小波變換原理與應(yīng)用

1、小波變換原理與應(yīng)用 小波變換原理與應(yīng)用2 講座的目的 4了解信號(hào)的信息表示方法 4了解小波變換的基本原理 4掌握小波變換的三種類(lèi)型 4了解小波塔式分解與重構(gòu) 4了解小波變換的時(shí)頻特性 4了解小波變換的工程應(yīng)用 小波分析 深圳大學(xué)信息工程學(xué)院 小波變換原理與應(yīng)用3 主要內(nèi)容主要內(nèi)容 4小波的基本概念什么是小波 4小波的發(fā)展歷史工程到數(shù)學(xué) 4小波的基本類(lèi)型多分辨分析 4小波的快速算法Mallat算法 4小波包分解算法精細(xì)化處理 4小波的工程應(yīng)用時(shí)頻分析與降噪 4小波的結(jié)合應(yīng)用小波網(wǎng)絡(luò)等 小波分析 深圳大學(xué)信息工程學(xué)院 小波變換原理與應(yīng)用4 小波的基本概念什么是小波 4小波是什么？ 小波可以簡(jiǎn)單的描

2、述為一種函數(shù)，這種函數(shù)在有限時(shí) 間范圍內(nèi)變化，并且平均值為0。這種定性的描述意味 著小波具有兩種性質(zhì):A、具有有限的持續(xù)時(shí)間和突變 的頻率和振幅；B、在有限時(shí)間范圍內(nèi)平均值為0。 小波變換原理與應(yīng)用5 小波的基本概念什么是小波 4小波的“容許”條件 用一種數(shù)學(xué)的語(yǔ)言來(lái)定義小波，即滿(mǎn)足“容許”條件 的一種函數(shù)，“容許”條件非常重要，它限定了小波 變換的可逆性。 小波本身是緊支撐的，即只有小的局部非零定義域， 在窗口之外函數(shù)為零；本身是振蕩的，具有波的性質(zhì)， 并且完全不含有直流趨勢(shì)成分，即滿(mǎn)足 )()(x dC 2 )( 0)()0( dxx 小波變換原理與應(yīng)用6 小波的基本概念什么是小波 4信號(hào)

3、的信息表示 時(shí)域表示：信號(hào)隨時(shí)間變化的規(guī)律，信息包括均值、 方差、峰度以及峭陡等，更精細(xì)的表示就是概率密度 分布（工程上常常采用其分布參數(shù)） 頻域表示：信號(hào)在各個(gè)頻率上的能量分布，信息為頻 率和譜值（頻譜或功率譜），為了精確恢復(fù)原信號(hào)， 需要加上相位信息（相位譜），典型的工具為FT 時(shí)頻表示：時(shí)間和頻率聯(lián)合表示的一種信號(hào)表示方法， 信息為瞬時(shí)頻率、瞬時(shí)能量譜 信號(hào)處理中，對(duì)不同信號(hào)要區(qū)別對(duì)待，以選擇哪種或 者哪幾種信號(hào)表示方法 小波變換原理與應(yīng)用7 小波的基本概念什么是小波 4平穩(wěn)信號(hào) 4非平穩(wěn)信號(hào) 不滿(mǎn)足平穩(wěn)性條件至少是寬平穩(wěn)條件的信號(hào) ),;,(),;,( 21212121 nnnn tt

4、txxxftttxxxf )( ),()()(),( )()( 2 122121 txE ttRtxtxEttR mdxxxftxE xx x 小波變換原理與應(yīng)用8 小波的基本概念什么是小波 4信號(hào)的時(shí)域表示和頻域表示只適用于平穩(wěn)信號(hào)，對(duì)于 非平穩(wěn)信號(hào)而言，在時(shí)間域各種時(shí)間統(tǒng)計(jì)量會(huì)隨著時(shí) 間的變化而變化，失去統(tǒng)計(jì)意義；而在頻率域，由于 非平穩(wěn)信號(hào)頻譜結(jié)構(gòu)隨時(shí)間的變化而變化導(dǎo)致譜值失 去意義 00.511.52 -1 -0.5 0 0.5 1 信 號(hào) x(t)的 時(shí) 域 波 形 時(shí) 間 t/s 幅度 A 01020304050 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 信 號(hào) x(t)的 單

5、邊 頻 譜 頻 率 f/Hz |Y(f)| 小波變換原理與應(yīng)用9 小波的基本概念什么是小波 4時(shí)頻表示主要目的在于實(shí)現(xiàn)對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)的分析，同 樣的可以應(yīng)用于平穩(wěn)信號(hào)的分析 小波變換原理與應(yīng)用10 小波的基本概念什么是小波 4為什么選擇小波 小波提供了一種非平穩(wěn)信號(hào)的時(shí)間-尺度分析手段，不 同于FT方法，與STFT方法比較具有更為明顯的優(yōu)勢(shì) 小波變換原理與應(yīng)用11 小波的基本概念什么是小波 小波變換原理與應(yīng)用12 小波的基本概念什么是小波 小波變換原理與應(yīng)用13 小波的發(fā)展歷史工程到數(shù)學(xué) 41807: Joseph FourierFT，只有頻率分辨率而沒(méi)有時(shí) 間分辨率 41909: Alfred

6、 Haar發(fā)現(xiàn)了Haar小波 41945: GaborSTFT 41980：MorletMorlet小波，并分別與20世紀(jì)70年代 提出了小波變換的概念，20世紀(jì)80年代開(kāi)發(fā)出了連續(xù) 小波變換CWT（ continuous wavelet transform ） 41986：Y.Meyer提出了第一個(gè)正交小波Meyer小波 41988： Stephane MallatMallat快速算法（塔式分解 和重構(gòu)算法） 小波變換原理與應(yīng)用14 小波的發(fā)展歷史工程到數(shù)學(xué) 41988： Inrid Daubechies作為小波的創(chuàng)始人，揭示了小 波變換和濾波器組(filter banks)之間的內(nèi)在關(guān)系，

7、使離 散小波分析變成為現(xiàn)實(shí) 4Ronald Coifman和Victor Wickerhauser等著名科學(xué)家在 把小波理論引入到工程應(yīng)用方面做出了極其重要貢獻(xiàn) 4在信號(hào)處理領(lǐng)域中，自從Inrid Daubechies完善了小波 變換的數(shù)學(xué)理論和Stephane Mallat構(gòu)造了小波分解和重 構(gòu)的快速算法后，小波變換在各個(gè)工程領(lǐng)域中得到了 廣泛的應(yīng)用，典型的如語(yǔ)音信號(hào)處理、醫(yī)學(xué)信號(hào)處理、 圖像信息處理等 小波變換原理與應(yīng)用15 小波的基本類(lèi)型多分辨分析 4關(guān)于小波有兩種典型的概念：連續(xù)小波變換，離散小 波變換 4連續(xù)小波變換定義為 4可見(jiàn)，連續(xù)小波變換的結(jié)果可以表示為平移因子a和伸 縮因子b

8、的函數(shù) R baba dtttxttxbaCWTf)()()(),(),( * , dt a bt atxdtttxttxbaCWTf RR baba )()()()()(),(),( 2 1 , 小波變換原理與應(yīng)用16 小波的基本類(lèi)型多分辨分析 傅立葉分解過(guò)程 小波分解過(guò)程 小波變換原理與應(yīng)用17 小波的基本類(lèi)型多分辨分析 4伸縮因子對(duì)小波的作用 02468 -1 0 1 sin(t)-a=1 02468 -1 0 1 sin(2t)-a=1/2 幅度 A 02468 -1 0 1 sin(4t)-a=1/4 時(shí) 間 t -10-50510 -1 0 1 morlet-a=1 -10-505

9、10 -1 0 1 morlet-a=1/2 -10-50510 -1 0 1 morlet-a=1/4 小波變換原理與應(yīng)用18 小波的基本類(lèi)型多分辨分析 4平移因子對(duì)小波的作用 4平移因子使得小波能夠沿信號(hào)的時(shí)間軸實(shí)現(xiàn)遍歷分析， 伸縮因子通過(guò)收縮和伸張小波，使得每次遍歷分析實(shí) 現(xiàn)對(duì)不同頻率信號(hào)的逼近 小波變換原理與應(yīng)用19 小波的基本類(lèi)型多分辨分析 4連續(xù)小波變換實(shí)現(xiàn)過(guò)程 首先選擇一個(gè)小波基函數(shù)，固定一個(gè)尺度因子，將它 與信號(hào)的初始段進(jìn)行比較 ； 通過(guò)CWT的計(jì)算公式計(jì)算小波系數(shù)（反映了當(dāng)前尺度 下的小波與所對(duì)應(yīng)的信號(hào)段的相似程度）； 改變平移因子，使小波沿時(shí)間軸位移，重復(fù)上述兩個(gè) 步驟完成

10、一次分析； 增加尺度因子，重復(fù)上述三個(gè)步驟進(jìn)行第二次分析； 循環(huán)執(zhí)行上述四個(gè)步驟，直到滿(mǎn)足分析要求為止。 小波變換原理與應(yīng)用20 小波的基本類(lèi)型多分辨分析 小波變換原理與應(yīng)用21 小波的基本類(lèi)型多分辨分析 4小波逆變換 如果小波函數(shù)滿(mǎn)足“容許”條件，那么連續(xù)小波變換 的逆變換是存在的 dtda a tbaCWTf C tx ba 0 2 , 1 )(),( 1 )( dtda aa bt abaCWTf C 2 2 1 0 1 )(),( 1 小波變換原理與應(yīng)用22 小波的基本類(lèi)型多分辨分析 4連續(xù)小波變換的性質(zhì) 疊加性（線性） 時(shí)移不變性 尺度特性 微分特性 內(nèi)積定理 能量守恒特性 冗余性

11、小波變換原理與應(yīng)用23 小波的基本類(lèi)型多分辨分析 4離散小波變換DWT（ discrete wavelet transform，DWT ） 定義 對(duì)尺度參數(shù)按冪級(jí)數(shù)進(jìn)行離散化處理，對(duì)時(shí)間進(jìn)行均 勻離散取值 （要求采樣率滿(mǎn)足尼奎斯特采樣定理） R m m nm dtnttxttxnmDWTx)2()(2)(),(),( 2 , 小波變換原理與應(yīng)用24 小波的基本類(lèi)型多分辨分析 4離散小波變換的可逆問(wèn)題框架理論 DWT的可逆問(wèn)題蘊(yùn)含的是DWT的表達(dá)能夠完整的表達(dá) 待分析信號(hào)的全部信息，這就需要數(shù)學(xué)上的框架理論 作為支撐了，如果對(duì)于所有的待分析信號(hào)滿(mǎn)足框架條 件，那么DWT就是可逆的 RBAtxBt

12、txtxA nm nm ,)()(),()( 2 2 , , 2 Zn nmnm tCtx)()( , 小波變換原理與應(yīng)用25 小波的基本類(lèi)型多分辨分析 4正交小波變換與多分辨分析 多分辨分析也稱(chēng)為多尺度分析，是建立在函數(shù)空間概 念上的理論。它構(gòu)造了一組正交基，使得尺度空間與 小波空間相互正交。隨著尺度由大到小的變化，可在 各尺度上由粗及精地觀察目標(biāo)。這就是多分辨率分析 的思想。在離散小波框架下，小波系數(shù)在時(shí)間-尺度空 間域上仍然具有冗余性，在數(shù)值計(jì)算或數(shù)據(jù)壓縮等方 面仍然希望這種冗余度盡可能的小。在小波變換發(fā)展 過(guò)程中，Stromberg、Meyer、Lemarie、Battle和 Daub

13、echies等先后成功的構(gòu)造了不同形式的小波基函數(shù) 的基礎(chǔ)上，是Meyer和Mallat將小波基函數(shù)的構(gòu)造納入 到了一個(gè)統(tǒng)一的框架中，形成了多分辨分析理論。多 分辨率分析理論不但將在那時(shí)之前的所有正交小波基 的構(gòu)造統(tǒng)一了起來(lái)，而且為此后的小波基的構(gòu)造設(shè)定 了框架。 小波變換原理與應(yīng)用26 小波的基本類(lèi)型多分辨分析 4正交小波變換與多分辨分析 對(duì)于小波基函數(shù)為 ，如果函數(shù)族 構(gòu)成 內(nèi)的正交基，就稱(chēng)小波為正交小波，在 正交小波基礎(chǔ)上進(jìn)行的小波變換稱(chēng)為正交小波變 換，只有滿(mǎn)足正交小波變換才可稱(chēng)為多分辨分析， 正交小波變換是完全沒(méi)有冗余的，非常適合做數(shù) 據(jù)壓縮。 Zkjktt jj kj ,)()(

14、/ , 22 2 )(t )( 2 RL 小波變換原理與應(yīng)用27 小波的基本類(lèi)型多分辨分析 4典型的正交小波Haar小波 00.51 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 Haar小 波 時(shí) 間 t 幅度 A -100001000 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Haar小 波 頻 譜 頻 率 f/Hz 幅度 A 其他 1 2 1 2 1 0 0 1 1 )(t t th 小波變換原理與應(yīng)用28 小波的基本類(lèi)型多分辨分析 4典型的正交小波Meyer小波 其他 3 8 3 4 3 4 3 2 0 1 4 3 2 cos 2 1 1 2 3 2 sin 2 1 )( 2 2 j j

15、 e e -505 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 尺度函數(shù) 時(shí)間 t 幅度 A -505 -0.5 0 0.5 1 小波函數(shù) 時(shí)間 t 幅度 A 小波變換原理與應(yīng)用29 小波的快速算法Mallat算法 4在多分辨分析的討論中，可以看到正交小波變換可以 等效為一組鏡像濾波的過(guò)程，即信號(hào)通過(guò)一個(gè)分解高 通濾波器和分解低通濾波器，自然的高通濾波器輸出 對(duì)應(yīng)的信號(hào)的高頻分量部分，稱(chēng)為細(xì)節(jié)分量，低通濾 波器輸出對(duì)應(yīng)了信號(hào)的相對(duì)較低的頻率分量部分，稱(chēng) 為近似分量。對(duì)應(yīng)的快速算法稱(chēng)為Mallat算法 小波變換原理與應(yīng)用30 小波的快速算法Mallat算法 4濾波分解算法帶來(lái)一個(gè)新的問(wèn)題，

16、就是針對(duì)離散的數(shù) 據(jù)序列，經(jīng)過(guò)濾波分解會(huì)得到多于原數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)的數(shù)據(jù) 序列。比如，原數(shù)據(jù)序列有1000個(gè)采樣點(diǎn)，經(jīng)過(guò)濾波 分解后，會(huì)得到1000點(diǎn)的近似分量序列和1000點(diǎn)的細(xì) 節(jié)分量序列，這樣就得到了2000個(gè)采樣點(diǎn)數(shù)據(jù)，在小 波變換的Mallat算法實(shí)現(xiàn)中，可以利用降采樣的方法即 在輸出的兩點(diǎn)中只取一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，這樣產(chǎn)生兩個(gè)為原 信號(hào)數(shù)據(jù)長(zhǎng)度一半的序列，稱(chēng)為簡(jiǎn)單記為cA和cD，雖 然近似分量和細(xì)節(jié)分量的數(shù)據(jù)長(zhǎng)度僅為原信號(hào)序列的 一半，但是卻完整的包含的原信號(hào)的信息內(nèi)容。 小波變換原理與應(yīng)用31 小波的快速算法Mallat算法 4Mallat算法的降采樣 小波變換原理與應(yīng)用32 小波的快速算法Ma

17、llat算法 4小波分解樹(shù) 小波變換原理與應(yīng)用33 小波的快速算法Mallat算法 4到此我們已經(jīng)知道離散小波變換是怎么樣分析或者怎 樣來(lái)分解一個(gè)信號(hào)，這個(gè)過(guò)程通常也稱(chēng)為分解分析， 那么自然想到另外一個(gè)對(duì)應(yīng)的問(wèn)題就是如何將這些分 解得到分量能夠整合到一起恢復(fù)原信號(hào)并且沒(méi)有任何 的信息損失，這一過(guò)程就稱(chēng)為小波重構(gòu)或者小波合成， 實(shí)質(zhì)上就是逆離散小波變換（Inverse Discrete Wavelet Transform，簡(jiǎn)稱(chēng)：IDWT）。在離散小波變換或小波 分解的過(guò)程中包含了濾波和降采樣，那么在小波重構(gòu) 過(guò)程中需要進(jìn)行過(guò)采樣和濾波。過(guò)采樣是通過(guò)在相鄰 采樣點(diǎn)之間插入零值的來(lái)實(shí)現(xiàn)的，利用過(guò)采樣

18、可以使 得信號(hào)分量的長(zhǎng)度增加為原來(lái)的兩倍，以達(dá)到和需要 重構(gòu)信號(hào)一致的采樣數(shù)據(jù)長(zhǎng)度。 小波變換原理與應(yīng)用34 小波的快速算法Mallat算法 小波變換原理與應(yīng)用35 小波的快速算法Mallat算法 4塔式分解和重構(gòu)示意圖 小波變換原理與應(yīng)用36 小波的快速算法Mallat算法 4局部分量的重構(gòu) 在一些工程應(yīng)用中，只需要關(guān)心信號(hào)中的某個(gè)分量， 此時(shí)對(duì)細(xì)節(jié)分量和近似分量的單獨(dú)重構(gòu)成為必要，通 過(guò)將其他分量系數(shù)置零的方式，利用Mallat算法是非常 容易的 小波變換原理與應(yīng)用37 小波包分解算法精細(xì)化處理 4小波包分析可以看作是小波分解的一種推廣方法，利 用小波包進(jìn)行分析可以得到對(duì)信號(hào)更為精細(xì)的分析

19、結(jié) 果。通過(guò)將頻帶進(jìn)行多層次劃分，對(duì)多分辨分析沒(méi)有 細(xì)分的高頻分量部分進(jìn)行進(jìn)一步的分解，并根據(jù)被分 析信號(hào)特征，通過(guò)自適應(yīng)的選擇相應(yīng)頻帶，達(dá)到與信 號(hào)頻譜的匹配，實(shí)現(xiàn)精細(xì)化處理。小波包原子是一種 被時(shí)間、尺度和頻率來(lái)表征的函數(shù)波形，對(duì)于一個(gè)給 定的正交小波函數(shù)，我們能夠在此基礎(chǔ)上生成一組基， 這組基一般稱(chēng)為小波包基。簡(jiǎn)單的說(shuō)，小波包就是一 個(gè)函數(shù)族，可以由這組函數(shù)族構(gòu)造出L2(R)的標(biāo)準(zhǔn)正交 基庫(kù)，從這組標(biāo)準(zhǔn)正交基庫(kù)中可以選擇出多組標(biāo)準(zhǔn)正 交基，對(duì)于多分辨分析小波變換（正交小波變換）只 是選擇了其中的一組基，從這個(gè)意義上講小波包就是 小波變換的一種推廣。 小波變換原理與應(yīng)用38 小波包分解算法

20、精細(xì)化處理 4小波包分解樹(shù) 小波變換原理與應(yīng)用39 小波的工程應(yīng)用時(shí)頻分析與降噪 4時(shí)間-尺度-小波系數(shù)圖 小波分解可以得到一組小波細(xì)節(jié)分量和近似分量系數(shù)， 將時(shí)間-尺度-小波系數(shù)聯(lián)合表示，就得到了信號(hào)的時(shí)間 -尺度分析結(jié)果，不過(guò)這里帶來(lái)兩個(gè)問(wèn)題：第一小波的 尺度是不連續(xù)的，這樣得到的時(shí)間-尺度-小波系數(shù)表示 解讀起來(lái)比較困難，雖然根據(jù)框架理論可以推測(cè)到冗 余系數(shù)在時(shí)間-尺度平面上產(chǎn)生的額外的分布信息，但 是這畢竟顯得不夠直觀；第二個(gè)問(wèn)題就是，有時(shí)候想 在時(shí)間-尺度時(shí)頻表示和時(shí)間-頻率時(shí)頻表示中進(jìn)行比較 分析，那么尺度和頻率之間應(yīng)該存在著一定的關(guān)系， 這種關(guān)系是如何確立的 小波變換原理與應(yīng)用4

21、0 小波的工程應(yīng)用時(shí)頻分析與降噪 4尺度與頻率的關(guān)系 尺度和頻率之間存在一個(gè)倒數(shù)關(guān)系，這個(gè)倒數(shù)關(guān)系式 和信號(hào)的采樣周期以及選擇的小波基函數(shù)的中心頻率 有關(guān)，假設(shè)尺度因子為a，信號(hào)的采樣周期為，小波 基函數(shù)的中心頻率為fc，那么和尺度因子a對(duì)應(yīng)的頻率 fa可以用下面的式子來(lái)計(jì)算 a f f c a 小波變換原理與應(yīng)用41 小波的工程應(yīng)用時(shí)頻分析與降噪 0123 -2 -1 0 1 2 db2小 波 中 心 頻 率 近 似 估 計(jì) 周 期 :1.5; 中 心 頻 率 : 0.66667 051015 -2 -1 0 1 2 db7小 波 中 心 頻 率 近 似 估 計(jì) 周 期 : 1.4444; 中 心 頻 率 : 0.69231 0246 -2 -1 0 1 2 3 coif1小 波 中 心 頻 率 近 似 估 計(jì) 周 期 : 1.25; 中 心 頻 率 : 0.8 -505 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 gaus4小 波 中 心 頻 率 近 似 估 計(jì) 周 期 : 2; 中 心 頻 率 : 0.5 小波變換原理與應(yīng)用42 小波的工程應(yīng)用時(shí)頻分析與降噪 -20-1001020 -1 -0.5 0 0.5 1 shan0.5-1小 波 中 心 頻 率 近 似 估 計(jì) 實(shí)部 -20-10010