2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第2章 統(tǒng)計(jì) 2. 線(xiàn)性回歸方程教學(xué)案(1)

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精2.4預(yù)習(xí)課本p7475，思考并完成以下問(wèn)題 1變量間有哪些常見(jiàn)關(guān)系？ 2什么叫散點(diǎn)圖？怎樣作出散點(diǎn)圖？ 3。什么叫線(xiàn)性回歸方程？ 1變量間的常見(jiàn)關(guān)系(1）函數(shù)關(guān)系:變量之間的關(guān)系可以用函數(shù)表示,是一種確定性關(guān)系(2)相關(guān)關(guān)系：變量之間有一定的聯(lián)系，但不能完全用函數(shù)來(lái)表達(dá)點(diǎn)睛函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系,也可能是伴隨關(guān)系，如試驗(yàn)田的施肥量x與水稻的產(chǎn)量y。當(dāng)自變量x每取一確定值時(shí),因變量y的取值帶有一定的隨機(jī)性,即還受其他環(huán)境因素的影響2.散點(diǎn)圖(1)概念：將樣本中n個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)（xi，yi）（i1，2,，n)描在平面直角坐標(biāo)系中,用來(lái)表示兩個(gè)變量的

2、一組數(shù)據(jù)的圖形叫做散點(diǎn)圖(2)作法：建立平面直角坐標(biāo)系,用橫坐標(biāo)表示一個(gè)變量，用縱坐標(biāo)表示另一個(gè)變量，將給出的數(shù)據(jù)所表示的點(diǎn)在坐標(biāo)系內(nèi)描出，即可得到散點(diǎn)圖點(diǎn)睛對(duì)于散點(diǎn)圖要注意以下幾點(diǎn)若所有的樣本點(diǎn)都落在某一函數(shù)曲線(xiàn)上,則變量間具有函數(shù)關(guān)系若所有的樣本點(diǎn)都落在某一函數(shù)曲線(xiàn)附近，則變量間就具有相關(guān)關(guān)系若散點(diǎn)圖中的點(diǎn)的分布沒(méi)有什么規(guī)律，則這兩變量之間不具有相關(guān)關(guān)系,它們之間是相互獨(dú)立的3線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系能用直線(xiàn)bxa近似表示的相關(guān)關(guān)系叫線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系4線(xiàn)性回歸方程（1)概念:設(shè)有n對(duì)觀察數(shù)據(jù)如下：xx1x2x3xnyy1y2y3yn當(dāng)a，b使q(y1bx1a)2(y2bx2a）2(ynbxna)2取得最小

3、值時(shí),就稱(chēng)方程bxa為擬合這n對(duì)數(shù)據(jù)的線(xiàn)性回歸方程，該方程所表示的直線(xiàn)稱(chēng)為回歸直線(xiàn)（2）用回歸直線(xiàn)進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合的一般步驟作出散點(diǎn)圖，判斷散點(diǎn)是否在一條直線(xiàn)附近如果散點(diǎn)在一條直線(xiàn)附近，用公式求出a，b，并寫(xiě)出線(xiàn)性回歸方程1下列各組變量是相關(guān)關(guān)系的是_（1）電壓u與電流i；(2)圓面積s與半徑r；(3）糧食產(chǎn)量與施肥量;（4）廣告費(fèi)支出與商品銷(xiāo)售額解析：（1）（2）中兩個(gè)變量間是函數(shù)關(guān)系，(3）（5）中兩個(gè)變量之間有關(guān)系，但不能用函數(shù)表達(dá),是相關(guān)關(guān)系答案:(3)（4）25名學(xué)生的化學(xué)和生物成績(jī)?nèi)缦卤硭荆簩W(xué)生a學(xué)生b學(xué)生c學(xué)生d學(xué)生e化學(xué)成績(jī)(分）8075706560生物成績(jī)（分）70656864

4、62判斷化學(xué)和生物成績(jī)之間是否具有相關(guān)關(guān)系_(填“具有“不具有”)答案：具有相關(guān)關(guān)系的概念典例在下列各個(gè)量與量的關(guān)系中：正方體的表面積與棱長(zhǎng)之間的關(guān)系;某同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)和物理成績(jī)之間的關(guān)系；家庭的收入與支出之間的關(guān)系；某戶(hù)家庭用電量與水費(fèi)之間的關(guān)系其中是相關(guān)關(guān)系的為_(kāi)解析正方體的表面積與棱長(zhǎng)之間的關(guān)系是確定的函數(shù)關(guān)系；某戶(hù)家庭用電量與水費(fèi)之間無(wú)任何關(guān)系中，都是非確定的關(guān)系,但自變量取值一定時(shí)，因變量的取值帶有一定的隨機(jī)性答案判斷兩個(gè)變量是否具有相關(guān)關(guān)系，主要有兩種方法：一是根據(jù)相關(guān)關(guān)系的定義進(jìn)行判斷，看這兩個(gè)變量是否具有不確定性二是利用散點(diǎn)圖，看散點(diǎn)圖中的點(diǎn)是否都落在某一函數(shù)曲線(xiàn)附近 活學(xué)活用

5、關(guān)于人體的脂肪含量(百分比）與年齡關(guān)系的研究中，得到如下一組數(shù)據(jù)：年齡2327394145495053脂肪9。517.821.225.927.526。328。229.6(1）將上表中的數(shù)據(jù)制成散點(diǎn)圖;（2)你能從散點(diǎn)圖中發(fā)現(xiàn)年齡與脂肪含量近似成什么關(guān)系嗎?（3）若成線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，請(qǐng)你畫(huà)一條直線(xiàn)近似地表示這種線(xiàn)性關(guān)系解:(1）以年齡作為x軸，脂肪含量為y軸,可得相應(yīng)散點(diǎn)圖，如圖所示（2）從散點(diǎn)圖可以發(fā)現(xiàn)，年齡與脂肪含量之間具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系（3)畫(huà)出的一條直線(xiàn)如上圖線(xiàn)性回歸方程的求法及應(yīng)用典例假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x和所支出的維修費(fèi)用y（單位：萬(wàn)元)有如下的統(tǒng)計(jì)資料：使用年限x23456維修費(fèi)用

6、y2。23。85。56.57。0若由資料知y與x成線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系試求:（1）線(xiàn)性回歸方程bxa的系數(shù)a，b;（2)所求的回歸直線(xiàn)必過(guò)點(diǎn)p(,)嗎？（3)使用年限為10年時(shí)，試估計(jì)維修費(fèi)用是多少？(4）若設(shè)備的使用年限x每增加一年，則所支出的維修費(fèi)用y如何變化?解（1)4，5,90，iyi112。3，b1.23。ab51。2340.08.(2）線(xiàn)性回歸方程是1。23x0。08，又4，5,把點(diǎn)p（4，5）代入線(xiàn)性回歸方程知必過(guò)點(diǎn)p(，)(3)當(dāng)x10時(shí),1.23100.0812。38，所以估計(jì)使用10年時(shí)維修費(fèi)用是12.38萬(wàn)元（4）由線(xiàn)性回歸方程知，使用年限每增加一年維修費(fèi)用就提高1.23萬(wàn)元(1

7、）知道x與y呈線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，無(wú)需進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)，否則進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn),如果兩個(gè)變量之間本身不具備相關(guān)關(guān)系或相關(guān)性不顯著，即使求出回歸方程也是毫無(wú)意義的(2）用公式計(jì)算a，b的值時(shí)，要先算出b，然后才能算出a. 活學(xué)活用以下是江蘇省某城鎮(zhèn)收集到的新房屋的銷(xiāo)售價(jià)格y和房屋的大小x的數(shù)據(jù):房屋大小x（m2）11511080135105銷(xiāo)售價(jià)格y(萬(wàn)元)24。821.618。429.222(1)畫(huà)出數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；（2）求回歸方程;（3）估算一下96 m2的房?jī)r(jià)解:（1)散點(diǎn)圖如圖所示(2）109,23.2，60 975,iyi12 952.b0。196 2,ab23。20.196 21091.814 2

8、?；貧w直線(xiàn)方程為0。196 2x1。814 2。（3）當(dāng)x96時(shí)，20.6.因此，96 m2的新房屋大約為20。6萬(wàn)元層級(jí)一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1對(duì)于給定的兩個(gè)變量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，下列說(shuō)法正確的是_（填序號(hào)）都可以分析出兩個(gè)變量的關(guān)系;都可以用一條直線(xiàn)近似地表示兩者的關(guān)系；都可以用確定的表達(dá)式表示兩者的關(guān)系；都可以作出散點(diǎn)圖答案:2根據(jù)下面四個(gè)散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布狀態(tài),直觀上判斷兩個(gè)變量之間具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系的是_答案：3已知x與y之間的一組數(shù)據(jù)如下表：x1234y2357則x與y之間的線(xiàn)性回歸方程bxa必過(guò)點(diǎn)_解析:首先可求2。5,4.25，又回歸直線(xiàn)必過(guò)點(diǎn)(,），故回歸直線(xiàn)必過(guò)點(diǎn)（2.5,4。25）答案：（

9、2。5,4。25)4已知某工廠在2015年每月產(chǎn)品的總成本y(萬(wàn)元）與月產(chǎn)量x(萬(wàn)件)之間有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，回歸方程為1.215x0。974，若月產(chǎn)量增加4萬(wàn)件時(shí)，則估計(jì)成本增加_萬(wàn)元解析:由11。215x10.974，21.215（x14)0。974，得211.21544.86(萬(wàn)元)答案：4。865某工廠為了對(duì)新研發(fā)的一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià),將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行試銷(xiāo),得到如下數(shù)據(jù):單價(jià)x(元)88.28.48。68.89銷(xiāo)量y(件)908483807568(1)求回歸直線(xiàn)方程ybxa，其中b20，ab；（2)預(yù)計(jì)在今后的銷(xiāo)售中，銷(xiāo)量與單價(jià)仍然服從（1)中的關(guān)系，且該產(chǎn)品的成本是4元/件

10、,為使工廠獲得最大利潤(rùn)，該產(chǎn)品的單價(jià)應(yīng)定為多少元？(利潤(rùn)銷(xiāo)售收入成本)解：(1)由于(x1x2x3x4x5x6）8.5，（y1y2y3y4y5y6）80。所以ab80208.5250，從而回歸直線(xiàn)方程為y20x250.(2)設(shè)工廠獲得的利潤(rùn)為l元,依題意得lx(20x250）4（20x250)20x2330x1 00020（x）2361。25。當(dāng)且僅當(dāng)x8.25時(shí)，l取得最大值故當(dāng)單價(jià)定為8。25元時(shí)，工廠可獲得最大利潤(rùn)層級(jí)二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1下列兩個(gè)變量之間的關(guān)系，是函數(shù)關(guān)系的有_球的體積和它的半徑人的血壓和體重底面積為定值的長(zhǎng)方體的體積和高城鎮(zhèn)居民的消費(fèi)水平和平均工資答案:2.如圖，從5組數(shù)據(jù)

11、對(duì)應(yīng)的點(diǎn)中去掉點(diǎn)_后，剩下的4組數(shù)據(jù)的線(xiàn)性相關(guān)性就更好了解析：由散點(diǎn)圖知：呈帶狀區(qū)域時(shí)有較強(qiáng)的線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，故去掉d點(diǎn)答案:d3某單位為了了解用電量y度與氣溫x之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了某4天的用電量與當(dāng)天氣溫，并制作了對(duì)照表：氣溫（)1813101用電量(度)24343864由表中數(shù)據(jù)得線(xiàn)性回歸方程bxa中b2，預(yù)測(cè)當(dāng)氣溫為4 時(shí)，用電量的度數(shù)約為_(kāi)解析:10，40，回歸方程過(guò)點(diǎn)(,)，40210a,a60。y2x60。令x4，（2)(4)6068.答案：684對(duì)某臺(tái)機(jī)器購(gòu)置后的運(yùn)營(yíng)年限x（x1,2,3)與當(dāng)年利潤(rùn)y的統(tǒng)計(jì)分析知具備線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，回歸方程為y10。471.3x，估計(jì)該臺(tái)機(jī)器使用_

12、年最合算解析：只要預(yù)計(jì)利潤(rùn)不為負(fù)數(shù)，使用該機(jī)器就算合算，即y0,所以10。471.3x0，解得x8.05，所以該臺(tái)機(jī)器使用8年最合算答案：85下表是廣告費(fèi)用與銷(xiāo)售額之間的一組數(shù)據(jù)：廣告費(fèi)用（千元）1461014銷(xiāo)售額（千元）1944405253銷(xiāo)售額y（千元)與廣告費(fèi)用x（千元）之間有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系,回歸方程為2。3xa(a為常數(shù)）,現(xiàn)要使銷(xiāo)售額達(dá)到6萬(wàn)元，估計(jì)廣告費(fèi)用約為_(kāi)千元解析：7，41。6，則a2.341.62.3725.5.當(dāng)y6萬(wàn)元60千元時(shí)，602。3x25.5，解得x15（千元）答案：156工人月工資y（元)依據(jù)勞動(dòng)生產(chǎn)率x（千元）變化的線(xiàn)性回歸方程為5080x,當(dāng)勞動(dòng)生產(chǎn)率提高

13、1 000元時(shí)，工資平均提高_(dá)元解析：線(xiàn)性回歸方程bxa中b的意義是當(dāng)x增加一個(gè)單位時(shí)，y的值平均變化b個(gè)單位,這是一個(gè)平均變化率，線(xiàn)性回歸方程不是一種確定關(guān)系，只能用于預(yù)測(cè)變量的值，所以當(dāng)x增加一個(gè)單位1千元時(shí)，工資平均提高80元答案：807如果在一次試驗(yàn)中，測(cè)得(x，y)的四組數(shù)值分別是a(1,3)，b（2,3.8）,c(3,5。2)，d（4,6)，那么y與x之間的線(xiàn)性回歸方程是_解析：由題意，得2。5,4。5,iyi50。2，30,b1。04，a4。51。042。51.9,故線(xiàn)性回歸方程為1。04x1。9。答案：1。04x1。98已知x與y之間的幾組數(shù)據(jù)如下表：x123456y02133

14、4假設(shè)根據(jù)上表數(shù)據(jù)所得線(xiàn)性回歸直線(xiàn)方程為bxa.若某同學(xué)根據(jù)上表中的前兩組數(shù)據(jù)（1,0）和(2,2）求得的直線(xiàn)方程為ybxa，則以下結(jié)論正確的是_bb，aa；bb，aa;bb，aa;bb,aa.解析：，,b，ab，b2b,a2a。答案:9某地最近十年糧食需求量逐年上升，下表是部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：年份20062008201020122014需求量（萬(wàn)噸）236246257276286(1)利用所給數(shù)據(jù)求年需求量與年份之間的回歸直線(xiàn)方程bxa；(2）利用（1)中所求出的直線(xiàn)方程預(yù)測(cè)該地2016年的糧食需求量解：（1)由所給數(shù)據(jù)看出，年需求量與年份之間是近似直線(xiàn)上升，下面來(lái)求回歸直線(xiàn)方程，先將數(shù)據(jù)預(yù)處理如

15、下：年份201042024需求量257211101929由處理后的數(shù)據(jù)，容易算得0，3.2,b6.5。ab3.2.由上述計(jì)算結(jié)果,可知所求回歸直線(xiàn)方程為257b(x2 010)a6.5(x2 010)3.2。即6。5(x2 010)260。2.（2)利用所求得的直線(xiàn)方程,可預(yù)測(cè)2016年的糧食需求量為6.5(20162010)260。26.56260。2299。2（萬(wàn)噸)10(全國(guó)卷)某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)x（單位：千元）對(duì)年銷(xiāo)售量y（單位：t）和年利潤(rùn)z（單位：千元）的影響對(duì)近8年的年宣傳費(fèi)xi和年銷(xiāo)售量yi（i1,2，8)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖

16、及一些統(tǒng)計(jì)量的值(xi)2(wi)2（xi)(yi)（wi）(yi）46.65636.8289。81.61 469108。8表中wi，i。（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷,yabx與ycd哪一個(gè)適宜作為年銷(xiāo)售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類(lèi)型?（給出判斷即可,不必說(shuō)明理由）(2）根據(jù)(1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù),建立y關(guān)于x的回歸方程（3)已知這種產(chǎn)品的年利潤(rùn)z與x，y的關(guān)系為z0。2yx.根據(jù)（2)的結(jié)果回答下列問(wèn)題：年宣傳費(fèi)x49時(shí)，年銷(xiāo)售量及年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值是多少？年宣傳費(fèi)x為何值時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大？附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)(u1,v1），(u2，v2），（un,vn）,其回歸直線(xiàn)vu的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，。解：（1）由散點(diǎn)圖可以判斷,ycd適宜作為年銷(xiāo)售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類(lèi)型(2)令w,先建立y關(guān)于w的線(xiàn)性回歸方程由于68，563686.8100。6，所以y關(guān)于w的線(xiàn)性回歸方程為100.66