青島版九年級上第3章圓復習

1、 知識網(wǎng)絡圖知識網(wǎng)絡圖 圓圓 圓的對稱性圓的對稱性 與圓有關的位置關系與圓有關的位置關系 正多邊形和圓正多邊形和圓 弧長與扇形面積弧長與扇形面積 軸對稱軸對稱 同弧上的圓周角與圓心角的關系同弧上的圓周角與圓心角的關系 點和圓的位置關系點和圓的位置關系 直線和圓的位置關系直線和圓的位置關系切線切線 切線的判定定理切線的判定定理 弧長弧長 扇形面積扇形面積 中心對稱中心對稱 垂徑定理垂徑定理 弧、弦、圓心角的關系弧、弦、圓心角的關系 正多邊形的有關概念正多邊形的有關概念 正多邊形的性質正多邊形的性質 確定圓的條件確定圓的條件 三角形的外接圓三角形的外接圓 圓周角圓周角 圓周角定理及其推論圓周角定理

2、及其推論 切線的性質定理切線的性質定理 切線長定理切線長定理 三角形的內切圓三角形的內切圓 一、一、垂徑定理垂徑定理 O AB C D M AM=BM, 若若 CD是直徑是直徑 CDAB 可推得可推得 AC=BC, AD=BD. 1.1.定理定理 垂直于弦的直徑垂直于弦的直徑平分弦平分弦, ,并且平分并且平分 弦所的兩條弧弦所的兩條弧. . 注意：注意：垂徑定理垂徑定理直角三角形直角三角形 (1)直徑（過圓心的線）（直徑（過圓心的線）（2）垂直弦）垂直弦 （3）平分弦（）平分弦（4）平分劣?。ǎ┢椒至踊。?）平分優(yōu)?。┢椒謨?yōu)弧 知二得三知二得三 O AB CD 1.兩條弦在圓心的同側兩條弦在圓

3、心的同側 O AB CD 2.兩條弦在圓心的兩側兩條弦在圓心的兩側 例例 O O的半徑為的半徑為10cm10cm，弦，弦ABCDABCD， AB=16 AB=16，CD=12CD=12，則，則ABAB、CDCD間的間的 距離是距離是_ _ . . 2cm 或或14cm 練練 習習 1 1. .如圖，如圖，CDCD為為O O直徑，直徑， 弦弦ABCDABCD于點于點E E， CE=1 CE=1，AB=10AB=10， 則則CD=CD= . . . AB D E O 2 2. .如圖如圖,M,M與與x x軸相交軸相交 于點于點A(2,0)A(2,0)，B(8,0),B(8,0), 與與y y軸相切

4、于點軸相切于點C,C, 則圓心則圓心M M的坐標是的坐標是 . . C C 在在同圓同圓或或等圓等圓中中, ,如果如果兩個圓心角兩個圓心角, ,兩條兩條 弧弧, ,兩條弦兩條弦中有一組量相等中有一組量相等, ,那么它們所對應的那么它們所對應的 其余各組量都分別相等其余各組量都分別相等. . O A B D AB D 二、圓心角、弧、弦的關系二、圓心角、弧、弦的關系 圓心角的度數(shù)與它所對的弧的度數(shù)相等圓心角的度數(shù)與它所對的弧的度數(shù)相等 三、圓周三、圓周角定理及推論角定理及推論 O AB C O B A C D E O AB C 圓周角定理圓周角定理:圓周角等于它所對弧上的圓周角等于它所對弧上的圓

5、心角的一半。圓心角的一半。 推論推論1：圓周角的度數(shù)等于它所對：圓周角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)的一半?；〉亩葦?shù)的一半。 推論推論2：同弧或等弧上的同弧或等弧上的圓周角相等；再同圓或等圓中，圓周角相等；再同圓或等圓中， 相等的圓周角所對的弧相等。相等的圓周角所對的弧相等。 推論推論3：直徑直徑所對的圓周角是所對的圓周角是直角直角； 90的圓周角的圓周角 所對的弦是所對的弦是直徑直徑。 推論推論4：圓內接四邊形的：圓內接四邊形的對角互補。對角互補。 任意一個外角都等于它的內對角。任意一個外角都等于它的內對角。 。 1 1. .如圖如圖1 1，ABAB是是O O的直徑，的直徑，C C為圓上一點，弧為

6、圓上一點，弧ACAC度數(shù)為度數(shù)為6060， ODBCODBC，D D為垂足，且為垂足，且OD=10OD=10，則，則AB=_AB=_，BC=_BC=_； 2 2. .如圖如圖2 2，O O中弧中弧ABAB的度數(shù)為的度數(shù)為6060，ACAC是是O O的直徑，那么的直徑，那么 BOCBOC等于等于 ( )( )； A A150150 B B130130 C C120120 D D6060 3 3. .在在ABCABC中，中，A A7070，若，若O O為為ABCABC的外心，的外心，BOC=BOC= ；若；若O O為為ABCABC的內心，的內心，BOC=BOC= 圖圖1圖圖2 A B C D O

7、4.已知已知, ABC內接于內接于 O, ADBC于于D,AC=4,AB=6, AD=3,求求 O的直徑。的直徑。 證明證明: :作作 O O的直徑的直徑AE,AE, 連接連接BE,BE,則則C= E, C= E, ADC= ABE, ADC= ABE, ABE ABE ADC, ADC, AD/AB=AC/AE, AD/AB=AC/AE, 即即AE=ABAE=ABAC/AD=8, O的直徑為的直徑為8 8 分析分析: :解決此類問題時解決此類問題時, ,我們我們 通常作出直徑以及它所對的通常作出直徑以及它所對的 圓周角圓周角, ,證明證明ABEADC.ABEADC. B B C C A A

8、. .O O . 證明一：連接AC、BC AC=CECAE=CBA， 又CDABCDAB ACB=CDB=90， ACD=CBA=CAF， AF=CF 5.5.已知，如圖，已知，如圖，ABAB是是O O的直徑，的直徑，C C為為AE AE 的的 中點，中點，CDABCDAB于于D D，交，交AEAE于于F F。求證：。求證：AF=CFAF=CF 分析:要正線段相等,通 常是證明兩角相等或三 角形全等。該題是證兩 角相等。 A F CE B D 證明二：延長證明二：延長CDCD交交 O O于于G,G,連接連接ACAC G ABAB是是O O的直徑，的直徑， CDABCDAB， AG=AC=CEA

9、G=AC=CE， CAE= CAE= GCAGCA， CF=AFCF=AF .p .o r .o .p .o .p 四、點和圓的位置關系四、點和圓的位置關系 Opr 點點p在在 o內內 Op=r 點點p在在 o上上 Opr 點點p在在 o外外 1、M是是 O內一點，已知過點內一點，已知過點M的的 O最長的弦為最長的弦為10 cm， 最短的弦長為最短的弦長為8 cm，則，則OM=_ cm. 2、圓內接四邊形、圓內接四邊形ABCD中，中，A B C D可以是可以是 （ ） A.1 2 3 4 B.1 3 2 4 C.4 2 3 1 D.4 2 1 3 1 1. .直線和圓相交直線和圓相交 nd d

10、 r;r; nd d r;r; 2 2. .直線和圓相切直線和圓相切 3 3. .直線和圓相離直線和圓相離 nd d r.r. 五五. .直線與圓的位置關系直線與圓的位置關系 O O 相交相交 O 相切相切 相離相離 rrr d d d 切線的判定定理切線的判定定理 定理定理 經(jīng)過半徑的外端經(jīng)過半徑的外端, ,并且垂直于這條半徑的并且垂直于這條半徑的 直線是圓的切線直線是圓的切線. . C D O A 如圖如圖 OAOA是是O O的的半徑半徑, , 且且CDOACDOA, , CDCD是是O O的切線的切線. . （）定義（）定義 （）圓心到直線的距離（）圓心到直線的距離d圓的半徑圓的半徑r

11、（）（）切線的判定定理：切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端經(jīng)過半徑的外端, 并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線. 切線的判定定理的兩種應用切線的判定定理的兩種應用 1.如果已知直線與圓有交點，往往如果已知直線與圓有交點，往往要作要作 出過這一點的半徑出過這一點的半徑，再證明直線垂直于再證明直線垂直于 這條半徑即可；這條半徑即可； 2.如果不明確直線與圓的交點，往往如果不明確直線與圓的交點，往往要要 作出圓心到直線的垂線段作出圓心到直線的垂線段，再證明這條再證明這條 垂線段等于半徑即可垂線段等于半徑即可 切線的性質定理切線的性質定理 圓的切線垂直于圓的切線垂直于過切

12、點的半徑過切點的半徑. . CDCD切切O O于于, , OA OA是是O O的半徑的半徑 CD O A CDOA. 1.兩個同心圓的半徑分別為兩個同心圓的半徑分別為3 cm和和4 cm，大圓的弦，大圓的弦 BC與小圓相切，則與小圓相切，則BC=_ cm； 2.如圖如圖2，在以，在以O為圓心的兩個同心圓為圓心的兩個同心圓 中，大圓的弦中，大圓的弦AB是小圓的切線，是小圓的切線，P為切點，為切點， 設設AB=12，則兩圓構成圓環(huán)面積為，則兩圓構成圓環(huán)面積為_； 3.下列四個命題中正確的是（下列四個命題中正確的是（ ） 與圓有公共點的直線是該圓的切線與圓有公共點的直線是該圓的切線 ； 垂直于圓的垂

13、直于圓的 半徑的直線是該圓的切線半徑的直線是該圓的切線 ； 到圓心的距離等于半徑到圓心的距離等于半徑 的直線是該圓的切線的直線是該圓的切線 ；過圓直徑的端點，垂直于此過圓直徑的端點，垂直于此 直徑的直線是該圓的切線直徑的直線是該圓的切線 A. B. C. D. A B P O 如圖，在ABC中，ABC=90，以AB的中點O為 圓心，OA為半徑的圓交AC于點D，E是BC的中點， 連接DE，OE （1）判斷DE與 O的位置關系，并說明理由； （2）求證：BC2=2CD.OE； （3）若cosBAD=3/5，BE=14/3，求OE的長 實質實質性質性質 三角形的外三角形的外 心心 三角形的內三角形的

14、內 心心 三角形三邊垂直平分線的交點三角形三邊垂直平分線的交點 三角形三內角角平分線的交點三角形三內角角平分線的交點 到三角形各邊的到三角形各邊的 距離相等距離相等 到三角形各頂點到三角形各頂點 的距離相等的距離相等 銳角三角形的外心位于三角形銳角三角形的外心位于三角形內部內部, , 直角三角形的外心位于直角三角形直角三角形的外心位于直角三角形斜邊的中點斜邊的中點, , 鈍角三角形的外心位于三角形鈍角三角形的外心位于三角形外部外部. . A B C O A B C C A B OO 三角形的外心是否一定在三角形的內部？三角形的外心是否一定在三角形的內部？ 從圓外一點向圓所引的兩從圓外一點向圓所

15、引的兩 條切線長相等。條切線長相等。 A B P O 1 2 A BC O D E F A BC O O D E F . 2 1 cbarS . 2 cba r 切線長定理切線長定理 n直角三角形的內切圓直角三角形的內切圓 半徑與三邊關系半徑與三邊關系. n三角形的內切圓半徑與圓面積三角形的內切圓半徑與圓面積. PA,PB切切 O于于A,B PA=PB 1.如圖：圓如圖：圓O中弦中弦AB等于半徑等于半徑R，則這條弦所對的圓，則這條弦所對的圓 心角是心角是,圓周角是圓周角是. O B A 60度度30或或150度度 C D C A O B 2.已知已知A、B、C三點在圓三點在圓O上，連接上，連接

16、 AO、CO， AB、BC 如果如果 AOC=140 ， 求求 B的度數(shù)的度數(shù) 3.平面上一點平面上一點P到圓到圓O上一點的距離最長上一點的距離最長 為為6cm,最短為最短為2cm,則圓則圓O的半徑為的半徑為 _. D 解：在優(yōu)弧AC上定一點D， 連結AD、CD. AOC=140 D=70 B=180 70 =110 2或或4cm 4.已知：如圖，已知：如圖， ABAB、ACAC與與O O相切于點相切于點B B、C C， A=50A=50，P P為為O O上異于上異于B B、C C的一個動點，的一個動點， 則則BPC BPC 的度數(shù)為的度數(shù)為 （ ） A.40 B.65 C.115 D.65

17、或或115 分析：在解決此問題時分析：在解決此問題時,應注意點應注意點P為一為一 動點動點,它可能在劣弧它可能在劣弧BC上上,也可能在優(yōu)弧也可能在優(yōu)弧 上，連接上，連接OB、OC得直角得直角,即可求解。即可求解。 P O B B A C . 65 P 115 D 練練 習習 1.1.已知圓心已知圓心O到直線到直線a的距離為的距離為5,圓的半圓的半 徑為徑為r,當當r=_時時,圓圓O與與a相切相切. 2.2.如圖圓如圖圓O切切PB于點于點B, PB=4,PA=2,則圓則圓O的的 半徑是半徑是_. O A B P 3.如圖如圖PA,PB,CD都是圓都是圓O 的切線的切線,PA的長為的長為4cm,則則 PCD的周長為的周長為_cm A B C D O P . 1.正多邊形都是軸對稱圖形，一個正正多邊形都是軸對稱圖形，一個正n n邊形共有邊形共有n n 條對稱軸。條對稱軸。 正多邊形有關的性質正多邊形有關的性質 2.正多邊形各條對稱軸相交于一點，這點到正多正多邊形各條對稱軸相交于一點，這點到正多 邊形的各個頂點的距離相等，到各邊的距離也相邊形的各個頂點的距離相等，到各邊的距離也相 等等 3.任何任何正多邊形都有一個外接圓和一個內切圓，正多邊形都有一個外接圓和一個內切圓， 這兩個圓是同心圓，圓心是各對稱軸的交點。這兩個圓是同心圓，