圓錐曲線專題

1、圓錐曲線一、選擇題 （2012年高考（新課標(biāo)理）等軸雙曲線的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,與拋物線的準(zhǔn)線交于兩點(diǎn),;則的實(shí)軸長為（）abcd （2012年高考（新課標(biāo)理）設(shè)是橢圓的左、右焦點(diǎn),為直線上一點(diǎn),是底角為的等腰三角形,則的離心率為（）abcd （2012年高考（浙江理）如圖,f1,f2分別是雙曲線c:(a,b0)的左右焦點(diǎn),b是虛軸的端點(diǎn),直線f1b與c的兩條漸近線分別交于p,q兩點(diǎn),線段pq的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)m.若|mf2|=|f1f2|,則c的離心率是（）ab cd （2012年高考（四川理）已知拋物線關(guān)于軸對稱,它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),并且經(jīng)過點(diǎn).若點(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)的距離為,則（）

2、abcd （2012年高考（上海春）已知橢圓則 （）a與頂點(diǎn)相同.b與長軸長相同.c與短軸長相同.d與焦距相等. （2012年高考（山東理）已知橢圓的離心學(xué)率為.雙曲線的漸近線與橢圓有四個交點(diǎn),以這四個焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為16,則橢圓的方程為（）abcd （2012年高考（湖南理）已知雙曲線c :-=1的焦距為10 ,點(diǎn)p (2,1)在c 的漸近線上,則c的方程為（）a-=1b-=1c-=1d-=1 （2012年高考（福建理）已知雙曲線的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合,則該雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于（）abc3d5 （2012年高考（大綱理）已知為雙曲線的左右焦點(diǎn),點(diǎn)在上,則（）abcd

3、（2012年高考（大綱理）橢圓的中心在原點(diǎn),焦距為4,一條準(zhǔn)線為,則該橢圓的方程為（）abcd（2012年高考（安徽理）過拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn),點(diǎn)是原點(diǎn),若;則的面積為（）abcd二、填空題（2012年高考（天津理）己知拋物線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),其中,焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線為,過拋物線上一點(diǎn)作的垂線,垂足為,若,點(diǎn)的橫坐標(biāo)是3,則_.（2012年高考（重慶理）過拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于兩點(diǎn),若則=_.（2012年高考（四川理）橢圓的左焦點(diǎn)為,直線與橢圓相交于點(diǎn)、,當(dāng)?shù)闹荛L最大時,的面積是_.（2012年高考（上海春）拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_.（2012年高考（陜西理）xy右圖是拋物線形拱

4、橋,當(dāng)水面在時,拱頂離水面2米,水面寬4米,水位下降1米后,水面寬_米.（2012年高考（遼寧理）已知p,q為拋物線上兩點(diǎn),點(diǎn)p,q的橫坐標(biāo)分別為4,2,過p、q分別作拋物線的切線,兩切線交于a,則點(diǎn)a的縱坐標(biāo)為_.（2012年高考（江西理）橢圓(ab0)的左、右頂點(diǎn)分別是a,b,左、右焦點(diǎn)分別是f1,f2.若|af1|,|f1f2|,|f1b|成等比數(shù)列,則此橢圓的離心率為_.（2012年高考（江蘇）在平面直角坐標(biāo)系中,若雙曲線的離心率為,則的值為_. a1 a2 yb2 b1ao bcdf1 f2 x（2012年高考（湖北理）如圖,雙曲線的兩頂點(diǎn)為,虛軸兩端點(diǎn)為,兩焦點(diǎn)為,. 若以為直徑的

5、圓內(nèi)切于菱形,切點(diǎn)分別為. 則()雙曲線的離心率_;()菱形的面積與矩形的面積的比值_.（2012年高考（北京理）在直角坐標(biāo)系中,直線過拋物線的焦點(diǎn)f,且與該拋物線相較于a、b兩點(diǎn),其中點(diǎn)a在軸上方,若直線的傾斜角為60,則oaf的面積為_.三、解答題（2012年高考（天津理）設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為,點(diǎn)在橢圓上且異于兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn).()若直線與的斜率之積為,求橢圓的離心率;()若,證明直線的斜率滿足.（2012年高考（新課標(biāo)理）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線為,已知以為圓心,為半徑的圓交于兩點(diǎn);(1)若,的面積為;求的值及圓的方程;(2)若三點(diǎn)在同一直線上,直線與平行,且與只有一個公共點(diǎn),求坐標(biāo)原

6、點(diǎn)到距離的比值.（2012年高考（浙江理）如圖,橢圓c:(ab0)的離心率為,其左焦點(diǎn)到點(diǎn)p(2,1)的距離為.不過原點(diǎn)o的直線l與c相交于a,b兩點(diǎn),且線段ab被直線op平分.()求橢圓c的方程;() 求abp的面積取最大時直線l的方程.（2012年高考（重慶理）(本小題滿分12分()小問5分()小問7分)如圖,設(shè)橢圓的中心為原點(diǎn)o,長軸在x軸上,上頂點(diǎn)為a,左右焦點(diǎn)分別為,線段的中點(diǎn)分別為,且 是面積為4的直角三角形.()求該橢圓的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程; ()過做直線交橢圓于p,q兩點(diǎn),使,求直線的方程（2012年高考（四川理）如圖,動點(diǎn)到兩定點(diǎn)、構(gòu)成,且,設(shè)動點(diǎn)的軌跡為.()求軌跡的方程;(

7、)設(shè)直線與軸交于點(diǎn),與軌跡相交于點(diǎn),且,求的取值范圍.（2012年高考（上海理）在平面直角坐標(biāo)系中,已知雙曲線.(1)過的左頂點(diǎn)引的一條漸近線的平行線,求該直線與另一條漸近線及x軸圍成的三角形的面積;(2)設(shè)斜率為1的直線l交于p、q兩點(diǎn),若l與圓相切,求證:opoq;(3)設(shè)橢圓. 若m、n分別是、上的動點(diǎn),且omon,求證:o到直線mn的距離是定值.（2012年高考（上海春）本題共有2個小題,第1小題滿分6分,第2小題滿分8分.已知雙曲線(1)求與雙曲線有相同的焦點(diǎn),且過點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)直線分別交雙曲線的兩條漸近線于兩點(diǎn).當(dāng)時,求實(shí)數(shù)的值.（2012年高考（陜西理）已知橢圓,橢

8、圓以的長軸為短軸,且與有相同的離心率.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)o為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)a,b分別在橢圓和上,求直線的方程.（2012年高考（山東理）在平面直角坐標(biāo)系中,是拋物線的焦點(diǎn),是拋物線上位于第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn),過三點(diǎn)的圓的圓心為,點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為.()求拋物線的方程;()是否存在點(diǎn),使得直線與拋物線相切于點(diǎn)?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說明理由;()若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,直線與拋物線有兩個不同的交點(diǎn),與圓 有兩個不同的交點(diǎn),求當(dāng)時,的最小值.（2012年高考（遼寧理）如圖,橢圓:,a,b為常數(shù)),動圓,.點(diǎn)分別為的左,右頂點(diǎn),與相交于a,b,c,d四點(diǎn).()求直線與直線交點(diǎn)m的軌跡

9、方程;()設(shè)動圓與相交于四點(diǎn),其中,.若矩形與矩形的面積相等,證明:為定值.（2012年高考（江西理）已知三點(diǎn)o(0,0),a(-2,1),b(2,1),曲線c上任意一點(diǎn)m(x,y)滿足.(1)求曲線c的方程;(2)動點(diǎn)q(x0,y0)(-2x02)在曲線c上,曲線c在點(diǎn)q處的切線為l向:是否存在定點(diǎn)p(0,t)(t0),則焦點(diǎn)坐標(biāo)為(),準(zhǔn)線方程為x=, 點(diǎn)評本題旨在考查拋物線的定義: |mf|=d,(m為拋物線上任意一點(diǎn),f為拋物線的焦點(diǎn),d為點(diǎn)m到準(zhǔn)線的距離). d 【解析】因?yàn)闄E圓的離心率為,所以,所以,即,雙曲線的漸近線為,代入橢圓得,即,所以,則第一象限的交點(diǎn)坐標(biāo)為,所以四邊形的面

10、積為,所以,所以橢圓方程為,選d. 【答案】a 【解析】設(shè)雙曲線c :-=1的半焦距為,則. 又c 的漸近線為,點(diǎn)p (2,1)在c 的漸近線上,即. 又,c的方程為-=1. 【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的方程、雙曲線的漸近線方程等基礎(chǔ)知識,考查了數(shù)形結(jié)合的思想和基本運(yùn)算能力,是近年來?？碱}型. 【答案】a 【解析】拋物線的焦點(diǎn)是,雙曲線的半焦距,故雙曲線的漸近線的方程為 【考點(diǎn)定位】本題主要考查雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)、點(diǎn)和直線的位置關(guān)系.考查推理誰能力、邏輯思維能力、計(jì)算求解能力、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化化歸思想. 答案c 【命題意圖】本試題主要考查了雙曲線的定義的運(yùn)用和性質(zhì)的運(yùn)用,以及余弦

11、定理的運(yùn)用.首先運(yùn)用定義得到兩個焦半徑的值,然后結(jié)合三角形中的余弦定理求解即可. 【解析】解:由題意可知,設(shè),則,故,利用余弦定理可得. 答案c 【命題意圖】本試題主要考查了橢圓的方程以及性質(zhì)的運(yùn)用.通過準(zhǔn)線方程確定焦點(diǎn)位置,然后借助于焦距和準(zhǔn)線求解參數(shù),從而得到橢圓的方程. 【解析】因?yàn)?由一條準(zhǔn)線方程為可得該橢圓的焦點(diǎn)在軸上縣,所以.故選答案c 【解析】選 設(shè)及;則點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為 得: 又 的面積為 二、填空題 【答案】2 【命題意圖】本試題主要考查了參數(shù)方程及其參數(shù)的幾何意義,拋物線的定義及其幾何性質(zhì). 【解析】可得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為,焦點(diǎn),點(diǎn)的橫坐標(biāo)是3,則,所以點(diǎn), 由拋物線得幾何

12、性質(zhì)得,解得. 【答案】 【解析】設(shè),則有,又,所以. 【考點(diǎn)定位】本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì)及拋物線與直線的關(guān)系,當(dāng)遇到拋物線焦點(diǎn)弦問題時,常根據(jù)焦點(diǎn)設(shè)出直線方程與拋物線方程聯(lián)立,把韋達(dá)定理和拋物線定義相結(jié)合解決問題,屬于難題. 答案 解析根據(jù)橢圓定義知:4a=12, 得a=3 , 又 點(diǎn)評本題考查對橢圓概念的掌握程度.突出展現(xiàn)高考前的復(fù)習(xí)要回歸課本的新課標(biāo)理念. 解析:建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,則拋物線方程為,當(dāng)時, ,所以水面寬米. 【答案】4 【解析】因?yàn)辄c(diǎn)p,q的橫坐標(biāo)分別為4,2,代人拋物線方程得p,q的縱坐標(biāo)分別為8,2. 由所以過點(diǎn)p,q的拋物線的切線的斜率分別為4,2,所

13、以過點(diǎn)p,q的拋物線的切線方程分別為聯(lián)立方程組解得故點(diǎn)a的縱坐標(biāo)為4 【點(diǎn)評】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求切線方程的方法,直線的方程、兩條直線的交點(diǎn)的求法,屬于中檔題. 曲線在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即為切線的斜率,從而把點(diǎn)的坐標(biāo)與直線的斜率聯(lián)系到一起,這是寫出切線方程的關(guān)鍵. 【解析】本題著重考查等比中項(xiàng)的性質(zhì),以及橢圓的離心率等幾何性質(zhì),同時考查了函數(shù)與方程,轉(zhuǎn)化與化歸思想. 利用橢圓及等比數(shù)列的性質(zhì)解題.由橢圓的性質(zhì)可知:,.又已知,成等比數(shù)列,故,即,則.故.即橢圓的離心率為. 【點(diǎn)評】求雙曲線的離心率一般是通過已知條件建立有關(guān)的方程,然后化為有關(guān)的齊次式方程,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為只含有離心率的方程,從而求解方程

14、即可. 體現(xiàn)考綱中要求掌握橢圓的基本性質(zhì).來年需要注意橢圓的長軸,短軸長及其標(biāo)準(zhǔn)方程的求解等. 【答案】2. 【考點(diǎn)】雙曲線的性質(zhì). 【解析】由得. ,即,解得. 考點(diǎn)分析:本題考察雙曲線中離心率及實(shí)軸虛軸的相關(guān)定義,以及一般平面幾何圖形的面積計(jì)算. 解析:()由于以為直徑的圓內(nèi)切于菱形,因此點(diǎn)到直線的距離為,又由于虛軸兩端點(diǎn)為,因此的長為,那么在中,由三角形的面積公式知,又由雙曲線中存在關(guān)系聯(lián)立可得出,根據(jù)解出 ()設(shè),很顯然知道,因此.在中求得故; 菱形的面積,再根據(jù)第一問中求得的值可以解出. 【答案】 【解析】由,可求得焦點(diǎn)坐標(biāo)為,因?yàn)閮A斜角為,所以直線的斜率為,利用點(diǎn)斜式,直線的方程為

15、,將直線和曲線方程聯(lián)立,因此. 【考點(diǎn)定位】 本題考查的是解析幾何中拋物線的問題,根據(jù)交點(diǎn)弦問題求圍成的面積.此題把握住拋物線的基本概念,熟練的觀察出標(biāo)準(zhǔn)方程中的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線坐標(biāo)、方程是成功的關(guān)鍵.當(dāng)然還要知道三角形面積公式. 三、解答題 【命題意圖】本試題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式等基礎(chǔ)知識.考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì).以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方程,考查運(yùn)算求解能力、綜合分析和解決問題的能力. 解答策略一：（1）取，；則（2）設(shè)；則線段的中點(diǎn)解答策略二 (1)設(shè)點(diǎn),由題意有 方法二:依題意,直線的方程為,可設(shè)點(diǎn),由點(diǎn)在橢圓上,有,因?yàn)?所以即 由

16、,得整理得,于是,代入得. 【解析】(1)由對稱性知:是等腰直角,斜邊 點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離 圓的方程為 (2)由對稱性設(shè),則 點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱得: 得:,直線 切點(diǎn) 直線 坐標(biāo)原點(diǎn)到距離的比值為. 【解析】 ()由題:; (1) 左焦點(diǎn)(c,0)到點(diǎn)p(2,1)的距離為:. (2) 由(1) (2)可解得:. 所求橢圓c的方程為:. ()易得直線op的方程:y=x,設(shè)a(xa,ya),b(xb,yb),r(x0,y0).其中y0=x0. a,b在橢圓上, . 設(shè)直線ab的方程為l:y=(m0), 代入橢圓:. 顯然. m且m0. 由上又有:=m,=. |ab|=|=. 點(diǎn)p(2,1)到直線l的距離為:

17、. sabp=d|ab|=,其中m0,. 當(dāng)mba=90時,點(diǎn)m的坐標(biāo)為(2, 3) 當(dāng)mba90時;x2.由mba=2mab, 有tanmba=,即 化簡得:3x2-y2-3=0,而又經(jīng)過(2,3) 綜上可知,軌跡c的方程為3x2-y2-3=0(x1) (ii)由方程消去y,可得.(*) 由題意,方程(*)有兩根且均在(1,+)內(nèi),設(shè) 所以 解得,m1,且m2 設(shè)q、r的坐標(biāo)分別為,由有 所以 由m1,且m2,有 所以的取值范圍是 點(diǎn)評本小題主要考察直線、雙曲線、軌跡方程的求法等基礎(chǔ)知識,考察思維能力、運(yùn)算能力,考察函數(shù)、分類與整合等思想,并考察思維的嚴(yán)謹(jǐn)性. 解(1)雙曲線,左頂點(diǎn),漸近線

18、方程:. 過點(diǎn)a與漸近線平行的直線方程為,即. 解方程組,得 所以所求三角形的面積1為 (2)設(shè)直線pq的方程是.因直線與已知圓相切, 故,即 由,得. 設(shè)p(x1, y1)、q(x2, y2),則. 又,所以 , 故opoq (3)當(dāng)直線on垂直于x軸時, |on|=1,|om|=,則o到直線mn的距離為. 當(dāng)直線on不垂直于x軸時, 設(shè)直線on的方程為(顯然),則直線om的方程為. 由,得,所以. 同理 設(shè)o到直線mn的距離為d,因?yàn)? 所以,即d=. 綜上,o到直線mn的距離是定值 解(1)雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為,則,所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為. (2)雙曲線的漸近線方程為

19、,設(shè) 由,由 又因?yàn)?而 所以. 解析:(1)由已知可設(shè)橢圓的方程為 其離心率為,故,則 故橢圓的方程為 (2)解法一 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別記為 由及(1)知,三點(diǎn)共線且點(diǎn),不在軸上, 因此可以設(shè)直線的方程為 將代入中,得,所以 將代入中,則,所以 由,得,即 解得,故直線的方程為或 解法二 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別記為 由及(1)知,三點(diǎn)共線且點(diǎn),不在軸上, 因此可以設(shè)直線的方程為 將代入中,得,所以 由,得, 將代入中,得,即 解得,故直線的方程為或. 解析:()f拋物線c:x2=2py(p0)的焦點(diǎn)f,設(shè)m,由題意可知,則點(diǎn)q到拋物線c的準(zhǔn)線的距離為,解得,于是拋物線c的方程為. ()假設(shè)存在點(diǎn)m,使得

20、直線mq與拋物線c相切于點(diǎn)m, 而, , 由可得,則, 即,而,解得,點(diǎn)m的坐標(biāo)為. ()若點(diǎn)m的橫坐標(biāo)為,則點(diǎn)m,. 由可得,.設(shè), 圓, , 于是,令 ,設(shè), 當(dāng)時, 即當(dāng)時. 故當(dāng)時,. 【答案及解析】 【點(diǎn)評】本題主要考查圓的性質(zhì)、橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、直線方程求解、直線與橢圓的關(guān)系和交軌法在求解軌跡方程組的運(yùn)用.本題考查綜合性較強(qiáng),運(yùn)算量較大.在求解點(diǎn)的軌跡方程時,要注意首先寫出直線和直線的方程,然后求解.屬于中檔題,難度適中. 【解析】 解:(1)依題意可得, , 由已知得,化簡得曲線c的方程: (2)假設(shè)存在點(diǎn)p(0,t)(t0)滿足條件,則直線pa的方程是,直線pb

21、的方程是,曲線c在點(diǎn)q處的切線l的方程為它與y軸的交點(diǎn)為,由于,因此 當(dāng)時, ,存在,使得,即l與直線pa平行,故當(dāng)時不符合題意 當(dāng)時,所以l 與直線pa,pb一定相交,分別聯(lián)立方程組, 解得d,e的橫坐標(biāo)分別是 則,又, 有,又 于是 對任意,要使qab與pde的面積之比是常數(shù),只需t滿足, 解得t=-1,此時qab與pde的面積之比為2,故存在t=-1,使qab與pde的面積之比是常數(shù)2. 【點(diǎn)評】本題以平面向量為載體,考查拋物線的方程,直線與拋物線的位置關(guān)系以及分類討論的數(shù)學(xué)思想. 高考中,解析幾何解答題一般有三大方向的考查.一、考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,離心率等基本性質(zhì),直線與橢圓的位置關(guān)系

22、引申出的相關(guān)弦長問題,定點(diǎn),定值,探討性問題等;二、考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,準(zhǔn)線等基本性質(zhì),直線與拋物線的位置關(guān)系引申出的相關(guān)弦長問題,中點(diǎn)坐標(biāo)公式,定點(diǎn),定值,探討性問題等;三、橢圓,雙曲線,拋物線綜合起來考查.一般橢圓與拋物線結(jié)合考查的可能性較大,因?yàn)樗鼈兌际强季V要求理解的內(nèi)容. 【答案】解:(1)由題設(shè)知,由點(diǎn)在橢圓上,得 ,. 由點(diǎn)在橢圓上,得 橢圓的方程為. (2)由(1)得,又, 設(shè)、的方程分別為,. . . 同理,. (i)由得,.解得=2. 注意到,. 直線的斜率為. (ii)證明:,即. . 由點(diǎn)在橢圓上知,. 同理. 由得, . .是定值. 【考點(diǎn)】橢圓的性質(zhì),直線方程,兩點(diǎn)

23、間的距離公式. 【解析】(1)根據(jù)橢圓的性質(zhì)和已知和都在橢圓上列式求解. (2)根據(jù)已知條件,用待定系數(shù)法求解. 【解析】()解法1 :設(shè)m的坐標(biāo)為,由已知得 , 易知圓上的點(diǎn)位于直線的右側(cè).于是,所以 . 化簡得曲線的方程為. 解法2 :由題設(shè)知,曲線上任意一點(diǎn)m到圓心的距離等于它到直線的距離,因此,曲線是以為焦點(diǎn),直線為準(zhǔn)線的拋物線,故其方程為. ()當(dāng)點(diǎn)p在直線上運(yùn)動時,p的坐標(biāo)為,又,則過p且與圓 相切得直線的斜率存在且不為0,每條切線都與拋物線有兩個交點(diǎn),切線方程為.于是 整理得 設(shè)過p所作的兩條切線的斜率分別為,則是方程的兩個實(shí)根,故 由得 設(shè)四點(diǎn)a,b,c,d的縱坐標(biāo)分別為,則是

24、方程的兩個實(shí)根,所以 同理可得 于是由,三式得 . 所以,當(dāng)p在直線上運(yùn)動時,四點(diǎn)a,b,c,d的縱坐標(biāo)之積為定值6400. 【點(diǎn)評】本題考查曲線與方程、直線與曲線的位置關(guān)系,考查運(yùn)算能力,考查數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想等數(shù)學(xué)思想方法.第一問用直接法或定義法求出曲線的方程;第二問設(shè)出切線方程,把直線與曲線方程聯(lián)立,由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到四點(diǎn)縱坐標(biāo)之積為定值,體現(xiàn)“設(shè)而不求”思想. 考點(diǎn)分析:本題主要考察求曲線的軌跡方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,要求能正確理解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì),并能熟練運(yùn)用代數(shù)方法解決幾何問題,對運(yùn)算能力有較高要求. 解析: ()如圖1,設(shè),則由, 可得,

25、所以,. 因?yàn)辄c(diǎn)在單位圓上運(yùn)動,所以. 將式代入式即得所求曲線的方程為. 因?yàn)?所以 當(dāng)時,曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓, 兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為,; 當(dāng)時,曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓, 兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為,. ()解法1:如圖2、3,設(shè),則, 直線的方程為,將其代入橢圓的方程并整理可得 . 依題意可知此方程的兩根為,于是由韋達(dá)定理可得 ,即. 因?yàn)辄c(diǎn)h在直線qn上,所以. 于是,. 而等價于, 即,又,得, 故存在,使得在其對應(yīng)的橢圓上,對任意的,都有. 圖2 圖3 圖1o d xyam 解法2:如圖2、3,設(shè),則, 因?yàn)?兩點(diǎn)在橢圓上,所以 兩式相減可得 . 依題意,由點(diǎn)在第一象限可知,點(diǎn)也在第一象限,且,

26、不重合, 故. 于是由式可得 . 又,三點(diǎn)共線,所以,即. 于是由式可得. 而等價于,即,又,得, 故存在,使得在其對應(yīng)的橢圓上,對任意的,都有 解析:()因?yàn)?所以,于是.設(shè)橢圓上任一點(diǎn),則(). 當(dāng)時,在時取到最大值,且最大值為,由解得,與假設(shè)不符合,舍去. 當(dāng)時,在時取到最大值,且最大值為,由解得.于是,橢圓的方程是. ()圓心到直線的距離為,弦長,所以的面積為,于是.而是橢圓上的點(diǎn),所以,即,于是,而,所以,所以,于是當(dāng)時,取到最大值,此時取到最大值,此時,. 綜上所述,橢圓上存在四個點(diǎn)、,使得直線與圓相交于不同的兩點(diǎn)、,且的面積最大,且最大值為. 點(diǎn)評:此題與2012年南海區(qū)高三8月摸底考試的試題相似度極高. (2012年南海區(qū)高三8月摸底考試)已知橢圓的兩焦點(diǎn)為、,并且經(jīng)過點(diǎn). ()求橢圓的方程; ()已知圓:,直線:,證明:當(dāng)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動時,直線與圓恒相交;并求直線被圓所截得的弦長的取值范圍. 【考點(diǎn)定位】本題考查橢圓的性質(zhì)、圓的性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系、平