中考高分的十八個關(guān)節(jié)+關(guān)節(jié)18+研究性問題的思考要點(diǎn)WORD

1、 關(guān)節(jié)十八 研究性問題的思考要點(diǎn) 研究性問題最根本的特點(diǎn)在于它具有“獲取新知識”的意義或意味，也即它不單純是已學(xué)的課本知識的應(yīng)用，而是包含有理解和掌握一個“新概念”或“新規(guī)定”、發(fā)現(xiàn)和總結(jié)一個“新規(guī)律”或“新結(jié)論”的成份及過程，它可以突出地考查我們的“學(xué)習(xí)能力”和“發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)新”能力。從所依循的思考方向和思維方法來看，研究性問題可大體分為三類：、通過引入的“新概念”或“新規(guī)定”及其應(yīng)用，重在體現(xiàn)和考查“抽象概括”的能力”；、通過設(shè)置由“特殊到一般”或“由一般到另一特殊”的活動情意，并從中歸納或類比總結(jié)出“新規(guī)律”，重在體現(xiàn)和考查“合情推理”的能力。、通過對已知的普遍認(rèn)識的基礎(chǔ)上添加特殊條件或限制

2、，以獲得更特殊更深入的新認(rèn)識，重在體現(xiàn)和考查由特殊化使認(rèn)識走向更深入。一、設(shè)置“新概念”或“新規(guī)定”情景的研究性問題這類問題的思考要點(diǎn)在于把握準(zhǔn)“新概念”和“新規(guī)定”的實(shí)質(zhì)，或說根本特征，從而將其應(yīng)用在所屬的具體情景之中。例1 如圖（1），菱形、矩形與正方形的形狀有差異，我們將菱形、矩形與正方形的接近程度稱為“接近度”。在研究“接近度”時，應(yīng)保證相似圖形的“接近度”相等。（1）設(shè)菱形相鄰兩個內(nèi)角的度數(shù)分別為和，將菱形的“接近度”定義為，于是越小，菱形越接近于正方形。若菱形的一個內(nèi)角為70，則該菱形的“接近度”等于 ； 當(dāng)菱形的“接近度”等于 時，菱形是正方形。（2）設(shè)矩形相鄰兩條邊長分別是和（

3、），將矩形的“接近度”定義為，于是越小，矩形越接近于正方形。你認(rèn)為這種說法是否合理？若不合理，給出矩形的“接近度”一個合理定義?！居^察與思考】對于（1），關(guān)鍵是準(zhǔn)確地把握：菱形的“接近度”為，其中和是該菱形“相鄰兩內(nèi)角的度數(shù)”。對于（2），首先要弄清：應(yīng)保證相似圖形的“接近度”相等，此乃是“接近度”的本質(zhì)特征，接下來的問題就好解決了。解：（1） 40。 。（2）不合理，例如，對兩個相似而不全等的矩形來說，它們接近正方形的程度是相同的，但卻不相等，合理定義方法不唯一，如定義為。越小，矩形越接近于正方形；越大，矩形與正方形的形狀差異越大；當(dāng)時，矩形就變成了正方形?！菊f明】在本題，關(guān)鍵是要能把握“接

4、近度”這一個新概念的本質(zhì)特征。例2 在平面內(nèi)，先將一個多邊形以點(diǎn)為位似中心放大或縮小，使所得多邊形與原多邊形對應(yīng)線段的比為，并且原多邊形上的任一點(diǎn)，它的對應(yīng)點(diǎn)在線段或其延長線上；接著將所得多邊形式以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度過，這種經(jīng)過位似和旋轉(zhuǎn)的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn)相似變換，記為（，），其中點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)相似中心，叫做相似比，叫做旋轉(zhuǎn)角。（1）填空： 如圖（1），將以點(diǎn)a為旋轉(zhuǎn)相似中心，放大為原來的2倍，再逆時針旋轉(zhuǎn)60，得到， 這個旋轉(zhuǎn)相似變換記為a（ ， ）；acdebbcgfdeahiabcde如圖（2），是邊長為1的等邊三角形，將它作旋轉(zhuǎn)相似變換a（），得到，則線段長為 ；（1）（2）

5、（3）（2）如圖（3），分別以銳角三角形的三邊ab，bc，ca為邊向外作正方形，點(diǎn)分別是這三個正方形的對角線交點(diǎn)，試分別利用，之間的關(guān)系，運(yùn)用旋轉(zhuǎn)相似變換的知識說明線段之間的關(guān)系?！居^察與思考】關(guān)鍵就是要把（，）的特征即位似與旋轉(zhuǎn)的規(guī)定搞清搞準(zhǔn)。以下問題都是這些特征的具體化和運(yùn)用。解：（1） 2，60； 2；（2）經(jīng)過旋轉(zhuǎn)相似變換），得到，此時，線段變?yōu)榫€段。經(jīng)過旋轉(zhuǎn)相似變換），得到，此時，線段變?yōu)榫€段。，。【說明】從本題可以看出，所謂掌握一個“新概念”或“新規(guī)定”，是指能將它應(yīng)用在具體的問題中和復(fù)合的問題中，這也正是抽象概括能力的基本表現(xiàn)形式。二、設(shè)置“發(fā)現(xiàn)新規(guī)律”的研究性問題這類問題的思考

6、要點(diǎn)在于把握準(zhǔn)“由特殊到一般”或“由特殊到特殊”的共同點(diǎn)或共同屬性，借歸納或類比概括出帶有一定“普遍性”的規(guī)律。例1 提出問題：如圖（1），在四邊形中，p是ad邊上任意一點(diǎn)，與和的面積之間有什么關(guān)系？探究發(fā)現(xiàn)：為了解決這個問題，我們可以先從一些簡單的、特殊的情形入手。abcdpabcdp（1）當(dāng)時（如圖（2）的高相等。（1）。的高相等。（2） 。（2）當(dāng)時，探求與和之間的關(guān)系，寫出求解過程；（3）當(dāng)時，探求與和之間的關(guān)系為： ；（4）一般地，當(dāng)（表示正整數(shù)）時，探求與和之間的關(guān)系，寫出求解過程；問題解決：當(dāng)時，與和之間的關(guān)系式為： 。【觀察與思考】對于（2），關(guān)鍵是將（1）的推理過程類比到時的

7、情景，看其是否成立；對于（3）是將（1）、（2）的結(jié)論再類比到；對于（4）則是將推理過程和結(jié)論進(jìn)行更為一般化的推廣和歸納。解：（2），的高相等，。又的高相等，。 。（3）。（4）。，的高相等。又的高相等。 。問題解決：?！菊f明】在本題，準(zhǔn)確地使用“類比”和“歸納”是各小問題獲解的關(guān)鍵。例2 實(shí)驗(yàn)與探究：（1）在圖（1），（2），（3）中，給出平行四邊形的頂點(diǎn)的坐標(biāo)（如圖所示），寫出圖（1），（2），（3）中的頂點(diǎn)的坐標(biāo)，它們分別是（5，2）， ， ；（）d（）b（）c（）d（4，0）b（1，2）c（1）（2）d（）b（）cd（）b（）c（4）（3）（2）在圖（4）中，給出平行四邊形的頂點(diǎn)的坐標(biāo)

8、（如圖所示），求出頂點(diǎn)c的坐標(biāo)；（c點(diǎn)的坐標(biāo)用含的代數(shù)式表示）；歸納與發(fā)現(xiàn)：（3）通過對圖（1），（2），（3），（4）的觀察和頂點(diǎn)c的坐標(biāo)的探究，你會發(fā)現(xiàn)；無論平行四邊形處于直角坐標(biāo)系中哪個位置，當(dāng)其頂點(diǎn)坐標(biāo)為，如圖（4）時，則四個頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)之間的等量關(guān)系為 ；縱坐標(biāo)之間的等量關(guān)系為 （不必證明）。運(yùn)用與推廣：（4）在同一直角坐標(biāo)系中有拋物線和三個點(diǎn)g，（其中。問當(dāng)為何值時，該拋物線上存在點(diǎn)，使得為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？并求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)。【觀察與思考】問題（1），（2），（3）逐步“由特殊到一般”，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)c的坐標(biāo)和另外三點(diǎn)的坐標(biāo)間的關(guān)系，思考的核心是體察并歸納出各種情況下的

9、坐標(biāo)關(guān)系的共性，從而上升成“一般規(guī)律”；問題（4）則是這個“一般規(guī)律”的綜合性應(yīng)用。解：（1），。（2）分別過點(diǎn)作軸的垂線，垂足分別為。分別過作于e，于點(diǎn)f。如圖（4），在平行四邊形中，又，。，又。d（）b（）cef。設(shè)。由得。由，得。（4）。（3）?；颉＃?）若為平行四邊形的對角線，由（3）可得。要使在拋物線上，則有，即（舍去），。此時（。若為平行四邊形的對角線，由（3）可得，同理可得，此時。若為平行四邊形的對角線，由（3）可得，同理可得，此時。綜上所述，當(dāng)時，拋物線上存在點(diǎn)p，使得以為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形。符合條件的點(diǎn)有（；?！菊f明】在本題中，由（1）的具體啟發(fā)完成（2）中的求解是關(guān)鍵

10、；在問題（4）中，全面而恰當(dāng)?shù)姆诸愂菇獯鸷喗荻行?。? 如圖（1），點(diǎn)c將線段ab分成兩部分，如果，那么稱點(diǎn)c為線段ab的黃金分割點(diǎn)。 某研究小組在進(jìn)行課題學(xué)習(xí)時，由黃金分割點(diǎn)聯(lián)想到“黃金分割線”，類似地給出“黃金分割線”的定義：直線將一個面積為的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為，如果，那么稱直線為該圖形的黃金分割線。（1）研究小組猜想：在中，若點(diǎn)d為ab邊上黃金分割點(diǎn)（如圖（2），則直線cd是的黃金分割線，你認(rèn)為對嗎？為什么？（2）請你說明：三角形的中線是否也是該三角形的黃金分割線？（3）研究小組在進(jìn)一步探究中發(fā)現(xiàn)：過點(diǎn)c任作一條直線交ab于點(diǎn)e，再過點(diǎn)d（d為ab的黃金分割點(diǎn)），作直

11、線，交ac于點(diǎn)f，連結(jié)（如圖（3），則直線也是黃金分割線，請你說明理由。acbdfeacbdefacbdac（1）（3）（2）（4）（4）如圖（4），點(diǎn)e是平行四邊形的邊ab的黃金分割點(diǎn)，過點(diǎn)e作，交于點(diǎn)f，顯然直線是平行四邊形的黃金分割線，請你畫一條平行四邊形的黃金分割線，使它不經(jīng)過平行四邊形各邊的黃金分割點(diǎn)?！居^察與思考】對于（1）和（2）要通過“黃金分割線”的定義來檢驗(yàn)，要點(diǎn)是由“黃金分割點(diǎn)”類比到“黃金分割線”后對其意義的確切把握。對于（3）和（4），實(shí)際是做“等積變換”，這在“幾何圖形的等積分割”部分已有介紹。解：（1）直線是的黃金分割線。理由如下：設(shè)的邊ab上的高為。又點(diǎn)d為邊ab

12、的黃金分割點(diǎn)。直線是的黃金分割線。（2）三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分，此時，三角形的中線不可能是該三角形的黃金分割線。（3） 的公共邊ce上的高也相等，。又，。因此，直線也是的黃金分割線。（4）畫法不惟一，現(xiàn)提供兩種畫法；畫法一：如答圖（1），取的中點(diǎn)g，再過點(diǎn)g作一條直線分別交于點(diǎn)，則直線就是平行四邊形的黃金分割線。acbdfemnacbdfemgn畫法二：如答圖（2），在上取一點(diǎn)，連結(jié)，再過點(diǎn)f作交ab于點(diǎn)m，連結(jié)，則直線就是平行四邊形的黃金分割線。（1）（2）【說明】本題體現(xiàn)的就是通過類比將“黃金分割”由線段擴(kuò)充到三角形和平行四邊形。 歸納和類比是知識擴(kuò)充與增長的極為重要的思

13、維途徑，也是研究性問題展開的有效方式。因此，我們要深刻體會歸納與類比的思考要點(diǎn)，并能熟練而靈活地運(yùn)用。三、設(shè)置“特殊化”情景的研究性問題 這類問題的思考要點(diǎn)在于充分利用附加的特殊條件或?qū)Y(jié)論的特殊要求，把握特殊條件的特殊結(jié)論和相應(yīng)的關(guān)系。 例1 拋物線，其頂點(diǎn)（可以位于坐標(biāo)系內(nèi)任意一點(diǎn)，請研究以下問題：（1）若其頂點(diǎn)為（1，1），則 ， ，若其頂點(diǎn)為（，則 ， ，（2）具有怎樣的關(guān)系時，頂點(diǎn)在直線上？（3）拋物線上任意一點(diǎn)，都可以是拋物線的頂點(diǎn)嗎？若可以，請指明應(yīng)滿足的關(guān)系，若不可以，請說明理由。【觀察與思考】根據(jù)各小題中對頂點(diǎn)的特殊要求，去尋求應(yīng)滿足的條件。解：（1）（通過解方程可得）2；4

14、，9。（2）若（在直線上，則。為任意實(shí)數(shù)），即滿足關(guān)系時，拋物線的頂點(diǎn)總在直線上。（3）可以。令，得為任意實(shí)數(shù)）。當(dāng)和滿足關(guān)系時，拋物線的頂點(diǎn)都在拋物線上?！菊f明】由本題可以看出，特殊化方向的研究，可以使我們對原事物有更多方向和更深層次的認(rèn)識。acbd例2 我們知道，兩邊及其中一邊的對角分別對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等。那么在什么情況下，它們會全等？（1）閱讀與證明：當(dāng)這兩個三角形均為直角三角形，顯然它們?nèi)取?當(dāng)這兩個三角形均為鈍角三角形，可證它們?nèi)龋ㄗC明略）。 對于這兩個三角形均為銳角三角形，它們也全等，可證明如下：已知：，均為銳角三角形，。求證：。（請你將下列證明過程補(bǔ)允完整）。證明

15、：分別過點(diǎn)作于d，于，則，。（2）歸納與敘述：由（1）可得到一個正確的結(jié)論，請你寫出這個結(jié)論。解：（1）又，又，。（2）若，均為銳角三角形或均為直角三角形或均為鈍角三角形，且，則?！菊f明】本題告訴我們，一個不真的命題加上若干限定條件之后，它就可能成為一個真命題，因此，“特殊化”方向的研究，可幫助我們獲得更深入的知識。 練習(xí)題1、設(shè)關(guān)于的一次函數(shù)與，則稱函數(shù)。（其中為此兩個函數(shù)的生成函數(shù)。（1）當(dāng)時，求函數(shù)與的生成函數(shù)的值；（2）若函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)為，判斷點(diǎn)是否在此兩個函數(shù)的生成函數(shù)的圖象上，并說明理由。2、如圖（1），在的方格中，給出下列三種變換：變換，變換，變換。將圖形沿軸向右平移1格的圖

16、形，稱為作1次變換；將圖形沿軸翻折得圖形，稱為作1次變換；將圖形繞坐標(biāo)原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)90得圖形，稱為作1次變換。規(guī)定：變換表示先作1次變換，再作一次變換；變換表示先作一次變換，再依一次變換；變換表示作次變換。解答下列問題：（1）作變換相當(dāng)于至少作 次變換；（2）請?jiān)趫D（2）中畫出圖形作變換后得到的圖形；（3）變換與變換是否是相同的變換？請?jiān)趫D（3）中畫出變換后得到的圖形，在圖（4）中畫出變換后得到的圖形。變換p變換qf（1）（2）（3）（4）3、閱讀材料并解答問題：與正三角形各邊都相切的圓叫做正三角形的內(nèi)切圓，與正四邊形各邊都相切的圓叫做正四邊形的內(nèi)切圓，與正邊形各邊都相切的圓叫做正邊形的內(nèi)切

17、圓，設(shè)正邊形的面積為，其內(nèi)切圓的半徑為，試探索正邊形的面積。acbacbacbacb如圖（1），當(dāng)時，設(shè)切于點(diǎn)c，連結(jié)，。在中，。（1）如圖（2），當(dāng)時，仿照（1）中的方法和過程可求得： ；（2）如圖（3），當(dāng)時，仿照（1）中的方法和過程；（3）如圖（4），根據(jù)以上探索過程，請直接寫出= 。4、課外興趣小組活動時，許老師出示了如下問題：如圖（1），已知四邊形中，ac平分，互補(bǔ)，求證：。小敏反復(fù)探索，不得其解。她想，若將四邊形特殊化，看如何解決該問題。（1）特殊情況入手添加條件：“”。如圖（2），可證。（請你完成此證明）abcdfeabcdabcd（2）解決原來問題受到（1）的啟發(fā)，在原問題中，添加輔助線：如圖（3），過點(diǎn)c分別作的垂線，垂足分別為。（請你補(bǔ)全證明）5、學(xué)習(xí)投影后，小明、小穎利用燈光下自己的影子長度來測量一路燈的高度，并探究影子長度的變化規(guī)律。如圖，在同一時間，身高為的小明（ab）的影子bc長是，而小穎（eh）剛好在路燈燈泡的正下方h點(diǎn)，并測得。（1）請?jiān)趫D中畫出形成影子的光線，并確定路燈燈泡所在的位置g；（2