實(shí)數(shù)完備性定理的證明及其應(yīng)用

1、實(shí)數(shù)完備性定理的證明及其應(yīng)用摘要：實(shí)數(shù)集的完備性是實(shí)數(shù)集的一個(gè)基本特征，它是微積分學(xué)的堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)，可以從不同的角度來(lái)描述和刻畫(huà)實(shí)數(shù)集的完備性，因此有多個(gè)實(shí)數(shù)集的完備性基本定理，包含六個(gè)實(shí)數(shù)集完備性基本定理.本文通過(guò)證明這六個(gè)基本定理的等價(jià)性，來(lái)對(duì)實(shí)數(shù)集完備性基本定理等價(jià)性進(jìn)行系統(tǒng)的論述，讓我們對(duì)實(shí)數(shù)集完備性的基本特征有進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)和理解.關(guān)鍵詞：完備性；區(qū)間套；連續(xù)性Completeness of the system of real numbers and applicationsAbstract : Completeness of the set of real numbers is

2、its basic character , and it is stable background of calculus .It can be described and depicted in different anles , so there are considerable fundamental theorems about it . It contains six basic theorems . That the essay uses three different ways individually to prove the equivalence of the six pr

3、inciple theorems is systematic discussion about it , and makes us acquire more recongnition and understanding .Key Words: Completeness ; Interval;Continuity引言眾所周知，數(shù)學(xué)分析研究的基本對(duì)象是函數(shù)及其各分析性質(zhì)（主要包括連續(xù)性、可微性以及可積性），所用的知識(shí)是極限理論.極限理論問(wèn)題首先是極限存在問(wèn)題.一個(gè)數(shù)列是否存在極限，不僅與數(shù)列本身的結(jié)構(gòu)有關(guān)，而且也與數(shù)列所在數(shù)集有關(guān)，如果在有理數(shù)集Q上討論極限，那么單調(diào)有界的有理數(shù)列就不一定存在極限

4、.例如，單調(diào)有界的有理數(shù)列就不存在極限，因?yàn)樗臉O限是，是無(wú)理數(shù).由于實(shí)數(shù)集關(guān)于極限的運(yùn)算是封閉的，是實(shí)數(shù)集的優(yōu)點(diǎn)，是有別于有理數(shù)集的重要特征.因此，將極限理論建立在實(shí)數(shù)集上就使得極限理論有了鞏固的基礎(chǔ).所以實(shí)數(shù)集的完備性是數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)，他在整個(gè)數(shù)學(xué)分析中占據(jù)著重要位置.1.實(shí)數(shù)完備性定理的定義1.1確界原理 設(shè)為非空數(shù)集.若有上界，則必有上確界；若有下界，則必下確界.1.2單調(diào)有界定理 在實(shí)數(shù)系中，有界的單調(diào)數(shù)列必有極限.1.3區(qū)間套定理 設(shè)為一區(qū)間套：1. 2. ，則在實(shí)數(shù)系中存在唯一的一點(diǎn)即.1.4有限覆蓋定理 設(shè)是閉區(qū)間的一個(gè)無(wú)限開(kāi)覆蓋，即中每一個(gè)點(diǎn)都含于中至少一個(gè)開(kāi)區(qū)間內(nèi)，則在中必

5、存在有限個(gè)開(kāi)區(qū)間來(lái)覆蓋.1.5聚點(diǎn)定理和致密性定理 （聚點(diǎn)定理）直線上的任一有界無(wú)限點(diǎn)集至少有一個(gè)聚點(diǎn)，即在的任意小鄰域內(nèi)都含有中無(wú)限多個(gè)點(diǎn)（本身可以屬于，也可以不屬于）. （致密性定理）任何有界數(shù)列必定有收斂的子列.1.6柯西收斂準(zhǔn)則 數(shù)列收斂的充要條件是：，只要，恒有，（后者有稱為柯西條件，滿足柯西條件的數(shù)列又稱為柯西列，或基本列）.2.實(shí)數(shù)完備性定理的證明定理1（確界原理）設(shè)為非空數(shù)集.若有上界，則必有上確界；若有下界，則必下確界.證明 我們只需證明非空有上界的數(shù)集必有上確界即可，對(duì)于非空有下界的數(shù)集必有下確界可類似證明.為敘述的方便起見(jiàn)，不妨設(shè)含有非負(fù)數(shù).由于有上界，故可找到非負(fù)整數(shù)，

6、使得（1）對(duì)于任何有；（2）存在，使.對(duì)半開(kāi)區(qū)間作10等分，分點(diǎn)為，則存在中的一個(gè)數(shù)，使得（1）對(duì)于任何有；（2）存在，使得.再對(duì)半開(kāi)區(qū)間作10等分，則存在中的一個(gè)數(shù)，使得（1）對(duì)于任何有；（2）存在，使.繼續(xù)不斷地10等分在前一步驟中所得到的半開(kāi)區(qū)間，可知對(duì)任何存在中的一個(gè)數(shù)，使得（1）對(duì)于任何有(1)；（2）存在，使.將上述步驟無(wú)限地進(jìn)行下去，得到實(shí)數(shù)，以下證明，為此只需證明：（i）對(duì)一切有；（ii）對(duì)任何，存在，使.倘若結(jié)論（i）不成立，即存在使，則可找到的為不足近似，使，從而得，與不等式（1）矛盾，于是（i）得證.現(xiàn)設(shè)，則存在使的位不足近似，即.根據(jù)數(shù)的構(gòu)造，存在使，從而有，即得到，說(shuō)

7、明（ii）成立.定理2（單調(diào)有界定理）在實(shí)數(shù)系中，有界的單調(diào)數(shù)列必有極限.證明 不妨設(shè)為有上界的遞增數(shù)列，由確切原理，數(shù)列有上確界，記，下面證明就是的極限，事實(shí)上，任給，按上確界的定義，存在數(shù)列中某一項(xiàng)，使得，又由的遞增性，當(dāng)時(shí)有，另外，由于是的一個(gè)上界，故對(duì)一切都有，所以當(dāng)時(shí)有，這就證得，同理可證有下界的遞減數(shù)列必有極限，且其極限極為它的下確界.定理3（區(qū)間套定理）設(shè)為一區(qū)間套：1. 2. ，則在實(shí)數(shù)系中存在唯一的一點(diǎn)即 （2）證明 由于，則知為遞增有界數(shù)列，依單調(diào)有界定理，有極限，且有 （3）同理，遞減有界數(shù)列也有極限，并按區(qū)間套的條件2.有 （4）且 （5） 聯(lián)合（3）、（5）即得（2）

8、式，最后證明滿足（2）式的是唯一的，設(shè)數(shù)也滿足，則由（2）式有，由區(qū)間套的條件2.得，故有.定理4（有限覆蓋定理）設(shè)是閉區(qū)間的一個(gè)無(wú)限開(kāi)覆蓋，即中每一個(gè)點(diǎn)都含于中至少一個(gè)開(kāi)區(qū)間內(nèi)，則在中必存在有限個(gè)開(kāi)區(qū)間來(lái)覆蓋.證明 用反證法 假設(shè)定理的結(jié)論不成立，即不能用中有限個(gè)開(kāi)區(qū)間來(lái)覆蓋. 將等分為兩個(gè)子區(qū)間，則其中至少有一個(gè)子區(qū)間不能用中有限個(gè)開(kāi)區(qū)間來(lái)覆蓋，記這個(gè)子區(qū)間為，則，且，再將等分為兩個(gè)子區(qū)間，同樣，其中至少有一個(gè)子區(qū)間不能用中有限個(gè)開(kāi)區(qū)間來(lái)覆蓋，記這個(gè)子區(qū)間為，則至少，且，重復(fù)上述步驟并不斷地進(jìn)行下去，則得到一個(gè)閉區(qū)間列，它滿足 即是區(qū)間套，且其中每一個(gè)閉區(qū)間都不能用中有限個(gè)開(kāi)區(qū)間來(lái)覆蓋.由

9、區(qū)間套定理，存在唯一的一點(diǎn)，由于是的一個(gè)開(kāi)覆蓋，故存在開(kāi)區(qū)間，使，于是知，當(dāng)充分大時(shí)有，這表明只需用中的一個(gè)開(kāi)區(qū)間就能覆蓋，與挑選時(shí)的假設(shè)“不能用中有限個(gè)開(kāi)區(qū)間來(lái)覆蓋”相矛盾，從而證得必存在屬于的有限個(gè)開(kāi)區(qū)間能覆蓋.定理5（聚點(diǎn)定理）直線上的任一有界無(wú)限點(diǎn)集至少有一個(gè)聚點(diǎn)，即在的任意小鄰域內(nèi)都含有中無(wú)限多個(gè)點(diǎn)（本身可以屬于，也可以不屬于）. （致密性定理）任何有界數(shù)列必定有收斂的子列.1. （聚點(diǎn)定理） 證明 因?yàn)橛薪琰c(diǎn)集，故存在，使得，記，先將等分為兩個(gè)子區(qū)間，因?yàn)闊o(wú)限聚點(diǎn)，故兩個(gè)子區(qū)間中至少有一個(gè)含有中無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)，記此子區(qū)間為，則，且，再將等分為兩個(gè)子區(qū)間，則其中至少有一個(gè)子區(qū)間含有中無(wú)窮

10、多個(gè)點(diǎn)，取出這樣的一個(gè)子區(qū)間，記為，則，且，將此等分子區(qū)間無(wú)限地進(jìn)行下去，得到一個(gè)區(qū)間列，它滿足 ， 即是區(qū)間套，且其中每一個(gè)閉區(qū)間都含有中無(wú)窮多個(gè)點(diǎn). 由區(qū)間套定理知，存在唯一的一點(diǎn)，且對(duì)任給的，存在，當(dāng)時(shí)有，從而內(nèi)含有中無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)，則知為的一個(gè)聚點(diǎn).2. （致密性定理） 證明 設(shè)為有界數(shù)列 下分兩種情況討論： （i）中含有無(wú)窮多個(gè)相等的項(xiàng)，記作，則常數(shù)列收斂； （ii）不含無(wú)窮多個(gè)相等的項(xiàng)，記，則為有界無(wú)限點(diǎn)集，由聚點(diǎn)定理知至少有一個(gè)聚點(diǎn)，由聚點(diǎn)的等價(jià)定義知，存在中各項(xiàng)互異的點(diǎn)列，且 即 則得以一斂子列收斂于.定理6（柯西收斂準(zhǔn)則）數(shù)列收斂的充要條件是：，只要，恒有，（后者有稱為柯西條件，

11、滿足柯西條件的數(shù)列又稱為柯西列，或基本列）.證明 必要性 設(shè)，有數(shù)列極限定義，對(duì)任給的,存在，當(dāng)時(shí)有， 因而充分性 先證明該數(shù)列必定有界，取，因?yàn)闈M足柯西條件，所以，有，令，則對(duì)一切，成立，由致密性定理，在中必有收斂子列：，由條件，當(dāng)時(shí)有，在上式中取，其中充分大，滿足，并且令，于是得到，即得到數(shù)列收斂.要證明實(shí)數(shù)完備性定理的等價(jià)性,還必須由定理6證明出定理1.用數(shù)列的柯西收斂準(zhǔn)則證明確界原理證明 設(shè)為非空有上界數(shù)集，由實(shí)數(shù)的阿基米德性知，對(duì)任何正數(shù)，存在整數(shù)，使得為的上界，而不是的上界，即存在，使得，分別取，則對(duì)每一個(gè)正整數(shù)，存在相應(yīng)的，使得為的上界，故存在，使得 （6），又對(duì)正整數(shù)是的上界，

12、故有，結(jié)合（6）式得，同理有，從而有，于是，對(duì)任給的，存在，使得當(dāng)時(shí)有，由柯西收斂準(zhǔn)則知，數(shù)列收斂，記 （7）現(xiàn)在證明就是的上確界，首先，對(duì)任何和正整數(shù)有，由（7）式得，即是的一個(gè)上界，其次，對(duì)任何，由及（7）式，對(duì)充分大的同時(shí)有，又因不是的上界，故存在，使得，結(jié)合上式得，這說(shuō)明為的上確界，同理可證，若為非空有下界數(shù)集，則必存在下確界.3.實(shí)數(shù)完備性定理的應(yīng)用實(shí)數(shù)的完備性在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的證明以及積分學(xué)中都有很廣泛的應(yīng)用我們將通過(guò)一系列例題闡述實(shí)數(shù)完備性定理的應(yīng)用，認(rèn)識(shí)實(shí)數(shù)完備性定理的重要作用和地位.例1 若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，那么在閉區(qū)間上有界.證明 若不然，不妨假設(shè)在上無(wú)界，那么存在

13、，使得，由此得知，另外，因?yàn)槭怯薪鐢?shù)列，所以由致密性定理，有收斂的子列，設(shè)，由于，有極限的不等式性質(zhì)知，故在點(diǎn)連續(xù)，有歸結(jié)原則導(dǎo)出，矛盾，則知假設(shè)不成立，從而有函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在閉區(qū)間上有界例2 若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在上一致連續(xù).證明 若不然，存在，以及區(qū)間上的點(diǎn)列，雖然，但是 （7），因?yàn)橛薪纾杂芍旅苄远ɡ?，有一個(gè)收斂的子列，設(shè)，又，由極限的不等式性質(zhì)推得，故在點(diǎn)連續(xù)，有歸結(jié)原則與（7）式得，矛盾，則假設(shè)不成立，從而有在上一致連續(xù).用有限覆蓋定理證命題的一般步驟：（1），使得具有性質(zhì)，即為一個(gè)開(kāi)覆蓋；（2）運(yùn)用有限覆蓋定理（即存在中有限個(gè)開(kāi)區(qū)間）設(shè)為覆蓋了；（3）利用具有性質(zhì)得

14、出具有性質(zhì).例3 用有限覆蓋定理證明：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的有界性定理.證明 設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，根據(jù)連續(xù)函數(shù)的局部有界性定理，對(duì)于任意的，存在正數(shù)以及正數(shù)，當(dāng)時(shí)有 作開(kāi)區(qū)間集，顯然覆蓋了區(qū)間，根據(jù)有限覆蓋定理，存在中有限個(gè)開(kāi)區(qū)間，它們也覆蓋了，令，呢么對(duì)于任意的，存在，使得，并且有.結(jié)束語(yǔ)實(shí)數(shù)集的完備性是實(shí)數(shù)集的一個(gè)基本特征,它是微積分學(xué)的堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ).在證明閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的時(shí)候,由于實(shí)數(shù)的完備性定理是等價(jià)的,所以可以用任何一個(gè)實(shí)數(shù)的完備性定理證明閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),只是證明的難度有所區(qū)別罷了，在平常的學(xué)習(xí)過(guò)程中我們一定要注重實(shí)數(shù)的完備性的重要性.參考文獻(xiàn)1華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析第三版M.北京:高等教育出版社,2001:52-63.2陳紀(jì)修,於崇華,金路.數(shù)學(xué)分析第二版M.北京：高等教育出版社,2004:75-90.3鞏增泰.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí) J.西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息