拉格朗日方程與哈密頓方程(仲順安)

1、仲順安 等 北京理工大學(xué)出版社 普通物理普通物理 理論物理理論物理 (四大力學(xué)四大力學(xué)) 大學(xué)物理大學(xué)物理 力學(xué)：主要指牛頓力學(xué)力學(xué)：主要指牛頓力學(xué) 熱學(xué)熱學(xué) 電磁學(xué)電磁學(xué) 光學(xué)光學(xué) 原子物理學(xué)原子物理學(xué) 理論力學(xué)：核心是分析力學(xué)理論力學(xué)：核心是分析力學(xué) 量子力學(xué)量子力學(xué) 電動(dòng)力學(xué)電動(dòng)力學(xué) 熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理 感性認(rèn)識(shí) 建立在實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上 理性認(rèn)識(shí) 形成系統(tǒng)的理論 1態(tài)度端正，不要有任何思想包袱 2掌握正確的學(xué)習(xí)方法 3除了教材以外，應(yīng)準(zhǔn)備1-2本相關(guān)的參考書 4數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的預(yù)備 5不要曠課，提前預(yù)習(xí)，按時(shí)交作業(yè) 參考書參考書 1 1理論物理導(dǎo)論理論物理導(dǎo)論 李衛(wèi)李衛(wèi) 劉義榮劉

2、義榮 2 2理論物理導(dǎo)論理論物理導(dǎo)論 程建春程建春 3.3. 量子力學(xué)量子力學(xué)I I 曾謹(jǐn)言曾謹(jǐn)言 4. 4. 統(tǒng)計(jì)物理學(xué)導(dǎo)論統(tǒng)計(jì)物理學(xué)導(dǎo)論 王竹溪王竹溪 5. 5. 統(tǒng)計(jì)熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)熱力學(xué) 梁希俠，班士良梁希俠，班士良 平時(shí)成績（30%）：包括考勤（累計(jì)5次曠課則平時(shí) 成績以零分處置），課堂聽課情況，作業(yè)完成情況， 課堂測驗(yàn)成績 期末考試成績（70%） 現(xiàn)代力學(xué)現(xiàn)代力學(xué) 力學(xué)力學(xué) 牛頓力學(xué)牛頓力學(xué)( (牛頓三大定律牛頓三大定律+ +萬有引力定律萬有引力定律) ) 量子力學(xué)量子力學(xué)(微觀）微觀） 相對(duì)論力學(xué)（高速）相對(duì)論力學(xué)（高速） 分析力學(xué)分析力學(xué) （拉格朗日力學(xué)（拉格朗日力學(xué)+ +哈密頓力學(xué)

3、哈密頓力學(xué)) ) 力學(xué)的發(fā)展力學(xué)的發(fā)展 經(jīng)典力學(xué)經(jīng)典力學(xué) (低速、宏觀低速、宏觀) 歷史發(fā)展的先后 研究方法的不同 二、適用范圍 低速低速 、 宏觀物體宏觀物體 的運(yùn)動(dòng)。的運(yùn)動(dòng)。 這里：l 指物體的特征尺度；a 指原子的尺度。 8 (3 10 m/s)vc 10 (10m)la 牛頓力學(xué)回顧 一、研究對(duì)象及研究方法 物體的機(jī)械運(yùn)動(dòng)(物質(zhì)世界最低級(jí)、最基本的運(yùn)動(dòng) 形態(tài))，即物體的空間位置隨時(shí)間變化的規(guī)律。 拉格朗日在分析力學(xué)序中宣稱：“在這本書中找不到一 張圖，我所敘述的方法既不需要作圖，也不需要任何幾何的 或力學(xué)的推理，只需要統(tǒng)一而有規(guī)則的代數(shù)(分析)運(yùn)算”。 法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家 分析力學(xué)的

4、創(chuàng)立者。在其名著分析 力學(xué)中，把數(shù)學(xué)分析應(yīng)用于質(zhì)點(diǎn)和剛 體力學(xué)，提出了運(yùn)用于靜力學(xué)和動(dòng)力學(xué) 的普遍方程，引進(jìn)廣義坐標(biāo)的概念，建 立了拉格朗日方程，把力學(xué)體系的運(yùn)動(dòng) 方程從以力為基本概念的牛頓形式以力為基本概念的牛頓形式，改 變?yōu)橐阅芰繛榛靖拍畹姆治隽W(xué)形式以能量為基本概念的分析力學(xué)形式， 奠定了分析力學(xué)的基礎(chǔ)，為把力學(xué)理論 推廣應(yīng)用到物理學(xué)其他領(lǐng)域開辟了道路 愛爾蘭人 他的研究工作涉及不少領(lǐng)域，成果 最大的是光學(xué)、力學(xué)和四元數(shù)他 研究的光學(xué)是幾何光學(xué)，具有數(shù)學(xué) 性質(zhì)；力學(xué)則是列出動(dòng)力學(xué)方程及 求解；因此哈密頓主要是數(shù)學(xué) 家但在科學(xué)史中影響最大的卻是 他對(duì)力學(xué)的貢獻(xiàn)哈密頓量是現(xiàn)代 物理最重要的

5、量，當(dāng)我們得到哈密 頓量，就意味著得到了全部 第一章 拉格朗日方程和哈密頓方程 1-1 自由度自由度 約束與廣義坐標(biāo)約束與廣義坐標(biāo) 自由度：為單值地確定一個(gè)系統(tǒng)的位置所必需給定的 獨(dú)立變量的數(shù)目。 質(zhì)點(diǎn)：為了確定一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在空間的位置，常需要三個(gè) 坐標(biāo)x、y、z。 a：假如質(zhì)點(diǎn)是完全自由的，即x、y、z彼此獨(dú)立， 則稱該質(zhì)點(diǎn)有3個(gè)自由度。 b：假如質(zhì)點(diǎn)被限制在xy平面上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)有z=0， 它就是限制質(zhì)點(diǎn)自由運(yùn)動(dòng)的條件，稱為“約束”。 z=0稱為約束方程。此時(shí)，這個(gè)質(zhì)點(diǎn)只剩下兩個(gè)坐標(biāo) 可以任意取值，則稱該質(zhì)點(diǎn)有2個(gè)自由度。 c：把質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)平面擴(kuò)展到空間中的任意平面， 改制點(diǎn)的平面運(yùn)動(dòng)方程Ax+

6、By+Cz+D=0（該方程 稱為約束方程），獨(dú)立地確定x、y，就可以確定z， 則稱該質(zhì)點(diǎn)有2個(gè)自由度。 d：依此類推，假如限制質(zhì)點(diǎn)只在一條直線上運(yùn)動(dòng)， 則約束方程為兩個(gè)，可供獨(dú)立選擇的坐標(biāo)變量是一 個(gè)，則稱質(zhì)點(diǎn)有1個(gè)自由度。 e：假設(shè)有N個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的一個(gè)系統(tǒng)。系統(tǒng)的質(zhì)點(diǎn) 自由運(yùn)動(dòng)時(shí)，自由度數(shù)為3N；若有k個(gè)約束方程， 則自由度數(shù)為3N-k。 廣義坐標(biāo)、廣義速度廣義坐標(biāo)、廣義速度 假設(shè)一個(gè)系統(tǒng)有假設(shè)一個(gè)系統(tǒng)有s個(gè)自由度，那么確定該系統(tǒng)位置，個(gè)自由度，那么確定該系統(tǒng)位置， 需要用到需要用到s個(gè)變量，把這個(gè)變量，把這s個(gè)變量用個(gè)變量用q1、q2、q3、 qs來表示，稱為該系統(tǒng)的來表示，稱為該系統(tǒng)的s

7、個(gè)個(gè)廣義坐標(biāo)廣義坐標(biāo)。 廣義坐標(biāo)對(duì)時(shí)間廣義坐標(biāo)對(duì)時(shí)間t t的微商，的微商，dq/dtdq/dt，記為，記為 ，稱為，稱為 廣義速度廣義速度。 q 導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù) 拉格朗日函數(shù)拉格朗日函數(shù)：它是由系統(tǒng)的動(dòng)能和勢能定義的函數(shù)它是由系統(tǒng)的動(dòng)能和勢能定義的函數(shù)。 L = T-U 把牛頓運(yùn)動(dòng)方程寫成關(guān)于動(dòng)能和勢能的形式。把牛頓運(yùn)動(dòng)方程寫成關(guān)于動(dòng)能和勢能的形式。 N N個(gè)質(zhì)點(diǎn)的牛頓運(yùn)動(dòng)方程寫為：個(gè)質(zhì)點(diǎn)的牛頓運(yùn)動(dòng)方程寫為： ).,2 , 1( ,NiZzmYymXxm iiiiiiiii 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能表示為：質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能表示為： N i iiii zyxmT 1 222 2 1 1-2 拉格朗日方程拉格朗日方程

8、分力分力 分力為分力為保守力保守力（保守力系中，勢能與力的關(guān)系：勢能梯度的負(fù)（保守力系中，勢能與力的關(guān)系：勢能梯度的負(fù) 值為力，勢能下降最快的方向?yàn)榱Φ姆较?。）值為力，勢能下降最快的方向?yàn)榱Φ姆较?。），可表示為：可表示為?iii iiii i d m xd x dT mm xX dtxdtdt N i iiii zyxmT 1 222 2 1 得到：得到： 0 ii x U x T dt d 0 ii x U x T dt d 同理同理 可得可得 到：到： 0 ii LUTLd dtxx 與速度無關(guān)與速度無關(guān) 與坐標(biāo)無關(guān)與坐標(biāo)無關(guān) 0 0 0 ii ii ii dLL dtxx dLL dt

9、yy dLL dtzz 用用廣義坐標(biāo)廣義坐標(biāo)表示的拉格朗日方程表示的拉格朗日方程： 0 jj q L q L dt d (j=1,2,s) 拉氏方程的特點(diǎn)拉氏方程的特點(diǎn): 是一個(gè)二階微分方程組，方程個(gè)數(shù)與體系的自由度相同。形是一個(gè)二階微分方程組，方程個(gè)數(shù)與體系的自由度相同。形 式簡潔、結(jié)構(gòu)緊湊。而且無論選取什么參數(shù)作廣義坐標(biāo)，方式簡潔、結(jié)構(gòu)緊湊。而且無論選取什么參數(shù)作廣義坐標(biāo)，方 程形式不變。程形式不變。 方程中不出現(xiàn)約束條件，因而在建立體系的方程時(shí)，只需分方程中不出現(xiàn)約束條件，因而在建立體系的方程時(shí)，只需分 析已知的主動(dòng)力。體系越復(fù)雜，約束條件越多，自由度越少，析已知的主動(dòng)力。體系越復(fù)雜，約

10、束條件越多，自由度越少， 方程個(gè)數(shù)也越少，問題也就越簡單。方程個(gè)數(shù)也越少，問題也就越簡單。 3. 1-4 哈密度函數(shù)哈密度函數(shù) 哈密頓方程哈密頓方程 哈密頓提出用哈密頓提出用s s個(gè)廣義坐標(biāo)和個(gè)廣義坐標(biāo)和s s個(gè)廣義動(dòng)量描述體個(gè)廣義動(dòng)量描述體 系的運(yùn)動(dòng)，系的運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)出了三種不同形式的方程：導(dǎo)出了三種不同形式的方程：哈密頓正則哈密頓正則 方程方程、哈密頓原理和哈密頓、哈密頓原理和哈密頓雅可比方程，稱為經(jīng)雅可比方程，稱為經(jīng) 典力學(xué)的典力學(xué)的哈密頓理論哈密頓理論。哈密頓理論和拉格朗日理論、哈密頓理論和拉格朗日理論、 牛頓理論是等價(jià)的。牛頓理論是等價(jià)的。 廣義動(dòng)量：廣義動(dòng)量： 222 1 2 Tmxy

11、z U與速度與速度 無關(guān)：無關(guān)： q L p 變換形式，令：變換形式，令： 微分：微分： 獨(dú)立變量 勒讓德變換公式：勒讓德變換公式： 只換一個(gè)變量時(shí)：只換一個(gè)變量時(shí)： 獨(dú)立變量 對(duì)拉格朗日函數(shù)進(jìn)行勒讓德變換得到哈密頓函數(shù): q L p 廣義動(dòng)量：廣義動(dòng)量： 對(duì)上式兩邊求微分，對(duì)上式兩邊求微分， 左邊：左邊： 右邊：右邊： 由由拉格朗日方程拉格朗日方程:0 jj q L q L dt d q H p p H q -哈密頓正則（運(yùn)動(dòng)）方程哈密頓正則（運(yùn)動(dòng)）方程是是哈密頓函數(shù)哈密頓函數(shù)的微分形式的微分形式. . 1 s jj j HLp q 1-5 哈密度函數(shù)的物理意義哈密度函數(shù)的物理意義 對(duì)于一個(gè)

12、保守系，并且對(duì)于一個(gè)保守系，并且L不顯含不顯含t時(shí)，時(shí)， 哈密頓函數(shù)的物理意義：通過化簡哈密頓函數(shù)的物理意義：通過化簡: H=U+T=E(總能量總能量) 哈密頓函數(shù)正好為哈密頓函數(shù)正好為系統(tǒng)的勢能和動(dòng)能的總和系統(tǒng)的勢能和動(dòng)能的總和， 即為即為系統(tǒng)的總能量系統(tǒng)的總能量。 1 s jj j HLp q 歐勒定理：歐勒定理： 證明： q H p p H q 通過變分，可以把微分方程變?yōu)樽罾硐胱詈唵蔚耐ㄟ^變分，可以把微分方程變?yōu)樽罾硐胱詈唵蔚?形式，即形式，即哈密頓正則方程哈密頓正則方程，哈密頓用這個(gè)方程提供了，哈密頓用這個(gè)方程提供了 一個(gè)普遍原理，對(duì)量子力學(xué)中一個(gè)普遍原理，對(duì)量子力學(xué)中薛定諤方程薛定諤方程的建立和廣的建立和廣 義相對(duì)論都提供了橋梁。義相對(duì)論都提供了橋梁。 人們發(fā)現(xiàn)，能量觀點(diǎn)和拉格朗日方程、哈密頓原人們發(fā)現(xiàn)，能量觀點(diǎn)和拉格朗日方程、哈密頓原 理及正則方程，完