第三章 晶格的振動

1、 1.1. 格波格波 晶格振動晶格振動 由于晶體內(nèi)原子之間存在相互作用力，各原子的振由于晶體內(nèi)原子之間存在相互作用力，各原子的振 動并不是孤立的而是相互聯(lián)系的，從而使晶體內(nèi)原子的振動并不是孤立的而是相互聯(lián)系的，從而使晶體內(nèi)原子的振 動表現(xiàn)為各種模式動表現(xiàn)為各種模式 的波，這種波稱為格波，振動的波，這種波稱為格波，振動 為晶格振動為晶格振動。 2.2. 聲子聲子 當溫度不太高時，格點振動十分微小，原子之間的當溫度不太高時，格點振動十分微小，原子之間的 非簡諧作用可以忽略不計，即采用簡諧近似，那么這種振非簡諧作用可以忽略不計，即采用簡諧近似，那么這種振 動模式是相互獨立的，由于晶格的周期性，模式采

2、取的能動模式是相互獨立的，由于晶格的周期性，模式采取的能 量不是連續(xù)的，而是分立的，這種獨立而又分立的振動就量不是連續(xù)的，而是分立的，這種獨立而又分立的振動就 表示不連續(xù)的能量，這就是一種量子的概念，也就是我們表示不連續(xù)的能量，這就是一種量子的概念，也就是我們 我們需要引入的一個重要概念我們需要引入的一個重要概念聲子。聲子。 , q 格波的獨立模式可以用獨立諧振子格波的獨立模式可以用獨立諧振子 的振動來表述，根據(jù)量子力學，諧振子的振動來表述，根據(jù)量子力學，諧振子 的能量是量子化的。的能量是量子化的。 聲子：用來表述晶格振動的簡諧振聲子：用來表述晶格振動的簡諧振 子的能量量子。子的能量量子。 一

3、、一維簡單晶格的振動（一維單原子鏈的振動）一、一維簡單晶格的振動（一維單原子鏈的振動） 1. 模型和主要結論模型和主要結論 設由同類原子等距離排列的一條無限長的設由同類原子等距離排列的一條無限長的 直線上形成單原子鏈，原子之間的距離為直線上形成單原子鏈，原子之間的距離為a， 質(zhì)量為質(zhì)量為m且只能沿直線方向振動形成縱波。且只能沿直線方向振動形成縱波。 可求出其振動頻率可求出其振動頻率 ， 其中其中q為圓波矢，為圓波矢， 為恢復力常數(shù)。為恢復力常數(shù)。 2 sin2 qa m q 1n2nn 1n 2n a 2n x 1n x n x 1n x 2n x 2. 2. 恢復力和位移的關系（類似于胡克定

4、恢復力和位移的關系（類似于胡克定 律）律） 設在平衡位置時兩個原子的相互作設在平衡位置時兩個原子的相互作 用勢能用勢能 ， 表示第表示第n n個原子離開個原子離開 平衡位置的位移，第平衡位置的位移，第n+1n+1個原子和第個原子和第n n個個 原子的相對位移原子的相對位移 ，則產(chǎn)生，則產(chǎn)生 相對位移后，相互作用勢成相對位移后，相互作用勢成 ， 將它在平衡位置附近展開：將它在平衡位置附近展開： 0 xU n x nn xx 1 0 xU 其中其中 為常數(shù)，為常數(shù)， （平衡位置勢能（平衡位置勢能 最?。┳钚。?當振動十分微小時，即當振動十分微小時，即 很小時，可以很小時，可以 忽略三階以上的項，稱

5、簡諧近似。忽略三階以上的項，稱簡諧近似。 恢復力恢復力 恢復力常數(shù)恢復力常數(shù) .)( 2 1 )()( .)( 2 1 )()()( 2 2 2 0 2 0 2 2 000 00 00 xx xx x U x U xU xx x U xx x U xUxU 0 xU 0)( 0 x x U 0 )( 2 2 x x UU F 0 2 2 x x U 3. 3. 振動方程及試探解振動方程及試探解 如果只考慮相鄰原子的相互作用，則第如果只考慮相鄰原子的相互作用，則第n n個個 原子受到的總的作用力為：原子受到的總的作用力為： 振動方程為振動方程為 它的試探解為它的試探解為 qnaqna為第為第n

6、n個原子振動的位相因子。個原子振動的位相因子。 )()( 11nnnn xxxx )2( 11nnn xxx )2( 11 2 2 nnn n xxx dt xd m )(tqnai n Aex 4. 4. 振動頻率振動頻率 由由 代入振動方程代入振動方程 )(2 2 2 )( . )( tqnai n tqnai n tqnai n Ae dt xd Aei dt dx Aex tiiqnaaniqaniqtqnai eeeeAAem )2( ) 1() 1()(2 )2( 2 iqaiqa eem )cos1 (2 2 qam 2 sin 4 22 qa m | 2 sin|2 qa m

7、5. 結果討論結果討論 1 1） 2 2）當）當q q很小時，即長波情形很小時，即長波情形 , ,線性關系，可以把介質(zhì)看成線性關系，可以把介質(zhì)看成 是連續(xù)介質(zhì)，把格波看成彈性波。是連續(xù)介質(zhì)，把格波看成彈性波。 aa q qa , 2 , 22 a a max 0 22 sin qaqa qa m qa m 2 1 2 1 2 2 3 3）當）當 4 4）色散關系的周期：一個倒格子矢量）色散關系的周期：一個倒格子矢量 證明：證明： ) 2 ()( a qxqx nn ma q 2, max a 2 qxeAeAe a qx n nitqnai tina a qi n 2 2 ) 2 ( q qa

8、 a q a a q 2 sin 2 2 sin) 2 ( maxmax ) 2 ()( a qq a 4 a 3 a 2 a a 2 a 3 a 0 q 可把可把q限制在第一布里淵區(qū)限制在第一布里淵區(qū) ),( aa 例如：在晶格常數(shù)為例如：在晶格常數(shù)為a a的一維簡單晶格中，波長的一維簡單晶格中，波長 的兩個格波所對應的原子振動有的兩個格波所對應的原子振動有 無不同？無不同？ 5/4,4 aa 答：因為相應于答：因為相應于 的格波波矢的格波波矢 ， 而相應于而相應于 的格波波矢的格波波矢 ， 所以所以 ，即兩個波矢差正好是一，即兩個波矢差正好是一 個倒格子基矢，根據(jù)我們所學的知識可知個倒格子

9、基矢，根據(jù)我們所學的知識可知 相差任意倒格矢的兩個波矢只能代表一種相差任意倒格矢的兩個波矢只能代表一種 晶格振動的狀態(tài)，所以這兩個格波完全等晶格振動的狀態(tài)，所以這兩個格波完全等 價。它們的原子振動完全相同。價。它們的原子振動完全相同。 看圖可以得到：對于原子所在的位置，兩種格波的振動看圖可以得到：對于原子所在的位置，兩種格波的振動 方位完全相同。方位完全相同。 4a 1 2 42 q aa 4 5 a 2 105 42 q aa 21 42 2 qq aa 二、二、 一維復式晶格的振動（一維雙原子鏈的振動）一維復式晶格的振動（一維雙原子鏈的振動） 1.1. 模型和主要結論模型和主要結論 在一條

10、無限長的直線上周期地排列著兩種不在一條無限長的直線上周期地排列著兩種不 同的原子，相鄰同種原子之間的距離為同的原子，相鄰同種原子之間的距離為2a2a，質(zhì)，質(zhì) 量為量為m m的原子處于的原子處于2n-12n-1，2n+12n+1，2n+32n+3各點，各點， 質(zhì)量為質(zhì)量為M M的原子處于的原子處于2n-22n-2，2n2n，2n+22n+2各點，各點， （MmMm），原子只能沿直線方向振動形成縱波，），原子只能沿直線方向振動形成縱波， 可以求出振動頻率為：可以求出振動頻率為： )2cos(2)( 2 1 222 qamMMmMm mM 2. 2. 振動方程及其試探解振動方程及其試探解 類似于一維

11、單原子鏈的討論類似于一維單原子鏈的討論 12222 212 nnn xxxnF 221232 222 nnn xxxnF )2( )2( 221232 2 22 2 12222 2 12 2 nnn n nnn n xxx dt xd M xxx dt xd m )12( 12 )22( 22 tanqi n tanqi n Aex Bex 2)( 2)( 2 2 AeeBAm BeeABM iqaiqa iqaiqa tanqitanqitanqitanqi AeBeBeAem 12222122 2 tanqi e 12 0)cos(2)2( 0)2()cos(2 2 2 BqaAm BMA

12、qa 0 2cos2 cos22 2 2 Mqa qam )2cos(2)( 2 1 222 qamMMmMm mM )( sin4 1 1)( 2 1 2 2 2 mM qamM Mm mM 或或 者者 分析：對于一維復式格子，可以存在兩種不分析：對于一維復式格子，可以存在兩種不 同的同的 格波，這兩種不同的格波各有自己的色散關系。格波，這兩種不同的格波各有自己的色散關系。 聲頻支：聲頻支： 光頻支：光頻支： )2cos(2)( 2 1 222 1 qamMMmMm mM )2cos(2)( 2 1 222 2 qamMMmMm mM a2 a2 2 1 ) 2 ( m 2 1 ) 2 (

13、M 聲頻支聲頻支 光頻支光頻支 0q 一維復式晶格的色散關系一維復式晶格的色散關系 0, 2 max2 q a q m2 , 2 min2 a q M2 , 2 max1 0, 0 min1 q 2 02)( 2 1 222 1 mMMmMm mM a q 2 M mMMm mM 2 )( 2 1 )( sin4 1 1)( 2 1 2 2 2 1 mM qamM Mm mM 1 )( sin4 2 2 mM qamM qa mM qa mM mM qamM Mm mM sin 2 sin 2 )( sin2 1 1)( 1 2 2 2 2 1 當 時， 22 2)( 2 1 222 2 Mm

14、 mM mMMmMm mM a q 2 m mMMm mM 2 )( 2 2 為約化質(zhì)量其中 Mm mM 2 1 1 2 cos2 )( m qa B A 0cos2)2( 2 1 qaBAm 0)( 1 B A 0 1 1 2 2 )( 1 B A 當q-0時， 原胞內(nèi)的不同原子以相同的振幅和位相做整體運動。 長聲學波代表原胞質(zhì)心的振動。長聲學波代表原胞質(zhì)心的振動。 titanqi n ti Ae ti Betanqi n AeAex Bex )12( 12 )22( 22 2 2）光頻支）光頻支 兩種原子的振幅比：兩種原子的振幅比： （相鄰兩種不同原子的振動方向相反）（相鄰兩種不同原子的振

15、動方向相反） 長波近似下，長波近似下， 0)2(cos2 2 BMqaA qa M B A cos2 2 )( 2 2 2 0)( 2 B A 0 2 2 1 2 2 )( 2 2 2 BMAm m MMM B A 說明對于長光學波，相鄰兩種不同原子的振動方 向相反，原胞中不同原子做相對運動，質(zhì)量大的 振幅小，質(zhì)量小的振幅大，原胞的質(zhì)心保持不變。 光學波代表原胞中兩個原子的相對運動。光學波代表原胞中兩個原子的相對運動。 三、玻恩三、玻恩卡門邊界條件卡門邊界條件 1.1. 玻恩玻恩卡門假設和主要結果卡門假設和主要結果 a.a. 由由N N個原子構成的原子鏈為無限長的原子個原子構成的原子鏈為無限長

16、的原子 鏈上的一段，這里鏈上的一段，這里N=mMN=mM m m每個原胞的原子數(shù)，每個原胞的原子數(shù)，M M原胞數(shù)。原胞數(shù)。 b. b. 把這把這N N個原子組成的一維原子鏈看成一個個原子組成的一維原子鏈看成一個 閉合環(huán)，它包含有限數(shù)目的原子，但實際閉合環(huán)，它包含有限數(shù)目的原子，但實際 上第上第N+1N+1個原子就是第個原子就是第1 1個原子。個原子。 只要只要N N足夠大，圓環(huán)半徑遠遠大于晶格常數(shù)就足夠大，圓環(huán)半徑遠遠大于晶格常數(shù)就 局部看仍認為原子排列在一條直線上從而局部看仍認為原子排列在一條直線上從而 得出結論。得出結論。 玻恩玻恩卡門邊界條件：卡門邊界條件： 晶格振動的波矢數(shù)等于晶體的原

17、胞數(shù)。晶格振動的波矢數(shù)等于晶體的原胞數(shù)。 晶格振動的頻率數(shù)等于晶體的自由度數(shù)晶格振動的頻率數(shù)等于晶體的自由度數(shù) （振動模式數(shù)）（振動模式數(shù)） 2. 2. 一維單原子鏈的波矢數(shù)一維單原子鏈的波矢數(shù) （q q取分立值）取分立值） 即即l l只能取只能取N N個不同的值，個不同的值，q q只能取只能取N N個不同的值。個不同的值。 因此因此q q的取值數(shù)的取值數(shù)= =晶體的原胞數(shù)。晶體的原胞數(shù)。 22 2 21 )1(11 N l N a q a Na l q lNqae AeAe Aex xx MN qNai tqaitaNqi tqnai n N .)2, 1, 0(l 2222 2 2 2 2

18、21 2 2 )12( )12( 12 112 M l M a q a Na l Ma l q lMqae AeAe Aex xx MN Maqi tqaitaMqi tanqi n M .)2, 1, 0(l 3. 3. 一維雙原子鏈的波矢數(shù)一維雙原子鏈的波矢數(shù) l l只能取只能取M M個不同的值，個不同的值，q q只能取只能取M M個個 不同的值，因此不同的值，因此q q的取值數(shù)等于晶的取值數(shù)等于晶 體的原胞數(shù)。體的原胞數(shù)。 4. 4. 晶格振動的頻率數(shù)晶格振動的頻率數(shù) 一維單原子鏈：一維單原子鏈： 一維雙原子鏈：一維雙原子鏈： 結論：一維單原子鏈振動的頻率數(shù)等于晶體中原結論：一維單原子鏈

19、振動的頻率數(shù)等于晶體中原 子的自由度數(shù)。子的自由度數(shù)。 一維雙原子鏈振動的頻率數(shù)（一維雙原子鏈振動的頻率數(shù)（2M2M）等于晶體中原）等于晶體中原 子的自由度數(shù)。子的自由度數(shù)。 對于二維、三維也成立。對于二維、三維也成立。 | 2 sin|2 qa m )2cos(2)( 2 1 222 qamMMmMm mM 四、晶格振動四、晶格振動 設晶體的基矢為設晶體的基矢為 ，沿基矢方向各有，沿基矢方向各有 個原胞，則晶體的原胞數(shù)個原胞，則晶體的原胞數(shù) 設每個原胞有設每個原胞有n n種不同的原子，不同原子偏離平種不同的原子，不同原子偏離平 衡位置的位移為衡位置的位移為 ，原胞中各，原胞中各 原子的位置用

20、原子的位置用 ，原胞中心位，原胞中心位 矢矢 ，寫出相應，寫出相應 的動力學方程并求出其格波解的動力學方程并求出其格波解 代入動力學方程求出代入動力學方程求出 有有3n3n個根，在個根，在 這這3n3n個根中，有個根中，有3 3個聲學波，有個聲學波，有3n-33n-3個光學波。個光學波。 321 NNNN 332211 alalalRl n l R l R l R , 2 , 1 n l x l x l x, 2 , 1 tq k l Ri ke A k l x 321 ,aaa njq j 3.2 , 1),( 321 ,NNN B BK K條件：條件： 為倒格子基矢。為倒格子基矢。 三維格

21、波波矢三維格波波矢 的基矢：的基矢： ，每個，每個 占據(jù)體積占據(jù)體積 單位體積的波矢數(shù)（波矢密度）：單位體積的波矢數(shù)（波矢密度）： 倒格子空間一個原胞可取波矢數(shù)：倒格子空間一個原胞可取波矢數(shù)： 每一個波矢每一個波矢q對應對應3支聲學波，支聲學波，3n-3支光學波，所以晶格振支光學波，所以晶格振 動模式數(shù)（頻率數(shù)）：動模式數(shù)（頻率數(shù)）： 仍滿足仍滿足B K條件。條件。 321 ,bbb 3 3 3 2 2 2 1 1 1 333 222 111 33 22 11 2 2 2 b N l b N l b N l q laNq laNq laNq RxaNRx RxaNRx RxaNRx ll ll

22、 ll nNnN3) 333( 3 3 2 2 1 1 , N b N b N b VNN b N b N b 33 3 3 2 2 1 1 221 3 )2( V N V bbb 3 321 2 q q 晶格振動是晶體中各原子集體的做振動，晶格振動是晶體中各原子集體的做振動， 結果表現(xiàn)為晶體中的格波，一般而言，格結果表現(xiàn)為晶體中的格波，一般而言，格 波并不是簡諧的，當振動微弱時（簡諧近波并不是簡諧的，當振動微弱時（簡諧近 似），格波之間的相互作用可以忽略，格似），格波之間的相互作用可以忽略，格 波是簡諧波，認為他們是獨立的振動模式，波是簡諧波，認為他們是獨立的振動模式， 這種獨立的振動模式可

23、以用獨立諧振子的這種獨立的振動模式可以用獨立諧振子的 振動表示。振動表示。 聲子：晶格振動中的簡諧振子的能量量子。聲子：晶格振動中的簡諧振子的能量量子。 一、一維簡單晶格一、一維簡單晶格 求證：含有求證：含有N N個原子的一維單原子鏈振動的總能量個原子的一維單原子鏈振動的總能量 可以表示為可以表示為N N個獨立諧振子的能量之和。個獨立諧振子的能量之和。 1.1. 考慮周期性邊界條件（考慮周期性邊界條件（B BK K條件）后，任一格條件）后，任一格 點在點在t t時刻的位移時刻的位移 ，對于不同的，對于不同的q q， 設設 構成一個新的空間，把構成一個新的空間，把 在新空間中在新空間中 表示出來

24、表示出來 ，它在各坐標軸上的分，它在各坐標軸上的分 量量 ，由于，由于q q有有N N個取值，所以上式有個取值，所以上式有N N項項 （原胞數(shù)）。（原胞數(shù)）。 )(tqnai n Aex n xiqna e q iqna qn etAtx tAq 2. 2. 求證求證 的正交歸一性。的正交歸一性。 1 1）首先證明）首先證明 當當 時，時， 當當 時，時， 令令 iqna e qq n naqqi nn q anniq Ne Ne qq n naqqi Ne qq Nee n naqqinaqqi 1 qq kqq 0 11 )1( ika aNikika ika ikaikNaika n i

25、kna e ee e eee e 條件KBxxN , 11 2 2）再證）再證 當當 時，時， 當當 時，時， 令令 nn q anniq Ne Nee q anniqanniq 1 nn nn snn 2 0 2 1 1 2 2 2 0 2 1 1 2 )(2 2 0 2 1 1 2 2 2 1 2 2 N l s N l i N N l s N l i N l s N l i N N l s N Nl i N l s N l i N l s N l i N N l s Na la i q iqsa eeee eeee Nll 0 1 1 1 1 2 2 2 21 2 1 0 2 2 0 2

26、 1 1 2 2 N s i si N s i N s is N N i N l s N l i N l s N l i N N l s N l i e e e ee eee ll改寫為 3.3.從坐標空間到從坐標空間到 矢量空間的變換矢量空間的變換 看出看出 可取為本征矢，以這些本征矢建立可取為本征矢，以這些本征矢建立 新的坐標系。新的坐標系。 正交歸一化條件改寫為正交歸一化條件改寫為 其中其中 為為 在在 新坐標系中分量新坐標系中分量 （沿本征矢投影）（沿本征矢投影） iqna e N 2 1 1 iqna e N 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 11 11 qq naiq n

27、 iqna nn aiqn q iqna e N e N e N e N q iqna qn et N tx 2 1 1 t q txn q iqna qn et N tx 2 1 1 說明：說明： 表明把坐標系從位置空間變換到狀態(tài)空間，波函數(shù)表明把坐標系從位置空間變換到狀態(tài)空間，波函數(shù) 模的平方和不變。模的平方和不變。 實際上處理晶格振動時常把實際上處理晶格振動時常把 展開為展開為 ：晶格振動常用的正則坐標（簡正坐標）：晶格振動常用的正則坐標（簡正坐標） q q q qq q q q qn naqqi q q q nq naiq q q iqna q nn nnn t Ntt N ett N

28、 etet N txtxtx 2 )( 2 11 1 q iqna qn etQ Nm tx 1 tQq txn 4.4.一維簡單晶格振動的能量一維簡單晶格振動的能量 1 1）一對原子間的勢能）一對原子間的勢能 一維原子鏈的總勢能一維原子鏈的總勢能 2 1 2 )( 22 nnn xxu q qq q qq q iqaiqa qq qq aiqiqaaqqi qq q q n naqqiaiqiqaaqqi qq q q nqq naiqiqnaaniqiqnanaiqaniqaniqaniq q q q naiq q aniq q nq iqna q aniq q n nn tQqatQtQ

29、 m eetQtQ m eeetQtQ m eeeetQtQ Nm eeeeeeeetQtQ Nm etQetQetQetQ Nm xxU 2 2 , )( )()( 1111 11 2 1 )( 2 1 cos1 )(2 2 1 2 1 2 2 2 )( 2 說明：說明：1 1） 2 2）由于）由于 實數(shù)。實數(shù)。 代入即可。代入即可。 )cos1 (2 2 qa m q nn xx q iqna qn etQ Nm tx 1 q iqna q n qq q iqna q n etQ Nm txetQ Nm tx * * * * 11 )()( * tQtQtQtQ qqqq nn xx 2

30、2）動能）動能 2 , . . . . 2 . )( 2 1 )()( 2 1 )( )( 2 1 )( )( 2 1 )( )( 1 2 2 q q q qq qq q n naiqiqna qq q naiq q iqna nq q n n t q t q t t q Q t eet q t N et q et Nm m x m T Q QQQ Q Q Q Q 3 3）總能量）總能量 q qqq q q q qq qq qq tPtQ tPtQ t q Q tQ TUH 22 2 22 2 2 2 2 )()( 2 1 )( 2 1 )( 2 1 )( 2 1 )( 2 1 )()( tQ

31、tP qq 令 說明：說明：1 1） （簡正坐標），它滿足簡諧振動的（簡正坐標），它滿足簡諧振動的 動力學方程，動力學方程， 由于由于q q取值有取值有N N個，所以該方程的數(shù)目有個，所以該方程的數(shù)目有N N個，個， 說明一維布拉非格子的說明一維布拉非格子的N N個原子振動等價于個原子振動等價于N N個個 諧振子的振動，諧振子的振動頻率為晶格的振諧振子的振動，諧振子的振動頻率為晶格的振 動頻率。動頻率。 2 2）令）令 代表一個諧振子的代表一個諧振子的 能量，能量， 包含包含N N項，所以總能量是項，所以總能量是 N N個獨立諧振子能量之和。個獨立諧振子能量之和。 q Q 0 2 2 2 qq

32、 q Q dt Qd 22 2 )()( 2 1 tPtQH qqqq q q HH 3 3）諧振子能量量子化。）諧振子能量量子化。 其中其中 和和T T有關，有關，T=0T=0時，時， =0=0，零點能，零點能 4 4）對于三維情況，）對于三維情況， 5 5）由于格波能量以）由于格波能量以 為單位量子化，把這為單位量子化，把這 個能量量子稱為聲子。個能量量子稱為聲子。 二、聲子二、聲子 1. 1. 概念：晶格振動中的簡諧振子的能量量子概念：晶格振動中的簡諧振子的能量量子 qqq n 2 1 q n q 2 1 N i ii qqnE 3 1 )( 2 1 )( q q q n 2. 2. 聲

33、子性質(zhì)聲子性質(zhì) 1 1）能量的增減必須是）能量的增減必須是 的整數(shù)倍。的整數(shù)倍。 2)2)簡諧近似下，兩個聲子之間沒有相互作用。簡諧近似下，兩個聲子之間沒有相互作用。 一個一個 相應的格波（一種振動模式）對應相應的格波（一種振動模式）對應 一種聲子，簡諧近似下格波之間無相互作用，即一種聲子，簡諧近似下格波之間無相互作用，即 兩個聲子之間無相互作用。兩個聲子之間無相互作用。 3 3）聲子不是實際存在的實物粒子，是假想粒子，稱）聲子不是實際存在的實物粒子，是假想粒子，稱 為準粒子，它具有能量為準粒子，它具有能量 和準動量和準動量 。 i q q q 0 1 1 2 2 2 2 N l i li N

34、 l i ti n N nl i ti n iqnati n tqnai n n e ee mAei emAei emAei Ae dt d mx dt d mp Na l q 2 若認為格波動量由聲子攜帶，則由上式知聲子不攜帶物理動量。若認為格波動量由聲子攜帶，則由上式知聲子不攜帶物理動量。 （無真實動量）（無真實動量） 以一位單原子鏈為例，波矢為以一位單原子鏈為例，波矢為q q的格波的總動量的格波的總動量 4 4）聲子的等價性：波矢為）聲子的等價性：波矢為 的聲子與波矢為的聲子與波矢為 的聲子是等價的。的聲子是等價的。 格波是在晶格中傳播的波，由于晶格周期格波是在晶格中傳播的波，由于晶格周

35、期 性，有性，有 ，即，即 是是 的周期性的周期性 函數(shù)，函數(shù)， 為倒格矢。為倒格矢。 例一維單原子鏈，例一維單原子鏈， （l l為整數(shù)）為整數(shù)） 結論：當結論：當 時，原子振動頻率不變，它時，原子振動頻率不變，它 們描述相同格波，即波矢為們描述相同格波，即波矢為 的聲子和波的聲子和波 矢為矢為 的聲子是等價的。的聲子是等價的。 q h Kq h Kqq q q h K l a Kh 2 h Kqq ql qa l a q a l a q 2 sin 2 2 sin) 2 ( maxmax q h Kq 3. 3. 聲子遵從的統(tǒng)計規(guī)律聲子遵從的統(tǒng)計規(guī)律 聲子是聲子是BoseBose子，可以產(chǎn)生

36、、湮滅，聲子數(shù)不子，可以產(chǎn)生、湮滅，聲子數(shù)不 守恒，它遵從守恒，它遵從B BE E分布。利用分布。利用B BE E統(tǒng)計，在溫統(tǒng)計，在溫 度度T T，頻率為，頻率為 的簡正坐標的平均聲子數(shù)的簡正坐標的平均聲子數(shù) 當溫度很高時，當溫度很高時， 1 1 1 1 1 1 lnln 0 0 0 0 0 Tk x x n nx n nx n nx n Tk n n Tk n B B B e e edx d e dx d e ne e ne n TkB Tk n Tk e B B TkB 1 Tk x B 4. 4. 聲子概念的應用聲子概念的應用 引入聲子概念后，可以把晶格振動的每一個格引入聲子概念后，可以

37、把晶格振動的每一個格 波看成數(shù)目是波看成數(shù)目是N N，能量為，能量為 的聲子組成，用聲子的聲子組成，用聲子 代表真實晶體如同用光子代替電磁波一樣代表真實晶體如同用光子代替電磁波一樣. .光子可光子可 以解釋光電效應，聲子則可以解釋固體比熱，而且以解釋光電效應，聲子則可以解釋固體比熱，而且 能解釋晶體導電導熱的性質(zhì)，晶體吸收就可以理解能解釋晶體導電導熱的性質(zhì)，晶體吸收就可以理解 為聲子吸收光子的能量而變熱，晶體散射則可以理為聲子吸收光子的能量而變熱，晶體散射則可以理 解為聲子與光子的碰撞解為聲子與光子的碰撞. .電子與晶格的相互作用可電子與晶格的相互作用可 以理解為電子與聲子的相互作用以理解為電

38、子與聲子的相互作用 （考慮能量守恒和動量守恒）（考慮能量守恒和動量守恒） q 3.3 3.3 固體比熱固體比熱 一、晶格比熱的一般公式一、晶格比熱的一般公式 1.1.經(jīng)典理論經(jīng)典理論 1 1）晶體中的振子在平衡位置附近做近獨立振動）晶體中的振子在平衡位置附近做近獨立振動 2 2）晶體總能量等于各振子的能量之和，每個振）晶體總能量等于各振子的能量之和，每個振 子的能量是連續(xù)的子的能量是連續(xù)的 3 3）每一個自由度的平均能量是）每一個自由度的平均能量是 ，其中，其中 是平均動能，是平均動能， 是平均勢能。是平均勢能。 TkB TkB 2 1 TkB 2 1 若晶體有若晶體有N N個原子，則平均能量

39、個原子，則平均能量 ，N N為為 1mol1mol原子的原子數(shù)，原子的原子數(shù)， ， 則則 杜隆杜隆玻替定律玻替定律 說明：說明：1 1）高溫時與實驗符合）高溫時與實驗符合 2 2）低溫時實驗指出）低溫時實驗指出 有關，而杜隆有關，而杜隆玻替定玻替定 律中律中 是一個常數(shù)，與是一個常數(shù)，與T T無關，與實驗不符合。無關，與實驗不符合。 TNkE B 3 23 1002. 6 A NN molkJNk T E C B V V ./9 .243 T與 V C V C 2. 2. 量子理論量子理論 根據(jù)量子理論，晶格振動的能量量子化，根據(jù)量子理論，晶格振動的能量量子化， 其中其中 代表零點振動能，對比

40、熱無貢獻，略去代表零點振動能，對比熱無貢獻，略去 得到得到 ，利用，利用B BE E統(tǒng)計，溫度為統(tǒng)計，溫度為T T的的 平均能量平均能量 2 1 n 2 1 n 1 1 1 ln ln 0 0 0 0 0 Tk x n nx n nx n nx n Tk n n Tk n n B B B e edx d e dx d e ne e en E 由于晶體內(nèi)有由于晶體內(nèi)有N N個原子，每個原子有個原子，每個原子有3 3個自由度，個自由度， 因此晶體的平均能量因此晶體的平均能量 如頻率分布用一個積分函數(shù)表示，求和變成積分，如頻率分布用一個積分函數(shù)表示，求和變成積分， 則平均能量則平均能量 比熱比熱 N

41、d m 3)( 0 設表示角頻率 之間的頻率數(shù)d)(d d e E m BT k )( 1 0 )( d Tk Tk Tk k T E c m B B B BVV 0 2 2 1)/(exp( )()/(exp )()( N i Tk i N i n B i e EE 3 1 3 1 1 TkB BVB N i B NkCTNkTkE33 3 1 說明：說明： 1 1）高溫極限：）高溫極限： 過渡到經(jīng)典情況。過渡到經(jīng)典情況。 2 2）用量子理論求比熱時，關鍵求角頻率分布函數(shù)。）用量子理論求比熱時，關鍵求角頻率分布函數(shù)。 Tk e B TkB 1 二、愛因斯坦模型二、愛因斯坦模型 1.1.基本假

42、設基本假設 1 1）所有原子都以相同頻率在平衡位置附近振動，）所有原子都以相同頻率在平衡位置附近振動， 各原子振動相互獨立各原子振動相互獨立 2 2）振動能量量子化，最小能量單位）振動能量量子化，最小能量單位 2.2.比熱計算比熱計算 E 1 3 Tk E B E e NE VV T E C)( 2/ / 2 ) 1( )(3 Tk Tk B E B BE BE e e Tk Nk B E E k 2/ / 2 ) 1( )(3 T T E BV E E e e T NkC 1 1）高溫低頻）高溫低頻 與實驗符合。與實驗符合。 2 2）低溫高頻）低溫高頻 實驗表明實驗表明 而上式而上式 ，它比

43、它比 更更 快趨于快趨于0 0，與實驗不符。，與實驗不符。 1 TkB E 22/2/ 2 2/ / 2 )( 1 3 ) 1( 3 TT E B T T E BV EEE E eeT Nk e e T NkC B EE E B Nk TT T Nk3 ) 22 ( 1 3 2 2 1 TkB E Tk B E BV B E e Tk NkC 2 )(3 3 TCV T V e T C 1 2 1 3 T 什么原因使得愛因斯坦模型在低溫下與實驗不符？什么原因使得愛因斯坦模型在低溫下與實驗不符？ 1 1）忽略了振子之間的相互作用）忽略了振子之間的相互作用 愛因斯坦把每個原子當做一個三維的獨立諧振

44、子愛因斯坦把每個原子當做一個三維的獨立諧振子 圍繞平衡點振動，事實上每個原子與鄰近原子存在圍繞平衡點振動，事實上每個原子與鄰近原子存在 相互作用，低溫下更明顯。相互作用，低溫下更明顯。 2 2）忽略各格波之間的頻率差別）忽略各格波之間的頻率差別 晶體中所有原子以格波形式運動，愛因斯坦模型晶體中所有原子以格波形式運動，愛因斯坦模型 實際上忽略了格波的頻率差別，以為所有格波的頻實際上忽略了格波的頻率差別，以為所有格波的頻 率是一樣的，假設過于簡化。率是一樣的，假設過于簡化。 3 3）忽略低頻作用）忽略低頻作用 選擇愛因斯坦溫度為了與實驗符合，對應頻率偏高。選擇愛因斯坦溫度為了與實驗符合，對應頻率偏

45、高。 三、德拜模型三、德拜模型 1.1.基本假設基本假設 1 1）把布拉非晶格看成是各向同性的連續(xù)介質(zhì)，把格波看成）把布拉非晶格看成是各向同性的連續(xù)介質(zhì)，把格波看成 是彈性波，存在一個縱波和是彈性波，存在一個縱波和2 2個橫波，且波速相等均為個橫波，且波速相等均為 2 2）格波頻率是一個波譜，從聲頻一直到紅外。）格波頻率是一個波譜，從聲頻一直到紅外。 2.2.推導和討論推導和討論 1 1）頻譜分布函數(shù)）頻譜分布函數(shù) 在波矢空間，單位體積中的波矢數(shù)為在波矢空間，單位體積中的波矢數(shù)為 ，則，則 體體 積波矢數(shù)積波矢數(shù) ，波矢大小在，波矢大小在 范圍的范圍的 波矢數(shù)波矢數(shù) ，對于各向同性的連續(xù)介質(zhì)中

46、的彈，對于各向同性的連續(xù)介質(zhì)中的彈 性波性波 ， 3 )2( V qd qd V 3 )2( dqq V 2 3 4 )2( p qv p v dqqq 所以角頻率在所以角頻率在 中的振動方式數(shù)：中的振動方式數(shù)： 記三種彈性波，得出角頻率在記三種彈性波，得出角頻率在 間的格波數(shù)：間的格波數(shù)： 由于頻率總數(shù)為由于頻率總數(shù)為3N3N，即，即 令令 （德拜特征頻率），當（德拜特征頻率），當 d d v V d p 2 32 2 3 Nd m 3)( 0 pm p v V N Nd v V m 3 1 2 0 2 32 6 3 2 3 Dm D 0 d d v V d v qV pp 3 2 3 2

47、3 4 )2( 4 )2( 2）比熱計算 d e v V TE D BT k p 0 3 32 1 1 2 3 )( dx e xT TNkTE T x D B D / 0 3 3 1 9)( , Tk x B 令 TTk x D B D m T fNkdx e exT Nkc D B T x x D BV D 3 ) 1( 9 / 0 2 4 3 T x x D D D D dx e exT T f / 0 2 4 3 ) 1( )(3)(（德拜比熱函數(shù)）（德拜比熱函數(shù)） 3 3）討論）討論 a.a. 高溫低頻高溫低頻 b.b. 低溫高頻低溫高頻 ，可把上限取為無窮，可把上限取為無窮 1 T

48、k x B E dx x xT TNk T D B D / 0 3 3 11 )(9 )| 3 1 ()(9 0 33 T D B D x T TNk TNk B 3 Bv NkC3 T x D dx e x / 0 3 1 0 3 1 dx e x x 15 1 6 4 1 4 n n E 15 )(9 4 3 D B T TNk 4 3 4 5 3 TNk B D V C V T E )( 3 4 )( 5 12 D B T Nk 3 T 3 T 德拜德拜 定律定律 說明：說明： 1 1）溫度越低，德拜近似越好。）溫度越低，德拜近似越好。 因為低溫時長聲學波的激發(fā)是主要的，因為低溫時長聲學

49、波的激發(fā)是主要的， 更符合德拜模型更符合德拜模型 2 2）按定義，德拜溫度是與溫度無關的常數(shù)，）按定義，德拜溫度是與溫度無關的常數(shù)， 但實驗發(fā)現(xiàn)它與但實驗發(fā)現(xiàn)它與T T有關有關 3 3）德拜模型缺陷：忽略了晶體的各向異性，）德拜模型缺陷：忽略了晶體的各向異性， 忽略了光學波和高頻聲學波對比熱的貢獻。忽略了光學波和高頻聲學波對比熱的貢獻。 非簡諧項是使晶格振動達到熱平衡的主要非簡諧項是使晶格振動達到熱平衡的主要 原因。原因。 兩個聲子通過非簡諧項作用產(chǎn)生第三個聲兩個聲子通過非簡諧項作用產(chǎn)生第三個聲 子，可看成兩個聲子相互碰撞產(chǎn)生第三個子，可看成兩個聲子相互碰撞產(chǎn)生第三個 聲子，考慮能量守恒和動量

50、守恒。聲子，考慮能量守恒和動量守恒。 一、聲子間相互作用一、聲子間相互作用 設兩個相互碰撞的聲子的頻率和波矢分別是設兩個相互碰撞的聲子的頻率和波矢分別是 和和 ，則，則 能量守恒：能量守恒： 準動量守恒：準動量守恒： 其中其中 是倒格矢，是倒格矢， 表示狀態(tài)相同。表示狀態(tài)相同。 1 1） 正常過程正常過程 2 2） 倒逆過程倒逆過程 321 )( 321h Kqqq 11,q 22,q h K h33 K qq 和 h Kqqq 321 321 qqq 0 h K 0 h K 二、熱傳導：可看成聲子擴散運動的結果二、熱傳導：可看成聲子擴散運動的結果 1.熱導系數(shù)熱導系數(shù) 實驗指出：當晶體兩端處

51、于不同溫度時，單位時間實驗指出：當晶體兩端處于不同溫度時，單位時間 通過單位面積的熱量（即能流密度）與溫度梯度成通過單位面積的熱量（即能流密度）與溫度梯度成 正比：正比： k-熱導系數(shù)（熱導率）熱導系數(shù)（熱導率） 負號表示熱量從高溫向低溫傳遞負號表示熱量從高溫向低溫傳遞 2. 熱導系數(shù)的推導熱導系數(shù)的推導 設單位體積的熱容為設單位體積的熱容為c，晶體內(nèi)存在溫度梯度，晶體內(nèi)存在溫度梯度 ， 則晶體中相距為則晶體中相距為 的兩點間的溫度差的兩點間的溫度差 聲子移動聲子移動 ，把熱量，把熱量 從區(qū)域的從區(qū)域的 一端帶到另一端。一端帶到另一端。 dx dT kQ dx dT x l x l dx dT

52、 T x l Tc 若聲子在晶體中沿若聲子在晶體中沿x方向運動速度方向運動速度 ，則單位，則單位 時間通過單位面積的熱量時間通過單位面積的熱量 說明：說明：k與聲子的平均自由程與聲子的平均自由程l和晶體的熱容和晶體的熱容c有有 關，而平均自由程關，而平均自由程l主要取決于聲子的相互碰撞及主要取決于聲子的相互碰撞及 晶體中的雜質(zhì)、缺陷對聲子的散射。晶體中的雜質(zhì)、缺陷對聲子的散射。 如果是理想單晶體，則主要是聲子的相互碰撞。如果是理想單晶體，則主要是聲子的相互碰撞。 x v dx dT lvc dx dT vc dx dT cvl dx dT cvvTcQ xxxx 3 1 3 1 )( 2 2 l vck 3 1 三、晶體的熱膨脹三、晶體的熱膨脹 1.1. 概念概念 熱膨脹：物體因溫度改變而發(fā)生的膨脹現(xiàn)象熱膨脹：物體因溫度改變而發(fā)生的膨脹現(xiàn)象 熱膨脹系數(shù)：表示物體受熱時其體積或長度熱膨脹系數(shù)：表示物體受熱時其體積或長度 增大程度的物理量。增大程度的物理量。 1 1）線膨脹系數(shù)：）線膨脹系數(shù)： 2 2）體膨脹系數(shù)：）體膨脹系數(shù)： 2. 2. 現(xiàn)象解釋現(xiàn)象解釋 P L T L L 1 P V T V V 1 當溫度升高時，