判別正項級數(shù)收斂的方法學(xué)士學(xué)位論文

1、 編號 學(xué)士學(xué)位論文判別正項級數(shù)收斂的方法學(xué)生姓名： 學(xué) 號： 系 部：數(shù)學(xué)系 專 業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 年 級： 指導(dǎo)教師： 完成日期： 年 _月 日摘要 判定級數(shù)斂散性是級數(shù)的首要問題，在研究其它級數(shù)的斂散性時，常常歸結(jié)為研究正項級數(shù)的斂散性。判別正項級數(shù)斂散性的方法很多，本文主要討論了判別正項級數(shù)斂散性的一些方法，比如：基本定義，柯西收斂準(zhǔn)則，比較判別法，根式判別法，積分判別法，比較判別法的推廣，拉貝爾判別法等主要的正項級數(shù)收斂判別法并對這此方法進行了證明，又提出了比較判別法，比式判別法，根式判別法的重要推廣，以及如何根據(jù)通向的特點來選擇判別法，使級數(shù)斂散性的判別變得更為簡單。關(guān)鍵詞： 級

2、數(shù)；有界；斂散性；單調(diào)；積分；收斂準(zhǔn)則；極限 目 錄摘要1引言31.正項級數(shù)收斂的定義32.基本定理43.正項級數(shù)收斂的基本判別法 43.1.比較判別法43.2.比較判別法的極限形式53.3.比式判別法（也稱為達(dá)朗貝爾判別法）63.4.比式判別法的極限形式73.5.根式判別法（也稱為柯西判別法）73.6. 根式判別法的極限形式93.7.積分判別法93.8.拉貝判別法103.9.拉貝判別法的極限形式113.10.高斯判別法123.11.（kummer判別法）134.判別法的比較155.總結(jié)與展望20參考文獻(xiàn)20致謝22 正項級數(shù)收斂的的判別法 引 言級數(shù)是數(shù)學(xué)分析中的一個重要組成部分，它是表示函

3、數(shù)，研究函數(shù)的性質(zhì)以及進行數(shù)值計算的一種工具，而正項級數(shù)是級數(shù)中非常重要的組成部分，許多級數(shù)的斂散性問題可以歸結(jié)為正項級數(shù)的斂散性問題.而正項級數(shù)斂散性有很多種判別法，有時很難選擇，以下重點討論正項級數(shù)斂散性判別法，看如何選擇判別方法使正項級數(shù)的斂散性判別更為簡單.因此討論正項級數(shù)的收斂判別法是很有必要的.1. 正項級數(shù)收斂的定義定義1：若則稱為正項級數(shù).定義2：設(shè) 為正項級數(shù)，且 ，（）若存在稱為收斂；（）若不存在稱為發(fā)散.2基本定理 定理1：正項級數(shù)收斂的充要條件是：部分和數(shù)列有上界，即，有.證明： 收斂 ， 存在 有界 有上界. 有上界且 單調(diào)增加 （ ， ） ，數(shù)列收斂即存在 ， 級數(shù)

4、收斂.柯西收斂準(zhǔn)則：定理：正項級數(shù)收斂，時，有.證明：（）正項級數(shù)收斂 ，由定義，部分和數(shù)列的極限存在，即，由數(shù)列收斂的柯西準(zhǔn)則，時，,有 ，有 （），有 則 存在， 正項級數(shù)收斂.用收斂性定義可以證明：（i）正項級數(shù)收斂與正項級數(shù)的斂散性相同，（ii）若正項級數(shù)與收斂，則也收斂。3.正項級數(shù)收斂性的基本判別法3.1.比較判別法設(shè)和是兩個正項級數(shù)，如果存在某正數(shù)，對一切都有，則：（i）若級數(shù)收斂，則也是收斂，是正常數(shù)。 （ii）若級數(shù)發(fā)散，則也是發(fā)散不妨設(shè)，有，設(shè)級數(shù)與的項部分和是與，由上述不等式有若級數(shù)收斂，根據(jù)定理數(shù)列有上界，從而數(shù)列也有上界，級數(shù)收斂。若級數(shù)發(fā)散，根據(jù)定理，數(shù)列無上界，從

5、而數(shù)列也無上界，級數(shù)發(fā)散。3.2.比較判別法的極限形式設(shè) 與是兩個正項級數(shù)，且若 ，則（） 收斂且 時 也收斂；（ii） 發(fā)散且 時 發(fā)散.證明：（）若級數(shù) 收斂，且 , 有 或 ,即 ，有 且 收斂 . 由比較判別法，級數(shù) 收斂.（ii）若級數(shù) 發(fā)散 ，且 , ,有 或 即 ， 有 且 發(fā)散.由比較判別法，級數(shù)也發(fā)散.3.3.比式判別法（也稱為達(dá)朗貝爾判別法）設(shè)為正項級數(shù)且存在某正數(shù)，及常數(shù)（），則若對一切，成立不等式，則級數(shù)收斂。若一切，成立不等式，則級數(shù)發(fā)散。證明：不妨設(shè) 有或 ； ； ； ；已知幾何級數(shù) 收斂，根據(jù)比較判別法得級數(shù)收斂。已知 ，有或即正數(shù)數(shù)列從以后單調(diào)增加，不趨近于0

6、， 則級數(shù)發(fā)散。3.4.比式判別法的極限形式若 為正項級數(shù) ， 且 ；則 ()當(dāng) 時，級數(shù) 收斂 ；(ii)當(dāng) 時，級數(shù) 發(fā)散 .證明：() , 由 ， ，有 或 ， 根據(jù)達(dá)朗貝爾判別法級數(shù) 收斂.（ii）已知 ，根據(jù)數(shù)列極限的保號性 ， ，有 ，根據(jù)達(dá)朗貝爾判別法級數(shù) 發(fā)散.3.5.根式判別法（也稱為柯西判別法）設(shè)為正項級數(shù)，且存在某正數(shù)及正常數(shù)，則：若對一切 ，成立不等式 ，則級數(shù)收斂 若對一切，成立不等式，則級數(shù)發(fā)散 證明：（i）.若當(dāng)時， 有即，而級數(shù)收斂，根據(jù)比較判別法得級數(shù)也收斂 （ii）.若從某項起，則故由級數(shù)收斂的必要條件知發(fā)散。3.6. 根式判別法的極限形式設(shè) 為正項級數(shù) ，

7、 且 ， 則（）當(dāng) 時 ，級數(shù) 收斂 ；（）當(dāng) 時 ，級數(shù) 發(fā)散 .證明：（） 且 ， ，由數(shù)列極限定義，有 或 由柯西判別法，級數(shù) 收斂.（），根據(jù)數(shù)列極限的保號性 ，有 ， 由柯西判別法，級數(shù) 發(fā)散 .3.7.積分判別法設(shè) 為 上非負(fù)減函數(shù)，那么正項級數(shù) 與 無窮積分 同時收斂，同時發(fā)散.證明：由假設(shè) 為 上非負(fù)減函數(shù)，對任何正數(shù) 在 上可積，從而有 依次相加可得 （1）若無窮積分收斂，則由（1）式左邊，對任何自然數(shù) ，有 級數(shù) 收斂.反之，若 為收斂級數(shù)，則由（1）式右邊，對任一自然數(shù) ，有 （2）因為 為非負(fù)減函數(shù)，故對任何正數(shù) ，都有， 聯(lián)系（2）式得無窮積分 收斂 .用同樣方法可以

8、證明 與 是同時發(fā)散的 .比較判別法的推廣設(shè) 和為正項級數(shù)，且存在自然數(shù)n，使得時， ，以及，則（）若收斂 ，則也收斂.（）若發(fā)散，則也發(fā)散.證明：（）不妨設(shè), 有 ，則 由此，兩端分別相乘，得 即 因此，利用比較判別法就證明了（）.（） （用反證法）若收斂，則由（）知收斂.這與（）的條件矛盾.所以（）成立.3.8.拉貝判別法設(shè) 為正項級數(shù) ，（）若存在某自然數(shù) ， 時有 且 ，則級數(shù) 收斂 ；（）若 ， 時有 則 發(fā)散 .證明：（）由 ，可得 ， 選 使 ， 由于 因此，存在正數(shù) ，使對任意 ，有 ，這樣 于是，當(dāng) 時，就有 當(dāng) 時 ， 收斂，故級數(shù) 是收斂的 .（） 由 可得 ，于是 因為

9、 發(fā)散 ， 故 是發(fā)散的 .3.9.拉貝判別法的極限形式設(shè) 為正項級數(shù) ，且 ， 則（）當(dāng) 時 ， 級數(shù) 收斂 ；（）當(dāng) 時 ， 級數(shù) 發(fā)散 例： 討論級數(shù) （1），當(dāng)時的斂散性 解： 無論那一位，對級數(shù)（1）的比式極限，都有 所以用比式判別法無法判別級數(shù)（1）的斂散性，現(xiàn)在應(yīng)用拉貝爾判別法來討論，當(dāng) 時由于 所以 級數(shù)（1）是發(fā)散的。 當(dāng)時由于由拉貝爾判別法可知級數(shù)(1)發(fā)散。 當(dāng) 時， 拉貝爾判別法級數(shù)(1)收斂。定理3：設(shè)正項級數(shù)的項滿足 則 當(dāng)時，級數(shù)收斂.證明：當(dāng)，取一適當(dāng)小的正數(shù)，使得 則存在，使時，有，即 取p使得 ，當(dāng) 時，有， 即 因為 時，級數(shù)收斂 ，知級數(shù)收斂.例：研究級

10、數(shù)的收斂性.解： ，應(yīng)用上面的定理 = = 由定理知該級數(shù)收斂.3.10.高斯判別法設(shè)為正項級數(shù)，且其中有界，則（）當(dāng) 時，級數(shù)收斂；（）當(dāng) 時，級數(shù)發(fā)散.證明：應(yīng)用泰勒公式，時成立 即 ， 則 必收斂.記 ， ， 因為 ，則 即 又因為 ， 其中 c為歐拉常數(shù)，則 ， 上式中為一非零常數(shù)，于是由比較判別法知:時 級數(shù) 收斂，時 級數(shù) 發(fā)散.3.11.（kummer判別法）（1）正項級數(shù)收斂的充分必要條件是存在正數(shù)數(shù)列和正數(shù)， 使得當(dāng)充分大的時有 （i） （2）正項級數(shù)發(fā)散的充分必要條件是存在發(fā)散的正項級數(shù)，使得當(dāng)充分大的時有 （ii）證明：先證充分性。 不妨設(shè)條件（1）已對于成立；將它改寫為

11、可見正數(shù)數(shù)列單調(diào)減少，因此有估計，從而知級數(shù)收斂。再證明必要性；在收斂時記其余項為，令，則就有因此有因此取即可。（2）這時的充分性時比較判別法的比值形式，再證必要性，設(shè) 發(fā)散，取其中為級數(shù)的第個部分和，這時（ii）滿足 從和有關(guān)命題知發(fā)散。常用的比式判別法的推廣1：（1） 設(shè)為正項級數(shù)且，則q1時發(fā)散。其中為某一個正整數(shù)。例如：討論的斂散性。解：，收斂。比式判別法的推廣2：（2） 設(shè)為正項級數(shù)且 (n=1,2,3.)又,則時收斂，時發(fā)散。例如：討論的斂散性。解：，故發(fā)散。根式判別法的推廣1：（3） 設(shè)為正項級數(shù)且則r1時發(fā)散。(其中a0)例如：判別的斂散性。解：收斂。根式判別法的推廣2：（4）

12、 設(shè)為正項級數(shù)且，則r1時發(fā)散。例如：判別的斂散性。解：收斂。 4.判別法的比較 (一) 當(dāng)級數(shù)化為含參數(shù)的一般式，通項為等差或等比或通項為含二項以上根式的四則運算且通項極限無法求出時可以選用正項級數(shù)的充分條件進行判斷。如：1. 由于 故得.（二） 當(dāng)級數(shù)表達(dá)式形如: 級數(shù)一般項如含有或等三角函數(shù)的因子可以進行適當(dāng)?shù)姆趴s，并與幾何級數(shù)（），級數(shù)，調(diào)和級數(shù)進行比較， 不宜算出或 等此類無法判斷級數(shù)收斂性或進行有關(guān)的問題時候，應(yīng)選用比較判別法。例1. 討論級數(shù)的收斂性。解：當(dāng)時，因為，而級數(shù)收斂故由比較判別法知所論級數(shù)收斂。當(dāng) 時，又因為 而級數(shù)收斂。于是比較判別法知所討論級數(shù)收斂。綜上所述，所論

13、級數(shù)對所有都收斂。2.解： 因為收斂，故收斂 3. 解：因為 比較判別法的適用范圍比較廣泛，適用于大部分無法通過其它途徑判別其斂散性的正項級數(shù)。 （三）當(dāng)級數(shù)含有階層，次冪，形如或或分子分母含多個因子連乘除時，選用比式判別法，當(dāng)通項含與 的函數(shù)可以選用比式判別法的極限形式進行判斷。；例：1. （判斷斂散性）解：因為有比較判別法的極限形式知該級數(shù)發(fā)散2. 解： 因為由比式判別法知該級數(shù)發(fā)散.3.解：因為 故由比式判別法的極限形式得該級數(shù)發(fā)散。一般來說，當(dāng)選用根式判別法無法判斷時。我們也可以選用比式判別發(fā)來判斷，但有時候我們用根式判別法而不使用比式判別法，因為根式判別法的收斂條件比比式判別法更優(yōu)。

14、（四）當(dāng)級數(shù)表達(dá)式形如，含有的表達(dá)式或可以找到原函數(shù)，或級數(shù)為上非單調(diào)減函數(shù)，含有或等三角函數(shù)的因子可以找到原函數(shù)，可以選用積分判斷法。例：1.討論級數(shù)的斂散性 解：當(dāng)時，因為故由積分判別法知所討論級數(shù)發(fā)散。再由比較判別法知所討論級數(shù)時發(fā)散。當(dāng)時因為 所以由積分判別法知所討論的級數(shù)收斂。2.證明：當(dāng)時，下列級數(shù)收斂： 解： 當(dāng)時，函數(shù)在上是正的單調(diào)減少且連續(xù)，而無窮積分 都收斂，于是當(dāng)時正項級數(shù)收斂。 3.討論級數(shù)的斂散性解：設(shè)則在上非負(fù)遞減， 收斂，由積分判斷法知收斂。 （五）當(dāng)級數(shù)同時含有階層與次冪，形如與時，或使用比值，根式判別法時極限等于1或無法判斷其斂散性的時候，選用拉貝判別法，例：

15、 1.判定級數(shù)的斂散性。 解： 由拉貝判別法知級數(shù)收斂。2.判別的斂散性。解：因為而由拉貝判別法知該級數(shù)收斂。因此，當(dāng)根式判別法與比值判別法無法判斷斂散性時，我們可以選用拉貝判別法。（六）當(dāng) 的值可以化為泰勒展開式，則選用高斯判別法。如：1討論 的斂散性. 解：由于 ，時 ，有 故原級數(shù)當(dāng) 時收斂，當(dāng) 時發(fā)散.5. 總結(jié)與展望綜上所說，判別正項級數(shù)的斂散性有多種方法：比較判別法，柯西判別法，阿貝爾判別法以及上面討論的比式判別法和積分判別法。但是它們各自適用于不同的形式的正項級數(shù)，根據(jù)判別法特性和級數(shù)通項的特點來選擇判別方法更有利于級數(shù)的斂散性問題的解決。如果原級數(shù)含有次冪的形式，則可考慮用柯西

16、判別法，如果原級數(shù)含有等形式則可試用比式判別法，如果用上面三種方法都不容易判斷斂散性可試用拉貝爾判別法，如果級數(shù)是乘積形式，那么可以選用上面介紹的其它方法。參考文獻(xiàn)1 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（下冊）m.第三版，高等教育出版社，2001：616.2 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系（沈燮昌）.數(shù)學(xué)分析（第二冊）m.第一版，高等教育出版社，1986：201 218.3 劉玉璉，傅沛仁. 數(shù)學(xué)分析講義（下冊）m.第三版，高等教育出版社，1992：1121.4 朱靜航.數(shù)學(xué)分析（下冊）m.第一版，吉林教育出版社，1988：1532.5 宋國柱，任福賢，許紹溥，姜東平.數(shù)學(xué)分析教程（下冊）m.第一版，南京大學(xué)出版社，1990：624. 6 何琛，史濟懷，徐森林.數(shù)學(xué)分析（第三冊）m.第一版，高等教育出版社，1985：1336.7 復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系（陳傳璋，金福臨，朱學(xué)炎，歐陽光中）.數(shù)學(xué)分析（下冊）m.第二版，高等教育出版社，1983：1219.8 張筑生.數(shù)學(xué)分析新講（第三冊）m.第一版， 北京大