高中含參不等式的恒成立問題整理版

1、高中數(shù)學(xué)不等式的恒成立問題一、用一元二次方程根的判別式有關(guān)含有參數(shù)的一元二次不等式問題，若能把不等式轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)或二次方程，通過根的判別式或數(shù)形結(jié)合思想，可使問題得到順利解決?；窘Y(jié)論總結(jié)例1對于xr，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。例2：已知不等式對于恒成立，求參數(shù)的取值范圍解：要使對于恒成立，則只須滿足：（1） 或（2）解（1）得 ，解（2）參數(shù)的取值范圍是練習(xí)1. 已知函數(shù)的定義域?yàn)閞，求實(shí)數(shù)的取值范圍。2.若對于xr，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。3.若不等式的解集是r，求m的范圍。4.取一切實(shí)數(shù)時(shí)，使恒有意義，求實(shí)數(shù)的取值范圍例3設(shè)，當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。oxyx-

2、1關(guān)鍵點(diǎn)撥：為了使在恒成立，構(gòu)造一個(gè)新函數(shù)是解題的關(guān)鍵，再利用二次函數(shù)的圖象性質(zhì)進(jìn)行分類討論，使問題得到圓滿解決。若二次不等式中的取值范圍有限制，則可利用根的分布解決問題。解：，則當(dāng)時(shí)，恒成立當(dāng)時(shí)，顯然成立；當(dāng)時(shí)，如圖，恒成立的充要條件為：解得。綜上可得實(shí)數(shù)的取值范圍為。例4 。已知，求使不等式對任意恒成立的a的取值范圍。解法1：數(shù)形結(jié)合結(jié)合函數(shù)的草圖可知時(shí)恒成立。所以a的取值范圍是。解法2：轉(zhuǎn)化為最值研究 1. 若上的最大值。 2. 若，得，所以。綜上：a的取值范圍是。注：1. 此處是對參a進(jìn)行分類討論，每一類中求得的a的范圍均合題意，故對每一類中所求得的a的范圍求并集。 2. 恒成立； 解

3、法3：分離參數(shù)。設(shè)， 注：1. 運(yùn)用此法最終仍歸結(jié)為求函數(shù)的最值，但由于將參數(shù)a與變量x分離，因此在求最值時(shí)避免了分類討論，使問題相對簡化。 2. 本題若將“”改為“”可類似上述三種方法完成。仿解法1：即讀者可仿解法2，解法3類似完成，但應(yīng)注意等號問題，即此處也合題。例5. 已知：求使恒成立的a的取值范圍。解法1：數(shù)形結(jié)合結(jié)合的草圖可得：或得：。解法2：轉(zhuǎn)化為最值研究 1. ，所以。 2. 若矛盾。 3. 若矛盾。綜上：a的取值范圍是。解法3：分離參數(shù) 1. 時(shí)，不等式顯然成立，即此時(shí)a可為任意實(shí)數(shù)； 2. 時(shí)，。因?yàn)樯蠁握{(diào)遞減，所以； 3. 時(shí)，。因?yàn)樵冢?，1）上單調(diào)遞減，所以。綜上：a的

4、范圍是：。注：本題中由于x的取值可正可負(fù)，不便對參數(shù)a直接分離，故采取了先對x分類，再分離參數(shù)a，最后對各類中求得a的范圍求交集，這與例1方法三中對各類中求得的a的范圍求并集是不同的，應(yīng)引起注意！例6. 已知：，求使對任意恒成立的x的取值范圍。解：習(xí)慣上視x為主元而a為輔元，但本題中是a在上任意變化時(shí)不等式恒成立，故可將a視為主元。變更主元法：設(shè)，則的圖像為一直線，則時(shí)恒成立即x的范圍是： 總之，處理不等式恒成立問題首先應(yīng)分清誰是主元（哪一個(gè)變量在給定區(qū)間上任意變化，則該變量即為主元相當(dāng)于函數(shù)自變量），然后可數(shù)形結(jié)合或轉(zhuǎn)化為最值研究。若易于將參變量分離的可先分離參變量再求最值，若需分類討論則應(yīng)

5、注意分類標(biāo)準(zhǔn)和最后的小結(jié)（分清是求交集，還是求并集）。二、利用函數(shù)的最值（或值域）（1）對任意x都成立（2）對任意x都成立。簡單計(jì)作：大的大于最大的，小的小于最小的。由此看出，本類問題實(shí)質(zhì)上是一類求函數(shù)的最值問題。例1已知函數(shù)，若對任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：若對任意，恒成立，即對，恒成立，考慮到不等式的分母，只需在時(shí)恒成立而得而拋物線在的最小值得 例2 已知，若恒成立，求a的取值范圍. 解析 本題可以化歸為求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間上的最值問題,只要對于任意.若恒成立或或，即a的取值范圍為.點(diǎn)評 對于含參數(shù)的函數(shù)在閉區(qū)間上函數(shù)值恒大于等于或小于等于常數(shù)問題,可以求函數(shù)最值的方法,只要利用

6、恒成立；恒成立.本題也可以用零點(diǎn)分布策略求解.設(shè)函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，如果不等式對于任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。分析：本題可利用函數(shù)的單調(diào)性把原不等式問題轉(zhuǎn)化為對于任意恒成立，從而轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)區(qū)間最值求解。解：是增函數(shù)對于任意恒成立對于任意恒成立對于任意恒成立，令，所以原問題，又即 易求得。三、變更主元法在解含參不等式時(shí)，有時(shí)若能換一個(gè)角度，變參數(shù)為主元，可以得到意想不到的效果，使問題能更迅速地得到解決。一般來說，已知存在范圍的量視為變量，而待求范圍的量視為參數(shù). 用一次函數(shù)的性質(zhì) 對于一次函數(shù)有：例題1：已知不等式對任意的都成立，求的取值范圍.解：我們可以用改變主元的辦法，將m視為主變

7、元，原不等式可化為令是關(guān)于m的一次函數(shù)。由題意知解得x的取值范圍是關(guān)鍵點(diǎn)撥：利用函數(shù)思想，變換主元，通過直線方程的性質(zhì)求解。評注：此類問題常因思維定勢，學(xué)生易把它看成關(guān)于的不等式討論，從而因計(jì)算繁瑣出錯(cuò)或者中途夭折；若轉(zhuǎn)換一下思路，把待求的x為參數(shù)，以為變量，令則問題轉(zhuǎn)化為求一次函數(shù)（或常數(shù)函數(shù)）的值在內(nèi)恒為負(fù)的問題，再來求解參數(shù)應(yīng)滿足的條件這樣問題就輕而易舉的得到解決了例2對任意，不等式恒成立，求的取值范圍。分析：題中的不等式是關(guān)于的一元二次不等式，但若把看成主元，則問題可轉(zhuǎn)化為一次不等式在上恒成立的問題。解：令，則原問題轉(zhuǎn)化為恒成立（）。當(dāng)時(shí)，可得，不合題意。當(dāng)時(shí)，應(yīng)有解之得。故的取值范圍

8、為。例3 已知對于任意的a-1,1，函數(shù)f(x)=ax2+(2a-4)x+3-a0 恒成立，求x的取值范圍.解析 本題按常規(guī)思路是分a=0時(shí)f(x)是一次函數(shù)，a0時(shí)是二次函數(shù)兩種情況討論，不容易求x的取值范圍。因此，我們不能總是把x看成是變量，把a(bǔ)看成常參數(shù)，我們可以通過變量轉(zhuǎn)換，把a(bǔ)看成變量，x看成常參數(shù)，這就轉(zhuǎn)化一次函數(shù)問題，問題就變得容易求解。令g(a)=(x2+2x-1)a-4x+3在a-1,1時(shí)，g(a)0恒成立，則，得.點(diǎn)評 對于含有兩個(gè)參數(shù)，且已知一參數(shù)的取值范圍，可以通過變量轉(zhuǎn)換，構(gòu)造以該參數(shù)為自變量的函數(shù)，利用函數(shù)圖象求另一參數(shù)的取值范圍。例4 對于滿足|p|2的所有實(shí)數(shù)p

9、,求使不等式x2+px+12p+x恒成立的x的取值范圍。分析：在不等式中出現(xiàn)了兩個(gè)變量：x、p,并且是給出了p的范圍要求x的相應(yīng)范圍，直接從x的不等式正面出發(fā)直接求解較難，若逆向思維把 p看作自變量，x看成參變量，則上述問題即可轉(zhuǎn)化為在-2，2內(nèi)關(guān)于p的一次函數(shù)函數(shù)值大于0恒成立求參變量x的范圍的問題。解：原不等式可化為 (x-1)p+x2-2x+10,令 f(p)= (x-1)p+x2-2x+1,則原問題等價(jià)于f(p)0在p-2,2上恒成立，故有：oy2-2xy-22 x方法一：或x3.方法二：即解得：x3.例5 已知，若恒成立，求a的取值范圍.解析 本題可以考慮f(x)的零點(diǎn)分布情況進(jìn)行分

10、類討論，分無零點(diǎn)、零點(diǎn)在區(qū)間的左側(cè)、零點(diǎn)在區(qū)間的右側(cè)三種情況，即0或或，即a的取值范圍為-7，2.點(diǎn)評 對于含參數(shù)的函數(shù)在閉區(qū)間上函數(shù)值恒大于等于零的問題,可以考慮函數(shù)的零點(diǎn)分布情況,要求對應(yīng)閉區(qū)間上函數(shù)圖象在x軸的上方或在x軸上就行了.設(shè)（1）當(dāng)時(shí)，上恒成立，上恒成立（2）當(dāng)時(shí)，上恒成立上恒成立例6 若時(shí)，不等式恒成立，求的取值范圍。解：設(shè)，則問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)，的最小值非負(fù)。（1） 當(dāng)即：時(shí)， 又所以不存在；（2） 當(dāng)即：時(shí)， 又 （3） 當(dāng) 即：時(shí)， 又綜上所得：四、分離參數(shù)法此類問題可把要求的參變量分離出來，單獨(dú)放在不等式的一側(cè)，將另一側(cè)看成新函數(shù)，于是將問題轉(zhuǎn)化成新函數(shù)的最值問題：若對于

11、取值范圍內(nèi)的任一個(gè)數(shù)都有恒成立，則；若對于取值范圍內(nèi)的任一個(gè)數(shù)都有恒成立，則.例1已知函數(shù)，若對任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。在時(shí)恒成立，只要在時(shí)恒成立。而易求得二次函數(shù)在上的最大值為，所以。例2已知函數(shù)時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解： 將問題轉(zhuǎn)化為對恒成立，令，則由可知在上為減函數(shù)，故即的取值范圍為。注：分離參數(shù)后，方向明確，思路清晰能使問題順利得到解決。例3 已知函數(shù)，若在區(qū)間上，的圖象位于函數(shù)f(x)的上方，求k的取值范圍.解析 本題等價(jià)于一個(gè)不等式恒成立問題,即對于恒成立,式子中有兩個(gè)變量,可以通過變量分離化歸為求函數(shù)的最值問題. 對于恒成立對于恒成立,令,設(shè),則,即x=1時(shí), k的

12、取值范圍是k2.變式 若本題中將改為，其余條件不變，則也可以用變量分離法解.由題意得，對于恒成立對于恒成立,令,設(shè),則，, k的取值范圍是k. 點(diǎn)評 本題通過變量分離，將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，本題構(gòu)造的函數(shù)求最值對學(xué)生來說有些難度，但通過換元后巧妙地轉(zhuǎn)化為“對勾函數(shù)”，從而求得最值. 變式題中構(gòu)造的函數(shù)通過換元后轉(zhuǎn)化為“二次函數(shù)型”，從而求得最值.本題也可以用零點(diǎn)分布策略和函數(shù)最值策略求解.五、數(shù)形結(jié)合法如果不等式中涉及的函數(shù)、代數(shù)式對應(yīng)的圖象、圖形較易畫出時(shí)，可通過圖象、圖形的位置關(guān)系建立不等式求得參數(shù)范圍.例1已知函數(shù)若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .解：在同一個(gè)平面

13、直角坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)及的圖象，由于不等式恒成立，所以函數(shù)的圖象應(yīng)總在函數(shù)的圖象下方，因此，當(dāng)時(shí)，所以故的取值范圍是xyo12y1=(x-1)2y2=logax例2 當(dāng)x(1,2)時(shí)，不等式(x-1)2logax恒成立，求a的取值范圍。分析：若將不等號兩邊分別設(shè)成兩個(gè)函數(shù)，則左邊為二次函數(shù)，右邊為對數(shù)函數(shù)，故可以采用數(shù)形結(jié)合借助圖象位置關(guān)系通過特指求解a的取值范圍。解：設(shè)t1:=,t2:,則t1的圖象為右圖所示的拋物線，要使對一切x(1,2), 1,并且必須也只需故loga21,a1,1a2.例3 若不等式在內(nèi)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：由題意知：在內(nèi)恒成立，在同一坐標(biāo)系內(nèi)，分別作出函數(shù)和觀察兩函數(shù)圖象，當(dāng)時(shí)，若函數(shù)的圖象顯然在函數(shù)圖象的下方，所以不成立；當(dāng)時(shí)，由圖可知，的圖象必須過點(diǎn)或在這個(gè)點(diǎn)的上方，則， 綜上得：注：解決不等式問題經(jīng)常要結(jié)合函數(shù)的圖象，根據(jù)不等式中量的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)膬蓚€(gè)函數(shù)，利用函數(shù)圖像的上、下位置關(guān)系來確定參數(shù)的范圍.利用數(shù)形結(jié)合解決不等