傳熱學(xué)第2章-導(dǎo)熱1

1、1 第二章第二章 導(dǎo)熱基本定律及穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱導(dǎo)熱基本定律及穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱 2 2-1 2-1 導(dǎo)熱的基本概念及傅立葉定律導(dǎo)熱的基本概念及傅立葉定律 一、溫度場一、溫度場 某時刻空間所有各點溫度分布的總稱某時刻空間所有各點溫度分布的總稱 溫度場是時間和空間的函數(shù)：溫度場是時間和空間的函數(shù)： ( , , , )tf x y z 穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱 0 穩(wěn)態(tài)溫度場： t 0 t 非穩(wěn)態(tài)溫度場非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱 一維溫度場：一維溫度場： ) ,(xft 一維導(dǎo)熱一維導(dǎo)熱 二維溫度場：二維溫度場： ) , ,(yxft 二維導(dǎo)熱二維導(dǎo)熱 特例：一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱特例：一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱 )(xft 3 二、等溫面與等溫線二、等溫面與等溫線 等

2、溫面等溫面：同一時刻、溫度場中所有溫度相同的點連：同一時刻、溫度場中所有溫度相同的點連 接起來所構(gòu)成的面接起來所構(gòu)成的面 等溫線等溫線：用一個平面與各等溫面相交，在這個平面：用一個平面與各等溫面相交，在這個平面 上得到一個等溫線簇上得到一個等溫線簇 4 (1) (1) 溫度不同的等溫面或等溫線彼此不能相交溫度不同的等溫面或等溫線彼此不能相交 等溫面與等溫線的特點：等溫面與等溫線的特點： (2) (2) 在連續(xù)介質(zhì)的溫度場中，等溫面或等溫線不會中在連續(xù)介質(zhì)的溫度場中，等溫面或等溫線不會中 斷，它們或者是物體中完全封閉的曲面（曲線），或斷，它們或者是物體中完全封閉的曲面（曲線），或 者就終止在物體

3、的邊界上者就終止在物體的邊界上 物體的溫度場通常用等溫面物體的溫度場通常用等溫面(三維三維)或等溫線或等溫線(二維二維)表示表示 (3) 等溫面上沒有溫差，不會有熱傳遞等溫面上沒有溫差，不會有熱傳遞 (4) 由等溫線由等溫線(面面)的疏密可直觀反映出不同區(qū)域的疏密可直觀反映出不同區(qū)域 溫度梯度溫度梯度(或熱流密度或熱流密度)的相對大小。的相對大小。 5 6 三、溫度梯度三、溫度梯度 思考思考：A點所在的等溫線溫度為點所在的等溫線溫度為T，與之相鄰的一個，與之相鄰的一個 等溫線溫度為等溫線溫度為T+ T，試問，試問A點的溫度變化率為多少點的溫度變化率為多少 ？ A 7 不同的等溫面之間，有溫不同

4、的等溫面之間，有溫 差，有導(dǎo)熱差，有導(dǎo)熱 溫度變化率的大小與方向溫度變化率的大小與方向 有關(guān)有關(guān) tt ns A 溫度梯度的方向是等溫線或等溫面上溫度變化溫度梯度的方向是等溫線或等溫面上溫度變化 率最大的方向，也就是法線方向率最大的方向，也就是法線方向 8 溫度梯度：沿等溫面法線方向上的溫度增量溫度梯度：沿等溫面法線方向上的溫度增量 與法向距離比值的極限，與法向距離比值的極限， gradt 直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系： 注：溫度梯度是向量；正向朝著溫度增加的方向注：溫度梯度是向量；正向朝著溫度增加的方向 n n T n n T n 0 limT grad grad ttt tijk xyz 9 四、

5、熱流密度矢量四、熱流密度矢量 熱流密度熱流密度：單位時間、單位面積上所傳遞的熱量；：單位時間、單位面積上所傳遞的熱量； 直角坐標(biāo)系中：直角坐標(biāo)系中： 熱流密度矢量熱流密度矢量：等溫面上某點，以通過該點處最大熱：等溫面上某點，以通過該點處最大熱 流密度的方向為方向、數(shù)值上正好等于沿該方向的熱流密度的方向為方向、數(shù)值上正好等于沿該方向的熱 流密度流密度 不同方向上的熱流密度的大小不同不同方向上的熱流密度的大小不同 q q q q 2 W mq q xyz qq iq jq k cosqq q q 10 五、傅里葉定律五、傅里葉定律 1807年，法國數(shù)學(xué)家傅里葉（年，法國數(shù)學(xué)家傅里葉（Fourier

6、）在在實驗研究實驗研究 基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)導(dǎo)熱基本規(guī)律導(dǎo)熱基本規(guī)律 傅里葉定律傅里葉定律 導(dǎo)熱基本定律導(dǎo)熱基本定律：垂直導(dǎo)過等溫面的熱流密度，正比于：垂直導(dǎo)過等溫面的熱流密度，正比于 該處的溫度梯度，方向與溫度梯度相反該處的溫度梯度，方向與溫度梯度相反 :l 熱導(dǎo)率（導(dǎo)熱系數(shù)）熱導(dǎo)率（導(dǎo)熱系數(shù)） “-”：表征熱流方向沿著溫度降度方向，與溫度梯度：表征熱流方向沿著溫度降度方向，與溫度梯度 方向相反。方向相反。滿足熱力學(xué)第二定律滿足熱力學(xué)第二定律。 2 - grad W m qtl C)(mW 11 直角坐標(biāo)系中傅立葉定律的形式直角坐標(biāo)系中傅立葉定律的形式： xyz ttt qq iq jq

7、 kijk xyz lll ; ; xyz ttt qqq xyz lll 12 n熱流方向總是與等溫線（面）垂直； n物體中某處的溫度梯度是引起物體內(nèi)部及物體 間熱量傳遞的根本原因； n一旦物體內(nèi)部溫度分布已知，根據(jù)傅立葉定律 可求得各點的熱流量或熱流密度。因此，求解 導(dǎo)熱問題的關(guān)鍵在于求解物體中的溫度分布； n傅立葉定律是實驗定律，是普適的，即不論是 否變物性，不論是否有內(nèi)熱源，不論物體的幾 何形狀如何，不論是否非穩(wěn)態(tài)，也不論物質(zhì)的 形態(tài)（固液氣），傅立葉定律都是適用的。 13 有些天然和人造材料，如：石英、木材、疊層塑料板、有些天然和人造材料，如：石英、木材、疊層塑料板、 疊層金屬板，其

8、導(dǎo)熱系數(shù)隨方向而變化疊層金屬板，其導(dǎo)熱系數(shù)隨方向而變化 各向異性材料各向異性材料 各向異性材料中各向異性材料中： xxxxyxz yyxyyyz zzxzyzz ttt q xyz ttt q xyz ttt q xyz lll lll lll 注：傅里葉定律只適用于各向同性材料注：傅里葉定律只適用于各向同性材料 各向同性材料：熱導(dǎo)率在各個方向是相同的各向同性材料：熱導(dǎo)率在各個方向是相同的 14 傅里葉定律只適用于穩(wěn)態(tài)及弱瞬態(tài)熱過程傅里葉定律只適用于穩(wěn)態(tài)及弱瞬態(tài)熱過程 傅立葉定律的建立隱含了一個假設(shè)：在物體內(nèi)熱量的傳播速度無限傅立葉定律的建立隱含了一個假設(shè)：在物體內(nèi)熱量的傳播速度無限 大，即：

9、在任何瞬間，溫度梯度和熱流密度都是相互對應(yīng)的；或者大，即：在任何瞬間，溫度梯度和熱流密度都是相互對應(yīng)的；或者 說：與熱的擾動相對應(yīng)，熱流矢量和溫度梯度的建立是不需時間。說：與熱的擾動相對應(yīng)，熱流矢量和溫度梯度的建立是不需時間。 傅里葉定律的適用條件對于大多數(shù)工程實踐問題（穩(wěn)態(tài)及弱瞬態(tài)熱傅里葉定律的適用條件對于大多數(shù)工程實踐問題（穩(wěn)態(tài)及弱瞬態(tài)熱 過程），這個假設(shè)已經(jīng)可以得出足夠精確的解。但是，對于快速的過程），這個假設(shè)已經(jīng)可以得出足夠精確的解。但是，對于快速的 瞬態(tài)熱過程，這個條件不能滿足瞬態(tài)熱過程，這個條件不能滿足非傅里葉效應(yīng)非傅里葉效應(yīng). 高新科技領(lǐng)域中出現(xiàn)了許多快速瞬態(tài)熱過程、快速加熱技術(shù)

10、（諸如高新科技領(lǐng)域中出現(xiàn)了許多快速瞬態(tài)熱過程、快速加熱技術(shù)（諸如 利用持續(xù)時間很短或很高頻率的強激光或微波進行加熱）在金屬表利用持續(xù)時間很短或很高頻率的強激光或微波進行加熱）在金屬表 面融化、陶瓷材料的燒結(jié)成型、快速干燥，以及在一些基本的物理面融化、陶瓷材料的燒結(jié)成型、快速干燥，以及在一些基本的物理 現(xiàn)象的研究方面獲得廣泛應(yīng)用，在這些超快速熱傳遞過程中，熱邊現(xiàn)象的研究方面獲得廣泛應(yīng)用，在這些超快速熱傳遞過程中，熱邊 界上可能會出現(xiàn)很高的溫度梯度或很快的加熱速率，在這些情況下，界上可能會出現(xiàn)很高的溫度梯度或很快的加熱速率，在這些情況下， 經(jīng)典的傅里葉熱擴散定律不再是正確的了，必須考慮熱量傳播的速

11、經(jīng)典的傅里葉熱擴散定律不再是正確的了，必須考慮熱量傳播的速 度是有限的。度是有限的。 15 2-2 2-2 熱導(dǎo)率（導(dǎo)熱系數(shù)）熱導(dǎo)率（導(dǎo)熱系數(shù)） 熱導(dǎo)率的數(shù)值就是物體中單位溫度梯度、單位時間、熱導(dǎo)率的數(shù)值就是物體中單位溫度梯度、單位時間、 通過單位面積的導(dǎo)熱量通過單位面積的導(dǎo)熱量 物質(zhì)的重要熱物性參數(shù)物質(zhì)的重要熱物性參數(shù) 影響熱導(dǎo)率的因素影響熱導(dǎo)率的因素：物質(zhì)的種類、材料成分、溫度、：物質(zhì)的種類、材料成分、溫度、 濕度、壓力、密度等濕度、壓力、密度等 熱導(dǎo)率的數(shù)值表征物質(zhì)導(dǎo)熱能力大小。實驗測定熱導(dǎo)率的數(shù)值表征物質(zhì)導(dǎo)熱能力大小。實驗測定 不同物質(zhì)熱導(dǎo)率的差異：構(gòu)造差別、導(dǎo)熱機理不同不同物質(zhì)熱導(dǎo)率

12、的差異：構(gòu)造差別、導(dǎo)熱機理不同 -grad q t l C)(mW 16 氣相液相固相非金屬金屬 lllll ; 四種典型物質(zhì)的導(dǎo)熱系數(shù)（四種典型物質(zhì)的導(dǎo)熱系數(shù)（2020） 17 1、氣體的熱導(dǎo)率、氣體的熱導(dǎo)率 氣體的導(dǎo)熱：由于分子的熱運動和相互碰撞時發(fā)生的氣體的導(dǎo)熱：由于分子的熱運動和相互碰撞時發(fā)生的 能量傳遞能量傳遞 0.0060.6W (m C)l 氣體 ; C)(mW0244. 0 :0 空氣 lC20: 0.0259W (m C) Cl 空氣 18 氣體分子運動理論氣體分子運動理論：常溫常壓下氣體熱導(dǎo)率可表示為：常溫常壓下氣體熱導(dǎo)率可表示為： ：氣體分子運動的均方根速度：氣體分子運動

13、的均方根速度 ：氣體分子在兩次碰撞間平均自由行程：氣體分子在兩次碰撞間平均自由行程 ：氣體的密度；：氣體的密度；：氣體的定容比熱：氣體的定容比熱 氣體溫度正比于分子運動的動能氣體溫度正比于分子運動的動能 ：氣體的分子量：氣體的分子量 1 3 v u lcl u l v c 2 2 u M T M 19 影響氣體熱導(dǎo)率的主要因素影響氣體熱導(dǎo)率的主要因素 除非壓力很低或很高，在除非壓力很低或很高，在2.67*10-3MPa 2.0*103MPa 范圍內(nèi)，范圍內(nèi)，氣體的熱導(dǎo)率基本不隨壓力變化氣體的熱導(dǎo)率基本不隨壓力變化 氣體的溫度升高時：氣體分子氣體的溫度升高時：氣體分子運動速度運動速度和和定容比熱

14、定容比熱 隨隨T升高而增大。升高而增大。 氣體的熱導(dǎo)率隨溫度升高而增大氣體的熱導(dǎo)率隨溫度升高而增大 氣體的壓力升高時：氣體的密度增大、平均自由行程氣體的壓力升高時：氣體的密度增大、平均自由行程 減小、而兩者的乘積保持不變。減小、而兩者的乘積保持不變。 混合氣體熱導(dǎo)率不能用部分求和的方法求混合氣體熱導(dǎo)率不能用部分求和的方法求； 只能靠實驗測定只能靠實驗測定 氣體的分子質(zhì)量小的氣體（氣體的分子質(zhì)量小的氣體（H2、He）熱導(dǎo)率較大）熱導(dǎo)率較大 分子運動速度高分子運動速度高 20 分子質(zhì)量小的氣體（分子質(zhì)量小的氣體（H2、He）熱導(dǎo)率較大）熱導(dǎo)率較大 分子運分子運 動速度高動速度高 21 2、固體的熱

15、導(dǎo)率、固體的熱導(dǎo)率 導(dǎo)熱機理導(dǎo)熱機理：依靠自由電子的遷移：依靠自由電子的遷移 晶格振動波遷移晶格振動波遷移 晶格中原子、分子在其平衡位置附近的熱振動形晶格中原子、分子在其平衡位置附近的熱振動形 成的彈性波成的彈性波 晶體的狀態(tài)（晶態(tài)）：完全有序的周期性排列是固晶體的狀態(tài)（晶態(tài)）：完全有序的周期性排列是固 體中分子聚集的最穩(wěn)定的狀態(tài)體中分子聚集的最穩(wěn)定的狀態(tài) 晶格晶格：理想的晶體中分子在無限大空間里排列成周：理想的晶體中分子在無限大空間里排列成周 期性點陣，即所謂晶格期性點陣，即所謂晶格 22 純金屬的導(dǎo)熱：依靠自由電子的遷移和晶格的振動純金屬的導(dǎo)熱：依靠自由電子的遷移和晶格的振動 主要依靠前者

16、主要依靠前者 金屬導(dǎo)熱與導(dǎo)電機理一致；良導(dǎo)電體為良導(dǎo)熱體：金屬導(dǎo)熱與導(dǎo)電機理一致；良導(dǎo)電體為良導(dǎo)熱體： (1) 金屬的熱導(dǎo)率：金屬的熱導(dǎo)率： 晶格振動的加強干擾自由電子運動晶格振動的加強干擾自由電子運動 主要影響因素主要影響因素 12418W (m C)l 金屬 llll 銀銅鋁金 Tl Cu Cu 10K:12000W (m C) 15K:7000W (m C) l l 23 合金：金屬中摻入任何雜質(zhì)將破壞晶格的完整性，合金：金屬中摻入任何雜質(zhì)將破壞晶格的完整性， 干擾自由電子的運動干擾自由電子的運動 金屬的加工過程也會造成晶格的缺陷金屬的加工過程也會造成晶格的缺陷 如：常溫下：如：常溫下：

17、 (2)合金的導(dǎo)熱：依靠自由電子的遷移和晶格的振動合金的導(dǎo)熱：依靠自由電子的遷移和晶格的振動 ； 主要依靠后者主要依靠后者 溫度升高、晶格振動加強、導(dǎo)熱增強溫度升高、晶格振動加強、導(dǎo)熱增強 主要影響因素主要影響因素 l Tl l ll 合金純金屬 398W/(mK)l 純銅 109W/(mK)l 黃銅 24 25 非金屬的導(dǎo)熱非金屬的導(dǎo)熱：依靠晶格的振動傳遞熱量；比較?。阂揽烤Ц竦恼駝觽鬟f熱量；比較小 建筑和隔熱保溫材料：建筑和隔熱保溫材料： (3) 非金屬的熱導(dǎo)率：非金屬的熱導(dǎo)率： 大多數(shù)建筑材料和絕熱材料具有多孔或纖維結(jié)構(gòu)大多數(shù)建筑材料和絕熱材料具有多孔或纖維結(jié)構(gòu) 多孔材料的熱導(dǎo)率與密度和

18、濕度有關(guān)多孔材料的熱導(dǎo)率與密度和濕度有關(guān) 保溫材料保溫材料：國家標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定，溫度低于：國家標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定，溫度低于350度時熱導(dǎo)率度時熱導(dǎo)率 小于小于 0.12W/(mK) 的材料（絕熱材料）的材料（絕熱材料） 0.0253W (m C)l Tl l、濕度 26 27 3、液體的熱導(dǎo)率、液體的熱導(dǎo)率 液體的導(dǎo)熱液體的導(dǎo)熱：主要依靠晶格的振動：主要依靠晶格的振動 在分子力和分子運動的競爭中，在分子力和分子運動的競爭中，液態(tài)是兩者勢均力液態(tài)是兩者勢均力 敵的狀態(tài)敵的狀態(tài) 理想氣體中分子運動占絕對優(yōu)勢理想氣體中分子運動占絕對優(yōu)勢完全無序模型完全無序模型 理想晶體中分子力占主導(dǎo)地位理想晶體中分子力占主導(dǎo)地位完

19、全有序模型完全有序模型 0.070.7W (m C)l 液體 20: 0.6W (m C)Cl 水 28 完全無序模型和完全有序模型的理論都很成熟完全無序模型和完全有序模型的理論都很成熟 大多數(shù)液體（分子量大多數(shù)液體（分子量M不變）：不變）： 通常研究液體的辦法是從兩頭逼近：或者把它看作非通常研究液體的辦法是從兩頭逼近：或者把它看作非 常稠密的實際氣體，或者把它看作熱運動非常劇烈的常稠密的實際氣體，或者把它看作熱運動非常劇烈的 破損晶體，兩方面各自能說明一些問題破損晶體，兩方面各自能說明一些問題 液體的情況介于兩個極端之間，非常難以處理，至今液體的情況介于兩個極端之間，非常難以處理，至今 沒有

20、統(tǒng)一的理論模型沒有統(tǒng)一的理論模型 液體的熱導(dǎo)率隨壓力液體的熱導(dǎo)率隨壓力p的升高而增大的升高而增大 Tl lp 29 30 對于變導(dǎo)熱系數(shù)情況對于變導(dǎo)熱系數(shù)情況 溫度變化較大時，必須考慮導(dǎo)熱系數(shù) 隨溫度的變化關(guān)系。一般可表示為 為0的導(dǎo)熱系數(shù)，b為溫度系數(shù)，由實驗測得。 / 2 T / 2 T / 3 T 或 如果導(dǎo)熱系數(shù)隨溫度線性變化，則平均導(dǎo)熱系數(shù)可有如下兩種 表示： 0 1bTll 0 l 0 1bTll 12 1 2 TTT 22 11 0 12 2121 1 1 2 TT TT T dTbT dT TTTT ll lll 31 2-3 2-3 導(dǎo)熱微分方程式及單值性條件導(dǎo)熱微分方程式及

21、單值性條件 確定導(dǎo)熱體內(nèi)的溫度分布是導(dǎo)熱理論的首要任務(wù)確定導(dǎo)熱體內(nèi)的溫度分布是導(dǎo)熱理論的首要任務(wù) 傅里葉定律：傅里葉定律： 確定熱流密度的大小，應(yīng)知道物體內(nèi)的溫度場確定熱流密度的大小，應(yīng)知道物體內(nèi)的溫度場: 理論基礎(chǔ)：傅里葉定律理論基礎(chǔ)：傅里葉定律 + 熱力學(xué)第一定律熱力學(xué)第一定律 2 - grad W m qtl ( , , , )tf x y z 32 假設(shè)：假設(shè)：(1) 所研究的物體是各向同性的連續(xù)介質(zhì)所研究的物體是各向同性的連續(xù)介質(zhì) (2) 熱導(dǎo)率、比熱容和密度均為已知熱導(dǎo)率、比熱容和密度均為已知 (3) 物體內(nèi)具有內(nèi)熱源；強度物體內(nèi)具有內(nèi)熱源；強度 qv W/m3; 內(nèi)熱源均勻分布；

22、內(nèi)熱源均勻分布；qv 表示單位體積的導(dǎo)熱表示單位體積的導(dǎo)熱 體在單位時間內(nèi)放出的熱量體在單位時間內(nèi)放出的熱量 (4) 各項參數(shù)連續(xù)變化，可微分求導(dǎo)各項參數(shù)連續(xù)變化，可微分求導(dǎo) 1 1、導(dǎo)熱微分方程式、導(dǎo)熱微分方程式 33 在導(dǎo)熱體中取一微元體在導(dǎo)熱體中取一微元體 熱力學(xué)第一定律：熱力學(xué)第一定律： d 時間內(nèi)微元體中：時間內(nèi)微元體中： 導(dǎo)入與導(dǎo)出凈熱量導(dǎo)入與導(dǎo)出凈熱量 + 內(nèi)熱源發(fā)熱量內(nèi)熱源發(fā)熱量 = 熱力學(xué)能的增加熱力學(xué)能的增加 數(shù)學(xué)模型建立基本思路數(shù)學(xué)模型建立基本思路 能量平衡分析能量平衡分析 QUW 0, WQU 34 (1)導(dǎo)入與導(dǎo)出微元體的凈熱量導(dǎo)入與導(dǎo)出微元體的凈熱量 A. d 時間

23、內(nèi)、沿時間內(nèi)、沿 x 軸方向、軸方向、 經(jīng)經(jīng) x 表面導(dǎo)入的熱量：表面導(dǎo)入的熱量： B. d 時間內(nèi)、沿時間內(nèi)、沿 x 軸方向、軸方向、 經(jīng)經(jīng) x+dx 表面導(dǎo)出的熱量：表面導(dǎo)出的熱量： J xx dQqdydz d J ddydzqdQ dxxdxx x x dxx q qqdx x 35 C. d 時間內(nèi)、沿時間內(nèi)、沿 x 軸方向?qū)肱c導(dǎo)出微元體凈熱量：軸方向?qū)肱c導(dǎo)出微元體凈熱量： J x xx dx q dQdQdxdydz d x 36 d 時間內(nèi)、沿時間內(nèi)、沿 x 軸方向軸方向 導(dǎo)入與導(dǎo)出微元體凈熱量：導(dǎo)入與導(dǎo)出微元體凈熱量： d 時間內(nèi)、沿時間內(nèi)、沿 y 軸方向軸方向 導(dǎo)入與導(dǎo)出

24、微元體凈熱量：導(dǎo)入與導(dǎo)出微元體凈熱量： d 時間內(nèi)、沿時間內(nèi)、沿 z 軸方向?qū)лS方向?qū)?入與導(dǎo)出微元體凈熱量：入與導(dǎo)出微元體凈熱量： J ddxdydz x qx J ddxdydz y qy J ddxdydz z qz 37 D. 導(dǎo)入與導(dǎo)出凈熱量導(dǎo)入與導(dǎo)出凈熱量: 利用傅里葉定律：利用傅里葉定律： J )(dxdydzd z q y q x q z y x ; ; xyz ttt qqq xyz lll J )()()( 1 llldxdydzd z t zy t yx t x 38 (2)微元體中內(nèi)熱源的發(fā)熱量微元體中內(nèi)熱源的發(fā)熱量 d 時間內(nèi)微元體中時間內(nèi)微元體中 內(nèi)熱源的發(fā)熱量：內(nèi)

25、熱源的發(fā)熱量： (3)微元體熱力學(xué)能的增量微元體熱力學(xué)能的增量 d 時間內(nèi)微元體中熱力時間內(nèi)微元體中熱力 學(xué)能的增量：學(xué)能的增量： J 2ddxdydzqv J 3 ddxdydz t c ) d( d t dxdydzctmc 39 由由 1+ 2= 3： 導(dǎo)熱微分方程式、導(dǎo)熱過程的能量方程導(dǎo)熱微分方程式、導(dǎo)熱過程的能量方程 能量守恒能量守恒 若物性參數(shù)若物性參數(shù) l l、c 和和 均為常數(shù)：均為常數(shù)： OR： ()()() v tttt cq xxyyzz lll c q z t y t x t a t v )( 2 2 2 2 2 2 c q ta t v 2 40 熱擴散率熱擴散率 a

26、 反映了導(dǎo)熱過程中材料的導(dǎo)熱能力（反映了導(dǎo)熱過程中材料的導(dǎo)熱能力（ l l ） 與沿途物質(zhì)儲熱能力（與沿途物質(zhì)儲熱能力（ c ）之間的關(guān)系）之間的關(guān)系 a值大，即值大，即 l l 值大或值大或 c 值小，說明物體的某一部分值小，說明物體的某一部分 一旦獲得熱量，該熱量能在整個物體中很快擴散一旦獲得熱量，該熱量能在整個物體中很快擴散 l l 值大，說明在相同的溫度梯度下可以傳遞更多的熱量值大，說明在相同的溫度梯度下可以傳遞更多的熱量 ； c 值小，單位體積物體溫度升高值小，單位體積物體溫度升高1度所需的熱量少度所需的熱量少 2 msa c l 熱擴散率（導(dǎo)溫系數(shù)） 2 拉普拉斯算子 41 在同樣

27、加熱條件下，物體的熱擴散率越大，物體在同樣加熱條件下，物體的熱擴散率越大，物體 內(nèi)部各處的溫度差別越小。內(nèi)部各處的溫度差別越小。 a反應(yīng)導(dǎo)熱過程動態(tài)特性，研究不穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱重要物理量反應(yīng)導(dǎo)熱過程動態(tài)特性，研究不穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱重要物理量 熱擴散率表征物體被加熱或冷卻時，物體內(nèi)各部分熱擴散率表征物體被加熱或冷卻時，物體內(nèi)各部分 溫度趨向于均勻一致的能力溫度趨向于均勻一致的能力 7252 1.5 10m9.45 10masas 鋁木材 ， 1 600aa 鋁木材 42 若物性參數(shù)為常數(shù)且無內(nèi)熱源：若物性參數(shù)為常數(shù)且無內(nèi)熱源： 若物性參數(shù)為常數(shù)、無內(nèi)熱源穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱若物性參數(shù)為常數(shù)、無內(nèi)熱源穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱： 222 2

28、222 (); or ttttt aat xyz 222 2 222 0 ttt t xyz 43 圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系 （r, , z） zzryrx ;sin ;cos z tt rr t ttkjiq lll 1 grad z t q t r q r t q z r l l l 1 2 11 ()()() v tttt crq rrrrzz lll 44 球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系 （r, q q， ） q l q l l q t r q t r q r t qr sin 1 1 qq lll t r t rr t tt sin 11 gradkjiq 2 2222 111 ()( sin)()

29、sinsin v tttt crq rrrrr llql qqqq qqqcos ;sinsin ;cossinrzryrx 45 導(dǎo)熱微分方程的一般形式導(dǎo)熱微分方程的一般形式 v t cqq gradqttll div v t cqq 2 div( grad ) () v v t ctq tq l ll 為常數(shù) 微元溫度升高需要微元溫度升高需要 的能量加上從微元的能量加上從微元 流到外面的能量等流到外面的能量等 于微元內(nèi)熱源所產(chǎn)于微元內(nèi)熱源所產(chǎn) 生的能量生的能量 46 2t 2 或者或者或者（拉普拉斯算子 ） + xyz ijk哈密頓算子 在一般的正交坐標(biāo)系下，哈密頓算子的形式為：在一般的正

30、交坐標(biāo)系下，哈密頓算子的形式為： 112233 111 uuuhhh 123 eee , 123 eee：正交坐標(biāo)系的基矢：正交坐標(biāo)系的基矢 ：標(biāo)度因子或拉梅系數(shù)：標(biāo)度因子或拉梅系數(shù) 123 ,h hh 47 112233 111 huhuhu 123 eee 22 33 11 2 1 2 3111222333 1 ()()() h hh hh h h h huhuuhuuhu 2 313 121 23 1 2 3123 1 ()()()h h Ah h Ah h A h h huuu A 梯度：梯度： 散度：散度： 調(diào)和量：調(diào)和量： 48 直角坐標(biāo)系下：直角坐標(biāo)系下： 123 123 123

31、 , 1,1 , ur uuz hhr h rz eeeeee 123 123 , 1,1,1 ux uy uz hhh 123 e = i,e = j,e = k 圓柱坐標(biāo)系下：圓柱坐標(biāo)系下： 49 球坐標(biāo)系下：球坐標(biāo)系下： 123 123 , 1,sin ur uu hhr hr q q 1r23 e = e ,e = e ,e = e 2 22 222 1 11 rrr rrrzz r rrrrz 柱坐標(biāo)下：柱坐標(biāo)下： 50 22 2 2 2 22222 1sin sin sinsin 111 sin sinsin rr r rrrrr r rrrrr q q qqqq q qqqq 參

32、考：矢量分析與場論，謝樹藝，高等教育出版社參考：矢量分析與場論，謝樹藝，高等教育出版社 球坐標(biāo)系下：球坐標(biāo)系下： 51 div( grad ) v t ctql div( grad ) v t ctql 穩(wěn)態(tài)穩(wěn)態(tài) 無內(nèi)熱源無內(nèi)熱源 導(dǎo)熱：導(dǎo)熱： 更為一般的擴散現(xiàn)象：更為一般的擴散現(xiàn)象： ()div( grad )S 不穩(wěn)態(tài)項不穩(wěn)態(tài)項擴散項擴散項源項源項 - 擴散系數(shù)擴散系數(shù) 52 更為一般的傳遞現(xiàn)象：更為一般的傳遞現(xiàn)象： ()div()div( grad )S u 不穩(wěn)態(tài)項不穩(wěn)態(tài)項對流項對流項擴散項擴散項源項源項 可以是哪些東西呢？可以是哪些東西呢？ 焓或者溫度、速度分量、化學(xué)組分的質(zhì)量焓或者

33、溫度、速度分量、化學(xué)組分的質(zhì)量 分量、紊流動能或紊流的長度尺度或者分量、紊流動能或紊流的長度尺度或者1或或 者一個無量綱的數(shù)。者一個無量綱的數(shù)。 53 2、 導(dǎo)熱過程的單值性條件導(dǎo)熱過程的單值性條件 導(dǎo)熱微分方程式：導(dǎo)熱微分方程式： 它描寫物體的溫度隨時間和空間變化的關(guān)系；它描寫物體的溫度隨時間和空間變化的關(guān)系； 它沒有涉及具體、特定的導(dǎo)熱過程。通用表達式。它沒有涉及具體、特定的導(dǎo)熱過程。通用表達式。 對特定的導(dǎo)熱過程：需要得到滿足該過程的補充對特定的導(dǎo)熱過程：需要得到滿足該過程的補充 說明條件的唯一解說明條件的唯一解 單值性條件單值性條件：確定唯一解的附加補充說明條件：確定唯一解的附加補充說

34、明條件 單值性條件包括四項：單值性條件包括四項：幾何、物理、時間、邊界幾何、物理、時間、邊界 完整數(shù)學(xué)描述完整數(shù)學(xué)描述：導(dǎo)熱微分方程：導(dǎo)熱微分方程 + 單值性條件單值性條件 54 (1) 幾何條件幾何條件 如：平壁或圓筒壁；厚度、直徑等如：平壁或圓筒壁；厚度、直徑等 說明導(dǎo)熱體的幾何形狀和大小說明導(dǎo)熱體的幾何形狀和大小 (2) 物理條件物理條件 如：物性參數(shù)如：物性參數(shù) l l、c 和和 的數(shù)值，是否隨溫度變化；的數(shù)值，是否隨溫度變化； 有無內(nèi)熱源、大小和分布；是否各向同性有無內(nèi)熱源、大小和分布；是否各向同性 說明導(dǎo)熱體的物理特征說明導(dǎo)熱體的物理特征 (3) 時間條件時間條件 穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程不需

35、要時間條件穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程不需要時間條件 與時間無關(guān)與時間無關(guān) 說明在時間上導(dǎo)熱過程進行的特點說明在時間上導(dǎo)熱過程進行的特點 對非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程應(yīng)給出過程開始時刻導(dǎo)熱體內(nèi)對非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程應(yīng)給出過程開始時刻導(dǎo)熱體內(nèi) 的溫度分布的溫度分布 時間條件又稱為時間條件又稱為初始條件初始條件 0 ( , , )tf x y z 0 0 tt 例：例： 55 (4) 邊界條件邊界條件說明導(dǎo)熱體邊界上過程進行的特點說明導(dǎo)熱體邊界上過程進行的特點 反映過程與周圍環(huán)境相互作用的條件反映過程與周圍環(huán)境相互作用的條件 邊界條件一般可分為三類：邊界條件一般可分為三類： 第一類、第二類、第三類邊界條件第一類、第二類、第三類邊界條件 (4.1) 第一類邊界條件第一類邊界條件 s 邊界面邊界面; tw = f (x,y,z) 邊界面上的溫度邊界面上的溫度 已知任一瞬間導(dǎo)熱體邊界上溫度值：已知任一瞬間導(dǎo)熱體邊界上溫度值： 穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱：穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱： tw = const 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱：非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱： tw = f ( )