高中數(shù)學論文：不等式高考總復習探討

1、不等式高考總復習探討高考復習要立足于基礎知識和基本方法的掌握，但要避免簡單的重復和羅列，要在提高上下功夫，因此復習時要凸現(xiàn)針對性，要在學情分析的基礎上查漏補缺；啟發(fā)性，要提高學生的知識遷移能力，做到舉一反三；概括性，要幫助學生歸納典型的解題方法，提高復習效率，綜合性，要把關聯(lián)知識綜合起來復習，形成一個較為完整的知識體系。不等關系滲透到高中數(shù)學的方方面面，處理不等關系需要學生有較強的應變能力、綜合能力。縱觀近年來的高考試題，從題型上來看，選擇、填空題主要考查不等式的性質、比較大小和解簡單不等式；解答題主要考查含參數(shù)的不等式解法、參數(shù)范圍的確定和求函數(shù)的最值，綜合數(shù)列、三角、解析幾何的不等式的證明

2、是常考常新的試題。所以高考總復習重點要放在這些知識點上，幫助學生熟練掌握常用方法和技巧，提高分析問題和解決問題的能力。如何在不等式的復習中抓住重點兼顧難點，提高復習效率，筆者認為要抓好以下四個環(huán)節(jié)。一、展示知識網(wǎng)絡展示知識網(wǎng)絡可以幫助學生形成完整的知識結構，總體把握知識之間的內在聯(lián)系。實數(shù)的性質不等式的性質均值不等式不等式的證明比較法綜合法分析法反證法換元法放縮法不等式的解法不等式的應用函數(shù)的定義域值域單調性方程根的分布最值問題應用題取值范圍問題二、難點再現(xiàn)理解基礎知識是正確應用知識解決問題的關鍵，在解決實際問題時由于對知識的內涵把握不到位，條件不具備時錯用結論，或者憑主觀臆測理所當然認為某結

3、論成立，導致解題錯誤時有發(fā)生。學生在解題時需要考慮的問題較多，精力容易分散，在遇到難點時往往難以做到專心研究。在復習的第二環(huán)節(jié)中集中再現(xiàn)教科書中的難點，讓學生集中精力透徹理解這些難點，教學效果會更好。本章的知識難點主要有：1有關不等式性質如果，則有，反之若，則當時有；當時有。如果，且，那么，但不一定成立。若，則，當、獨立時，的取值范圍是，而當、有關聯(lián)時，的取值范圍會縮小，也有類似的結論。如果，則有，反之若，則有或或或。2有關均值不等式當時，必成立，但不一定有，只有當能做到時，才能取到“”號；當時，有。 3有關不等式證明方法分析法的本質是“索果導因”，尋找命題成立的充分條件，而不是必要條件，書寫

4、的格式要規(guī)范，可以采用反證法，使書寫與學生習慣寫法一致。4有關絕對值不等式教科書將代入來證明，此方法在研究抽象函數(shù)時經(jīng)常用到。三、知識拓展把本章與其他各章知識結合起來，就能得到非常有用的結論，這些知識通過集中研究，加深理解，在解題時就能運用自如。解決問題的思路從何而來，當你的大腦中儲存著大量與題意有關聯(lián)的知識信息時，你的聯(lián)想就會產生，你就會從你的知識結構中調動有關的知識與之匹配，這些知識既有課本知識又有拓展知識，所以拓展知識起到了橋梁作用，對拓展知識的研究，既可起到復習鞏固所學基礎知識的作用，也可在探索解題思路時起到啟發(fā)性作用，一舉兩得。本章的拓展知識主要有：1實數(shù)的性質若，則。對任意的實數(shù)、

5、必有；若，或，則。若，則當時，；當，；當時，。若當時，必有，則。對于常數(shù)，若存在最大值和最小值，則；。2不等式的性質若，當時，有；當時，有。若，當時，有；當時，有。若要證明，只需找到一個數(shù)，并證明且，即可證明。3均值不等式對任意的實數(shù)，必有，而當時，有，此兩式合起來，即當時，有。若，且，則，且。4其他當時，當時，在區(qū)間內單調遞減，當區(qū)間內單調遞增。而在區(qū)間上單調遞增。四、方法探求不等問題綜合性強，思維能力要求高，解決問題的方法多，如特值檢驗法、湊配法、換元法、判別式法、倒數(shù)變換法等，這些方法較常見且相對簡單，學生易掌握，除此之外，復習時教師還要借助一些典型例題，補充一些重要的方法，拓寬解題思路

6、，強化思維訓練，幫助學生構建思維模式，造就思維依托和合理的思維定勢。1圖象法例1（2006年浙江高考文4）已知，則（）（a）（b）（c）（d）分析與解：如圖，作出及和的圖象，從圖上很容易得到答案（d）。2圖形法例2（2005年浙江高考理10）已知向量，滿足：對任意，恒有。則（）（a）（b）（c）（d）oeta分析與解：如圖，設，則，。因為對任意，恒有，即，所以必有，即，故選（c）。3用因式分解法求最值例3已知，且，求的最小值。分析與解：將變形成，則，當且僅當，即，時取“”號，的最小值是。4用線性規(guī)劃法求最值例4設，且，求的取值范圍。分析與解：通過作出滿足條件的平面區(qū)域求代數(shù)式值的范圍。由，得，

7、又，所以本題即是在線性約束條件下，求目標函數(shù)的取值范圍，答案是。5用“乘1法”求最值例5解下列各題（1）若正數(shù)、滿足，求的最小值；（2）若、，且，求的最小值；（3）設，、為正常數(shù)，則的最小值是（）.分析與解：把已知條件變形為一邊是1的等式，然后用求最值的代數(shù)式去乘此式往往能較簡捷地求出代數(shù)式的最值。（1）等式兩邊同乘以，得，當且僅當且時取等號，所以的最小值是。（2）將變形為，以下類似于（1）的解法，答案是。（3）構造恒等式，以下類似于（1）的解法，答案是。6用軌跡法求最值例6 已知，在內恒有，求實數(shù)的取值范圍。分析與解：研究帶參數(shù)的二次不等式在有限區(qū)間上的性質，此類問題非常常見，由于多了一個參

8、變量，對應的二次函數(shù)的圖象就不確定了，但其頂點總在某一確定的曲線上移動，所以我們可以通過畫出頂點的軌跡，借助圖象的直觀，使問題得以解決。拋物線的頂點的軌跡方程為，是一條拋物線（如圖），此拋物線與軸的交點是和。設的圖象通過點時其頂點為。從圖上可以看出，當頂點從連續(xù)變到時，在內恒有。而頂點為、時對應的的值分別為和，由變化的連續(xù)性得：。7用放縮法證明不等式（1）先計算再縮放例8（2006年湖北高考文20）在（）個不同數(shù)的排列中，若時（即前面某數(shù)大于后面某數(shù)），則稱與構成一個逆序。一個排列的全部逆序的總數(shù)稱為該排列的逆序數(shù)。記排列的逆序數(shù)為，如排列21的逆序數(shù)，排列321的逆序數(shù)，排列4321的逆序數(shù)

9、。（）求、，并寫出的表達式；（）令，證明，。分析與解：（）答案是，（過程略）；（），先計算得再將此式進行縮放，且，結論成立。（2）先縮放再計算例9（05學年第一學期寧波市高三統(tǒng)考）已知數(shù)列前項和為，且（）。（1）求證：；（2）求及；（3）求證：。分析與解：（1）由，將代入化簡即得結論（過程略）；（2）用累乘法可得，用錯位相減法求得（過程略）；（3）由（2）得，由于數(shù)列的前項和無法求得，所以要先將進行縮放，然后再求值。當時，有，。（3）逐步縮放例10（2006年江西高考理22）已知數(shù)列滿足：，且。（1）求數(shù)列的通項公式；（2）證明：對于一切正整數(shù)，有。分析與解：（1）將已知條件變形為，得數(shù)列是等

10、比數(shù)列。利用等比數(shù)列的通項公式可得（過程略）；（2）要證明，即要證明，可先證明（第一次縮放），再證明（第二次縮放），依次類推最后得到（最后一次縮放）這一過程可用數(shù)學歸納法證明，接下來用等比數(shù)列的求和公式計算就能證得結論。8用函數(shù)的單調性證明不等式例11（06年浙江高考理20）已知函數(shù)，數(shù)列(0)的第一項1，以后各項按如下方式取定：曲線在處的切線與經(jīng)過（0，0）和（，）兩點的直線平行（如圖）求證：當時，(1) ；（2）。分析與解：(1)利用導數(shù)的幾何意義易證（過程略）；（2）由（1）得，即，用累乘法得，又1，又由（1）得，構造函數(shù)，當時，此函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，于是可得，再用累乘法得，。9用二項

11、式定理證明不等式例12已知數(shù)列滿足，是的前項和，且。（1）求的通項； （2）證明：。分析與解：（1），又，代入整理得，再用累乘法求得通項公式（過程略），（2）因為，所以要證明的不等式是，把二項式展開得。又顯然，所以不等式成立。10用數(shù)學歸納法證明不等式例13（2006年陜西高考理22）（有改動）已知函數(shù)，且存在，使。（）證明：是上的單調函數(shù)； （） 設，其中證明：； 分析與解：（1）因為，所以是上的遞增函數(shù)。（2），又是上的遞增函數(shù)，即，且，有，以下用數(shù)學歸納法證明，假設成立，則），即有成立，由歸納法原理得命題成立。當時，函數(shù)（為實數(shù)）是單調的，求證：或12搭橋法設（1）求的最大值；（2）證明

12、對任意實數(shù)、恒有證明奇數(shù)項的不等式的拆項變換例、為互不相等的正數(shù)，且，求證：。13 14用三個“二次”的關系證明不等式例已知二次函數(shù)的圖象與軸有兩個不同的公共點，若，且時，。（1）證明：是的一個根；（二次函數(shù)與根的關系）（2）比較與的大小；（不等式傳遞性）（3）證明：。例設二次函數(shù)，方程的兩個根、滿足。（1）當時，證明；（2）設函數(shù)的圖象關于直線對稱，求證。15等式與不等式結合證明不等式例設，若 ，求證 （）方程有實根； （） （）設是方程的兩個實根，則16 17 18用湊項法證明絕對值不等式對于絕對值符號內的式子，采用加減某個式子后，重新組合，運用絕對值不等式的性質變形，是證明絕對值不等式的

13、典型方法。例（全國高考題）設、，函數(shù)，當時，。（1）證明；（2）證明：當時，。19 20用主元思想研究不等式（2004年高考福建文22） 已知=在區(qū)間1，1上是增函數(shù).（）求實數(shù)a的值組成的集合a；（）設關于x的方程=的兩個非零實根為x1、x2.試問：是否存在實數(shù)m，使得不等式m2+tm+1|x1x2|對任意aa及t1，1恒成立？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請說明理由。21 22 23。24帶參數(shù)二次不等式成立問題的研究已知等式；，要使同時滿足和的也滿足，則應滿足（）特值檢驗法例若，則下列不等關系中不能成立的是（）.不等式化簡判斷法（化簡為：整式0或整式0的形式）例，則成立的一個充分不必

14、要的條件是（）.例已知三個不等式：；。以其中兩個作為條件，余下一個作為結論，則可以組成個正確的命題。配湊法已知，求函數(shù)的最大值。例，那么“”是“”的條件。換元法例設實數(shù)、滿足，若對滿足條件的、，恒成立，則的取值范圍是（）.例設實數(shù)，滿足，求的最大值。判別式法設是實數(shù)，且，則的取值范圍是（）.或.或例實數(shù)、滿足，則的取值范圍是。例已知函數(shù)（、）的圖象按平移后得到的圖象關于原點對稱，。（1）求、的值；（2）設，求證：；（不等式傳遞性、均值不等式）（3）設是正實數(shù)，求證：。（二項展開式、倒序相加、均值不等式）例（2006高考遼寧理22）已知其中設（1）寫出（2）證明：對于任意的恒有用累乘法證明不等式

15、各項為正的數(shù)列，若，則有用綜合法證明不等式用換元法證明不等式用絕對值的性質證明不等式6若，求的取值范圍。方法一：（解不等式法）若，代入已知不等式則，與矛盾，所以，若，則，得；若，則，得。綜上所述，。方法二：綜合法若，代入已知不等式則，與矛盾，所以，不等式兩邊都除以同一正數(shù)，得，所以有。方法三：換元法設，由得，所以方法四：線性規(guī)劃法滿足的區(qū)域如圖陰影部分，是此區(qū)域內任一點到原點的連線的斜率，顯然。特點分析：1、實際上是個遞推式，要得到通項式，需要經(jīng)過猜想與數(shù)學歸納法證明。2、對于組合數(shù)（）的變形，要充分利用基本式，即把寫成。特點分析：1、利用二次函數(shù)的圖象，拋物線的單調性和函數(shù)值的性質來解題。2

16、、靈活運用等式3、8、設（為常數(shù)），方程的兩個實數(shù)根為、，且滿足，。（1）求證：；（2）設，比較與的大小。9、（06年浙江高考文）（5）設向量 ，滿足，且，|=1，|=2，則| 2 = （a）1 （b）2 （c）4 （d）5 特點分析：作圖法。一、有用知識或方法的積累1的證明。含有絕對值符號的不等式的證明，若將兩邊平方，可消去部分絕對值的符號，正如含根式不等式一樣，在一定的條件下可采用兩邊平方將部分根號去掉。2的證明。將移項得與的結構完全一樣，所以只需利用，將絕對值符號內的字母作適當變換就可以了。數(shù)形結合法（2005年浙江省高考題理10）已知向量，滿足：對任意，恒有。則（）c（a）（b）（c）（d） 分析：向量有兩種表示法，一是幾何表示，二是字母表示，幾何表示用來解決一些幾何問題，此題中涉及的長度、垂直都是幾何中的典型問題，我們可以試著用作圖