單自由度振動習題分析

1、動位移、動內(nèi)力幅值計算屬于動力響應(yīng)計算動位移、動內(nèi)力幅值計算屬于動力響應(yīng)計算 一、動荷載作用于質(zhì)點運動方向時的計算一、動荷載作用于質(zhì)點運動方向時的計算 tAtysin)( st yA 22 /1 1 st st My , 例例1 1 求圖示體系振幅和動彎矩幅值圖，已知求圖示體系振幅和動彎矩幅值圖，已知5 . 0 tFPsin 1 EI EI EI PF FPl/4 解解: : 3 11 24 l EI k EI lF k F y PP st 24 3 11 3 4 /1 1 22 EI lF yA P st 3 18 1 FPl/3 動彎矩幅值圖動彎矩幅值圖 例例2 2 求圖示梁中最大彎矩和跨

2、中點最大位移求圖示梁中最大彎矩和跨中點最大位移 已知已知: : ./500,10,35 ,210,108.8,4 45 分轉(zhuǎn) nkNFkNQ GPaEmIml P tFPsin Q /2/2 1 11 解解: : m/N10722.0 48 7 3 11 EI l 重力引起的彎矩重力引起的彎矩: : kN35 4 1 QlM Q 重力引起的位移重力引起的位移: : m1053. 2 3 11 Q Q /4 S/13 .62/1 11 Q gm m10722.0 3 11 P st Fy 4 .3 /1 1 22 m1045.2 3 st yA kN.m10 4 1 lFMP st S/13 .

3、5260/2n 動位移幅值動位移幅值 動彎矩幅值動彎矩幅值 kN.m34 stD MM 跨中最大彎矩跨中最大彎矩 kN.m69 max DQ MMM 跨中最大位移跨中最大位移 m1098.4 3 max AY Q 例例2 2 求圖示梁中最大彎矩和跨中點最大位移求圖示梁中最大彎矩和跨中點最大位移 已知已知: : ./500,10,35 ,210,108 .8,4 45 分轉(zhuǎn) nkNPkNQ GPaEmIml 解解: : kN35 Q M m1053. 2 3 Qm/N10722.0 7 11 二、動荷載不作用于質(zhì)點運動方向時的計算二、動荷載不作用于質(zhì)點運動方向時的計算 P p FF 11 12

4、tFPsin )(ty )(sin)( 1112 ymtFtyP )(ty m tFPsin 12 =1 11 =1 tFtytymP sin)( 1 )( 11 12 11 令令 tFtytym p sin)( 1 )( 11 t m F ty p sin)( 2 11 2 p p F m F A 11 11 12 PF PF 12 st y st y FP 仍是位移動力系數(shù)仍是位移動力系數(shù) 是內(nèi)力動力系數(shù)嗎是內(nèi)力動力系數(shù)嗎? ? 運動方程運動方程 穩(wěn)態(tài)解穩(wěn)態(tài)解 振幅振幅 列幅值方程求內(nèi)力幅值列幅值方程求內(nèi)力幅值 tAtysin)( EI lF l llF EI y P P st 3 48

5、5 6 5 222 11 解解: : 5 .0例例3:3:求圖示體系振幅、動彎矩幅值圖求圖示體系振幅、動彎矩幅值圖. .已知已知 tAtysin)( 2 tmAtFIsin)( 2 tFtFPPsin)( 同頻同步變化同頻同步變化 tF P sin EI l/2l/2 )(ty Am 2 A 3 4 /1 1 22 EI lF yA P st 3 36 5 st y =1 11 2/lFP l 5 .0例例3:3:求圖示體系振幅、動彎矩幅值圖。已知：求圖示體系振幅、動彎矩幅值圖。已知： tFPsin EI l/2l/2 Am 2 A st y 2/lFP =1 11 l 解解: : EI lF

6、 l llF EI y PP st 3 48 5 6 5 222 11 3 4 /1 1 22 EI lF yA P st 3 36 5 11 22 max 44 1 A mAmAF I PF 48 5 FP PF 48 5 lFP 96 5 lFP 48 29 11 22 max 44 1 A mAmAF I PF 48 5 FP PF 48 5 lFP 96 5 lFP 48 29 動彎矩幅值圖動彎矩幅值圖Md 解解: : 例例4:4:求圖示體系右端的質(zhì)點振幅求圖示體系右端的質(zhì)點振幅 0 o M km F A P 410 3 2 tFPsin l k EI ll 2 mA 2 3 1 mA

7、 A FP Ak 3 2 o 02 3 2 3 3 1 22 lAklmAlmAlFp 經(jīng)整理后，解得經(jīng)整理后，解得: : 2 2、在建筑物中產(chǎn)生阻尼、耗散能量的因素、在建筑物中產(chǎn)生阻尼、耗散能量的因素 1 1）結(jié)構(gòu)在變形過程中材料內(nèi)部有摩擦，稱）結(jié)構(gòu)在變形過程中材料內(nèi)部有摩擦，稱“內(nèi)摩擦內(nèi)摩擦”，耗散能量；，耗散能量； 2 2）建筑物基礎(chǔ)的振動引起土壤發(fā)生振動，此振動以波的形式向周圍擴散，）建筑物基礎(chǔ)的振動引起土壤發(fā)生振動，此振動以波的形式向周圍擴散， 振動波在土壤中傳播而耗散能量；振動波在土壤中傳播而耗散能量； 3 3）土體內(nèi)摩擦、支座上的摩擦、結(jié)點上的摩擦和空氣阻尼等等。）土體內(nèi)摩擦、支

8、座上的摩擦、結(jié)點上的摩擦和空氣阻尼等等。 振動的衰減和能量的耗散都通過非彈性力來考慮，由于對非彈性力的描述振動的衰減和能量的耗散都通過非彈性力來考慮，由于對非彈性力的描述 不同，目前主要有兩種阻尼理論：不同，目前主要有兩種阻尼理論： * *粘滯阻尼理論粘滯阻尼理論非彈性力與變形速度成正比：非彈性力與變形速度成正比： * *滯變阻尼理論滯變阻尼理論 yctFR)( 1 1、關(guān)于阻尼，有兩種定義或理解：、關(guān)于阻尼，有兩種定義或理解： 1 1）使振動衰減的作用；）使振動衰減的作用； 2 2）使能量耗散。）使能量耗散。 3 3、阻尼力的確定：總與質(zhì)點速度反向；大小與質(zhì)點速度有如下關(guān)系：、阻尼力的確定：

9、總與質(zhì)點速度反向；大小與質(zhì)點速度有如下關(guān)系： 1 1）與質(zhì)點速度成正比（比較常用，稱為粘滯阻尼）。）與質(zhì)點速度成正比（比較常用，稱為粘滯阻尼）。 2 2）與質(zhì)點速度平方成正比（如質(zhì)點在流體中運動受到的阻力）。）與質(zhì)點速度平方成正比（如質(zhì)點在流體中運動受到的阻力）。 3 3）與質(zhì)點速度無關(guān)（如摩擦力）。）與質(zhì)點速度無關(guān)（如摩擦力）。 其他阻尼力也可化為等效粘滯阻尼力來分析。其他阻尼力也可化為等效粘滯阻尼力來分析。 阻尼對振動的影響阻尼對振動的影響 mn n n n A A mA A ln 2 1 ln 2 1 1 例例1. 1. 對圖示剛架進行自由振動以測動力特性。加力對圖示剛架進行自由振動以測

10、動力特性。加力20kN20kN時頂部側(cè)移時頂部側(cè)移2cm2cm，振，振 動一周動一周T=T=1.4s1.4s后，回擺后，回擺1.6cm1.6cm，求大梁的重量，求大梁的重量W W及及6 6周后的振幅。周后的振幅。 k 2 k 2 W=mg 解：解：(1)(1)大梁的重量大梁的重量, kNgkW6 .486981 2 20 0496. 0 2 4 . 1 2 由 s kg W T4 . 12 2 (2)自振頻率自振頻率 )(714. 0 4 . 1 11 Hz T f s f 1 48. 42 (3)阻尼特性阻尼特性 ,0355. 0 6 . 1 2 ln 2 1 2 1 2 )999. 0(1

11、 r (4)6周后的振幅周后的振幅 T Tt t e e e y y )( 1 0 0 0 6 1 0 6 )6( 6 0 0 0 y y e e e y y T Tt t cmy y y y524. 02 2 6 . 1 6 0 6 0 1 6 kN4.16 0276.0 1 2 ln 42 1 )/(102 .8 02.0 104 .16 5 3 11 mNk ) s ( 5 . 04/2rT) s (4998. 01 2 rTT ) s / 1 (57.12 2 T )kg(5190/ 2 11 km )kN(86.50mgW )s/mN(36012mc )s/1 (89.136 800

12、5190 102 . 8 2 5 2 ) s/1 (70.11 ) s (537. 0/2T0257. 02/mc kN4 .16 0276.0 1 2 ln 42 1 )/(102 .8 02.0 104 .16 5 3 11 mNk )s/1 (89.136 8005190 102 .8 2 5 2 ) s (5 .04/2 r T ) s (4998.01 2 r TT )s/1 (57.12 2 T )kg(5190/ 2 11 km )kN(86.50 mgW )s/mN(36012mc )s/1 (70.11 )s (537.0/2T 0257.02/mc 1 EI EI EI 2 016.0 2 30 %5 .0 ln 2 1 max max A A n ni i A A n ln 2 1 s n T 3 110 k m T 2 2 3 24 l EI k 26 2 3 1079.3 ) 2 (24 mN T ml EI 例例4.4.圖示為塊式基礎(chǔ)圖示為塊式基礎(chǔ). .機器與基礎(chǔ)的質(zhì)量為機器與基礎(chǔ)的質(zhì)量為 ; ;地基豎向地基豎向 剛度為剛度為 ; ;豎向振動時的阻尼比為豎向振動時的阻尼比為 機器轉(zhuǎn)速為機器轉(zhuǎn)速為N=800r/min, ,其偏心質(zhì)量引起的離心力為其偏心質(zhì)量引起的離心力為F FP=30kN. .求豎向求豎向 振動時的振幅。振動時的振幅。 kg10156