線性代數(shù)(李建平)習題答案詳解__復旦大學出版社

1、線性代數(shù)（李建平）習題答案詳解 復旦大學出版社線性代數(shù)(2)(162435)4 15習題一1.2.3（答案略）4. (1)(127435689)4 1 5（奇數(shù)）(127485639)為偶數(shù)故所求為127485639(2)/ (397281564)2 5 1 19（奇數(shù)）所求為 3972815645.(1)(532416)42110 6 (偶數(shù))6項前的符號位11（正號）a32a53a26aiia44a65aiia26a32a44a53a65項前的符號位（1）5 1（負號）6. (1)原式=(l)(234Ln1)l 2L n ( 1)(n1)n!(n 1)(n 2)L 21 n)(n 巧“ 2

2、)(2) 原式=1(n 1)(n2)L 2 1 n ( 1)2n!n(n 1)(3) 原式=(1)(n(n 1)L 21)ama2(n 1)L am ( 1產(chǎn)玄站 1)L aM7.8 (答案略)9. / D162x0 19 (4 2)0二 x 710. (1)從第2列開始，以后各列加到第一列的對應元素之上，得X1 L1X(n1)1L11x LXX(n1)XL1LL LLLLLL11 LXX(n1)1LXX(n1) (X1)n1(2)按第列展開：y0L00n 1.n1XyL00DX X(1)yLLLLL00LXynn 1 nX ( 1) y10L0X (n 1)1X 1L0LLLL10LX 11

3、123(3) D n(n2 1)142LL1n113 Ln1n4 Ln15 L12LLLL1 Ln3n22 Ln2n12123L011Ln(n 1)011L2LLLL011 nL01 n1Ln1n11 n1n1LL11111111LLn(n 1)LLL211 nL1 n1L11 n1 n 1LL1111(n 1)(n(1L2)n(n21)1111L L1n111 n1 n111 nLLn(n 1)(1)(n 2) (n 3) L 2 1LLL211L11L1111L L1n111 n10L1nL(1) n(n 1)LLL210L10L0 00 0L Ln 0習題二又bijai1 3 jai2a

4、2jLain anjai12ai22Lain(i, j 1,2,L , n)12345 (答案略)6.設(shè)B為與A可交換的矩陣，則有ABBA11X11Xi2XiiXi21111X21X22X21X2211XiiX21X12X22解之得 xii a,xi2 b,X2i b,X22 aXi7.( 1)X2X3yiy2y330iyi23iy20i2y3ZiZ2記為X = AY，記為Y = BZ(2) X = A BZ = AB ZZiZ2Xi即X2X38 (答案略)3 459. f(A) A2 3A 2E 18 10 1034110.(1)(AB)(AB)A2BA(AB)2(AB)(AB)A2BA /

5、AB=A22ABB211.A2 A, A+(BE)2B 2A E,B24A24A反之若B2E ,則4A12.(1)設(shè)A佝),A2(bj)又-A2Om 0ABE24AB2B2/ atA2 B2A2 ajaji2當i j1,2丄，n時，有a11a12 La1n0,a21a22La2n0,an A 0(2 )設(shè)a (aij) , AAt(bj則bjai1a j1ai2a j2Lain a jnata ob0(i, j1,2 丄，n)當i j 時，有 a,12ai22 Lain20(i 1,2 ,L,n)故an ai2 Lain0(i1,2,L,n)即 A 013.(1)-(at A)t ataata

6、為對稱矩陣an2 L ann 0同理 aat也為對稱矩陣(2) / (A At)t A A A AA A為對稱矩陣又 I (A At)t At A (A At)二a at為反對稱矩陣1TT 1T 1T(3) ： A 2(a a A A )2(a a ) 2(a a )由(2)知，1(A At)為對稱矩陣，1(A At)為反對稱矩陣故A可表示成一個對稱矩陣與一個反對稱矩陣的和。(1 )必要性：I-at a,bt b,(ab)tab ab (AB)t btat ba充分性： at a,bt b,abba (AB)t (ba)t atbtab(2)必要性： a2 e,b2 E,(AB)2E2 2-

7、ba ebae a bab2A(AB) b ab充分性： a2 e,b2 e, ab ba(AB)2 (AB)(AB) A( BA) B A2B2 E(3) 必要性：T A2 A,B2B,( A B)2 A B (A b)2 a2 ab ba b2 a ba ab bAB BA充分性:A,B2 B,ABBA二(AB)215 （答案略）16.(EA)(E A AAk 1) E17.18.19.A可逆。且(E A) 1 E Av Ak(A 1)k AkA k二Ak可逆，且（Ak）（答案略）A2 LAk 1AL AA 1L A 11 (A 1)kv AA* A E ,若A可逆，則A 01 * * *

8、pqA A E 故A可逆，且(A )20.設(shè)A （a） , v A是對稱矩陣 -aijaji記A （NO，則N,Nj，即A為對稱矩陣，又v*A 1 AA，-A 1為對稱矩陣。21. (1 )設(shè) A* (Nj)，貝U ( A)*(1)n1Nj1)n1 A*(2)AA* A E AAA1又/ (A 1)(A1)* A1 E- (A 1)* A 1 (A 1) 1A-1 A是 A*(A 1)* A A 1即(A 1) (A ) 1(3) v AA* A E A* A A 1(A*)T A(A1)T A(AT)1（4）（注意加條件：A可逆）v A 可逆 A*A A 1atT、*(AT)1 (A)(A*

9、)* (A A1)* An1(A1)* An1(A*)1n 111n 2A| (AA )|A A22.T B1C ACBm(C 1AC)(C 1AC)L (C 1AC)C 1AmC23. 24.（答案略）25. . 2A13A 2E 01 A (A3E)EA可逆，且 A 14(A 3E)226.T P1AP AAPAP 1A111(P AP )(P AP1)L1 11(PAP ) (PA P1)411141110又TP,PA111 13 11 ，0211 1 1A1141 0 1114273127323 110 2 1168368427（答案略）28.T CA CA- C A(E A)1又TB

10、 E ABB (E A)1故 B C(EA) 1 A(E A) 1 (E A)(E A) 1 E1 *(3 A)2A1 1 *-A 2A329.1 Aaa2A3；2 AAA* A E A|*AAn,*A1n 1A(3A) 1 2A*3_41 216322730.（答案略）31. (1)A1,2 A3, A2A1, A2 ,2 A32 AAA(2)A3 3A1,3A2,A1 A3,3A2 ,A1A1,3 A2, A33234A32.a+ b|a33.OAOA1B1AA 1OBB 1EOBOOOOEOA1OB1BOA1O-ACA1A1CB 1AA 1AA 1CB 1 CB 1EOOBOB1OBB

11、1OEAC1A1A 1CB 1OBO1B1123.4 （答案略）習題二5.- B不能由a, a,L , am線性表示 線性方程組k1ak2a2Lkm amB無解不妨假設(shè)B能由a, a,L , as(s m)線性表示，則存在一組數(shù)ki ,k2 ,L ,ks ，使從而ki ak? a2Lk ak2 a2L ks a B此式與方程組kia k2 a Lkm am B無解矛盾。故B不能由a, a2,L , am的任何部分組線性表示6.依題意12311214所以13112124112151221312331413315174171131212372141337.171421732123 2 7 3A可逆

12、，于是122211212丄2& （答案略）9當a2即當2時,3線性相關(guān)否則1， 2，3線性無關(guān)。10 .(1)設(shè)k1 1 k2( 12)km(m)則(k1k2 Lkm) 1 (k2k3 Lkm)k1k2k2! Lkm 0Lkm 0 即L L Lkm 0k10k20L Lkm 02，Lm線性無關(guān)。(2 )設(shè)kd 12)k2(3) Lkm ( m1) 0(k1km)(k1k2)2 L ( km 1km) m 01,2,L ,m線性無關(guān)k1kmk1 k2L L Lkm 1km11. 一方面，向量組1, 2丄,n能由基本單位向量組1,另一方面，基本單位向量組1, 2,L , n由向量組2，L ， n向

13、量組 1, 2,L , n與向量組1 , 2，L ,n等價。12一方面 1, 2,L , r可由向量組1, 2丄解之得I2 ,L , n線性表示;1, 2，L , n線性表示為s線性表示;另一方面由于1, 2丄 ,r與1, 2,L , s有相同的秩，所以1, 2 ,L , r就是向量組1, 2,L , s的一個極大無關(guān)組,從而i, 2丄，s可以由1, 2丄，r線性表示故 1, 2,L , r1, 2 ,L , r , r 1,LR 1 2丄，nn 從而 1, 2,L , n 線性無關(guān)。13. 設(shè) 是向量組 1, 2,L , s 中任意一個向量可由i1, i 2,L , ir 線性表示又 R 1

14、, 2丄，s r，m i2丄，ir線性無關(guān)i1, i2,L , ir 是 1, 2,L , s 的一個極大無關(guān)組。141，2，L，n 可由1,2 丄，n線性表示，而1, 2 ,L , n 也可由 1, 2 ,L ,n 線性表示 1 ,2,L , n1,2,L , n從而 R 1,2,L ,n =R 1 , 2,L , n =n故 1,2,L , n線性無關(guān)。15. 必要性： 1, 2,L , n 是一組 n維向量， 若 1,2 ,L, n 線性無關(guān)， 顯然任意n 維向量都可由 1,2,L , n 線性表示。充分性： 任意 n 維向量都可以由1, 2,L , n線性表示，基本單位向量組1, 2

15、,L ,n可由 1, 2,L , n 線性表示，故 nR1,2,L , nR1, 2,L , nn習題四1.2.345.6(答案略)7設(shè) B 1,2 ，由 AB 0 得 A !, A 20 即 A 產(chǎn)0, A 20可見，!, 2是方程組AX = 0的兩個解于是，問題就轉(zhuǎn)化又 R 1, 2 =2/. 1, 2是方程組AX =0的兩個線性無關(guān)的解。為求解方程組 AX =0221313 2/ A132 408 51X18X25X321822X410取 1(1,5,8,0)T, 2 (17,5,0,8) T11741 0885550 18817858011175B ( 1, 2)85即為所求。008&

16、設(shè)所求方程組為 A24X410.1 0 a b不妨設(shè)A0 1 c dQ R(A) 2,依題設(shè),A 10A 2 0,2a 3b 0剛 2c 3d 10即a 30c 20a 3b 2c 2d 11 0X122Xn故所求方程組為012 1X3X40.9、由題設(shè)可知x1 x2 LXn1為AX 0的解，又因為R(A) n 1，所以于是 AX0 的通解為xcy(c為任意常數(shù))10x1x2 01010、的互解為 xk3k4x3x4030410101 10k1剛1210 k2即0 ( )1201 k30101 k40110121012100110QA1201001 101010000R(A)34方程組()有非

17、零解.顯然 k11,k2k3k41滿足方程( ) 所以k( 1,1,1,1)T 是所求非零的公故 y (1,1,L 1)T 為 AX 0的基礎(chǔ)解系11(答案略)12 由題設(shè)知，方程組共解AX 0 的基礎(chǔ)解系含一個解向量Q1由 AX 知， 1x12 x2 3x34 x4 1 24又1=23，2 2 - 3) x 12 x2 3x34 x4 (2 2 - 3) 234即 (2 x1x23) 2 ( x1x3 ) 3 ( x4 1) 4可見 y0(1,2,1,0)T 是方程組 AX 0 的基礎(chǔ)解系又Q2, 3,4線性無關(guān).2 x1 x23x1x30, 可見 x1 x2x3x4 1 為它的一個解，x4

18、1從而 y(1,1,1,1)T 為 AX的一個特解。故 AX的通解為y y ky013(1)假設(shè)y , 1, 2,L , n r,線性相關(guān)Q 1, 2, L , n r, 線性無關(guān)y純由向量組1, 2,L , n r,線性表示從而 y 是方程組 AX 0 的解與已知矛盾y , 1, 2,L , n r,線性無關(guān).(2)設(shè) kyk1(y1) Lkn r(yn r)(kk1 Lkn r)yk11Lknr nr01, 2,L ,n r,線性無關(guān)k1 Lk1 0 k2 0LLLkn r 0knr n從而 k k1k2Lkn r1 ,L , y n r 線性無關(guān).14 .設(shè)y是AX的一個解，1, 2,

19、L , n r 是 AX 0 的基礎(chǔ)解系由13知 R( y ,1, 2, L , n r )nr1又Q AX 的任一解y都可由向量組y , i丄，n r線性表示.AX 的解向量組所含向量個數(shù) R(y , 1, 2,L , n r) n r 11$.設(shè)y0是AX的一個特解1, 2L , n r 是 AX 0的一個基礎(chǔ)解系則 AX的任意解 X y0 t1 1 L tn r n r即 X y0 t1 y0 t2y0 L tn ry0t1 y0 t2y0 L tn r y0 t11 L tn r n r(1t1Ltnr)y0t1(y01)t2(y02)Ltnr(y0n r )令 y0y1,y01y2

20、,L ,y0n ryn r 1顯然y1,y2,Lyn r1 是 AX的nr 1 個線性無關(guān)的解 .則Xk1y1k2y2L knr 1yn r 1其中 k1 k2 Lkn r 1 1習題五1 (答案略). 12、設(shè) 是A 1的屬于特征值 丄的特征向量，則是A的屬于特征值的特征向量，則 A(E A) 0,解此方程組得k12或k 1Q A2E,A22 ,即(1)0故21,即1或14、Q B(A)AA13E 3A 1 3E3、設(shè)是A的特征值,1 9(1) 3 3 6, (2)3 - 32 21(3)33 4.31 9故 B A 3E的特征值為6, ,4.2 25.由題設(shè)知4為A的特征值。4E A 0,于是 x 4又 Q A | | y 91 16.