數(shù)學高考分類匯編解答題(理)05——解析幾何

1、05 解析幾何1. （2011天津卷理）18（本小題滿分13分）在平面直角坐標系中，點為動點，分別為橢圓的左右焦點已知為等腰三角形（）求橢圓的離心率；（）設直線與橢圓相交于兩點，是直線上的點，滿足，求點的軌跡方程【解析】18本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質、直線的方程、平面向量等基礎知識，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質及數(shù)形結合的數(shù)學思想，考查解決問題能力與運算能力.滿分13分. （i）解：設 由題意，可得即整理得（舍），或所以（ii）解：由（i）知可得橢圓方程為直線pf2方程為a，b兩點的坐標滿足方程組消去y并整理，得解得 得方程組的解不妨設設點m的坐標為，由于是由即，化簡得將所以因

2、此，點m的軌跡方程是2. （北京理）19（本小題共14分）已知橢圓.過點（m,0）作圓的切線i交橢圓g于a，b兩點.（i）求橢圓g的焦點坐標和離心率；（ii）將表示為m的函數(shù)，并求的最大值.【解析】（19）（共14分）解：（）由已知得所以所以橢圓g的焦點坐標為離心率為（）由題意知，.當時，切線l的方程，點a、b的坐標分別為此時當m=1時，同理可得當時，設切線l的方程為由設a、b兩點的坐標分別為，則又由l與圓所以由于當時，所以.因為且當時，|ab|=2，所以|ab|的最大值為2.3. （遼寧卷理）20（本小題滿分12分）如圖，已知橢圓c1的中心在原點o，長軸左、右端點m，n在x軸上，橢圓c2的短

3、軸為mn，且c1，c2的離心率都為e，直線lmn，l與c1交于兩點，與c2交于兩點，這四點按縱坐標從大到小依次為a，b，c，d （i）設，求與的比值； （ii）當e變化時，是否存在直線l，使得boan，并說明理由【解析】20解：（i）因為c1，c2的離心率相同，故依題意可設設直線，分別與c1，c2的方程聯(lián)立，求得 4分當表示a，b的縱坐標，可知 6分 （ii）t=0時的l不符合題意.時，bo/an當且僅當bo的斜率kbo與an的斜率kan相等，即解得因為所以當時，不存在直線l，使得bo/an；當時，存在直線l使得bo/an. 12分4. （全國大綱卷理）21（本小題滿分12分）（注意：在試題卷

4、上作答無效）已知o為坐標原點，f為橢圓在y軸正半軸上的焦點，過f且斜率為的直線與c交于a、b兩點，點p滿足（）證明：點p在c上；（）設點p關于點o的對稱點為q，證明：a、p、b、q四點在同一圓上【解析】21解：（i）f（0，1），的方程為，代入并化簡得2分設則由題意得所以點p的坐標為經(jīng)驗證，點p的坐標為滿足方程故點p在橢圓c上。6分 （ii）由和題設知， pq的垂直平分線的方程為設ab的中點為m，則，ab的垂直平分線為的方程為由、得的交點為。9分故|np|=|na|。又|np|=|nq|，|na|=|nb|，所以|na|=|np|=|nb|=|mq|，由此知a、p、b、q四點在以n為圓心，na

5、為半徑的圓上12分5. （2011全國新課標理）（20）（本小題滿分12分） 在平面直角坐標系xoy中，已知點a(0,-1)，b點在直線y = -3上，m點滿足， ，m點的軌跡為曲線c。（）求c的方程；（）p為c上的動點，l為c在p點處得切線，求o點到l距離的最小值?！窘馕觥?20）解：()設m(x,y),由已知得b(x,-3),a(0,-1).所以=（-x,-1-y）, =(0,-3-y), =(x,-2).再由愿意得知（+）=0,即（-x,-4-2y）(x,-2)=0.所以曲線c的方程式為y=x-2.()設p(x,y)為曲線c：y=x-2上一點，因為y=x,所以的斜率為x因此直線的方程為，

6、即。則o點到的距離.又，所以當=0時取等號，所以o點到距離的最小值為2.6. （江西卷理）20（本小題滿分13分）是雙曲線：上一點，分別是雙曲線的左、右定點，直線的斜率之積為.（1） 求雙曲線的離心率；（2） 過雙曲線的右焦點且斜率為1的直線交雙曲線于兩點，為坐標原點，為雙曲線上的一點，滿足，求的值.【解析】（1）已知雙曲線e：，在雙曲線上，m，n分別為雙曲線e的左右頂點，所以，直線pm，pn斜率之積為而，比較得（2）設過右焦點且斜率為1的直線l：，交雙曲線e于a，b兩點，則不妨設，又，點c在雙曲線e上：*（1）又 聯(lián)立直線l和雙曲線e方程消去y得：由韋達定理得：，代入（1）式得：7. （山東

7、卷理）22（本小題滿分14分）已知動直線與橢圓c: 交于p、q兩不同點，且opq的面積=,其中o為坐標原點.（）證明和均為定值;（）設線段pq的中點為m，求的最大值；（）橢圓c上是否存在點d,e,g，使得?若存在，判斷deg的形狀；若不存在，請說明理由.【解析】22（i）解：（1）當直線的斜率不存在時，p，q兩點關于x軸對稱，所以因為在橢圓上，因此又因為所以由、得此時 （2）當直線的斜率存在時，設直線的方程為由題意知m，將其代入，得，其中即（*）又所以因為點o到直線的距離為所以又整理得且符合（*）式，此時綜上所述，結論成立。 （ii）解法一： （1）當直線的斜率存在時，由（i）知因此 （2）當

8、直線的斜率存在時，由（i）知所以 所以，當且僅當時，等號成立.綜合（1）（2）得|om|pq|的最大值為解法二：因為 所以即當且僅當時等號成立。因此 |om|pq|的最大值為 （iii）橢圓c上不存在三點d，e，g，使得證明：假設存在，由（i）得因此d，e，g只能在這四點中選取三個不同點，而這三點的兩兩連線中必有一條過原點，與矛盾，所以橢圓c上不存在滿足條件的三點d，e，g.8. （2011陜西理）17（本小題滿分12分）如圖，設p是圓上的動點，點d是p在x軸上的攝影，m為pd上一點，且（）當p在圓上運動時，求點m的軌跡c的方程；（）求過點（3，0）且斜率為的直線被c所截線段的長度【解析】17

9、解：（）設m的坐標為（x,y）p的坐標為（xp,yp）由已知得p在圓上，即c的方程為（）過點（3，0）且斜率為的直線方程為，設直線與c的交點為將直線方程代入c的方程，得 即 線段ab的長度為注：求ab長度時，利用韋達定理或弦長公式求得正確結果，同樣得分。9. （上海理）23（18分）已知平面上的線段及點，在上任取一點，線段長度的最小值稱為點到線段的距離，記作。（1）求點到線段的距離；（2）設是長為2的線段，求點集所表示圖形的面積；（3）寫出到兩條線段距離相等的點的集合，其中，是下列三組點中的一組。對于下列三組點只需選做一種，滿分分別是2分， 6分，8分；若選擇了多于一種的情形，則按照序號較小的

10、解答計分。 。 。 ?！窘馕觥?3解： 設是線段上一點，則，當時，。 設線段的端點分別為，以直線為軸，的中點為原點建立直角坐標系，則，點集由如下曲線圍成，其面積為。 選擇， 選擇。 選擇。10.10. （四川理）21(本小題共l2分) 橢圓有兩頂點a(-1，0)、b(1，0)，過其焦點f(0，1)的直線l與橢圓交于c、d兩點，并與x軸交于點p直線ac與直線bd交于點q (i)當|cd | = 時，求直線l的方程； (ii)當點p異于a、b兩點時，求證： 為定值。 解析：由已知可得橢圓方程為，設的方程為為的斜率。則的方程為11. （浙江理）21（本題滿分15分）已知拋物線:，圓:的圓心為點m（）

11、求點m到拋物線的準線的距離；（）已知點p是拋物線上一點（異于原點），過點p作圓的兩條切線，交拋物線于a，b兩點，若過m，p兩點的直線垂直于ab，求直線的方程【解析】21本題主要考查拋物線的幾何性質，直線與拋物線、圓的位置關系等基礎知識，同時考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力。滿分15分。 （i）解：由題意可知，拋物線的準線方程為： 所以圓心m（0，4）到準線的距離是（ii）解：設，則題意得，設過點p的圓c2的切線方程為，即則即，設pa，pb的斜率為，則是上述方程的兩根，所以將代入由于是此方程的根，故，所以由，得，解得即點p的坐標為，所以直線的方程為12. （重慶理）20（本小題滿分12分

12、，（）小問4分，（）小問8分）如題（20）圖，橢圓的中心為原點，離心率，一條準線的方程為 （）求該橢圓的標準方程； （）設動點滿足：，其中是橢圓上的點，直線與的斜率之積為，問：是否存在兩個定點，使得為定值？若存在，求的坐標；若不存在，說明理由【解析】20（本題12分）解：（i）由解得，故橢圓的標準方程為 （ii）設，則由得因為點m，n在橢圓上，所以，故 設分別為直線om，on的斜率，由題設條件知因此所以所以p點是橢圓上的點，設該橢圓的左、右焦點為f1，f2，則由橢圓的定義|pf1|+|pf2|為定值，又因，因此兩焦點的坐標為13. （2011安徽理）（21）（本小題滿分13分）設，點的坐標為（

13、1,1），點在拋物線上運動，點滿足，經(jīng)過點與軸垂直的直線交拋物線于點，點滿足,求點的軌跡方程?！窘馕觥浚?1）（本小題滿分13分）本題考查直線和拋物線的方程，平面向量的概念，性質與運算，動點的軌跡方程等基本知識，考查靈活運用知識探究問題和解決問題的能力，全面考核綜合數(shù)學素養(yǎng).解：由知q，m，p三點在同一條垂直于x軸的直線上，故可設 再設解得 將式代入式，消去，得 又點b在拋物線上，所以，再將式代入，得故所求點p的軌跡方程為14. （福建理）17（本小題滿分13分）已知直線l：y=x+m，mr。（i）若以點m（2,0）為圓心的圓與直線l相切與點p，且點p在y軸上，求該圓的方程；（ii）若直線l關

14、于x軸對稱的直線為，問直線與拋物線c：x2=4y是否相切？說明理由?！窘馕觥?7本小題主要考查直線、圓、拋物線等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結合思想、化歸與轉化思想、分類與整合思想。滿分13分。解法一：（i）依題意，點p的坐標為（0，m）因為，所以，解得m=2，即點p的坐標為（0，2）從而圓的半徑故所求圓的方程為（ii）因為直線的方程為所以直線的方程為由（1）當時，直線與拋物線c相切（2）當，那時，直線與拋物線c不相切。綜上，當m=1時，直線與拋物線c相切；當時，直線與拋物線c不相切。解法二：（i）設所求圓的半徑為r，則圓的方程可設為依題意，所求圓與直線相切于點p（0，

15、m），則解得所以所求圓的方程為（ii）同解法一。15. （2011湖北理）20（本小題滿分14分）平面內與兩定點，連線的斜率之積等于非零常數(shù)的點的軌跡，加上、兩點所成的曲線可以是圓、橢圓或雙曲線（）求曲線的方程，并討論的形狀與值得關系；（）當時，對應的曲線為；對給定的，對應的曲線為，設、是的兩個焦點。試問：在撒謊個，是否存在點，使得的面積。若存在，求的值；若不存在，請說明理由。【解析】20本小題主要考查曲線與方程、圓錐曲線等基礎知識，同時考查推理運算的能力，以及分類與整合和數(shù)形結合的思想。（滿分14分） 解：（i）設動點為m，其坐標為， 當時，由條件可得即，又的坐標滿足故依題意，曲線c的方程為

16、當曲線c的方程為是焦點在y軸上的橢圓；當時，曲線c的方程為，c是圓心在原點的圓；當時，曲線c的方程為，c是焦點在x軸上的橢圓；當時，曲線c的方程為c是焦點在x軸上的雙曲線。（ii）由（i）知，當m=-1時，c1的方程為當時，c2的兩個焦點分別為對于給定的，c1上存在點使得的充要條件是由得由得當或時，存在點n，使s=|m|a2；當或時，不存在滿足條件的點n，當時，由，可得令，則由，從而，于是由，可得綜上可得：當時，在c1上，存在點n，使得當時，在c1上，存在點n，使得當時，在c1上，不存在滿足條件的點n。16. （湖南理）21（本小題滿分13分）如圖7，橢圓的離心率為，x軸被曲線 截得的線段長等

17、于c1的長半軸長。（）求c1，c2的方程；（）設c2與y軸的焦點為m，過坐標原點o的直線與c2相交于點a,b,直線ma,mb分別與c1相交與d,e（i）證明：mdme;（ii）記mab,mde的面積分別是問：是否存在直線l,使得?請說明理由?！窘馕觥?1（）由題意知故c1，c2的方程分別為（）（i）由題意知，直線l的斜率存在，設為k，則直線l的方程為.由得.設是上述方程的兩個實根，于是又點m的坐標為（0，1），所以故mamb，即mdme.（ii）設直線ma的斜率為k1，則直線ma的方程為解得則點a的坐標為.又直線mb的斜率為，同理可得點b的坐標為于是由得解得則點d的坐標為又直線me的斜率為，同

18、理可得點e的坐標為于是.因此由題意知，又由點a、b的坐標可知，故滿足條件的直線l存在，且有兩條，其方程分別為17. （2011廣東理）19（本小題滿分14分）設圓c與兩圓中的一個內切，另一個外切。（1）求c的圓心軌跡l的方程;（2）已知點m，且p為l上動點，求的最大值及此時點p的坐標【解析】19（本小題滿分14分） （1）解：設c的圓心的坐標為，由題設條件知化簡得l的方程為 （2）解：過m，f的直線方程為，將其代入l的方程得解得因t1在線段mf外，t2在線段mf內，故，若p不在直線mf上，在中有故只在t1點取得最大值2。18. （江蘇）18如圖，在平面直角坐標系中，m、n分別是橢圓的頂點，過坐標原點的直線交橢圓于p、a兩點，其中p在第一象限，過p作x軸的垂線，垂足為c，連接ac，并延長交橢圓于點b，設直線pa的斜率為k（1）當直線pa平分線