熱力學統(tǒng)計物理 第4章_

1、 1 2 研究對象研究對象: : 大量微觀粒子組成的宏觀物質(zhì)系統(tǒng)。大量微觀粒子組成的宏觀物質(zhì)系統(tǒng)。 ( (微觀粒子：如分子、原子、自由電子、光子等微觀粒子：如分子、原子、自由電子、光子等) ) 統(tǒng)計物理認為統(tǒng)計物理認為: : 宏觀性質(zhì)是大量微觀粒子運動的集體表現(xiàn)。宏觀性質(zhì)是大量微觀粒子運動的集體表現(xiàn)。 宏觀物理量是相應微觀物理量的統(tǒng)計平均值。宏觀物理量是相應微觀物理量的統(tǒng)計平均值。 經(jīng)典統(tǒng)計經(jīng)典統(tǒng)計: : 粒子滿足經(jīng)典力學規(guī)律粒子滿足經(jīng)典力學規(guī)律 ( (運動狀態(tài)的經(jīng)典描述運動狀態(tài)的經(jīng)典描述) ) 量子統(tǒng)計量子統(tǒng)計: : 粒子滿足量子力學規(guī)律粒子滿足量子力學規(guī)律 ( (運動狀態(tài)的量子描述運動狀態(tài)

2、的量子描述) ) 本章內(nèi)容本章內(nèi)容: : 經(jīng)典描述經(jīng)典描述; ; 量子描述量子描述; ; 三種分布函數(shù)及相三種分布函數(shù)及相 應的微觀狀態(tài)數(shù)。應的微觀狀態(tài)數(shù)。 3 遵守遵守經(jīng)典力學經(jīng)典力學運動規(guī)律的粒子，稱為運動規(guī)律的粒子，稱為經(jīng)典粒子經(jīng)典粒子。 1. 具有具有“顆粒性顆粒性”：有一定的質(zhì)量、電荷等性質(zhì)。：有一定的質(zhì)量、電荷等性質(zhì)。 2. 軌道運動軌道運動：滿足牛頓定律：滿足牛頓定律. 給定初時刻的給定初時刻的 、 ，可，可 確定其運動軌跡確定其運動軌跡 (確定性描述確定性描述)。經(jīng)典粒子可以被。經(jīng)典粒子可以被“跟蹤跟蹤”。 3. 可以分辨可以分辨：經(jīng)典：經(jīng)典全同粒子可以分辨。全同粒子可以分辨。

3、 具有完全相同屬性（質(zhì)量、電荷、自旋等）的同類粒子具有完全相同屬性（質(zhì)量、電荷、自旋等）的同類粒子 稱為稱為全同粒子全同粒子。 4. 能量是連續(xù)的能量是連續(xù)的：按照經(jīng)典力學的觀點，在允許的能：按照經(jīng)典力學的觀點，在允許的能 量范圍內(nèi)，粒子的能量可取任何值。量范圍內(nèi)，粒子的能量可取任何值。 r p 4 一一 空間（相空間）空間（相空間） ：粒子位置和動量構(gòu)成的空間粒子位置和動量構(gòu)成的空間 經(jīng)典力學經(jīng)典力學: 確定一個粒子的運動狀態(tài)用確定一個粒子的運動狀態(tài)用 和和 。 自由度自由度 r =1（曲線上運動（曲線上運動) : x 和和 px 描述其狀態(tài)；描述其狀態(tài)； r = 3（3D空間中運動空間中運

4、動): x, y, z 和和 px , py , pz 描述狀態(tài)。描述狀態(tài)。 若粒子有內(nèi)部運動若粒子有內(nèi)部運動, 則則 r 更大。如雙原子分子更大。如雙原子分子 , , p , p 一般地，設粒子的自由度為一般地，設粒子的自由度為 r ， 其力學運動狀態(tài)由粒子其力學運動狀態(tài)由粒子 的的 r 個廣義坐標個廣義坐標 q1、q2、qr 和相應的和相應的 r 個廣義動量個廣義動量 p1、 p2、 pr 共共 2r 個量的值確定。粒子能量個量的值確定。粒子能量： =( q1、q2、qr ，p1、p2、pr ) 。 r p 總之，微觀粒子運動狀態(tài)的經(jīng)典描述是采用粒子的坐總之，微觀粒子運動狀態(tài)的經(jīng)典描述是采

5、用粒子的坐 標和動量共同描述的方法。標和動量共同描述的方法。 5 用單粒子的廣義坐標和廣義動量用單粒子的廣義坐標和廣義動量 q1, q2 , qr, p1, p2 , pr 為直角坐標構(gòu)成為直角坐標構(gòu)成2r 維空間維空間, , 稱為稱為粒子相空間粒子相空間 ( (即即 空間空間). ). 例如：單原子分子例如：單原子分子 r =3 ，空間是空間是6維。維。 剛性雙原子分子剛性雙原子分子 r = 5，空間是空間是10維的。維的。 粒子在某時刻的力學運動狀態(tài)粒子在某時刻的力學運動狀態(tài)(q1、pr )可用可用空間中空間中 的一個點表示，稱為粒子運動狀態(tài)的代表點。的一個點表示，稱為粒子運動狀態(tài)的代表點

6、。 （1）代表點代表點: 粒子的一個微觀運動狀態(tài)，粒子的一個微觀運動狀態(tài)， （2）相軌道相軌道: 粒子狀態(tài)的變化粒子狀態(tài)的變化, 代表點在代表點在 空間中的移動?？臻g中的移動。 （3）N 粒子系統(tǒng)粒子系統(tǒng), 需需N個代表點描述系統(tǒng)的一個微觀狀態(tài)個代表點描述系統(tǒng)的一個微觀狀態(tài). （4）體積元體積元：各軸上截?。焊鬏S上截取dq1 , dq2 , , dqr , dp1 , dp2 , , dpr , 則圍成則圍成空間中的體積元：空間中的體積元： d = dq1 dq2 dqr dp1 dp2 dpr 6 二二 經(jīng)典描述方法例子經(jīng)典描述方法例子 1 自由粒子自由粒子 不受外力作用的粒子（如理想氣體不

7、受外力作用的粒子（如理想氣體 分子、金屬自由電子等），其能量分子、金屬自由電子等），其能量 1D自由粒子自由粒子: 限制在長限制在長L范圍內(nèi)范圍內(nèi) (線狀材料等線狀材料等)； 互相正交的互相正交的 x、px 軸構(gòu)成軸構(gòu)成2D的的空間?？臻g。 相軌道相軌道“”等能面等能面是一條直線是一條直線. 3D自由粒子：自由粒子：r = 3 , 設粒子處于體積設粒子處于體積 V 中。狀態(tài)由中。狀態(tài)由 x、 y、z、px、py、pz 確定，確定，空間是空間是 6 維的。維的。 m p 2 2 粒子能量粒子能量 = ( px2 + py2 + pz2 ) / / 2m 動量動量子空間子空間的半徑的半徑 mppp

8、p zyx 2 222 x x p LO 7 等能面等能面（在動量子空間中）是半徑為的（在動量子空間中）是半徑為的 球面。球面。 相空間的體積（動量小于相空間的體積（動量小于p時）時） 2/3 )2( 3 4 mVdpdpdpdxdydz zyx m2 自由度為自由度為 1, 某時刻粒子狀態(tài)為（某時刻粒子狀態(tài)為（x, px）。）。空間為二空間為二 維。若給定振子的能量維。若給定振子的能量, 運動軌跡由如下方程確定：運動軌跡由如下方程確定： 22 2 2 1 2 xm m px 2 線性諧振子線性諧振子 質(zhì)量為質(zhì)量為 m 的粒子在力的粒子在力 f = - -kx 作用下的一維簡諧振動作用下的一維

9、簡諧振動 （如雙原子分子（如雙原子分子; 晶體中格點上的原子、離子等）。晶體中格點上的原子、離子等）。 x x p 2222 2 22 1 22 xx ppmx x mab 兩個半軸長度兩個半軸長度 2 2 m b ma2 8 即相空間中的即相空間中的等能面等能面為橢圓。其面積為為橢圓。其面積為 2 Sab p x o 1 2 3 9 一粒子微觀運動狀態(tài)的量子描述一粒子微觀運動狀態(tài)的量子描述 波粒二象性波粒二象性 德布羅意于德布羅意于1924年提出，一切微觀粒子都具有波粒年提出，一切微觀粒子都具有波粒 二象性二象性(中子衍射中子衍射)。 、p 與與 、k 存在德布羅意關(guān)系存在德布羅意關(guān)系 h普

10、朗克常數(shù)普朗克常數(shù) 不確定關(guān)系不確定關(guān)系( (測不準原理測不準原理) ) 微觀粒子的坐標和動量不可能同時具有確定的值。微觀粒子的坐標和動量不可能同時具有確定的值。 用用q 表示粒子坐標的不確定值表示粒子坐標的不確定值, p 表示動量不確定值表示動量不確定值, 粒子運動狀態(tài)的量子描述粒子運動狀態(tài)的量子描述 kp 2 k 2 h hpq 10 微觀粒子的微觀粒子的 和和 不能同時具有確定值不能同時具有確定值不是軌道運動。用不是軌道運動。用 波函數(shù)描述狀態(tài)：波函數(shù)描述狀態(tài)： 表示表示 t 時刻時刻 處粒子出現(xiàn)的概率密度。處粒子出現(xiàn)的概率密度。 2 ),(tr r 電子軌道電子軌道電子出現(xiàn)概率最大的地

11、方。電子出現(xiàn)概率最大的地方。 狀態(tài)的分立性狀態(tài)的分立性 量子力學中，微觀粒子的運動狀態(tài)稱為量子力學中，微觀粒子的運動狀態(tài)稱為量子態(tài)量子態(tài)。它由一。它由一 組組量子數(shù)量子數(shù)來表征，其來表征，其數(shù)目數(shù)目等于粒子的等于粒子的自由度數(shù)自由度數(shù)。 狀態(tài)所對應的力學量狀態(tài)所對應的力學量(如能量如能量 等等)不連續(xù)不連續(xù)狀態(tài)量子化。狀態(tài)量子化。 5 全同性原理全同性原理 全同粒子全同粒子不可分辨不可分辨，任意交換一對粒子不改變系統(tǒng)狀態(tài)，任意交換一對粒子不改變系統(tǒng)狀態(tài). 波函數(shù)描寫態(tài)波函數(shù)描寫態(tài) r p 11 二量子描述例子二量子描述例子 外場中的電子自旋外場中的電子自旋 電子自旋產(chǎn)生磁矩電子自旋產(chǎn)生磁矩 S

12、 m e zz S m e 2 z S m e z 2 2 s ee B BBm mm 而而 所以所以 （自旋方向取向量子化）（自旋方向取向量子化） s m 2 1 即外場中的電子自旋狀態(tài)只需要一個量子數(shù)即外場中的電子自旋狀態(tài)只需要一個量子數(shù) 即可描寫其狀態(tài)，它取兩個分立值即可描寫其狀態(tài)，它取兩個分立值 S B Z 沿磁場方向沿磁場方向 為自旋角動量為自旋角動量 S 12 2 自由粒子自由粒子 （1）一維自由粒子：）一維自由粒子： 自由運動的粒子被限制在邊長為自由運動的粒子被限制在邊長為L的一維容器中。波函數(shù)的一維容器中。波函數(shù) 要滿足一定的邊界條件，采用周期性條件，即要滿足一定的邊界條件，采

13、用周期性條件，即 x nL , 2, 1, 0 nx xx n L k 22 由由 xxx n L kp 2 所以所以 即動量只能取分立的值。即動量只能取分立的值。 負號表示反向傳播負號表示反向傳播 , 2, 1, 0 nx量子數(shù)量子數(shù) 正號表示正向傳播正號表示正向傳播 13 2 2 22 2 2 2 x x n mL m p 能量能量 能量也是分立的。能量也是分立的。 表明：表明： 用一個量子數(shù)就可以確定粒子的動量、能量。用一個量子數(shù)就可以確定粒子的動量、能量。 粒子狀態(tài)是分立的粒子狀態(tài)是分立的能級。能級。 各能級的簡并性：各能級的簡并性：nx=1是不同狀態(tài)是不同狀態(tài) 簡并。簡并。 能級間隔

14、大小與能級間隔大小與L、m成反比，成反比， ) 12( 2 2 2 1 n mL nnn 顯然顯然, 若若L時，時， 0，即能量此時是連續(xù)的。故，即能量此時是連續(xù)的。故 粒子在宏觀尺度上量子效應不顯著，可用經(jīng)典方法描述。粒子在宏觀尺度上量子效應不顯著，可用經(jīng)典方法描述。 1 3 6 14 （2）三維自由粒子：）三維自由粒子： 設自由粒子在邊長為設自由粒子在邊長為L的方盒子中運動。粒子的運動滿的方盒子中運動。粒子的運動滿 足薛定諤方程。由周期性邊界條件得足薛定諤方程。由周期性邊界條件得 xxx n L kp 2 zz n L p 2 yy n L p 2 222 2 1 zyx ppp m 22

15、2 2 22 2 zyx nnn mL 量子態(tài)即由三個量子數(shù)來確定。狀態(tài)是量子化的。量子態(tài)即由三個量子數(shù)來確定。狀態(tài)是量子化的。 對于一定的能量對于一定的能量 ，可包含多個量子態(tài)，可包含多個量子態(tài)能級簡并。能級簡并。 簡并性討論簡并性討論 ： 222 2 22 2 zyx nnn mL 15 經(jīng)典粒子的動量和能量是連續(xù)的經(jīng)典粒子的動量和能量是連續(xù)的, 而在量子描述中而在量子描述中, 動動 量和能量是分立的量和能量是分立的, 這是局域在有限空間范圍粒子的特性。這是局域在有限空間范圍粒子的特性。 0 yx nn1 z n 0 zx nn1 y n 0 zy nn1 x n 六狀態(tài)能量同為六狀態(tài)能量

16、同為 2 22 2 mL 222 2 22 2 zyx nnn mL 3 線性諧振子線性諧振子 2 1 n, 2, 1, 0 n l 用一個量子數(shù)用一個量子數(shù) n 描述狀態(tài)；描述狀態(tài)； l 各能級都是非簡并的，即每個能級只有一個量子態(tài)；各能級都是非簡并的，即每個能級只有一個量子態(tài)； l 能級間隔相同：能級間隔相同： ； l 存在零點能，即存在零點能，即n=0時能量非零。時能量非零。 16 三、粒子的狀態(tài)與三、粒子的狀態(tài)與 空間體積元的對應關(guān)系空間體積元的對應關(guān)系 空間中的體積元為空間中的體積元為: d = dq1dq2 dqr dp1dp2 dpr 如：如：1D：相體積：相體積 x dxdp

17、若對坐標不加限制，則成為若對坐標不加限制，則成為 x Ldp 3D：相體積：相體積 zyx dpdpdxdydzdp 若對坐標不加限制，則成為若對坐標不加限制，則成為 zyx dpdpVdp x x p L O x x p L O x dp x dp dx 17 xx n L p 2 zz n L p 2 yy n L p 2 由由 xx dp L dn 2 有有 zz dp L dn 2 yy dp L dn 2 故在故在 V 中，粒子的動量在間隔中，粒子的動量在間隔 ， xxx dppp yyy dppp zzz dppp 范圍內(nèi)的量子態(tài)數(shù)為范圍內(nèi)的量子態(tài)數(shù)為 zyxzyx dpdpdp

18、h V dndndn 3 在宏觀大小的容器內(nèi)，粒子的動量、能量已變得準連在宏觀大小的容器內(nèi)，粒子的動量、能量已變得準連 續(xù)。但原則上仍有量子數(shù)的概念。這時如何考慮自由粒子續(xù)。但原則上仍有量子數(shù)的概念。這時如何考慮自由粒子 的量子態(tài)數(shù)？的量子態(tài)數(shù)？ 18 利用不確定關(guān)系解釋利用不確定關(guān)系解釋 hpq ii r rr hpppqqq 2121 相格相格：表示粒子的一個狀態(tài)在：表示粒子的一個狀態(tài)在 空間中占有的體積?？臻g中占有的體積。 則上式可理解為：相體積則上式可理解為：相體積Vdpxdpydpz內(nèi)具有的量子態(tài)數(shù)內(nèi)具有的量子態(tài)數(shù) 為相體積為相體積Vdpxdpydpz比上相格。比上相格。 在在 空間

19、體積元空間體積元 d d 內(nèi)內(nèi)粒子可能的狀態(tài)數(shù)為粒子可能的狀態(tài)數(shù)為 r rr r h dpdpdpdqdqdq h d 2121 zyxzyx dpdpdp h V dndndn 3 19 四四. . 三維自由粒子的態(tài)密度三維自由粒子的態(tài)密度 1D：相體積：相體積 dxdpx , 若對坐標不限制，相體積若對坐標不限制，相體積 Ldpx 其中狀態(tài)數(shù)其中狀態(tài)數(shù) hLdpx/ 3D： 空間為空間為6維維, 相格大小為相格大小為 h3, 下面分幾種情況討論下面分幾種情況討論. 1 直角坐標直角坐標 組成的體積元組成的體積元 內(nèi)內(nèi) zyx dpdpdxdydzdp 3 / xyz dxdydzdp dp

20、 dph 粒子的狀態(tài)數(shù)為粒子的狀態(tài)數(shù)為 dxxx xxx dppp zzz dppp yyy dppp dzzz dyyy 20 zyx dpdpdp h V 3 3 若動量空間中采用球坐標若動量空間中采用球坐標， 2 sinsin Vpdpddppdp dd 在體積在體積V 內(nèi)，動量大小在內(nèi)，動量大小在 p 到到 p + dp, 動量方向在動量方向在 到到 + d ， 到到 + d內(nèi)，自由粒子可能的狀態(tài)數(shù)為：內(nèi)，自由粒子可能的狀態(tài)數(shù)為： 3 2sin h d d dp p V 2 若對坐標不加限制若對坐標不加限制, ， dppp xxx zzz dppp ， dppp yyy 內(nèi)的狀態(tài)數(shù)為內(nèi)

21、的狀態(tài)數(shù)為 則在則在 V 中中, 動量范圍動量范圍 ( , , )p 描述質(zhì)點的動量描述質(zhì)點的動量 sincos, sinsin, cos . x y z pp pp pp 則動量空間的體積元：則動量空間的體積元： z x y p 21 4 若對動量的方向不加限制若對動量的方向不加限制，則在體積則在體積 V 內(nèi)，動量絕對值內(nèi)，動量絕對值 在在 p 到到 p+dp 的范圍內(nèi)，自由粒子可能的狀態(tài)數(shù)為：的范圍內(nèi)，自由粒子可能的狀態(tài)數(shù)為： 2 2 2 33 00 sin 4V pdpV ddp dp hh 5 以能量形式表示以能量形式表示 m p 2 2 3/2 21 2 33 42 2 VV p d

22、pmd hh / mp2 d m dp 2 22 dm h V dD 2123 3 2 2 )( / D( ) 表示表示 附近單位能量間隔內(nèi)的狀態(tài)數(shù)附近單位能量間隔內(nèi)的狀態(tài)數(shù), 稱為稱為態(tài)密度態(tài)密度。 以上的計算沒有考慮粒子的自旋，如果粒子的自旋不以上的計算沒有考慮粒子的自旋，如果粒子的自旋不 等于零，還要考慮自旋的貢獻。等于零，還要考慮自旋的貢獻。 表示：在表示：在 V 內(nèi)，在內(nèi)，在 到到 + d 的范圍內(nèi)自由粒的范圍內(nèi)自由粒 子可能的狀態(tài)數(shù)。子可能的狀態(tài)數(shù)。 定義：定義： 23熱統(tǒng) 4.2 4.2 系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的描述系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的描述 全同粒子系統(tǒng)全同粒子系統(tǒng) 就是由具有就是由具有

23、完全相同屬性完全相同屬性（相同的質(zhì)量、自旋、（相同的質(zhì)量、自旋、 電荷等）的同類粒子所組成的系統(tǒng)。如自由電子氣體。電荷等）的同類粒子所組成的系統(tǒng)。如自由電子氣體。 近獨立粒子系統(tǒng)：近獨立粒子系統(tǒng)：粒子之間的相互作用很弱，相互作用的平粒子之間的相互作用很弱，相互作用的平 均能量遠小于單個粒子的平均能量，因而可以忽略粒子之間的均能量遠小于單個粒子的平均能量，因而可以忽略粒子之間的 相互作用。將相互作用。將整個系統(tǒng)的能量表達為單個粒子的能量之和整個系統(tǒng)的能量表達為單個粒子的能量之和。( 如如 理想氣體：近獨立的粒子組成的系統(tǒng)理想氣體：近獨立的粒子組成的系統(tǒng) ) i i E 一一 基本概念基本概念 2

24、4熱統(tǒng) 任一粒子的狀態(tài)發(fā)生變化任一粒子的狀態(tài)發(fā)生變化, 則整個系統(tǒng)的微觀狀態(tài)發(fā)生變化則整個系統(tǒng)的微觀狀態(tài)發(fā)生變化 經(jīng)典描述單粒子的狀態(tài)要經(jīng)典描述單粒子的狀態(tài)要 r 個廣義坐標和個廣義坐標和 r 個廣義動量，個廣義動量，N個個 粒子系統(tǒng)的微觀運動狀態(tài)需要粒子系統(tǒng)的微觀運動狀態(tài)需要 ( i = 1, 2, , N ) 共共 2N 個變量來確定。在個變量來確定。在 空間中要用空間中要用N個點表示個點表示 系統(tǒng)某時刻的一個微觀運動狀態(tài)。系統(tǒng)某時刻的一個微觀運動狀態(tài)。 qi1、qi 2、qir； pi1、pi 2、pir i ji j 二二 系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的經(jīng)典描述系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的經(jīng)典描述 全同粒子

25、是可以分辨的。全同粒子是可以分辨的。在全同粒子系統(tǒng)中在全同粒子系統(tǒng)中, 將兩個粒將兩個粒 子的運動狀態(tài)加以交換子的運動狀態(tài)加以交換, 則系統(tǒng)的力學運動狀態(tài)是不同的。則系統(tǒng)的力學運動狀態(tài)是不同的。 25熱統(tǒng) B) 粒子狀態(tài)是分立的。粒子狀態(tài)是分立的。 粒子所處的狀態(tài)叫量子態(tài)粒子所處的狀態(tài)叫量子態(tài) (單粒子態(tài)單粒子態(tài))。 量子態(tài)量子態(tài) 用一組量子數(shù)表征（如自由粒子用一組量子數(shù)表征（如自由粒子nx, ny, nz）. 不同量子態(tài)的量子數(shù)取值不同。不同量子態(tài)的量子數(shù)取值不同。 量子描述單粒子的狀態(tài)是確定單粒子的量子態(tài)，對于量子描述單粒子的狀態(tài)是確定單粒子的量子態(tài)，對于 N個粒子的系統(tǒng)，就是個粒子的系統(tǒng)

26、，就是確定各個量子態(tài)上的粒子數(shù)確定各個量子態(tài)上的粒子數(shù)。 三三 系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的量子描述系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的量子描述 A) 全同粒子是不可分辨的。交換任何一對粒子不改變?nèi)Ｗ邮遣豢煞直娴?。交換任何一對粒子不改變 整個系統(tǒng)的微觀狀態(tài)。整個系統(tǒng)的微觀狀態(tài)。 但定域系粒子可辨（定域系但定域系粒子可辨（定域系粒子位置被限定）粒子位置被限定） 26熱統(tǒng) 1 1 玻耳茲曼系統(tǒng)玻耳茲曼系統(tǒng) 由可分辨的全同近獨立粒子組成，且處在一個個體量由可分辨的全同近獨立粒子組成，且處在一個個體量 子態(tài)上的粒子數(shù)不受限制的系統(tǒng)。子態(tài)上的粒子數(shù)不受限制的系統(tǒng)。 確定了每個粒子所處的量子態(tài)就確定了系統(tǒng)的一個微觀狀態(tài)確定了每個

27、粒子所處的量子態(tài)就確定了系統(tǒng)的一個微觀狀態(tài) 例：例：設系統(tǒng)由設系統(tǒng)由A、B兩個粒子組成（定域子）。粒子的個體兩個粒子組成（定域子）。粒子的個體 量子態(tài)有量子態(tài)有3個個, 討論系統(tǒng)有那些可能的微觀狀態(tài)？討論系統(tǒng)有那些可能的微觀狀態(tài)？ 因此，對于定域系統(tǒng)可有因此，對于定域系統(tǒng)可有9種不同的微觀狀態(tài)，即種不同的微觀狀態(tài)，即 32。 一般地為一般地為 . a A B 1 2 3 27熱統(tǒng) 2 2 不可分辨的全同粒子系統(tǒng)不可分辨的全同粒子系統(tǒng) 對于不可分辨的全同粒子，必須考慮全同性原理。對于不可分辨的全同粒子，必須考慮全同性原理。 確定了每個量子態(tài)上的粒子數(shù)就確定了系統(tǒng)的微觀狀態(tài)確定了每個量子態(tài)上的粒子

28、數(shù)就確定了系統(tǒng)的微觀狀態(tài) （1）玻色系統(tǒng)：）玻色系統(tǒng)：即自旋量子數(shù)為整數(shù)的粒子組成的系統(tǒng)即自旋量子數(shù)為整數(shù)的粒子組成的系統(tǒng). 如光子自旋為如光子自旋為1、 介子自旋為介子自旋為0。由玻色子構(gòu)成的復合。由玻色子構(gòu)成的復合 粒子是玻色子，由偶數(shù)個費米子構(gòu)成的復合粒子也是玻色子粒子是玻色子，由偶數(shù)個費米子構(gòu)成的復合粒子也是玻色子 粒子不可分辨，每個量子態(tài)上的粒子數(shù)不限粒子不可分辨，每個量子態(tài)上的粒子數(shù)不限（即不受泡（即不受泡 利原理限制）利原理限制） 28熱統(tǒng) （2）費米系統(tǒng)：）費米系統(tǒng)：即自旋量子數(shù)為半整數(shù)的粒子組成的系統(tǒng)即自旋量子數(shù)為半整數(shù)的粒子組成的系統(tǒng) 如電子、質(zhì)子、中子等都是自旋為如電子、

29、質(zhì)子、中子等都是自旋為1/2的費米子。由奇的費米子。由奇 數(shù)個費米子構(gòu)成的復合粒子也是費米子。數(shù)個費米子構(gòu)成的復合粒子也是費米子。 粒子不可分辨，每個個體量子態(tài)上最多能容納一個粒粒子不可分辨，每個個體量子態(tài)上最多能容納一個粒 子（費米子遵從泡利原理）。子（費米子遵從泡利原理）。 上例變?yōu)樯侠優(yōu)?(A=B) 兩個玻色子占據(jù)兩個玻色子占據(jù) 3個量子態(tài)有個量子態(tài)有6種種 方式方式 29熱統(tǒng) 仍為仍為 A=B 兩個費米子占據(jù)兩個費米子占據(jù)3個量個量 子態(tài)有子態(tài)有3種占據(jù)方式種占據(jù)方式 對于不同統(tǒng)計性質(zhì)的系統(tǒng)，即使它們有相同的粒子數(shù)、對于不同統(tǒng)計性質(zhì)的系統(tǒng)，即使它們有相同的粒子數(shù)、 相同的量子態(tài)，系統(tǒng)

30、包含的微觀狀態(tài)數(shù)也是不同的。相同的量子態(tài)，系統(tǒng)包含的微觀狀態(tài)數(shù)也是不同的。 上例僅為兩個粒子組成的系統(tǒng)、三個量子態(tài)。對于大上例僅為兩個粒子組成的系統(tǒng)、三個量子態(tài)。對于大 量微觀粒子組成的實際系統(tǒng)，其微觀狀態(tài)數(shù)目是大量的。量微觀粒子組成的實際系統(tǒng)，其微觀狀態(tài)數(shù)目是大量的。 分屬玻耳茲曼系統(tǒng)、玻色系統(tǒng)和費米系統(tǒng)的兩個粒子占據(jù)三個量子態(tài)給出的微觀狀態(tài)數(shù)分屬玻耳茲曼系統(tǒng)、玻色系統(tǒng)和費米系統(tǒng)的兩個粒子占據(jù)三個量子態(tài)給出的微觀狀態(tài)數(shù) 31熱統(tǒng) .3 .3 統(tǒng)計物理學的基本觀點和基本原理統(tǒng)計物理學的基本觀點和基本原理 一.一.宏觀態(tài)與微觀態(tài)宏觀態(tài)與微觀態(tài)的的關(guān)系關(guān)系： 宏觀態(tài)：宏觀態(tài)：系統(tǒng)的熱力學狀態(tài)。系統(tǒng)

31、的熱力學狀態(tài)。 用少數(shù)幾個宏觀參量即可確定系統(tǒng)的宏觀態(tài)。用少數(shù)幾個宏觀參量即可確定系統(tǒng)的宏觀態(tài)。 微觀態(tài)：微觀態(tài)：系統(tǒng)的力學狀態(tài)。系統(tǒng)的力學狀態(tài)。 確定方法：可分辨的全同粒子系統(tǒng)確定方法：可分辨的全同粒子系統(tǒng)(玻耳茲曼系統(tǒng)玻耳茲曼系統(tǒng))； 不可分辨的全同粒子系統(tǒng)不可分辨的全同粒子系統(tǒng)(玻色、費米系玻色、費米系) 確定各微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率就能用統(tǒng)計的方法求出確定各微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率就能用統(tǒng)計的方法求出 微觀量的統(tǒng)計平均值，從而求出相應宏觀物理量，因此微觀量的統(tǒng)計平均值，從而求出相應宏觀物理量，因此 確定各微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率確定各微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率是統(tǒng)計物理學的基本問題。是統(tǒng)計物理學的基本問題。

32、宏觀性質(zhì)是大量微觀粒子運動的集體表現(xiàn)；宏觀性質(zhì)是大量微觀粒子運動的集體表現(xiàn)； 宏觀物理量是相應微觀物理量的統(tǒng)計平均值。宏觀物理量是相應微觀物理量的統(tǒng)計平均值。 32熱統(tǒng) 對于處在平衡狀態(tài)的孤立系統(tǒng)，系統(tǒng)各個可能的微觀狀對于處在平衡狀態(tài)的孤立系統(tǒng)，系統(tǒng)各個可能的微觀狀 態(tài)出現(xiàn)的概率是相等的！態(tài)出現(xiàn)的概率是相等的！ 等概率原理是統(tǒng)計物理學中的一個基本假設，是平衡態(tài)等概率原理是統(tǒng)計物理學中的一個基本假設，是平衡態(tài) 統(tǒng)計物理學理論的基礎。統(tǒng)計物理學理論的基礎。不能直接從實驗上驗證。它的正確不能直接從實驗上驗證。它的正確 性在于從它推出的各種結(jié)論上的正確性。性在于從它推出的各種結(jié)論上的正確性。 二二.

33、等概率原理：等概率原理： 對于孤立系統(tǒng)對于孤立系統(tǒng), 會出現(xiàn)大量的微觀狀態(tài)。會出現(xiàn)大量的微觀狀態(tài)。 這些微觀狀態(tài)都滿足具有確定的這些微觀狀態(tài)都滿足具有確定的N、E、V 的宏觀條件。的宏觀條件。 33熱統(tǒng) 4.4 4.4 近獨立粒子系統(tǒng)的分布和微觀狀態(tài)數(shù)近獨立粒子系統(tǒng)的分布和微觀狀態(tài)數(shù) 大量全同近獨立粒子組成的系統(tǒng)，有確定的大量全同近獨立粒子組成的系統(tǒng)，有確定的N,E,V(孤立系孤立系)。 一、分布一、分布 若確定了各能級上的粒子數(shù)，則確定了系統(tǒng)的一個分布。若確定了各能級上的粒子數(shù)，則確定了系統(tǒng)的一個分布。 l , 21 l , 21 ， a a a l , 21 ， 簡并度簡并度 粒子數(shù)粒子數(shù)

34、 N 粒子系統(tǒng)的粒子系統(tǒng)的 能能 級級 即：能級即：能級 1上有上有a1個粒子，個粒子， 能級能級 2上有上有a2個粒子，個粒子，。 這就給出一個分布，即數(shù)列這就給出一個分布，即數(shù)列 al 1 1 a 2 a l a 2 l 滿足約束條件滿足約束條件 Na l l , Ea l ll 34熱統(tǒng) 分布只表示每一個能級上有多少個粒子。一種分布包分布只表示每一個能級上有多少個粒子。一種分布包 含大量的微觀狀態(tài)。含大量的微觀狀態(tài)。 每一種不同的占據(jù)方式都是不同的微觀運動狀態(tài)。每一種不同的占據(jù)方式都是不同的微觀運動狀態(tài)。 對一個確定的分布，它相應的微觀狀態(tài)數(shù)是確定的。對一個確定的分布，它相應的微觀狀態(tài)數(shù)

35、是確定的。 二、分布二、分布 al 包含的微觀狀態(tài)數(shù)（量子描述）包含的微觀狀態(tài)數(shù)（量子描述） 1 玻耳茲曼系統(tǒng)玻耳茲曼系統(tǒng) ( (定域系統(tǒng)定域系統(tǒng)) )： 粒子可以分辨粒子可以分辨(可編號可編號)，每個量子態(tài)上的粒子數(shù)不限。，每個量子態(tài)上的粒子數(shù)不限。 (1) al 個粒子占據(jù)個粒子占據(jù) l 上的上的l個量子態(tài)的占據(jù)方式數(shù)個量子態(tài)的占據(jù)方式數(shù): (2) 各個能級都考慮在內(nèi)，系統(tǒng)總的占據(jù)方式數(shù)各個能級都考慮在內(nèi)，系統(tǒng)總的占據(jù)方式數(shù): (3) 由于粒子可分辨，能級之間粒子的交換是新的占據(jù)由于粒子可分辨，能級之間粒子的交換是新的占據(jù) 方式），能級之間粒子的交換有方式），能級之間粒子的交換有 種不同的

36、交換種不同的交換 方式。（未改變分布）方式。（未改變分布） l a l l a l l l l aN!/ / 35熱統(tǒng) 例：系統(tǒng)有例：系統(tǒng)有6個可分辨粒子，共兩個能級，個可分辨粒子，共兩個能級， 1=3， 2=4 給定分布：給定分布：a1= 4, a2=2 1 1 a 2 a 2 1 1 a 2 a 2 24 43 (4) 系統(tǒng)分布系統(tǒng)分布 al 包含的總微觀狀態(tài)數(shù)為包含的總微觀狀態(tài)數(shù)為 ! ! l a M Bl l l l N a ll a l a N l ! ! 24 43 能級之間粒子交能級之間粒子交 換的方式數(shù)目為換的方式數(shù)目為 l l a N ! ! 36熱統(tǒng) 2 玻色系統(tǒng)分布玻色系

37、統(tǒng)分布 al 包含的微觀狀態(tài)數(shù)包含的微觀狀態(tài)數(shù) 粒子不可分辨，交換任意一對粒子不改變系統(tǒng)的微觀態(tài)。粒子不可分辨，交換任意一對粒子不改變系統(tǒng)的微觀態(tài)。 每個量子態(tài)上的粒子數(shù)不受限制。每個量子態(tài)上的粒子數(shù)不受限制。 CDE A B 12 34 (1) al個粒子占據(jù)能級個粒子占據(jù)能級 l 上的上的 l個量子態(tài)的占據(jù)方式數(shù)：個量子態(tài)的占據(jù)方式數(shù)： 用用 表示量子態(tài)，表示量子態(tài)， 表示粒子。表示粒子。 例如：例如：規(guī)定：粒子占據(jù)左邊的量子態(tài)。規(guī)定：粒子占據(jù)左邊的量子態(tài)。 12345 這樣就確定了每個量子態(tài)上的粒子數(shù)，即確定了一種占這樣就確定了每個量子態(tài)上的粒子數(shù)，即確定了一種占 據(jù)方式（一個微觀態(tài)）。

38、據(jù)方式（一個微觀態(tài)）。 改變排列，可得到新的占據(jù)方式。改變排列，可得到新的占據(jù)方式。 37熱統(tǒng) 12345 12345 1345 2 粒子和量子態(tài)之間的交換粒子和量子態(tài)之間的交換 會產(chǎn)生新的占據(jù)方式：會產(chǎn)生新的占據(jù)方式： 量子態(tài)和量子態(tài)之間的交換量子態(tài)和量子態(tài)之間的交換 不產(chǎn)生新的占據(jù)方式：不產(chǎn)生新的占據(jù)方式： 顯然，粒子和粒子之間的交換顯然，粒子和粒子之間的交換 不會產(chǎn)生新的占據(jù)方式。不會產(chǎn)生新的占據(jù)方式。 其中粒子與粒子的交換、量子態(tài)與量子態(tài)的交換不產(chǎn)其中粒子與粒子的交換、量子態(tài)與量子態(tài)的交換不產(chǎn) 生新的微觀態(tài)。只有量子態(tài)與粒子交換導致不同微觀態(tài)。生新的微觀態(tài)。只有量子態(tài)與粒子交換導致不同

39、微觀態(tài)。 量子態(tài)、粒子各種交換量子態(tài)、粒子各種交換(排列排列)總數(shù)總數(shù))!1( ll a 38熱統(tǒng) 量子態(tài)交換數(shù)量子態(tài)交換數(shù))!1( l 粒子交換數(shù)粒子交換數(shù) ! l a 各種交換共有各種交換共有 種種 可能的方式?？赡艿姆绞?。 )!1( ! )!1( ll ll a a （2）將各種能級的結(jié)果相乘，就得到玻色系統(tǒng)與分布將各種能級的結(jié)果相乘，就得到玻色系統(tǒng)與分布 al 相應的微觀狀態(tài)數(shù)為相應的微觀狀態(tài)數(shù)為： (1)! ! (1)! ll BE l ll a a 39熱統(tǒng) 粒子不可分辨，每一個量子態(tài)最多能容納一個粒子。粒子不可分辨，每一個量子態(tài)最多能容納一個粒子。 al 個粒子占據(jù)能級個粒子占據(jù)

40、能級 l 上的上的 l個個 量子態(tài)，占據(jù)方式數(shù)為：從量子態(tài)，占據(jù)方式數(shù)為：從 l個個 量子態(tài)中選取量子態(tài)中選取al 個量子態(tài)讓個量子態(tài)讓al 個粒子占據(jù)，即個粒子占據(jù)，即 3 費米系統(tǒng)分布費米系統(tǒng)分布 al 包含的微觀狀態(tài)數(shù)：包含的微觀狀態(tài)數(shù)： ! !()! l l a l lll C aa 將各能級的結(jié)果相乘，得到費米系統(tǒng)與分布將各能級的結(jié)果相乘，得到費米系統(tǒng)與分布 al 相應的相應的 微觀狀態(tài)數(shù)為：微觀狀態(tài)數(shù)為： . ! !()! l F D l lll aa 40熱統(tǒng) 三、經(jīng)典極限條件下三種分布微觀狀態(tài)數(shù)的關(guān)系三、經(jīng)典極限條件下三種分布微觀狀態(tài)數(shù)的關(guān)系 1 l l a 若滿足若滿足, 稱

41、為稱為經(jīng)典極限條件經(jīng)典極限條件(或或非簡并性條件非簡并性條件) 此時有此時有 !N MB lll llllll a aa )!1(! ) 1()2)(1( ！ lll ll EB a a )!1( ! )!1( . ll a l a l ! llll l FD aa)!( ! ! llll llllll a a aa )!(! )!)(1() 1( !N MB ll a l a l ! !N MB FDBE 即在即在經(jīng)典極限條件下經(jīng)典極限條件下 l l a l MB a N l ! ! 反映粒子全同性反映粒子全同性 原理原理 41 熱統(tǒng) 四四 經(jīng)典系統(tǒng)中的分布和微觀狀態(tài)數(shù)經(jīng)典系統(tǒng)中的分布和微觀

42、狀態(tài)數(shù) 經(jīng)典粒子狀態(tài)由經(jīng)典粒子狀態(tài)由 q1qr ，p1pr 的值確定。的值確定。N 粒子系粒子系 統(tǒng)對應統(tǒng)對應空間中的空間中的N個點。個點。 坐標和動量取值連續(xù)，微觀狀態(tài)不可數(shù)。處理如下坐標和動量取值連續(xù)，微觀狀態(tài)不可數(shù)。處理如下 第一步：第一步： 空間各軸上取間隔空間各軸上取間隔 dq1dqr , dp1dpr 圍成體積元圍成體積元 d = dq1 dq2 dqr dp1 dp2 dpr h0r 若體積元很小若體積元很小, 其內(nèi)各點的狀態(tài)都看作相同其內(nèi)各點的狀態(tài)都看作相同 相格相格. 即：處于同一相格內(nèi)的各代表點狀態(tài)都相同。不同相即：處于同一相格內(nèi)的各代表點狀態(tài)都相同。不同相 格內(nèi)代表點的狀

43、態(tài)不同。每個相格就是一個狀態(tài)。格內(nèi)代表點的狀態(tài)不同。每個相格就是一個狀態(tài)。 在一定的相體積內(nèi)包含多少相格，則此體積中就有多在一定的相體積內(nèi)包含多少相格，則此體積中就有多 少個力學運動狀態(tài)（微觀態(tài)）。少個力學運動狀態(tài)（微觀態(tài)）。 經(jīng)典力學中經(jīng)典力學中 h0可以任意?。涣孔恿W中可以任意??；量子力學中 h0 最小為最小為 h 。 r h0 42 熱統(tǒng) 第二步：第二步： 再把再把空間按能量大小劃分成許多能量層，每層體積分空間按能量大小劃分成許多能量層，每層體積分 別為別為 1、 2 、 l、，每層內(nèi)包含許多相格。，每層內(nèi)包含許多相格。 同一能層內(nèi)各狀態(tài)同一能層內(nèi)各狀態(tài) (代表點代表點) 的能量相同的

44、能量相同.（能層很?。軐雍鼙。?l , 21 ，不同能層中各點的能量則不同。不同能層中各點的能量則不同。 某能量層的體積為某能量層的體積為 l ，則此層內(nèi)包含的相格數(shù)為，則此層內(nèi)包含的相格數(shù)為 r l h0 這些相格的狀態(tài)不同，但具有相同的能量，故相當于這些相格的狀態(tài)不同，但具有相同的能量，故相當于 量子描述中的簡并度。于是有分布量子描述中的簡并度。于是有分布 l , 21 ， ， r h0 1 ， hr 0 2 hr ， 0 1 a a a l, , 21 ， “簡并度簡并度” 粒子數(shù)粒子數(shù) 能能 級級 給定了一種分布給定了一種分布 al 43熱統(tǒng) 0 ! ! l a l cl r l

45、l l N ah ! ! l a M Bl l l l N a 得到得到 所以經(jīng)典系統(tǒng)分布所以經(jīng)典系統(tǒng)分布 al 對應的微觀狀態(tài)數(shù)為可參照對應的微觀狀態(tài)數(shù)為可參照 玻耳茲曼系統(tǒng)玻耳茲曼系統(tǒng) 44熱統(tǒng) 4.5 4.5 玻耳茲曼分布玻耳茲曼分布 一、玻爾茲曼分布的推導（一、玻爾茲曼分布的推導（M.B.系統(tǒng)）系統(tǒng)） 1 1 寫出分布及對應的微觀狀態(tài)數(shù)寫出分布及對應的微觀狀態(tài)數(shù) l a l l l MB l a N ! ! l , 21 ， ， 1 ， 2 l， ， a a a l, , 21 ， 微觀狀態(tài)數(shù)微觀狀態(tài)數(shù)是分布是分布 al 的函數(shù)的函數(shù)，可能存在這樣一個分布，可能存在這樣一個分布， 它使

46、系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)最多。它使系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)最多。 根據(jù)根據(jù)等概率原理等概率原理，對于處在平衡狀態(tài)的孤立系統(tǒng)，系統(tǒng)對于處在平衡狀態(tài)的孤立系統(tǒng)，系統(tǒng) 各個可能的微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率是相等的各個可能的微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率是相等的，那么微觀狀態(tài)，那么微觀狀態(tài) 數(shù)最多的分布，出現(xiàn)的概率最大，稱為數(shù)最多的分布，出現(xiàn)的概率最大，稱為最可幾分布（最概最可幾分布（最概 然分布）。然分布）。 玻耳茲曼系統(tǒng)粒子的最概然分布玻耳茲曼系統(tǒng)粒子的最概然分布玻耳茲曼分布。玻耳茲曼分布。 45熱統(tǒng) 2 取對數(shù)，用斯特令公式化簡取對數(shù)，用斯特令公式化簡 l l ll l a a N ln!ln!lnln NNN ln l l ll

47、 l l aaaNN lnlnln 斯特林近似公式斯特林近似公式 ln m ! ln mmm ll lll aaa ln l ll a ln l a l l l MB l a N ! ! 要求要求1 l a 要求要求1m l l ll l a a N ln!ln!lnln 46熱統(tǒng) 3 拉格朗日未定乘子法（拉氏乘子法）求極值拉格朗日未定乘子法（拉氏乘子法）求極值 (ln)(ln )ln ln lllll ll l l l l aaaa a a 0 lnlnlnln llll ll NNaaa 對上式做一次微分，對于極值，一次微分為零對上式做一次微分，對于極值，一次微分為零 47熱統(tǒng) 由于系統(tǒng)確

48、定，則由于系統(tǒng)確定，則還要滿足約束條件：還要滿足約束條件： l l aN0 l ll aE0 l l aN l lla E 0 l l Na l 0 l l Ea 對上兩式子做一次微分得到：對上兩式子做一次微分得到： 上兩式子上兩式子乘以未定乘子乘以未定乘子得到：得到： 48熱統(tǒng) (ln)ln0NENE 0ln l l l a l ea ll 即即 稱為稱為 麥克斯韋麥克斯韋玻耳茲曼分布玻耳茲曼分布（玻耳茲曼系統(tǒng)粒子玻耳茲曼系統(tǒng)粒子 的最概然分布）。的最概然分布）。 任意，所以任意，所以 l a 0ln l ll l l a a 49熱統(tǒng) 拉氏乘子拉氏乘子 、 由約束條件決定：由約束條件決定：

49、 l l aN l l l e l ll aE l ll l ea 50熱統(tǒng) 二、粒子按量子態(tài)的分布二、粒子按量子態(tài)的分布 某量子態(tài)某量子態(tài) s 上的平均粒子數(shù)上的平均粒子數(shù) 1 按量子態(tài)的分布函數(shù)按量子態(tài)的分布函數(shù) l l s a f s efs l ea ll s s fN s s e 約束條件為約束條件為 s ss fE s s s e 2粒子處于第粒子處于第 l 能級上的概率為能級上的概率為 N a P l l 3粒子處于某量子粒子處于某量子 態(tài)態(tài) s 上的概率為上的概率為 N f P s s l e N l s e N 1 51熱統(tǒng) 三、對玻耳茲曼分布的幾點說明三、對玻耳茲曼分布的幾點說明 1要證明極大，二階導數(shù)須小于零要證明極大，二階導數(shù)須小于零。 l l l l a a lnln 2 l l l l a a lnln l l l l