離散型隨機(jī)變量的研究..

1、目錄畢業(yè)設(shè)計(jì)任務(wù)書I 開題報(bào)告n 指導(dǎo)教師審查意見川 評(píng)閱教師評(píng)語IV 答辯會(huì)議記錄v中文摘要切外文摘要VD1前言12選題背景22.1題目類型及來源 22.2研究目的和意義22.3國(guó)內(nèi)外現(xiàn)狀和發(fā)展趨勢(shì)與研究的主攻方向 23離散型隨機(jī)變量的一些基本知識(shí) 33.1 隨機(jī)變量與概率分布33.2離散型隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布 53.3離散型隨機(jī)變量的母函數(shù)64常見離散型隨機(jī)變量的概率及其分布關(guān)系 104.1常用離散型隨機(jī)變量 104.2常用離散型隨機(jī)變量的關(guān)系 124.3常見離散型隨機(jī)變量的特殊性質(zhì) 145離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征 155.1 公式法165.2隨機(jī)變量分解法165.3母函數(shù)方法176幾個(gè)

2、常用離散分布的應(yīng)用討論 196.1 關(guān)于泊松分布及其應(yīng)用 196.2關(guān)于二項(xiàng)分布及其應(yīng)用 21參考文獻(xiàn)22致謝23離散型隨機(jī)變量的研究第 1 頁 （共 25 頁）前言離散型隨機(jī)變量的研究1 刖言目前,概率統(tǒng)計(jì)理論進(jìn)入其他自然科學(xué)領(lǐng)域的趨勢(shì)還在不斷發(fā)展.在社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域，特別是經(jīng)濟(jì)學(xué)中研究最優(yōu)決策和經(jīng)濟(jì)的穩(wěn)定增長(zhǎng)等問題，都大量采用 概率統(tǒng)計(jì)方法.法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯(Laplace)說對(duì)了“生活中最重要的問題,其中絕大多數(shù) 在實(shí)質(zhì)上只是概率的問題 ”英國(guó)的邏輯學(xué)家和經(jīng)濟(jì)學(xué)家杰文斯曾對(duì)概率論大加贊美： 概率論是生活真正的領(lǐng)路人，如果沒有對(duì)概率的某種估計(jì)，那么我們就寸步難行，無 所作為.隨機(jī)變量概念的引

3、入是概率論發(fā)展史上的一次突破， 它不僅在形式上使隨機(jī)事件 的表達(dá)形式簡(jiǎn)潔，而且還使變量、函數(shù)、積分等分析工具進(jìn)入了概率論的理論研究之 中，從而大大加快了概率論的發(fā)展進(jìn)程.隨機(jī)變量在概率統(tǒng)計(jì)研究中起著極其重要的作用，隨機(jī)變量是用來描述隨機(jī)現(xiàn) 象的結(jié)果的一類特殊的變量，隨機(jī)變量能夠反映隨機(jī)現(xiàn)象的共性，有關(guān)隨機(jī)變量的結(jié) 論可以應(yīng)用到具有不同背景的實(shí)際問題中， 隨機(jī)變量是連接隨機(jī)現(xiàn)象和實(shí)數(shù)空間的一 座橋梁，它使得我們可以借助于有關(guān)實(shí)數(shù)的數(shù)學(xué)工具來研究隨機(jī)現(xiàn)象的本質(zhì).自18世紀(jì)以來，隨機(jī)變量在得到不斷的廣泛應(yīng)用的同時(shí)，也得到不斷發(fā)展和完 善，內(nèi)容也越來越豐富，它直接聯(lián)系著眾多自然現(xiàn)象和實(shí)際問題， 不斷地

4、提出或產(chǎn)生 需要解決的新課題和新方法.它所面臨的數(shù)學(xué)問題多樣而復(fù)雜，不斷地促進(jìn)著許多相 關(guān)數(shù)學(xué)分支的發(fā)展.對(duì)于隨機(jī)變量，我們最關(guān)心的問題是它取哪一些值，以及它以多大概率取這些值. 因此從這個(gè)角度看離散型隨機(jī)變量的概率分布律的計(jì)算就成了學(xué)習(xí)離散隨機(jī)變量的 主要計(jì)算課題.關(guān)于離散隨機(jī)變量，常見離散隨機(jī)變量概率分布及其關(guān)系、離散隨機(jī) 變量的數(shù)字特征、離散隨機(jī)變量的概率分布的母函數(shù)及其性質(zhì)的研究都是當(dāng)今研究的 主要方面.在離散型中比較典型，也比較重要的概率分布律要屬二項(xiàng)分布， 泊松分布， 超幾何分布與幾何分布了，它們?cè)谠S多實(shí)際問題中也有應(yīng)用到 .本文先介紹隨機(jī)變量與概率分布的關(guān)系，然后給出幾種常見的離

5、散型隨機(jī)變量的 概率分布及其關(guān)系，介紹離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的一些性質(zhì)， 通過研究離散型隨機(jī)變 量的母函數(shù)來求它的數(shù)字特征及其其他問題，最后討論離散型隨機(jī)變量的一些應(yīng)用研第1頁(共23頁)離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征究.通過研究離散型隨機(jī)變量的一些常見性質(zhì)以及它在某些方面的應(yīng)用研究， 來更深 刻的學(xué)習(xí)它的一方面知識(shí) . 基于此以突出它在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要意義以及未來發(fā)展中 的重要影響 .2 選題背景2.1 題目類型及來源題目類型：研究論文題目來源：專題研究2.2 研究目的和意義隨機(jī)變量在概率統(tǒng)計(jì)研究中起著極其重要的作用， 隨機(jī)變量是用來描述隨機(jī)現(xiàn)象 的結(jié)果的一類特殊的變量， 隨機(jī)變量能夠反映隨機(jī)現(xiàn)象的

6、共性， 有關(guān)隨機(jī)變量的結(jié)論 可以應(yīng)用到具有不同背景的實(shí)際問題中， 隨機(jī)變量是連接隨機(jī)現(xiàn)象和實(shí)數(shù)空間的一座 橋梁，它使得我們可以借助于有關(guān)實(shí)數(shù)的數(shù)學(xué)工具來研究隨機(jī)現(xiàn)象的本質(zhì) . 而離散型 隨機(jī)變量是為隨機(jī)變量中的一種， 即研究的變量?jī)H可能取有限個(gè)或可列個(gè)值， 比如拋 擲骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)、 射擊命中的環(huán)數(shù)、 產(chǎn)品檢驗(yàn)中次品的件數(shù)等等， 都是離散型隨機(jī) 變量研究的范疇通過研究也可以檢驗(yàn)自己對(duì)專業(yè)理論知識(shí)的理解與掌握程度 鍛煉自己綜合運(yùn)用 所學(xué)知識(shí)分析問題， 解決問題的能力 使自己具有良好的思想作風(fēng)， 頑強(qiáng)的學(xué)習(xí)毅力 和實(shí)事求是的工作作風(fēng)，培養(yǎng)自己綜合運(yùn)用所學(xué)理論知識(shí)和技能的能力2.3 國(guó)內(nèi)外現(xiàn)狀和發(fā)展

7、趨勢(shì)與研究的主攻方向自 18 世紀(jì)以來，隨機(jī)變量在得到不斷的廣泛應(yīng)用的同時(shí)，也得到不斷發(fā)展和完 善，內(nèi)容也越來越豐富， 它直接聯(lián)系著眾多自然現(xiàn)象和實(shí)際問題， 不斷地提出或產(chǎn)生 需要解決的新課題和新方法 它所面臨的數(shù)學(xué)問題多樣而復(fù)雜， 不斷地促進(jìn)著許多相 關(guān)數(shù)學(xué)分支的發(fā)展關(guān)于離散隨機(jī)變量， 常見離散隨機(jī)變量概率分布及其關(guān)系、 離散隨機(jī)變量的數(shù)字 特征、離散隨機(jī)變量的概率分布的母函數(shù)及其性質(zhì)的研究都是當(dāng)今研究的主要方面 . 每個(gè)隨機(jī)變量都有一個(gè)分布， 不同隨機(jī)變量可以有不同的分布， 隨機(jī)變量有千千萬萬個(gè)，但常用分布并不多，常用離散分布主要為二項(xiàng)分布、泊松分布、超幾何分布、幾 何分布與負(fù)幾何分布，其

8、中二項(xiàng)分布，泊松分布以及超幾何分布在現(xiàn)實(shí)生活中有比較 廣泛的應(yīng)用，是當(dāng)今國(guó)內(nèi)外研究的主攻方向另外多維隨機(jī)變量也是當(dāng)今研究的主要 范疇.隨機(jī)變量（random variable ）表示隨機(jī)現(xiàn)象（在一定條件下，并不總是出現(xiàn) 相同結(jié)果的現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象）各種結(jié)果的變量（一切可能的樣本點(diǎn)），例如某一時(shí)間內(nèi)公共汽車站等車乘客人數(shù)，電話交換臺(tái)在一定時(shí)間內(nèi)收到的呼叫次數(shù)等等，都是隨機(jī)變量的實(shí)例.隨著社會(huì)文明的發(fā)展，我國(guó)與其它國(guó)家的文化交流溝通很全面， 離散隨機(jī)變量的 研究方向基本上也是一致的，主要研究離散隨機(jī)變量的概率分布關(guān)系及其母函數(shù)的特 征性質(zhì)，離散隨機(jī)變量的分布列以及數(shù)字特征， 離散隨機(jī)變量的均值與方

9、差，離散隨 機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望等等.3離散型隨機(jī)變量的一些基本知識(shí)3.1隨機(jī)變量與概率分布定義1定義在樣本空間上的實(shí)值函數(shù)X-X宀稱為隨機(jī)變量，常用大寫字母 X,Y,Z等表示隨機(jī)變量，其取值用 x,y,z等表示.假如一個(gè)隨機(jī)變量?jī)H可能取有限個(gè) 或可列個(gè)值，則稱其為離散隨機(jī)變量假如一個(gè)隨機(jī)變量的可能取值充滿數(shù)軸上的一 個(gè)區(qū)間（a,b ）,則稱其為連續(xù)隨機(jī)變量，其中a可以是-：,b可以是：.概率分布是隨機(jī)變量指 X小于任何已知實(shí)數(shù)x的事件可以表示成的函數(shù)。用以表 述隨機(jī)變量取值的概率規(guī)律.描述不同類型的隨機(jī)變量有不同的概率分布形式.是概 率論的基本概念之一.概率分布是概率論的一個(gè)概念，使用時(shí)可以有以

10、下兩種含義：廣義地，概率分布是指稱隨機(jī)變量的概率性質(zhì)：當(dāng)我們說概率空間（Q,F,P）中的 兩個(gè)隨機(jī)變量X和丫具有同樣的分布（或同分布）時(shí)，我們是無法用概率P來區(qū)別他 們的換言之：稱X和丫為同分布的隨機(jī)變量，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意事件A- F，有P X A 二 P Y A 成立.但是，不能認(rèn)為同分布的隨機(jī)變量是相同的隨機(jī)變量事實(shí)上即使X與丫同分布， 也可以沒有任何點(diǎn)3使得X（ CD ）=Y（ 3 ）.在這個(gè)意義下，可以把隨機(jī)變量分類，每一 類稱作一個(gè)分布，其中的所有隨機(jī)變量都同分布。用更簡(jiǎn)要的語言來說，同分布是一種等價(jià)關(guān)係，每一個(gè)等價(jià)類就是一個(gè)分布需注意的是，通常談到的二項(xiàng)分布， 泊松分布，超幾何分布，

11、幾何分布與負(fù)二項(xiàng)分布等，都是指各種類型的分布，而不能 視作一個(gè)分布.狹義地，它是指隨機(jī)變量的概率分布函數(shù).設(shè)X是樣本空間(Q,F)上的隨機(jī)變量， P為概率測(cè)度，則稱如下定義的函數(shù)是 X的分布函數(shù)(distribution function )，或 稱累積分布函數(shù)(cumulative distribution fun ctio n，簡(jiǎn)稱 CDF： F(a)=P(X 蘭 a )， 對(duì)任意實(shí)數(shù)a定義.具有相同分布函數(shù)的隨機(jī)變量一定是同分布的，因此可以用分布函數(shù)來描述一個(gè) 分布，但更常用的描述手段是概率密度函數(shù).隨機(jī)變量的概率分布列具有以下兩點(diǎn)性質(zhì)：(1) 非負(fù)性 p Xi _0,i=1,2.QO(

12、2) 正則性4儀=1.i=1對(duì)于特定的隨機(jī)變量X,其分布函數(shù)FX是單調(diào)不減及右連續(xù)，而且FU丘=0,Fx=1.這些性質(zhì)反過來也描述了所有可能成為分布函數(shù)的函數(shù)：隨機(jī)變量的分布設(shè)P為概率測(cè)度,X為隨機(jī)變量則函數(shù)F x=P X x R稱為X的概率分布函數(shù).如果將X看成是數(shù)軸上的隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)，那么，分布函 數(shù)F(x)在x處的函數(shù)值就表示X落在區(qū)間(-s,x上的概率.例如，設(shè)隨機(jī)變量X為擲兩次骰子所得的點(diǎn)數(shù)差，而整個(gè)樣本空間由36個(gè)元素組成，數(shù)量(i , j )Sx P(X = x)F(x)6(1,1 )，( 2,2 )，( 3,3 )(4,4 )，( 5,5 )，( 6,6 )0 6/366/361

13、0(1,2 )，( 2,3 )(3,4 )，( 4,5 )，( 5,6 )110/3616/36(2,1 ), ( 3,2 ), ( 4,3 )(5,4 ), ( 6,5 )24/32 8/36630/33 6/36(1,3 ), ( 2,4 ), ( 3,5 )8( 4,6 ), ( 3,1 ), ( 4,2 )(5,3 ), ( 6,4 )(1,4 ), ( 2,5 ), ( 3,6 )64(1,5 )，( 2,6 )(5,1 )，( 6,2 )4 4/3634/362(1,6 ) ，( 6,1 )5 2/3636/36(4,1 ), ( 5,2 ), ( 6,3 )6其分布函數(shù)是:063

14、616363630363436_1,x ：0,0x ：1,1 乞 x ： 2,2x 3,3 乞 x ： 4,4 空 x ： 5,5 _ x3.2離散型隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布設(shè)y=g（x）是定義在直線上的一個(gè)函數(shù)，X是一個(gè)隨機(jī)變量，那么Y=g（x）作 為x的函數(shù)，同樣也是一個(gè)隨機(jī)變量.在實(shí)際問題中，我們經(jīng)常感興趣的問題 是：已知隨機(jī)變量X的分布，如何求出另一個(gè)隨機(jī)變量的 Y=g（x）的分布.描述離散型隨機(jī)變量的概率特性常用它的概率分布或分布律，即(X = xQ 二 Pk, k 二1,2,設(shè)X為隨機(jī)變量，X是任意實(shí)數(shù)，則函數(shù)F(x) =P(X 乞 x)稱為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，本質(zhì)上是一個(gè)累積函數(shù)

15、.P(a ：X乞b)二F(b)-F(a)可以得到X落入?yún)^(qū)間(a,b的概率.分布函數(shù)F(x) 表示隨機(jī)變量落入?yún)^(qū)間(二，x內(nèi)的概率.分布函數(shù)具有如下性質(zhì)：1 0 _ F(x) _1,- ： ： x ：;2F(x)是單調(diào)不減的函數(shù)，即xi ： X2時(shí)，有F(xi)乞F(X2);3F (-：)= lim F(x) =0， F ( ； ) = lim F (x) = 1 ;壬x_-bc4 F(x 0F(x)，即F(x)是右連續(xù)的；5 P(X =x) = F(x) _F(x _0).對(duì)于離散型隨機(jī)變量，F(xiàn)(x) =pk ;xk丄離散型隨機(jī)變量的分布列為iXiX2 XnP X1P X2P XnX |則其丫

16、的分布列為當(dāng)y的取值中有某些值相等時(shí)，則把那些相等的值分別合并，并把對(duì)應(yīng)的 概率相加即可.3.3離散型隨機(jī)變量的母函數(shù)母函數(shù)在研究離散型隨機(jī)變量的某些問題中，具有非常重大的作用.現(xiàn)給出母函數(shù)的定義.定義2設(shè)X是取非負(fù)整數(shù)值的隨機(jī)變量，其分布律為pk二Pfx二k?，對(duì)于S蘭1，稱G(s)PkSk = E SX )為該分布的母函數(shù)例如，若X b(n, p)，則k第9頁（共23頁）離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征n : PSG(s) C：(ps)kqn上=(q ps)n ；若 X Ge( p)，則 G(s)pqksk =；若k,k二1 _ qs:kX 二()，則 G(s)esk 二eZ .7 k!母函數(shù)的性

17、質(zhì)：可以證明母函數(shù)有如下性質(zhì)2:(1) 概率分布與母函數(shù)是對(duì)應(yīng)的.因而對(duì)于概率分布的許多研究可以化為對(duì)其所對(duì)應(yīng)的母函數(shù)的研究； 獨(dú)立隨機(jī)變量之和的母函數(shù)若隨機(jī)變量Xi,X2,Xn相互獨(dú)立，它們的母函數(shù)分別為Gi(S)G(S),Gn(s)，則 Xi X Xn的母函數(shù)為G(s) =G(s)G(s) G(s)特別當(dāng)Xi,X2, ,Xn獨(dú)立同分布時(shí)，Gi(s)=G(s)，這時(shí)G(s)珂Gi(s)n ;(3) 隨機(jī)個(gè)隨機(jī)變量之和的母函數(shù)設(shè)Xi,X2/ ,Xn,是一串獨(dú)立同分布的取非負(fù)整數(shù)值的隨機(jī)變量，其母函數(shù)為g(s),隨機(jī)變量Y是取正整數(shù)值的，其母函數(shù)為G(s).若Xn 與Y獨(dú)立，則Xi XXy (若

18、Y = 0，則定義Z = 0 )的母函數(shù)為 H(s)二 G lg(s) 1.典型離散型隨機(jī)變量的母函數(shù)兩點(diǎn)分布的母函數(shù)：G z =q pz二項(xiàng)式分布的母函數(shù)：G = q pz 泊松分布(*: G(z) = eV)幾何分布：G z pz1 -qz現(xiàn)在講解幾個(gè)母函數(shù)的應(yīng)用1利用母函數(shù)求概率分布列QO定理：設(shè)隨機(jī)變量X的母函數(shù)為Gx S =7 PkSk S乞1k=0第#頁(共23頁)離散型隨機(jī)變量的研究則X的概率分布列為Pk1 dkk! dSGx(s J第8頁（共23頁）證明：對(duì)Gx s用幕級(jí)數(shù)展開，并逐項(xiàng)求導(dǎo)，可得jk:市Gx Si=k!pk m m-1 m-k 1 pmsm在上式中令 s=0,有

19、 dsm _k 1dskGx (S) I_t=0因此Pk1 dkk! dskGx(s J_s=02現(xiàn)在證明母函數(shù)的唯一性證明：設(shè)隨機(jī)變量的概率分布為p,隨機(jī)變量的概率分布為 命，它們的母函數(shù)QOQ0分別為Gx s八 PkSk及Gy s八VkSkk =0k=0且Gx s =Gy s ,因Gx s和Gy s均為幕級(jí)數(shù)，且當(dāng)s汨時(shí)該幕級(jí)數(shù)收斂，對(duì)Gx s和Gy s求導(dǎo)k次，并令s=0，則得k!P k = Gx0 二 Gy0= k!q k因此得：Pk = qk,k =0,1,2/ ,即兩個(gè)概率分布相同，由此可知，概率分布和母函數(shù)是 對(duì)應(yīng)的.3利用母函數(shù)求均值利用母函數(shù)可以求得相應(yīng)的概率分布的的數(shù)字特征

20、，若非負(fù)整值隨機(jī)變量X勺母函數(shù)為0Gx S 八 PkSkk=0則其導(dǎo)數(shù)為dGx s 八 kpkSk，dsk離散型隨機(jī)變量的研究上述級(jí)數(shù)至少在S ：1是收斂的，當(dāng)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望存在時(shí)，即E X ；kpk存在時(shí)，顯然有dSGx s s打 y E X .4利用母函數(shù)求方差母函數(shù)Gx s對(duì)s求二階導(dǎo)數(shù)，有d2d2= d?GXssm因此X的方差為:d(xx1e 刈鴉 Gx(s)LGx s sZ GxsGx s 八 k k -1 Pk dxk4現(xiàn)在舉出幾個(gè)母函數(shù)求期望與方差的例子 計(jì)算二項(xiàng)分布隨機(jī)變量的母函數(shù)、數(shù)學(xué)期望和方差解：若隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，則有Pk=PX=k】 = cnpkqn“(k=

21、0,1,2,n) 因此其母函數(shù)為0kGx s 二 Pkskz0 nGx (s 尸瓦 Cnpkqnsk =(q +ps)n 其一、二階導(dǎo)數(shù)為k=0dn -1 d2ndd;Gxs =nq pspd?Gxs=nn-1 q psX的數(shù)學(xué)期望為d2n-2 22=Gx s |s n n-1 q p p=nn-1p dsX的方差為d2dDX 匚齊Gx ss4 yGx sdsds2 2二 n n _1 p np _ np npq計(jì)算泊松分布隨機(jī)變量的母函數(shù)、數(shù)學(xué)期望和方差 解：若隨機(jī)變量 刈服從泊松分布，則kPk =PIX二k匚人e因此其母函數(shù)為k! :十.：Gx S八-esk八心k!7e =e e第11頁(

22、共23頁)Gx(s )= eDX 勺數(shù)學(xué)期望為E IX = dGx(s 山=產(chǎn)=-”2d?Gxs|-e-sX勺方差為d2I df dIDXU_d/Gxss- ss- d；Gxs-1綜上所言為離散型隨機(jī)變量的母函數(shù)的一些性質(zhì)及用來解決問題的方法4常見離散型隨機(jī)變量的概率及其分布關(guān)系4.1常用離散型隨機(jī)變量常用離散型隨機(jī)變量大致有七種：(1) 0-1分布或兩點(diǎn)分布：X b(1,p)，兩點(diǎn)分布也成為伯努利分布，是超幾何分 布的特殊情況，當(dāng)伯努利試驗(yàn)成功，令伯努利隨機(jī)變量為1,若伯努利試驗(yàn)失敗，令 伯努利隨機(jī)變量為0;(2) 二項(xiàng)分布：X b(n, p)，二項(xiàng)分布即重復(fù)的n次獨(dú)立的伯努利試驗(yàn)，在每次試

23、 驗(yàn)中只有兩種可能的結(jié)果，且兩種結(jié)果發(fā)生與否互相對(duì)立，并且相互獨(dú)立，與其它各 次試驗(yàn)結(jié)果無關(guān)，事件發(fā)生于否的概率在每一次獨(dú)立試驗(yàn)中都保持不變，則這一系列 才、試驗(yàn)總稱為n重伯努利實(shí)驗(yàn)，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)為1時(shí)，二項(xiàng)分布就是伯努利分布；常見離散型隨機(jī)變量的概率及其分布關(guān)系（3）幾何分布：XGe（p），在n次伯努利試驗(yàn)中，試驗(yàn)k次才得到第一次成功的 機(jī)率，詳細(xì)的說，是：前k-1次皆失敗，第k次成功的概率；（4）巴斯卡分布或負(fù)二項(xiàng)分布：X Nb（r,p），滿足其分布要有以下條件：實(shí)驗(yàn)包含 一系列獨(dú)立的實(shí)驗(yàn)，每個(gè)實(shí)驗(yàn)都有成功、失敗兩種結(jié)果，成功的概率是恒定的，實(shí)驗(yàn) 持續(xù)到r次成功，r為正整數(shù)；（5） 泊松分布

24、：X（），泊松分布中只有一個(gè)參數(shù).，它是泊松分布的均值， 也是泊松分布的方差，關(guān)于泊松分布，接下會(huì)有詳細(xì)的討論；（6）超幾何分布：X h（ n, M,N），它描述了由有限個(gè)物件中抽出n個(gè)物件，成功抽 出指定種類的物件的次數(shù)；（7）多項(xiàng)分布，是二項(xiàng)式分布的推廣.它們的關(guān)系圖如下離散型隨機(jī)變量亠貝努利試驗(yàn)過程儀泊松過程心陀）Eg P) Q:三艾叵：J；:拗圖1基于貝努利試驗(yàn)的結(jié)構(gòu)圖n滾夫+ p很: 丁 =1 ：衣五為.:政匕刃；.* 一/第11頁（共23頁）常見離散型隨機(jī)變量的概率及其分布關(guān)系這些隨機(jī)變量的最大特點(diǎn)是它們的取值是非負(fù)整數(shù)，因此引入母函數(shù)便于處 理.因?yàn)槟负瘮?shù)是幕級(jí)數(shù)，具有許多良好的

25、性質(zhì)，所以母函數(shù)是研究取非負(fù)整數(shù)值隨 機(jī)變量的有效工具.4.2常用離散型隨機(jī)變量的關(guān)系它們具有以下關(guān)系：1極限關(guān)系(1) 設(shè)Xn b(n, p)，當(dāng)n較大時(shí),由棣莫佛-拉普拉斯定理,二項(xiàng)分布可用正態(tài)分布逼近,即Xn=np近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)；Vnpq(2) 當(dāng)n較大、p較小，且np不大時(shí)，二項(xiàng)分布可用泊松分布逼近，即kb(k; n, p) e，其中二 np ； k!(3) 當(dāng)N很大而n較小時(shí)，超幾何分布可用二項(xiàng)分布近似，即廿宀 Mh(k) : b(k; n, p),其中 p N2隨機(jī)變量之和的關(guān)系n(1) 設(shè)XX2, ,Xn獨(dú)立同分布于0-1分布,則X八 Xj b(n, p)；i

26、A實(shí)際上，由于X1,X2/ ,Xn獨(dú)立同分布于0-1分布，Xi的母函數(shù)為(q ps)，n由母函數(shù)的性質(zhì)(2)， X =7 Xi的母函數(shù)為G(s) = (q ps)n .與二項(xiàng)分布i W的母函數(shù)相同，故X b(n, p).r(2) 設(shè)X1,X2,，Xr獨(dú)立同分布于幾何分布，則X八 Xi Nb(r, p)；i =1f 證明與(1)類似.這時(shí)X的母函數(shù)為G(s) =【一d .V- qs .丿(3在超幾何分布的產(chǎn)生背景中，將抽取 n件產(chǎn)品分解為抽取n次，每次一件令Xi表示第i次抽取的次品數(shù)(1i k 1j 4jJ nf ni(ipj F(ipj 人y 丿n故 X 二 min (Xi) Ge(1 -【(

27、1-pJ)土丄i 44.3常見離散型隨機(jī)變量的特殊性質(zhì)1二項(xiàng)分布的最可能成功次數(shù)與中心項(xiàng)當(dāng)n固定時(shí)，考察b(k;n,p)隨k的變化情況.當(dāng)k從0變到n時(shí)，b(k; n, p),單調(diào)上升，當(dāng)k = m -(n，1)pl (這里1為取整符號(hào))時(shí)，達(dá)到最大值，以后又單調(diào)下降因此，m - 1(n 1)p 1稱為最可能成功次數(shù)，項(xiàng)b(m; n, p)稱為b(k;n, p)的中心項(xiàng).2幾何分布的無記憶性設(shè)X是取正整數(shù)值的隨機(jī)變量，若 px nm+ n X nn = px m，這 里m,n是非負(fù)整數(shù)，則稱X的分布具有無記憶性.顯然，若X Ge(p)，則X 的分布具有無記憶性.實(shí)際上，在離散型分布中，也只有幾

28、何分布才具有這 樣的性質(zhì).為此，我們證明如下命題 ：設(shè)X是正整數(shù)值的隨機(jī)變量，并且 在已知X k的條件下，k 1的概率與k無關(guān)，那么X服從幾何分布.為方便證明，記 qk=pxk，Pk = px=k，p = px =k+1|x Ak.則Pk 1 = qk - qk 1, P ，即 1 _ p 注意到 co = 1，那么 qk = (1 - p)*，因 qkqk此pk =(1 - p)k p, k =1,2, 這正是幾何分布.3二項(xiàng)分布與泊松分布的再生性(1)設(shè) X,Y 相互獨(dú)立，且b(n 1,p),Y，b(n2,p)，貝U離散型隨機(jī)變量的研究Z 二 X 丫 b(q n2, p);實(shí)際上，Gx(s

29、) =(q ps)ni,GY(s) =(q ps)2 ,Gz(s)=(q ps)1 n2，故Z bg rh, p).(2)設(shè) X,Y 相互獨(dú)立，且 X (2),則 Z =X Y 7： ( 2).實(shí)際上，Gx(srel(s),GY(s) =e2(s)，Gz(s) = e()(sJ).故 Z(i).5離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征描述了隨機(jī)變量變化的全貌特點(diǎn)，數(shù)學(xué)期望或均值描述了隨機(jī)變量取值的集中位置或平均大小，方差描述了隨機(jī)變量的取值偏離均值的程度或分 散程度.因此研究隨機(jī)變量數(shù)字特征的計(jì)算方法是非常必要的.先引入離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義定義3設(shè)離散隨機(jī)變量X的分布列為p(xj

30、 = P(X =xj,i =1,2,3,如果QO XiP Xi :：,i=1則稱QOE x 八 XiP Xii壬為隨機(jī)變量的X的數(shù)學(xué)期望，或稱為該分布的數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱期望或均值若級(jí)數(shù)0送|xi p(Xi )不收斂，則稱X的數(shù)學(xué)期望不存在.i=1再引入其方差的定義定義4若隨機(jī)變量X2的數(shù)學(xué)期望E(X2)存在，則稱偏差平方 X -EX的數(shù)學(xué)$ 2期望E(X -EX )為隨機(jī)變量X (或相應(yīng)分布)的方差，記為Var X =E X -E X2=s (Xi E(X ) p(Xi )i稱方差的正平方根, Var X為隨機(jī)變量X (或相應(yīng)分布)的標(biāo)準(zhǔn)差，記為 c X . 下面介紹幾種求隨機(jī)變量的數(shù)字特征方法

31、：5.1 公式法我們知道，若X的分布律為PX =人J = pk, k = 0,1,2，則E(X)二 xk pk ,22kMD(X)=E(X2)-(E(X) 這就是離散型隨機(jī)變量X的期望與方差的計(jì)算公式.例如,2若 X b(1, p)，則 E(X)=0xq+1xp = p , D(X) = E(X2) ( E(X)=02 q 12 p - p2 = p - p2 二 pq ;若 X Ge( p)，貝UE(X)kpqk二qk) = 十豈二丄，又因?yàn)樾膁q 心dq(1-q 丿(1q) p-be-be-bed2f 叱 1E(X2Z k2pqk=p2： k(k1)qk+ kqk=pq 士 qk 卜一kk

32、AkAdqJk出丿p二 pqd2+ 12dq Jq 丿 ppq2(1-q)3第19頁(共23頁)由此得X的方差為d(X) = E(X2)-E(X)2二卑 V-A二弓；p p p p-boX - ()，則 E(X)八 kk =0ek!:kde八kd(k-1)!:,kkk 二E(X2)=E k2e；J：Z k(k1)+ke4y 九2e乏+九二九2 + 扎，k=0k!k=0k!k=2(k2)!由此得 X 的方差為 D(X)二 E(x2) -(E(X)2 = 22 二.5.2隨機(jī)變量分解法n若X b(n, p)，則X八 Xi，其中X1,X2/ ,Xn獨(dú)立同分布于0-1分布，由期i =1 nn望與方差的

33、性質(zhì)，E(X)二為 E(XJ= np，D(X)二為 D(XJ二 npq i =1i =1幾個(gè)常用離散分布的應(yīng)用討論r若XNb(r,p),則X八 Xi，其中Xi,X2/ ,Xr獨(dú)立同分布于幾何分布，由i 4rr期望與方差的性質(zhì),rrqE(X) = E(Xi)，D(X)j. D(Xi)2yPvP若X h( n, M,N)，由X的產(chǎn)生背景，將抽取n件產(chǎn)品分解為抽取n次，每次一n件令Xi表示第i次抽取的次品數(shù)(仁i乞n)，則X八 Xi，Xi服從0-1分布，這里 y不過要注意XnX2/ ,Xn不是相互獨(dú)立的3 故E(XJ = p,D(Xi)= pq 又 N因?yàn)閜XjXj =l = PXj =1,Xj =

34、l = PXj =lPXj =1 Xj =1= p虬日，故i ji ji j i n _1E(XiXj) = p 汙，CovgXjTgjAEgEXrp-p2，最后由期望與方差的性質(zhì)得：EglfXi-pJN1，nD(X)八 D(XJ 2、Cov(Xj,Xj)= npq 2 E(XjXj) - E(XJE(X j)i =11 Wj 蟲1 應(yīng)nM(N -M)2C； pM -1N -1-P2二nM (N -M )(N -n)N2(N -1)5.3母函數(shù)方法當(dāng)X的期望與方差存在時(shí)，E(X)=G(1)， D(X)二G G一G (1).上述公式為用母函數(shù)計(jì)算數(shù)學(xué)期望及方差的簡(jiǎn)便公式若 X Ge(p)，則 G

35、(s) 型，E(X)二 G (1)=丄,1 -qsp第仃頁(共23頁)幾個(gè)常用離散分布的應(yīng)用討論D(X)二 G (1) G (1) G !2 ;P若 X ：()，則 G(s)二e(sJL) , E(X) =：G 二,D(X) =G (1) G(1) G(1)f 二;若 X b(n, p)，則 G(s) =(q ps)n, E(X)二G (1) = np ,D(X) =G G 一G npq .r再比如，若xNb(r, p)，則X = 、Xi，其中XX2,，Xr獨(dú)立同分布于幾何分布.由i 二于Xi的母函數(shù)為，由母函數(shù)的性質(zhì)(2)知G(s)=.這時(shí)i -qsJ-qs 丿E(X) =G =r ,D(X

36、)二G G (1)-G (1)f 單pp設(shè)Z是母函數(shù)的性質(zhì)(3)中的隨機(jī)變量，這時(shí)，H(s)二Gg(s)l .由于 H (s)二 G gg g( 9 H (s)二Gg(s)lg (s)2 g (s)Gg(s) 1，因此當(dāng) E(XJ，E(Y)， D(Xi)，D(Y)存在時(shí)，E(Z)二H(1)=E(Y) E(XJ，D(Z) = H (1) H (1) - H (1)f =D(Y)E(XJ2 E(Y)D(Xi).這是計(jì)算隨機(jī)個(gè)獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量 之和的期望與方差的公式7.例如，設(shè)XnX2/ ,Xn/是獨(dú)立同分布于0-1分布的隨機(jī)變量序列，丫：二()， 且與Xn冷目互獨(dú)立，則Z=XX2 ，Xy的期望

37、與方差分別為：E(Z)=E(Y) E(Xj)p，D(Z) = D(Y)E(Xi)2 E(Y)D(Xi)p .實(shí)際上，這個(gè)結(jié)果也可以從母函數(shù) H (s) =Gg(s)l- e，(q -psJep(J)得到驗(yàn)證，因?yàn)檫@時(shí)的Z ： ( p).再例如，設(shè)X-X2,，Xn，是獨(dú)立同分布于參數(shù)為 口的幾何分布的隨機(jī)變量序 列，丫 Ge(p2)，且與相互獨(dú)立，則ZX2宀Xy的期望與方差分別為：E(Z)=E(Y) E(Xi)1，D(Z)=D(Y)E(Xi)2 E(Y)D(Xi)F 跆.P1P2(P1P2)實(shí)際上，這個(gè)結(jié)果也可以從母函數(shù) H(s)=Gg(s)遊得到驗(yàn)證，因1-(1- P1P2)S這時(shí)的 Z Ge

38、(pip2).6幾個(gè)常用離散分布的應(yīng)用討論6.1關(guān)于泊松分布及其應(yīng)用作為一種常見的離散型隨機(jī)變量的分布，泊松分布日益顯示其重要性，成為概 率論中最重要的幾個(gè)分布之一.服從泊松分布的隨機(jī)變量是常見的.泊松分布產(chǎn)生的一般條件：在自然界和人們的現(xiàn)實(shí)生活中，經(jīng)常要遇到在隨刻出 現(xiàn)的某種事件，我們把在隨機(jī)時(shí)刻相繼出現(xiàn)的事件所形成的序列，叫做隨機(jī)事件流 ，若事件流具有平穩(wěn)性、無后效性、普通性，則稱該事件流為泊松事件流(泊松流).;某電話交換臺(tái)收到的電話呼叫數(shù)；到某機(jī)場(chǎng) 降落的飛機(jī)數(shù)；一個(gè)售貨員接待的顧客數(shù)；一臺(tái)紡紗機(jī)的斷頭數(shù)；等這些事件都可 以看作泊松流.泊松分布的數(shù)學(xué)期望與方差： 泊松分布其概率分布列為

39、入kP(X =k )= e：k =0,1,2,k!其中參數(shù)入 0 ,記為XP入.由泊松分布知E N t -N to =D N t -N to譏t-t。特別地,令t=0,由于假設(shè)N0 =0,故可推知泊松過程的均值函數(shù)和方差分別為E |N t 二汕 D |N t =泊松過程的強(qiáng)度入(常數(shù))等于單位長(zhǎng)時(shí)間間隔內(nèi)出現(xiàn)的質(zhì)點(diǎn)數(shù)目的期望值.即對(duì)泊松分布有：E X = D X二入泊松分布的特征：泊松分布是描述和分析稀有事件的概率分布.要觀察到這類事件，樣本含量n 必須很大.是泊松分布所依賴的唯一參數(shù).值愈小，分布愈偏倚，隨著.的增大，分布 趨于對(duì)稱.第19頁(共23頁)幾個(gè)常用離散分布的應(yīng)用討論 當(dāng)入二20

40、時(shí)，泊松分布接近于正態(tài)分布；當(dāng)入=50時(shí)，可以認(rèn)為泊松分布呈正 態(tài)分布.在實(shí)際工作中，當(dāng) 入一 20時(shí)，就可以用正態(tài)分布來近視地處理泊松分布的問 題.泊松分布的應(yīng)用研究：在生物學(xué)研究中，服從泊松分布的隨機(jī)變量時(shí)常見的.如每升飲水中大腸桿菌數(shù)， 計(jì)數(shù)器小方格中血球數(shù)，單位空間中某些野生動(dòng)物或昆蟲數(shù)等都是服從泊松分布的例為監(jiān)測(cè)飲用水的污染情況，現(xiàn)檢驗(yàn)?zāi)成鐓^(qū)每毫升飲用水中細(xì)菌數(shù)， 共得400 個(gè)記錄如表1.表1 某社區(qū)每毫升飲用水中細(xì)菌數(shù)1ml水中細(xì)菌數(shù)012三3合計(jì)次數(shù)f243120316400試分析引用水中細(xì)菌數(shù)的分布是否服從泊松分布若服從，按泊松分布計(jì)算：細(xì) 菌數(shù)/ml （水）的概率及理論次數(shù)

41、，并將頻率分布與泊松分布直觀比較.經(jīng)計(jì)算得每毫升水中平均細(xì)菌數(shù) X =0.500，方差s2二0.496 .兩者很接近，故可認(rèn) 為細(xì)菌數(shù)/ml （水）服從泊松分布.以0.500代入公式中的 得0.5kP x 二k e . k =0,1,2k!計(jì)算結(jié)果如表2.表2 細(xì)菌數(shù)的泊松分布1ml水中細(xì)菌數(shù)012三3合計(jì)次數(shù)f243120316400頻率0.60750.30000.07750.01501.00概率0.60650.30330.07580.01441.00理論次數(shù)242.60121.3230.325.76400可見細(xì)菌數(shù)的頻率分布與 入二0.5的泊松分布是相當(dāng)吻合的，進(jìn)一步說明泊松分布 描述單位

42、容積（或面積）中細(xì)菌數(shù)的分布是適宜.泊松分布理論及其應(yīng)用的研究，對(duì)于試驗(yàn)成功概率很小而試驗(yàn)次數(shù)很多的隨機(jī)過 程，都可以很自然的應(yīng)用于泊松分布的理論.在泊松分布中的概率表達(dá)式只含一個(gè)參 數(shù)入，減少了對(duì)參數(shù)的確定與修改工作量，模型構(gòu)建比較簡(jiǎn)單，具有很重要的實(shí)際意義.6.2關(guān)于二項(xiàng)分布及其應(yīng)用在本文4.2中我們了解到二項(xiàng)分布與泊松分布、正太分布及超幾何分布之間的關(guān)系，足見二項(xiàng)分布的重要性.因次研究二項(xiàng)分布的性質(zhì)及其應(yīng)用時(shí)非常有必要的. 如果記X為n重伯努利試驗(yàn)中成功（記為事件A）的次數(shù)，則X的可能取值為0,1,2，-，n.記p為每次試驗(yàn)中A發(fā)生的概率,即P A =P,則P A -p.其X分布列為n kn _kp(x=k)=ikjp(i-p)