初中列方程解應(yīng)用題(行程問題)專題

1、初中列方程解應(yīng)用題（行程問題）專題行程問題是指與路程、速度、時(shí)間這三個(gè)量有關(guān)的問題。我們常用的基本公 式是：路程二速度X時(shí)間；速度二路程寧時(shí)間；時(shí)間二路程寧速度 行程問題是個(gè)非常龐大的類型，多年來在考試中屢用不爽，所占比例居高不 下。原因就是行程問題可以融入多種練習(xí)，熟悉了行程問題的學(xué)生，在多種類型的 習(xí)題面前都會(huì)顯得得心應(yīng)手。下面我們將行程問題歸歸類，由易到難，逐步剖析。1. 單人單程：例1:甲，乙兩城市間的鐵路經(jīng)過技術(shù)改造后，列車在兩城市間的運(yùn)行速 度從80km/ h提高到100km/h ,運(yùn)行時(shí)間縮短了 3h。甲，乙兩城市間的路程是多 少？【分析】如果設(shè)甲，乙兩城市間的路程為xkm,那么

2、列車在兩城市間提速前的 運(yùn)行時(shí)間為h，提速后的運(yùn)行時(shí)間為 h.80 100【等量關(guān)系式】 提速前的運(yùn)行時(shí)間一提速后的運(yùn)行時(shí)間 =縮短的時(shí)間【列出方程】-3.80 100例2:某鐵路橋長(zhǎng)1000 m，現(xiàn)有一列火車從橋上通過，測(cè)得該火車從開始 上橋到完全過橋共用了 1 min，整列火車完全在橋上的時(shí)間共 40s。求火車的速 度和長(zhǎng)度?！痉治觥咳绻O(shè)火車的速度為x m/s，火車的長(zhǎng)度為y m，用線段表示大橋和火車的長(zhǎng)度，根據(jù)題意可畫出如下示意圖:l y h卓1000*u uIJ IJ60x- 1000匚CJCl-y t一40x_r【等量關(guān)系式】 火車1 min行駛的路程=橋長(zhǎng)+火車長(zhǎng); 火車40s行

3、駛的路程二橋長(zhǎng)-火車長(zhǎng)【列出方程組】60X 1000 y40x1000 y舉一反三：1 小明家和學(xué)校相距15km。小明從家出發(fā)到學(xué)校，小明先步行到公共汽車 站，步行的速度為60 m/min，再乘公共汽車到學(xué)校，發(fā)現(xiàn)比步行的時(shí)間縮短了 20min，已知公共汽車的速度為40km/h，求小明從家到學(xué)校用了多長(zhǎng)時(shí)間。2 根據(jù)我省“十二五”鐵路規(guī)劃，連云港至徐州客運(yùn)專線項(xiàng)目建成后，連 云港至徐州的最短客運(yùn)時(shí)間由現(xiàn)在的 2小時(shí)18分鐘縮短為36分鐘，其速度每 小時(shí)將提高260km .求提速后的火車速度。（精確到1km/h）3 .徐州至上海的鐵路里程為650km，從徐州乘”字頭列車A，” ”字頭列 車B都可

4、直達(dá)上海，已知A車的速度為B車的2倍，且行駛的時(shí)間比B車少2.5h. 求A車的速度及行駛時(shí)間。（同學(xué)們可能會(huì)認(rèn)為這是雙人行程問題，其實(shí)這題的 類型可歸結(jié)于例1的類型，把B車的速度看成是A提速后的速度，是不是也可 看成單人單程的問題呀?。?.一列勻速前進(jìn)的火車用15秒的時(shí)間通過了一個(gè)長(zhǎng)300米的隧道（即從車 頭進(jìn)入隧道到車尾離開隧道）。又知其間在隧道頂部的一盞固定的燈發(fā)出的一束光垂直照射火車2. 5秒，（光速 3 108m/s ）1）求這列火車的長(zhǎng)度2）如果這列火車用25秒的時(shí)間通過了另一個(gè)隧道，求這個(gè)隧道的長(zhǎng)2. 單人雙程（等量關(guān)系式：來時(shí)的路程 二回時(shí)的路程）：例1:某校組織學(xué)生乘汽車去自然

5、保護(hù)區(qū)野營(yíng)， 先以60km/h的速度走平路， 后又以30km/h的速度爬坡，共用了 6.5h;返回時(shí)汽車以40km/ h的速度下坡，又 以50km/h的速度走平路，共用了 6h.學(xué)校距自然保護(hù)區(qū)有多遠(yuǎn)?！痉治觥咳绻O(shè)學(xué)校距自然保護(hù)區(qū)為x km，由題目條件：去時(shí)用了 6.5h，則有些同學(xué)會(huì)認(rèn)為總的速度為 km/h，然后用去時(shí)走平路的速度+去時(shí)爬坡的速6.5度二總的速度，得出方程60 30，這種解法是錯(cuò)誤的，因?yàn)樗俣仁遣荒芟?.5加的。不妨設(shè)平路的長(zhǎng)度為x km，坡路的長(zhǎng)度為y km，則去時(shí)走平路用了 h，60去時(shí)爬坡用了丄h，而去時(shí)總共用了 6.5h，這時(shí)，時(shí)間是可以相加的；回來時(shí)30汽車下坡用

6、了上h，回來時(shí)走平路用了 ，而回來時(shí)總共用了 6h.則學(xué)校到自然4050保護(hù)區(qū)的距離為（x y）km。【等量關(guān)系式】去時(shí)走平路用的時(shí)間+去時(shí)爬坡用的時(shí)間=去時(shí)用的總時(shí)間 回來時(shí)走平路用的時(shí)間+回來時(shí)爬坡用的時(shí)間二回來時(shí)用的 總時(shí)間 丄 6.5【列出方程組】6030丄65040注：?jiǎn)稳穗p程的行程問題抓住來時(shí)的路程 二回時(shí)的路程、路程=速度X時(shí)間， 再把單人單程的行程問題練練熟就 ok 了，題型跟單人單程的題型差不多，把上 面的例題弄懂，這里就不多做練習(xí)了。3. 雙人行程:（I）單塊應(yīng)用：只單個(gè)應(yīng)用同向而行或背向而行或相向而行或追擊問題。1）同時(shí)同地同向而行：A,B兩事物同時(shí)同地沿同一個(gè)方向行駛例

7、：甲車的速度為60km/h，乙車的速度為80km/ h，兩車同時(shí)同地出發(fā)， 同向而行。經(jīng)過多少時(shí)間兩車相距 280km?！痉治觥咳绻O(shè)經(jīng)過x h后兩車相距280km，貝U甲走的路程為60xkm，乙走 的路程為80xkm，根據(jù)題意可畫出如下示意圖： 80x km甲 廣60x km上灣280km【等量關(guān)系式】甲車行駛的距離+280=乙車行駛的距離【列出方程】60x 280 280x2）同時(shí)同地背向而行：A, B兩事物同時(shí)同地沿相反方向行駛例：甲車的速度為60km/h，乙車的速度為80km/ h，兩車同時(shí)同地出發(fā)， 背向而行。經(jīng)過多少時(shí)間兩車相距 280km?！痉治觥咳绻O(shè)經(jīng)過x h后兩車相距280

8、km，貝U甲走的路程為60xkm，乙走 的路程為80xkm，根據(jù)題意可畫出如下示意圖：甲 乙*60x km i80x kmy280 km【等量關(guān)系式】甲車行駛的距離+乙車行駛的距離=280【列出方程】60x 80x 2803）同時(shí)相向而行（相遇問題）：例:甲，乙兩人在相距10km的A,B兩地相向而行，乙的速度是甲的速度的 2 倍，兩人同時(shí)處發(fā)1.5h后相遇，求甲，乙兩人的速度?！痉治觥咳绻O(shè)甲的速度為xkm/h，則乙的速度為2xkm/h，甲走過的路程 為1.5x km，乙走過的路程為1.5 2x km，根據(jù)題意可畫出如下示意圖：1.5x km1.5 x 2x km10 km280 km【等量關(guān)

9、系式】甲車行駛的距離+乙車行駛的距離=10【列出方程】1.5x 1.5 2x 104）追及問題：例：一對(duì)學(xué)生從學(xué)校步行去博物館，他們以5km/h的速度行進(jìn)24 min后，一 名教師騎自行車以15km/h的速度按原路追趕學(xué)生隊(duì)伍。這名教師從出發(fā)到途中 與學(xué)生隊(duì)伍會(huì)合共用了多少時(shí)間？【分析】如果設(shè)這名教師從出發(fā)到途中與學(xué)生隊(duì)伍會(huì)合共用了xh，則教師走過的路程為15x km，學(xué)生走過的路程為教師出發(fā)前走過的路程加上教師出發(fā) 后走過的路程，而學(xué)生在教師出發(fā)前走過的路程為5迢km，學(xué)生在教師出發(fā)后60走過的路程為5x km，又由于教師走過的路程等于學(xué)生走過的路程。根據(jù)題意可 畫出如下示意圖：學(xué)生5 24

10、km5x-km160教師15x km【等量關(guān)系式】教師走過的路程=學(xué)生在教師出發(fā)前走過的路程+學(xué)生在教師出發(fā)后走過的路程24【列出方程】15x 5 5x605）不同時(shí)同地同向而行（與追擊問題相似）：例:甲，乙兩人都從A地出發(fā)到B地，甲出發(fā)1h后乙才從A地出發(fā)，乙出 發(fā)3h后甲，乙兩人同時(shí)到達(dá)B地，已知乙的速度為50km/h，問，甲的速度為多 少？【分析】如果設(shè)甲的速度為x km/h，貝U乙出發(fā)前甲走過的路程為x km，乙 出發(fā)后甲走過的路程為3xkm，甲走過的路程等于乙出發(fā)前甲走過的路程加上乙 出發(fā)后甲走過的路程，而乙走過的路程為 50 3km，甲走過的路程等于乙走過的 路程。根據(jù)題意可畫出如

11、下示意圖：【等量關(guān)系式】 乙走過的路程=乙出發(fā)前甲走過的路程加上乙出發(fā)后甲走過 的路程【列出方程】50 3 x 3x6）不同時(shí)相向而行例：甲，乙兩站相距448km，列慢車從甲站出發(fā)，速度為60km/h ; 一列 快車從乙站出發(fā)，速度為100km/h。兩車相向而行，慢車先出發(fā)32min，快車開 出后多少時(shí)間兩車相遇？【分析】如果設(shè)快車開出后x h兩車相遇，則慢車走過的路程為32一60x 60km，快車走過的路程為100 x km。根據(jù)題意可畫出如下示意圖：60慢車60x100x快車448km【等量關(guān)系式】 總路程=快車出發(fā)前慢車走過的路程+快車出發(fā)后慢車走過 的路程+快車走過的路程32【列出方程

12、】448 6060x 100x60注：涉及此類問題的還有同時(shí)不同地同向而行、不同時(shí)不同地背向而行、不 同時(shí)不同地同向而行、不同時(shí)不同地背向而行，與上面解法類似，只要畫出示意 圖問題就會(huì)迎刃而解，就不再一一給出解答了，此類問題會(huì)在后面練習(xí)中給出習(xí) 題。(H)結(jié)合應(yīng)用：把同向而行、背向而行、相向而行、追擊問題兩兩結(jié)合起來應(yīng)用1)相向而行+背向而行例：A , B兩地相距36km，小明從A地騎自行車到B地，小麗從B地騎自 行車到A地，兩人同時(shí)出發(fā)相向而行，經(jīng)過1h后兩人相遇；再過0.5h，小明余 下的路程是小麗余下的路程的2倍。小明和小麗騎車的速度各是多少？【分析】如果設(shè)小明騎車的速度為x，小麗騎車的

13、速度為y ,相遇前小明走 過的路程為x，小麗走過的路程為y ;相遇后兩人背向而行，小明走過的路程為0.5x，小麗走過的路程為0.5y。根據(jù)題意可畫出如下示意圖:相遇前小明x小麗y.5嚴(yán)36km0.5xy-0.5x小明x-0.5y小麗【等量關(guān)系式】相遇前小明走過的路程+相遇前小麗走過的路程=總路程相遇后小明余下的路程=2X相遇后小麗余下的路程【列出方程組】x y 36y 0.5x2 (x 0.5y)2)同向而行+相向而行例：一個(gè)自行車隊(duì)進(jìn)行訓(xùn)練，訓(xùn)練時(shí)所有隊(duì)員都以 35千米/時(shí)的速度前進(jìn)， 突然，1號(hào)隊(duì)員以45千米/時(shí)的速度獨(dú)自行進(jìn)，行進(jìn)10千米后掉轉(zhuǎn)車頭，仍以 45千米/時(shí)的速度往回騎，直到與

14、其他隊(duì)員會(huì)合。1號(hào)隊(duì)員從離隊(duì)開始到與其他 隊(duì)員重新會(huì)合，經(jīng)過了多長(zhǎng)時(shí)間？【分析】由題意“1號(hào)隊(duì)員以45千米/時(shí)的速度獨(dú)自行進(jìn)，行進(jìn)10千米后10掉轉(zhuǎn)車頭”可知1號(hào)隊(duì)員從離隊(duì)到調(diào)轉(zhuǎn)車頭前的時(shí)間為 上h，不妨設(shè)1號(hào)隊(duì)員從45調(diào)轉(zhuǎn)車頭到與其他隊(duì)員重新回合的時(shí)間為 x h。根據(jù)題意可畫出如下示意圖：所有隊(duì)員L1-35 2 -5x -*45-45x*1號(hào)隊(duì)員10km【等量關(guān)系式】1號(hào)隊(duì)員從離隊(duì)到調(diào)轉(zhuǎn)車頭這段時(shí)間所有隊(duì)員走的路程 +1號(hào) 隊(duì)員從調(diào)轉(zhuǎn)車頭到與其他隊(duì)員重新回合這段時(shí)間內(nèi)所有隊(duì)員走的路程 +1號(hào)隊(duì)員 從調(diào)轉(zhuǎn)車頭到與其他隊(duì)員重新回合這段時(shí)間內(nèi) 1號(hào)隊(duì)員走的路程=10。【列出方程】351035x 4

15、5x 1045注：涉及此類問題的還有同向而行+相背而行、追及+同向而行、追及+相背 而行、追及+相向而行，只要把它們分成單個(gè)類型，按照題意一步一步求解，這 里就不一一舉例了，此類問題會(huì)在后面練習(xí)中給出習(xí)題。舉一反三：1.甲，乙兩人從樓底爬樓梯到樓頂，甲平均每分鐘爬樓梯40級(jí)，乙平均每分鐘爬樓梯50級(jí)，甲先出發(fā)2min，結(jié)果兩人同時(shí)到達(dá)樓頂。問從樓底到樓頂共 有樓梯多少級(jí)？2甲，乙兩人在相距100m的兩地相背而行，30min后甲，乙兩人相距4km， 已知甲的速度為60m/min，求乙的速度。3.小彬和小明每天早晨堅(jiān)持跑步，小彬每秒跑4米，小明每秒跑6米，（1如果他們站在百米跑道的兩端同時(shí)相向起跑

16、，那么幾秒后兩人相遇？ （2）如果小明站在百米跑道的起點(diǎn)處，小彬站在他前面10米處，兩人同時(shí)同向起跑，幾秒后小明能追上小彬。4.一隊(duì)學(xué)生去校外進(jìn)行軍事野營(yíng)訓(xùn)練。他們以 5km/h的速度行進(jìn)，走了 18min的時(shí)候，學(xué)校要將一個(gè)緊急通知傳給隊(duì)長(zhǎng)。通訊員從學(xué)校出發(fā)，騎自行車 以14km/h的速度按原路追上去，隊(duì)長(zhǎng)出發(fā)后經(jīng)過多少時(shí)間接到通知？5兩輛汽車同時(shí)從A地出發(fā)，沿一條公路開往B地。甲車比乙車每小時(shí)多 行8千米，甲車比乙車早40分鐘到達(dá)途中的C地，當(dāng)乙車到達(dá)C地時(shí)，甲車 正好到達(dá)B地。已知C至B地的路程是40千米，求乙車每小時(shí)行多少km ？6. A, B兩地相距450km，甲，乙兩車分別從 A

17、, B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而 行。已知甲車速度為120km/ h，乙車速度為80km/h，經(jīng)過多少小時(shí)兩車相距 50km。7. 甲乙兩車同時(shí)從A地出發(fā)，在相距900千米的AB兩地間不斷往返行駛 已知甲車的速度是每小時(shí)25千米，乙車的速度是每小時(shí)20千米。請(qǐng)問：(1) 甲車第一次從后面追上乙車是在出發(fā)后多長(zhǎng)時(shí)間？(2) 甲車在第一次從后面追上乙車之后又經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間第二次從后面追上乙 車？(3) 甲乙兩車第二次迎面相遇是在出發(fā)后多長(zhǎng)時(shí)間？4行程問題中的工程問題：乍一看，題目中就時(shí)間已知，速度、路程都未知，此類問題同學(xué)們做起來覺 得無從下手。其實(shí)只要把路程看做單位“ 1”（至于為什么，結(jié)合以下例題講解

18、）， 這就相當(dāng)于把行程問題轉(zhuǎn)化為工程問題。例：甲開汽車從A地到B地需要6h，乙開汽車從A地到B地需要4h，如 果甲，乙兩人分別從A，B兩地出發(fā)，相向而行，經(jīng)過多少小時(shí)后兩車相遇?！痉治觥款}目中就時(shí)間已知，速度、路程都未知，有些同學(xué)想如果知道A與B的距離，就可以得出A與B的速度，那么問題就迎刃而解了，可是路程未知 呀！是不是路程無論取什么值，都經(jīng)過相同的時(shí)間兩車相遇呢？為此， 我們不妨 設(shè)A與B的距離為a,經(jīng)過xh后兩車相遇。我們可以立馬得出關(guān)系式： 旦x旦x a,可以把兩邊的a消去，得到方程 1，立馬得出x直。64645說明路程無論取什么值，都經(jīng)過相同的時(shí)間兩車相遇。遇到類似問題，我們往往 把

19、路程看做單位“1”。舉一反三：1甲從A地到B地需要3h，乙從A地到B地需要4h，甲，乙兩人同時(shí)從A 地出發(fā)，甲先到達(dá)B地后掉頭向A方向行駛，問，甲，乙兩人從 A地同時(shí)出發(fā) 到兩人相遇需要多長(zhǎng)時(shí)間？2甲開汽車從A地到B地需2h，乙騎摩托車從B地到A地需3h。如果乙 騎摩托車從B地出發(fā)往A地，1h后甲開汽車從A地往B地，那么甲出發(fā)多少時(shí) 間與乙相遇？5環(huán)形跑道問題：環(huán)形跑道問題也是形成問題的一種，環(huán)形跑道問題就是閉路線上的追擊問 題。在環(huán)形問題中，若兩人所走同時(shí)同地出發(fā)，同向而行，當(dāng)?shù)谝淮蜗嘤鰰r(shí)，兩 人所走路程差為一周長(zhǎng)；相向而行，第一次相遇時(shí)，兩人所走路程和為一周長(zhǎng)。例1：運(yùn)動(dòng)場(chǎng)跑道周長(zhǎng)400m

20、，小紅跑步的速度是爺爺?shù)?倍，他們從同一3地點(diǎn)沿跑道的同一方向同時(shí)出發(fā)，5min后小紅第一次追上了爺爺。你知道他們 的跑步速度嗎？那是不是再過5min兩人第二次相遇呢？如果不是，請(qǐng)說明理由； 如果是，用方程式表示。【分析】不妨設(shè)爺爺?shù)呐懿剿俣葹閤 m/min，則小紅的跑步速度為-x m/min3【等量關(guān)系式】小紅跑的路程一爺爺跑的路程=400m5【列出方程】5 5x 5x 4003注：再過5min兩人第二次相遇，用上面那個(gè)方程式就可以表示出來。例2:甲，乙兩車分別以均勻的速度在周長(zhǎng)為 600m的圓形軌道上運(yùn)動(dòng)。甲 車的速度較快，當(dāng)兩車反向運(yùn)動(dòng)時(shí)，每15s相遇一次；當(dāng)兩車同向運(yùn)動(dòng)時(shí)，每1min

21、相遇一次，求兩車的速度?！痉治觥吭O(shè)甲，乙兩車的速度分別為xm/s和ym/s?！镜攘筷P(guān)系式】 同向而行甲所走的路程-同向而行乙所走的路程=一周長(zhǎng) 反向而行甲所走的路程+同向而行乙所走的路程=一周長(zhǎng)15x 15y 600【列出方程組】y60x 60y 600舉一反三：1.甲，乙兩人在周長(zhǎng)400m長(zhǎng)的環(huán)形跑道上競(jìng)走，已知乙的速度是80m/min，甲的速度是乙的1.25倍，乙在甲前100m。問多少分鐘后，甲可以追上乙?2.甲，乙兩人都以不變的速度在環(huán)形路上跑步，相向而行，每隔2min相遇一次;同向而行，每隔6min相遇一次。已知甲比乙跑得快，求甲，乙兩人每分鐘 個(gè)跑幾圈？6水流問題一般是研究船在 流水”中航行的問題。它是行程問題中比較特殊的一種類型, 它的特點(diǎn)主要是考慮水速在逆行和順行中的不同作用?；靖拍詈凸接校捍伲捍陟o水中航行的速度水速：水流動(dòng)的速度順?biāo)俣龋捍樍骱叫械乃俣饶嫠俣龋捍媪骱叫械乃俣?/p>