概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第五章

1、第五章第五章 大數(shù)定律與中心極限定理大數(shù)定律與中心極限定理 1 1 切貝謝夫不等式切貝謝夫不等式 研究隨機(jī)變量的離差與方差的關(guān)系。 ED設(shè)隨機(jī)變量 有期望值與方差。 對任給 0,有 2 D P(|E|) 2 D P(|E |)1 切貝謝夫不等式： 若 是離散證：型隨機(jī)變量, kk P(x )p k k |xE | P(|E |)P(x ) k 2 k k 2 |xE | (xE ) p 2 k k 2 k (xE ) p 2 D 若 是連續(xù)型隨機(jī)變量,(x),的概率密度為 P(|E |)P(E)P(E) E E (x)dx(x)dx 22 E 22 E (xE )(xE ) (x)dx(x)d

2、x 2 2 (xE ) (x)dx 2 D 1 設(shè) 是擲一顆骰子所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，若給定 1，2，實(shí)際計(jì)算P(| -E |),并驗(yàn)證切貝 謝夫不 例 等式成立。 1 P(k),k1,2,.,6 6 解： 7 E 2 35 D 12 72 P1 23 71 P2 23 2 35 1 12 D 時， 2 35 2 48 D 時， 2 3 1 3 021000設(shè)電站供電網(wǎng)有盞電燈，夜晚每一盞燈開燈 的概率都是0.7，而假定開、關(guān)事件彼此獨(dú)立，估計(jì)夜 晚同時開著的燈數(shù)在6800與7200之間 例 的概率。 令 表示夜晚同時開著的燈解：的數(shù)目。 B(10000,0.7) 7199 kk10000 k 100

3、00 k 6801 P(68007200)C0.7 0.3 用切貝謝夫不等式估計(jì)： Enp 7000 Dnpq 2100 P(68007200)P(|7000| 200) 2 2100 1 200 0.95 1n n iii i 1 ,.,n 1 E,D8,(i1,2,., 3 ,n) n 若是 個相互獨(dú)立，同分布的隨機(jī)變量， 。對于 寫出 所 滿足的切貝謝夫不等式，并估計(jì)P(| - | 例 0,n充分大時，必有n+1 且 n n n limP(|0|) n 1 limP n n 1 lim 1 n =1 n即依概率收斂于0 n 3設(shè)為例兩點(diǎn)分布 n 1a a a. n n 定義若存在常數(shù) ，

4、使對于任何 0，有 limP(|0 n limPp1 n 大量重復(fù)試驗(yàn)中，事件發(fā)生的頻率接近于概率。 若P(A)很小，則A發(fā)生的頻率也很小 如P(A)=0.001,約在1000次試驗(yàn)中，A發(fā)生一次 在一次試驗(yàn)中認(rèn)為A幾乎不可能發(fā)生。 這稱為小概率事件的實(shí)際不可能性原理。 12 i n i n i 1 3 (),. a(i1,2,.) 1 limPa1 n 定理辛欽大數(shù)定律 如果是相互獨(dú)立 有相同分布的隨機(jī)變量,有E則 對任意給定的 0，有 12n ,., 即的算術(shù)平均值依概率收斂于a 實(shí)際應(yīng)用中，對某一量a，在不變條件下重復(fù)測量 n次，得到觀察值x1,xn n i i 1 nxa 1 當(dāng) 充分

5、大時，可用作為 的近似值。 n 3 3 中心極限定理中心極限定理 釘板試驗(yàn) 研究在什么條件下，大量獨(dú)立隨機(jī)變量和的分布以正態(tài) 分布為極限，這一類定理稱為中心極限定理。 一般地，若某項(xiàng)偶然因素對總和的影響是均勻的、微小的， 即沒有一項(xiàng)起特別突出的作用，則這些大量獨(dú)立偶然因素總和 的隨機(jī)變量近似服從正態(tài)分布。 2 12iiii ,.Ea ,D 設(shè)相互獨(dú)立， i n n i i=1 若每個對總和 影響不太大，則當(dāng) 很大時， 近似服從正態(tài)分布。 nn 2 ii i 1i 1 Na , 所以 n i i 1 n 2 i i 1 a N(0,1) 則 這就是如下的李雅普諾夫定理： 2 12iiii ini

6、 i 1 n ii0 n i 1 n 1.Ea ,D , limP(a )x(x). nn 2 i i=1 定理設(shè) ， ，相互獨(dú)立， 若某個 對總和影響不大，令S 則 1 S nnnn 2 iiii i 1i 1i 1i 1 EEa ,DD 由于 例1 一個螺絲釘重量是一個隨機(jī)變量，期望值是1兩， 標(biāo)準(zhǔn)差是0.1兩。求一盒(100個)同型號螺絲釘?shù)闹亓?超過10.2斤的概率。 100 ii i i 1 設(shè)第 個螺絲釘重量為 ，一盒重量為 解： 2 1100ii 0.1,D0.1 ,.,相互獨(dú)立，E 100 i i 1 EE100() 兩 100 i i 1 DD1 N(100,1)近似服從正態(tài)

7、分布 P(102) 100 P2 1 100 1 P2 1 0 1(2) =0.02275 例2 對敵人的防御地段進(jìn)行100次轟炸，每次轟炸命 中目標(biāo)的炸彈數(shù)目是一個隨機(jī)變量，其期望值為2， 方差為1.69。求在100次轟炸中有180顆到220顆炸彈 命中目標(biāo)的概率。 i i第 次轟炸命中目標(biāo)的次數(shù)為解： 100 i i1 100 次轟炸命中目標(biāo)的次數(shù) 100 i i1 EE200 100 i i1 DD169 D13 2 N(200,13 ) P(180220) |200|20 P 1313 0 2(1.54) 10.87644 148 48 i i1 .01 1 , 48 3 設(shè) ，相互獨(dú)

8、立，都是，上均勻分布。 記 求P( 例 0.4) ii 11 ,D 212 法一：E解 48 i i1 E24,D4 記 , 2 N(24,2 ) 1 48 因?yàn)?P(0.4) 1 P0.4 48 P(19.2) 2419.224 P 22 0( 2.4) 0 1(2.4) =0.008158 解法二： 正態(tài)分布的線性函數(shù)也是正態(tài)分布 48 i i 1 EE 48 1 1 2 0.5 48 i 2 i 1 DD 48 1 1 576 2 1 24 2 1 N 0.5, 24 0.50.40.5 P(0.4)P 11 2424 0( 2.4) =0.008158 例4 某大型商場每天接待顧客10

9、000人，設(shè)某位顧客的消費(fèi) 額(元)服從100,1000上的均勻分布，且顧客的消費(fèi)額是獨(dú) 立的，試求該商場的銷售額在平均銷售額上、下浮動不超 過20000元的概率。 i i第 位顧客消費(fèi)額位 ，商場銷售額：為解，則 10000 i i1 i E550 2 i 1 D(1000 100) 12 2 900 12 2 900 E5500000,D10000 12 P(550000020000550000020000) 550000020000 P 100 900100 900 1212 0 2(0.77) 1 0.56 例5 計(jì)算機(jī)在進(jìn)行加法時，每個加數(shù)取整數(shù)(四舍五入)， 設(shè)所有取整誤差是相互獨(dú)

10、立的，且它們都在-0.5，0.5 上服從均勻分布。(1)若將1500個數(shù)相加，問誤差總和 的絕對值超過15的概率是多少？(2)最少幾個數(shù)相加在 一起可使得誤差總和的絕對值小于10的概率不超過90？ 121500 (1). 解： i E0 i 1 D 12 E0 D125 P(| 15) 1 P(| 15) |0|15 1 P 125125 0 1 (2(1.34) 1) =0.18024 (2)設(shè)有n個數(shù)相加 12n .,E0 n D 12 |0|10 P(| 10)P nn 1212 0 10 21 n 12 0.9 0 10 0.95 n 12 即 10 1.64 n 12 n446解得

11、二項(xiàng)分布可以看成多個0-1分布之和 當(dāng)n增加時，它以正態(tài)分布為極限。 00 ab(b)(a) bnpanp npqnpq (2)積分極限定理：當(dāng)n時 P() 0 2 () (1)n knp npq 定理拉普拉斯定理 局部極限定理：當(dāng)時 1 P( =k) npq 例6 10部機(jī)器獨(dú)立工作，每部停機(jī)的概率為0.2，求3 部機(jī)器同時停機(jī)的概率。 設(shè)同時停機(jī)的數(shù)目為 ，它服從解：二項(xiàng)分布 n10,p0.2np2npq1.265 (1)直接計(jì)算 337 10 P(3)C 0.2 0.80.2013 (2)用局部極限定理 00 1knp132 P(3) 1.2651.265npqnpq 0 1 (0.79

12、)0.2308 1.265 相差較大，這是因?yàn)閚較小。n30一般要求 例7 每顆炮彈命中飛機(jī)的概率為0.01，求500發(fā)炮彈 中命中5發(fā)的概率。 500發(fā)炮彈中命中飛機(jī)的數(shù)目 服解：從二項(xiàng)分布 n=500 p=0.01 np5npq2.225 (1)直接計(jì)算 55495 500 P(5)C0.01 0.09 0.17635 0 1knp P(5) npqnpq (2)用局部極限定理 0 155 2.2252.225 0 1 (0) 2.225 0.1793 (3)由于n很大，p很小，也可用Poisson分布計(jì)算 np5 查表得 P5(5)=0.175467 比用正態(tài)分布更精確 正態(tài)分布與Poi

13、sson分布都是二項(xiàng)分布的極限分布。 n 用正態(tài)分布要求： Poissonn,p0,np 用分布要求： np(q)對 很大，或很小的二項(xiàng)分布(np5) 用Poisson分布近似計(jì)算比用正態(tài)分布精確 實(shí)際應(yīng)用更多的是積分極限定理 廢品數(shù) 服解：從二項(xiàng)分布 n=10000p=0.005 np50, npq7.053 2 N(50,7.053 )近似服從正態(tài)分布 507050 P(70)P 7.0537.053 0(2.84) =0.9977 例8 產(chǎn)品為廢品的概率為p=0.005,求10000件產(chǎn)品中 廢品數(shù)不大于70的概率。 例9 已知一次試驗(yàn)中P(A)=0.75,分別用切貝謝夫不等 式與中心極

14、限定理計(jì)算。 (1)在1000次試驗(yàn)中，A發(fā)生的次數(shù)在700-800之間的 概率。 (2)n取多大時，才能使n次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)中A出現(xiàn)的頻 率在0.740.76間的概率至少為0.9？ (1)A發(fā)生的次數(shù) 服從解：二項(xiàng)分布 n=1000p=0.75 Enp750 Dnpq187.5 用切貝謝夫不等式計(jì)算 P(700800)P(|750| 50) 2 187.5 1 50 =0.925 用正態(tài)分布計(jì)算 P(700800)P(|750| 50) 75050 P 187.5187.5 0 2(3.65) 10.9997378 n(2) 次試驗(yàn)中A發(fā)生的次數(shù) 服從二項(xiàng)分布 Enp0.75n Dnpq0.1875n 0.740.760.9 要使P n 用切貝謝夫不等式 P 0.740.76P(0.74n0.76n) n P(|0.75n | 0.01n) 2 0.1875n 1 (0.01n) 1875 1 n 0.9 n18750故 用正態(tài)分布 P 0.740.76P(|0.75n | 0.01n) n 0.75n0.01n P 0.1875n0.1875n 0 0.01 2n1