軸對(duì)稱證明題

1、軸對(duì)稱專題軸對(duì)稱圖形如果一個(gè)圖形沿某一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線就是它的對(duì)稱軸.有的軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸不止一條，如圓就有無數(shù)條對(duì)稱軸.軸對(duì)稱有一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合， 那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱，這條直線叫做對(duì)稱軸，折疊后重 合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，叫做對(duì)稱點(diǎn).兩個(gè)圖形關(guān)于直線對(duì)稱也叫做軸對(duì)稱.圖形軸對(duì)稱的性質(zhì)如果兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的 垂直平分線；軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分 線.軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形的區(qū)別軸對(duì)稱是指兩個(gè)圖形之間的形狀與位置關(guān)系，成軸對(duì)稱的兩個(gè)

2、圖形是全 等形；軸對(duì)稱圖形是一個(gè)具有特殊形狀的圖形，把一個(gè)軸對(duì)稱圖形沿對(duì)稱 軸分成兩個(gè)圖形，這兩個(gè)圖形是全等形，并且成軸對(duì)稱.線段的垂直平分線（1）經(jīng)過線段的中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的 垂直平分線（或線段的中垂線）.（2）線段的垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；反 過來，與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上.因 此線段的垂直平分線可以看成與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合.軸對(duì)稱變換軸對(duì)稱變換由一個(gè)平面圖形得到它的軸對(duì)稱圖形叫做軸對(duì)稱變換.成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形中的任何一個(gè)可以看著由另一個(gè)圖形經(jīng)過軸對(duì) 稱變換后得到.軸對(duì)稱變換的性質(zhì)（1）經(jīng)過軸對(duì)稱

3、變換得到的圖形與原圖形的形狀、大小完全一樣（2）經(jīng)過軸對(duì)稱變換得到的圖形上的每一點(diǎn)都是原圖形上的某一點(diǎn) 關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn).（3）連接任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段被對(duì)稱軸垂直平分.作一個(gè)圖形關(guān)于某條直線的軸對(duì)稱圖形（1）作出一些關(guān)鍵點(diǎn)或特殊點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn).（2）按原圖形的連接方式連接所得到的對(duì)稱點(diǎn)，即得到原圖形的軸對(duì) 稱圖形.用坐標(biāo)表示軸對(duì)稱關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱點(diǎn)P （x, y）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（x, -y）點(diǎn)P （x, y）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（-x, y）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)P （x, y）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（-x, -y）關(guān)于坐標(biāo)軸夾角平分線對(duì)稱點(diǎn)P （x, y）關(guān)于第一、三象限坐標(biāo)軸夾角平分

4、線y=x對(duì)稱的點(diǎn)的坐 標(biāo)是（y, x）點(diǎn)P （x, y）關(guān)于第二、四象限坐標(biāo)軸夾角平分線y二-x對(duì)稱的點(diǎn)的 坐標(biāo)是（-y, -x）關(guān)于平行于坐標(biāo)軸的直線對(duì)稱點(diǎn)P （x, y）關(guān)于直線x二m對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（2m-x, y）;點(diǎn)P （x, y）關(guān)于直線y二n對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（x, 2n-y）；等腰三角形等腰三角形有兩條邊相等的三角形是等腰三角形.相等的兩條邊叫做腰，另一條 邊叫做底邊兩腰所夾的角叫做頂角，腰與底邊的夾角叫做底角.等腰三角形的性質(zhì)性質(zhì)1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡寫成“等邊對(duì)等角”）性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重 合.特別的：（1）等腰三角形是軸對(duì)

5、稱圖形.（2）等腰三角形兩腰上的中線、角平分線、高線對(duì)應(yīng)相等.等腰三角形的判定定理如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡寫 成“等角對(duì)等邊”）.特別的：（1）有一邊上的角平分線、中線、高線互相重合的三角形是等腰三角形.（2）有兩邊上的角平分線對(duì)應(yīng)相等的三角形是等腰三角形.（3）有兩邊上的中線對(duì)應(yīng)相等的三角形是等腰三角形.（4）有兩邊上的高線對(duì)應(yīng)相等的三角形是等腰三角形.利用“三角形奠基法”作圖根據(jù)己知條件先作出一個(gè)與所求圖形相關(guān)的三角形，然后再以這個(gè)圖 形為基礎(chǔ)，作出所求的三角形.等邊三角形等邊三角形三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，也叫做正三角形.等邊三角形的性質(zhì)等邊三

6、角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)內(nèi)角都等于60等邊三角形的判定方法（1）三條邊都相等的三角形是等邊三角形；（2）三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；（3）有一個(gè)角是60的等腰三角形是等邊三角形.角平分線的性質(zhì)角平分線跑作迭!見課本 角形線旳性廈！在角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.AVOP YZAOB,. PM_LOA T PN_LOB TN,.；.PM=PN角平分線的判定到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.VPM-LOA 于 比 PN_LOB T PM=PN/.OPTZAOB三角形的角平分線的性質(zhì) 三角形三個(gè)內(nèi)角的平分線交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三邊的距離相等.添加輔助線口訣兒何證明難不難，關(guān)

7、鍵常在輔助線；知中點(diǎn)、作中線，倍長中線把線連. 線段垂直平分線，常向兩端來連線；線段和差及倍分，延長截取全等現(xiàn)； 公共角、公共邊，隱含條件要挖掘；平移對(duì)稱加旋轉(zhuǎn)，全等圖形多變換.角平分線取一點(diǎn)，可向兩邊作垂線；也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱之后關(guān)系現(xiàn); 角平分線加平行，等腰三角形來添；角平分線伴垂直，三線合一試試看。角平分線+平行線一等腰三角形爭：個(gè)三角誓中串現(xiàn)角乎分線卻半彳了線時(shí),.我們就可等腰三角形。如圖 1 (1)中，若 AD 平分BAC , ADCS ABAC M.DE ABAC MCE如圖, 在ABC中，AB=AC,在AC上取點(diǎn)P,過點(diǎn)P作2F1BC 9交BA的延 長線于點(diǎn)E,垂足為點(diǎn)F。求證

8、：AE=AP丄弓狼 如圖！二!”李皐角學(xué)橋舔申,.息4年Y瓠4丄亍舉于總S點(diǎn)/關(guān)于直線血的對(duì)稱點(diǎn)。恰好在必上，點(diǎn)E與點(diǎn)0關(guān)于直線龐2-已知：如圖2-3,線段力氏咎作：.線段 的白勺垂真乎分線緲:作法： 圖2-3 3.弓知:.如圖？二”.K 趴咎作:.總、？,.僅得繆 =印;.耳f點(diǎn)型乙4?審辺W世離曲等 作法： B化54 A在皐線1紐.4 f為真線1 T個(gè)劭駁垛理呈彎存年二 個(gè)建點(diǎn)込爭點(diǎn)f年真線2上運(yùn)勁時(shí)!點(diǎn)f與小弓西點(diǎn)的世禺皐亡目等:如 果存在，請(qǐng)作出定點(diǎn)B若不存在，請(qǐng)說明理由.圖2-5A.如圖2y6,習(xí)為DE亠陰壬駅DFLAC 那各點(diǎn)E、尸是否關(guān)于/Q對(duì)稱若對(duì)稱，請(qǐng)說明理由.圖2-6 綜含

9、、.運(yùn)用、.診斷.弓柯.如圖3-7,彳、.夕吸棗杳事線丄即回側(cè),.息彳與4茨于事綾2可移,.梓援弓交2于f處,.B=a.（!）.機(jī)f十停.（2）若點(diǎn)財(cái)是直線上異于P點(diǎn)的任意一點(diǎn)，求證：AM+MBAP+PB.R7.已知 A.方兩點(diǎn)在直線/的同側(cè)，試分別畫出符合條件的點(diǎn)胚（1）如圖3-8,在上求作一點(diǎn)胚 使得I AM-BM丨最小;（3）如圖3-10,在上求作一點(diǎn)胚 使得&M+SW最小.圖 3yl0. .（!）.如圖0：!，.息彳、.b. 李皐線2旳耳側(cè),.年真線厶上,.棗作： 總？,.傻得四汝誓冬彗白?囲冬垠4、；.C.“B圖 3yll（2） toffl 3-12,弓如線舉?,.總彳、.甲李真線2

10、西回例,.年皐線1 ! 棗作性電f、. Q .（,專睛總、g即疋側(cè)）.耳線巳,.四辺誓冬購甲 周長最小.圖 3-12?. .（!）.弓如:.如圖3-13,息#年銳角彳他削內(nèi)那,.年O4ii棗作二點(diǎn)只 在期邊上求作一點(diǎn)Q,使得PMQ的周長最??；o圖 3-13(2)弓和：.如圖3-14,# #年銳角彳他旳內(nèi)紙.在 他辺上棗作丁點(diǎn)P,使得點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離與點(diǎn)尸到0A邊的距離之和最小.10.己知：如圖6-5,E 兩點(diǎn)，Z1 = Z2, Z3= Z4.求證：磁是等腰三角形.圖6-5 ! 知:.如圖二?，今辱中，.脅=ac,久 弓在理邊上,.耳習(xí)亍存.求證：BD=CE.圖5-2 !?.匚殲I：.如圖5-3

11、, 、分別為彳冬尤上的點(diǎn)，.弘理卑,.矽亍扌戰(zhàn) DECE求Z萬的度數(shù).圖5-3 13.弓知:.如圖5-4,# 輕中,.陰=嶺.。是習(xí)上丁處,.延也 理至色 使 AE=AD. 試確定勿與證的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.圖5-4 拒展、.探咒、.禺考14. g知:.如圖 斤6.聯(lián)今辱中,.Z46=90 ,. AB=AC 0是 必的甲點(diǎn)，AE= BF.求證：(1) DE=DF； (2) DEF為等腰直角三角形.15.在乎西直角坐標(biāo)殺中，.點(diǎn)P (2, 3) , Q .(?,. ?).,.譚在 艸劑ytt 上分列找到病和N.耳,便四邊闿繆紗囲也最輕(1) 作出財(cái)點(diǎn)和川點(diǎn).(2) 求出必點(diǎn)和N點(diǎn)的坐標(biāo).乜

12、3)-2 -1 O 123 x-1-2圖5-6 16. 弓緲:.如圖6二,.今輕甲,.AB=AC 年CA跑甦冬線上,.EDX.BC. 求證：AE=AF.圖6-6 17. # 口卸h.如圖 ：?，今輕甲,.Z=90 - CDLABABC%笑于生交弘于耳求證：CE=CF18. e 如圖 二， S中-ZBAC=60 ZACB=40Q，. f、. Q.分緲杳 坐、.睪上，.芳耳仔.冬令緲為纓、. 弊旳角予令綾,.求證：BQ+ AQ= AB+ BP.19. 如圖：苕令弓疑予顧上旳疋點(diǎn)，.在乎顧上找棗C9傻今弊梅 威等腰真角三角誓,.回率樣旳q點(diǎn)彎丿.L個(gè)芳在母679中團(tuán)蛍點(diǎn)旳 位置. .AB圖6-9 2

13、0. $nffl6Ti0,對(duì)于唄角4為?9旳等哄仰.璟咚甘申三秒否回旳 分迭,.將輕分劃為三個(gè)三角誓,.芳甲僅夠TW角羽郡足等峻三角 形. 圖 6-1021.已知：如圖7-8,九?是ABAC的平分線，乙B=ZEAC, EFVAD于F為：.如圖 U.在今俠中一笑呈律半分線,.陰吸.変膽邊于 f,.交4笑旳外角.（4矽）.旳乎牙線于0.垛家線段竺與阿曲數(shù) 量關(guān)系并證明你的結(jié)論.圖7-9 23.如圖7T10，e過線段 何旳西個(gè)嫩處作射線 緲.対;便AM/BN謂扱 以下步驟畫圖并回答.（1）團(tuán)厶比孚.厶）翅旳乎分綾交于息召,.厶彳傅疑什各角（2）過息弓任作7線段孌紳于息0.婁列于息 J為寧線舉冬、.阿

14、 畝什纟孩現(xiàn)璟硒即他即律賽.（3）試猜想，龐與M有什么數(shù)量關(guān)系圖 7-10繆.弓如:如圖？二耳,.ABCAB=AC Z1= 100，.理予令弓孌 AC E.（!）.棗證:.理徃十驢.（2）探究：若Z=108 ,那么 必等于哪兩條線段長的和呢試證明25. 已知：如圖8-4, ABC和人5陋都是等邊三角形.(1)求證：AD= CE；(2)當(dāng)AC丄CE時(shí)，判斷并證明肋與處的數(shù)量關(guān)系.26. #如圖8-5,知今輕罐等邊三角誓,.D.弓分別奩邊BC.膽上,CD=CE,湮援傳芳颶悵牟，電,便蘭=性,.輕援腿、.理和芋.(1) 譜杳圖甲缺申丁對(duì)舍等三曲誓,.用後號(hào)：罕：奏不,.芳加WiEM;(2) 求證：A

15、F=BD.圖8-5 弓冊(cè).如圖 ：5.四辿誓件笑屮,.ACABAD CD/f=6cm,ZBAD= 30 , Z5=90 求少的長.?（!）s-7,e克g雄線段弘購中點(diǎn)，分別糾理和購為妲在線段弘的回側(cè)作等辺三角誓 妙?和等辺三角誓匹4 舉援弘和 腫. 相交于點(diǎn)伐連接方G求Z血的大??；圖8-7 （2）如圖8-8 A6145圍疋否劭，.保於做 的誓幘木今不娶.將俎?繞著點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)（厶創(chuàng)方和AO仞不能重疊）,求ZM勵(lì)的大B圖8-8 29.己知：如圖8-9, ABC為等邊三角形,延長龐到，延長場到使AE= BD,連接比、DE.求證：CE= DE.E圖8-9 39. 如圖SylO四辺誓弊？中一 4亍厶?矽亍

16、？伯.AB=4.t(1)在力尸邊上求作點(diǎn)只使PC+PD最??；圖 8-10(2)咎串(1)申*十比購垠4、值31. 如圖，AABC中，邊AB、BC的垂直平分線交于點(diǎn)0,(1) 求證：PA 二 PB 二 PC.（2）點(diǎn)P是否也在邊AC的垂直平分線上由此你還能得出什么結(jié)論32、.如AABC和ZXADE是等邊三角形.證明：BD二CE.33、如圖，AABC中，D、E分別是AC、AB上的點(diǎn)，BD與CE交于點(diǎn)0.給出下列四個(gè)條件：ZEBD二ZDC0；ZBE0=ZCD0；BE二CD； 0B = 0C.（1）上述四個(gè)條件中，哪兩個(gè)條件可判定AABC是等腰三角形（用序 號(hào)寫出所有情形）；（2）選擇第（1）小題中的

17、一種情形，證明AABC是等腰三角形.34. 如圖，P在ZAOB內(nèi)；點(diǎn)仏N分別是點(diǎn)P關(guān)于AO, B0的對(duì)稱點(diǎn),且與AO、B0相交點(diǎn)E、F,若APEF的周長為15,求MN的長.35.如圖(5)所示，在AABC中,ZC=90 , DE垂直平分AB,交AB于E,交BC于D, Z1二丄Z 22,求ZB的度數(shù)。36.等腰ZABC 的腰長 AB二 10cm,AB的垂直平分線交另一腰AC于D, BCD的周長為26cm,則底邊BC的長是多少ZACB的平分線,37. 如圖,A ABC 中，AB 二 AC, BO, CO 分別為 ZABC,交點(diǎn)為0,過0作，E, F平行于BC交AB, AC于F, E,探索BF+CE

18、與FE的關(guān)系，說明理由.A38. 如圖，在AABC中，AD丄BC于D,點(diǎn)M, N分別在BC所在 的直線上， 且 BM二CN.(1) AB二AC,試判斷AAMN的形狀，并說明理由(2) 若AM二AN,則ZABCZACB成立嗎為什么39 如圖，A ABC 中，ZBAC=110, E、G 分別為 AB、AC 中點(diǎn)，DE 丄 AB, FGAC,求 ZDAF.H1)16、如圖，A ABC 中，AB=AC, AD 丄 BC, DE/AC,試說明ABDE和AAED都是等腰三角形41、在AABC中，AB-AC,點(diǎn)D在AC上，且BD二BOAD,求AABC各角度數(shù)。（9分）42、如圖：B、D、E、C 四點(diǎn)共線，BD二CE, AD二AE,求證:AB二AC （9 分）43、求證：等腰三角形底邊的中點(diǎn)到兩腰的距離相等。（9分）44、在AABC中，AB二AC, ZABD二ZACD,試確定AD與BC的關(guān)系，并說明理由。（8分）A45、在A