a

2、 ， x r對(duì)稱軸對(duì) 稱 中心焦 點(diǎn) 坐x 軸 ， y 軸；實(shí)軸長(zhǎng)為 2 a ,虛軸長(zhǎng)為 2b原點(diǎn) o (0,0)f ( -c,0) f ( c ,0) f (0, -c) f (0, c ) 1 2 1 2標(biāo)焦點(diǎn)在實(shí)軸上， c = a2+b2；焦距： f f =2c 1 2頂 點(diǎn) 坐 （ -a ,0） ( a ,0) 標(biāo)(0, -a ,) (0， a )每一個(gè)人的成功之路或許都不盡相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奮斗，而每一 條成功之路，都是充滿坎坷的，只有那些堅(jiān)信自己目標(biāo)，不斷努力、不斷奮斗的人，才能取得最終的成功。 但有一點(diǎn)我始終堅(jiān)信，那就是，當(dāng)你能把自己感動(dòng)得哭了的

3、時(shí)候，你就成功了！22cmf -mf =2 amf -mf = f fmf - mf = f f12121212mf -mf = f f210 000離心率ce = (e 1) a準(zhǔn) 線 方x =a 2cy =a 2c程準(zhǔn)線垂直于實(shí)軸且在兩頂點(diǎn)的內(nèi)側(cè)；兩準(zhǔn)線間的距離：2 a2c頂 點(diǎn) 到準(zhǔn) 線 的頂點(diǎn) a （ a ）到準(zhǔn)線 l （ l ）的距離為 1 2 1 2a -a 2c距離頂點(diǎn) a （ a ）到準(zhǔn)線 l 1 2（ l2 1）的距離為a 2c+a焦 點(diǎn) 到準(zhǔn) 線 的焦點(diǎn) f （ f ）到準(zhǔn)線 l （ l ）的距離為 a 1 2 1 2 c -c距離焦點(diǎn) f （ f ）到準(zhǔn)線 l 1 2（

4、l ）的距離為 a 2 1+c漸近線方程共 漸 近線 的 雙曲 線 系方程by = xax 2 y 2- =k （ k 0 ） a 2 b 2ay = xby 2 x 2- =k （ k 0 ） a 2 b 21. 雙曲線的定義 當(dāng)|mf |mf |=2a 時(shí)，則表示點(diǎn) m 在雙曲線右支上；1 2當(dāng) 時(shí)，則表示點(diǎn) m 在雙曲線左支上；2 1 注意定義中的“（小于 f f ）”這一限制條件，其根據(jù)是“三角形兩邊1 2之和之差小于第三邊”。若 2a=2 c 時(shí)，即 ,當(dāng) ，動(dòng)點(diǎn)軌跡是以 f 為端點(diǎn)向2右延伸的一條射線；當(dāng) 時(shí)，動(dòng)點(diǎn)軌跡是以 f 為端點(diǎn)向左延伸的一1 1 2條射線；若 2a2 c 時(shí)

5、，動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在.2. 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程判別方法是：如果 x 2項(xiàng)的系數(shù)是正數(shù)，則焦點(diǎn)在 x 軸上；如果 y 2 項(xiàng)的系數(shù)是正數(shù)，則焦點(diǎn)在 y 軸上.對(duì)于雙曲線，a 不一定大于 b，因此不能像橢圓那樣，通過(guò)比較分母的大小來(lái)判 斷焦點(diǎn)在哪一條坐標(biāo)軸上.3. 雙曲線的內(nèi)外部x 2 y 2 x 2 y 2(1)點(diǎn) p ( x , y ) 在雙曲線 - =1(a 0, b 0) 的內(nèi)部 0 - 0a 2 b2 a 2 b2 x 2 y 2 x 2 y 2(2)點(diǎn) p ( x , y ) 在雙曲線 - =1(a 0, b 0) 的外部 0 - 0a 2 b2 a 2 b21 .0 ，焦點(diǎn)在 xa 2 b

6、 2 a 2 b 2軸上， l0, b 0) 上一點(diǎn) p ( x , y ) 處的切線方程是 0 - 0 =1 .a2 b2 a 2 b2x 2 y2（2）過(guò)雙曲線 - =1(a 0, b 0) 外一點(diǎn) p ( x , y ) 所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程a2 b2是x x y y0 - 0 =1 . a 2 b2每一個(gè)人的成功之路或許都不盡相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奮斗，而每一 條成功之路，都是充滿坎坷的，只有那些堅(jiān)信自己目標(biāo)，不斷努力、不斷奮斗的人，才能取得最終的成功。 但有一點(diǎn)我始終堅(jiān)信，那就是，當(dāng)你能把自己感動(dòng)得哭了的時(shí)候，你就成功了！2 22 2x 2 y 2（

7、 3 ） 雙 曲 線 - =1(a 0, b 0) 與 直 線a2 b2ax +by +c =0 相切的條件是 a 2 a2 -b 2 b 2 =c 2 .a42f29. 直線與雙曲線的位置關(guān)系直線 l ：y =kx +m ( m 0)x 2 y 2雙曲線 c： - =1 （ a 0， b 0） a 2 b 2y =kx +m x2 y 2 - =1a b(b2 -a 2 k 2 ) x 2 -2 a 2 mkx -a 2 m 2 -a 2 b 2=01) 當(dāng)b2 -a 2 k2=0，即 k =ba時(shí)，直線l 與雙曲線的漸進(jìn)線_平行_，直線與雙曲線 c 相交 于一點(diǎn)；2) 當(dāng) b2-a2k20

8、，即k ba時(shí)，=(-2a2mk)2-4(b2-a2k2)(-a2k2)(-a2m2-a2b2)1 df 0 時(shí)，直線 l 與雙曲線相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)2 d=0 時(shí)，直線 l 與雙曲線相切，有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)3 dp 0 時(shí)，直線 l 與雙曲線相離，無(wú)公共點(diǎn)3) 直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn),則直線與雙曲線必相切嗎?為什么?（不一定） 10. 關(guān)于直線與雙曲線的位置關(guān)系問(wèn)題常用處理方法直線 l ：y =kx +m ( m 0)聯(lián)立方程法：雙曲線 c：x 2 y 2- =1 （ a 0， b 0） a 2 b 2y =kx +m x2 y 2 - =1a b(b2 -a 2 k 2 ) x 2 -

9、2 a 2 mkx -a 2 m 2 -a 2 b 2=0設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為 a( x , y ) , b ( x , y ) ，則有 df 0 ,以及 x +x , x x ，還可進(jìn)一步求出1 1 2 2 1 2 1 2y +y =kx +m +kx +m =k ( x +x ) +2 m 1 2 1 2 1 2，y y =( kx +m )( kx +m ) =k 1 2 1 22x x +km( x +x ) +m 1 2 1 22在涉及弦長(zhǎng)，中點(diǎn)，對(duì)稱，面積等問(wèn)題時(shí)，常用此法，比如 a. 相交弦 ab 的弦長(zhǎng)ab = 1 +k2x -x = 1 +k 1 22( x +x ) 1 22-4

10、x x = 1 +k 1 22da每一個(gè)人的成功之路或許都不盡相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奮斗，而每一 條成功之路，都是充滿坎坷的，只有那些堅(jiān)信自己目標(biāo)，不斷努力、不斷奮斗的人，才能取得最終的成功。 但有一點(diǎn)我始終堅(jiān)信，那就是，當(dāng)你能把自己感動(dòng)得哭了的時(shí)候，你就成功了！1 21 2 1 202 2 2 2或ab = 1 +1 1y -y = 1 + ( y +y ) 2 -4 y y = 1 +k k 2 k 22dab. 中點(diǎn) m ( x , y ) , x =0 0 0點(diǎn)差法：x +x y +y 1 2 ， y = 12 22設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為 a( x , y ) ，

11、b ( x , y ) ，代入雙曲線方程，得1 1 2 2x y x y 1 - 1 =1 2 - 2 a 2 b 2 a 2 b 2將兩式相減，可得=1( x +x )( x -x ) ( y +y )( y -y ) 1 2 1 2 = 1 2 1 2a 2 b2y -y b2 ( x +x )1 2 = 1 2x -x a 2 ( y +y )1 2 1 2a. 在涉及斜率問(wèn)題時(shí)， kab=b 2 ( x +x ) 1 2a 2 ( y +y ) 1 2b. 在 涉 及 中 點(diǎn) 軌 跡 問(wèn) 題 時(shí) ， 設(shè) 線 段 ab 的 中 點(diǎn) 為 m ( x , y ) ，0 0y -y b2 2x

12、 b2 x 1 2 = 0 = 0x -x a 2 2 y a 2 y 1 2 0 0，即 kabb 2 x= 0 ，a 2 y011. 焦點(diǎn)三角形面積公式：sdf pf1 2=b 2qtan2, (q=f pf )1 2。仰望天空時(shí)，什么都比你高，你會(huì)自卑;俯視大地時(shí)，什么都比你低，你會(huì)自負(fù);只有放寬視野，把天空和大地盡收眼底，才能在蒼穹泛土之間找準(zhǔn)你真正的位置。每一個(gè)人的成功之路或許都不盡相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奮斗，而每一 條成功之路，都是充滿坎坷的，只有那些堅(jiān)信自己目標(biāo)，不斷努力、不斷奮斗的人，才能取得最終的成功。 但有一點(diǎn)我始終堅(jiān)信，那就是，當(dāng)你能把自己感動(dòng)得哭了的時(shí)候，你就成功了！無(wú)須自卑，不要自負(fù)，堅(jiān)持自信。用心工作，