變速圓周運動分析[實用解決]

1、變速圓周運動 要點疑點考點 課 前 熱 身 能力思維方法 延伸拓展 要點疑點考點 一、變速圓周運動的性質(zhì)一、變速圓周運動的性質(zhì) 變速圓周運動的物體，不僅線速度大小、方變速圓周運動的物體，不僅線速度大小、方 向時刻在改變，而且加速度的大小、方向也向時刻在改變，而且加速度的大小、方向也 時刻在改變，也是變加速曲線運動時刻在改變，也是變加速曲線運動( (注：勻速注：勻速 圓周運動也是變加速運動圓周運動也是變加速運動).). 要點疑點考點 二、變速圓周運動的特點二、變速圓周運動的特點 由于變速圓周運動的合力一般不指向圓心，所以變速由于變速圓周運動的合力一般不指向圓心，所以變速 圓周運動所受的合外力產(chǎn)生

2、兩個效果圓周運動所受的合外力產(chǎn)生兩個效果. . 1.1.半徑方向的分力：產(chǎn)生向心加速度而改變速度方向半徑方向的分力：產(chǎn)生向心加速度而改變速度方向. . 2.2.切線方向的分力：產(chǎn)生切線方向加速度而改變速度切線方向的分力：產(chǎn)生切線方向加速度而改變速度 大小大小. . 改變速度大小改變速度大小 改變速度方向改變速度方向 v F F F FFn n 水平面內(nèi)的勻速圓周運動水平面內(nèi)的勻速圓周運動 0 F CFn 豎直平面內(nèi)的非勻速圓周運動豎直平面內(nèi)的非勻速圓周運動 0 F CFn maF nn maF 豎直面 內(nèi)的圓周運動 1、處理有關(guān)圓周運動問題的步驟： 確定研究對象；確定做圓運動物 體的軌道平面及

3、圓心位置； 對研 究對象進(jìn)行受力分析； 在向心加 速度方向和垂直于向心加速度方向上 建立直角坐標(biāo)系，若需要可對物體所 受力進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼环纸猓?依據(jù) 牛頓運動定律和向心加速度的公式列 方程，解方程，并討論解的合理性. 2 2一般豎直面內(nèi)的圓周運動，物體一般豎直面內(nèi)的圓周運動，物體 所受的合外力除了具有與速度垂直的所受的合外力除了具有與速度垂直的 法向力以外，還有與速度平行的切向法向力以外，還有與速度平行的切向 力，那么物體的速度不僅方向變化，力，那么物體的速度不僅方向變化， 大小也會變化大小也會變化. .對此，高考只要求解對此，高考只要求解 決在最高點和最低點這兩個特殊位置決在最高點和最低點這

4、兩個特殊位置 上的動力學(xué)問題上的動力學(xué)問題. .關(guān)系式依然適用，關(guān)系式依然適用， 只是不同位置對應(yīng)不同的只是不同位置對應(yīng)不同的v v或或而已而已. . r r v a 2 2 mg O mg O N 3 3豎直平面內(nèi)圓周運豎直平面內(nèi)圓周運 動的臨界問題：由于動的臨界問題：由于 物體在豎直平面內(nèi)做物體在豎直平面內(nèi)做 圓 周 運 動 的 依 托 物圓 周 運 動 的 依 托 物 （繩、輕桿、軌道、（繩、輕桿、軌道、 管道等）不同，所以管道等）不同，所以 物體在通過最高點時物體在通過最高點時 臨界條件不同臨界條件不同. . mg O N 繩桿 mg O 軌道 管道 可見，物體在最高點的可見，物體在最

5、高點的 最小速度決定于物體在最小速度決定于物體在 最高點受的最小合外力，最高點受的最小合外力， 不同情況下的最小合外不同情況下的最小合外 力決定了不同情況下的力決定了不同情況下的 最小速度最小速度. n豎直平面圓周運動中的臨界問題 小球運動到最高點時有： 2 v mgTm r 此時，能夠提供的向心力的最小值為mg，所以小 球能夠運動到最高點的條件為： vgr mg O T 繩 mg O N 桿 若小球運動到最高點時，桿對小球的彈力N為零， 則有： 0 vgr 當(dāng)小球運動到最高點的速率vv0時：N指向圓心; 當(dāng)vv0時：N背離圓心。 小球恰好能運動到最高點的條件為v=0。 繩與桿的區(qū)別：桿不僅能

6、夠起到拉拽作用，而且 能夠起到承托作用，但繩只能起到拉拽作用。 例題例題1 1：如圖所示，一質(zhì)量為：如圖所示，一質(zhì)量為m m 的小球，用長為的小球，用長為L L細(xì)繩系住，使細(xì)繩系住，使 其在豎直面內(nèi)作圓周運動其在豎直面內(nèi)作圓周運動.(1).(1) 若過小球恰好能通過最高點，若過小球恰好能通過最高點， 則小球在最高點和最低點的速則小球在最高點和最低點的速 度分別是多少？小球的受力情度分別是多少？小球的受力情 況分別如何？況分別如何？(2)(2)若小球在最低若小球在最低 點受到繩子的拉力為點受到繩子的拉力為1010mgmg，則，則 小球在最高點的速度及受到繩小球在最高點的速度及受到繩 子的拉力是多

7、少？子的拉力是多少？ mg O 練習(xí)練習(xí)1 1：如圖所示，一質(zhì)量為：如圖所示，一質(zhì)量為m m的的 小球，在半徑為小球，在半徑為R R 光滑軌道上，光滑軌道上， 使其在豎直面內(nèi)作圓周運動使其在豎直面內(nèi)作圓周運動.(1).(1) 若過小球恰好能通過最高點，則若過小球恰好能通過最高點，則 小球在最高點和最低點的速度分小球在最高點和最低點的速度分 別是多少？小球的受力情況分別別是多少？小球的受力情況分別 如何？如何？(2)(2)若小球在最低點受到若小球在最低點受到 軌道的彈力為軌道的彈力為8 8mgmg，則小球在最，則小球在最 高點的速度及受到軌道的彈力是高點的速度及受到軌道的彈力是 多少？多少？ m

8、g O 軌道 例題例題2 2：如圖所示，一質(zhì)量為：如圖所示，一質(zhì)量為m m的的 小球，用長為小球，用長為L L輕桿固定住，使輕桿固定住，使 其在豎直面內(nèi)作圓周運動其在豎直面內(nèi)作圓周運動.(1).(1)若若 過小球恰好能通過最高點，則小過小球恰好能通過最高點，則小 球在最高點和最低點的速度分別球在最高點和最低點的速度分別 是多少？小球的受力情況分別如是多少？小球的受力情況分別如 何？何？(2)(2)若小球在最低點受到桿若小球在最低點受到桿 子的拉力為子的拉力為5.55.5mgmg，則小球在最，則小球在最 高點的速度及受到桿子的力是多高點的速度及受到桿子的力是多 少？少？ mg O N 練習(xí)練習(xí)2

9、 2：如圖所示，一質(zhì)量為：如圖所示，一質(zhì)量為m m的的 小球，放在一個內(nèi)壁光滑的封閉小球，放在一個內(nèi)壁光滑的封閉 管內(nèi)，使其在豎直面內(nèi)作圓周運管內(nèi)，使其在豎直面內(nèi)作圓周運 動動.(1).(1)若過小球恰好能通過最高若過小球恰好能通過最高 點，則小球在最高點和最低點的點，則小球在最高點和最低點的 速度分別是多少？小球的受力情速度分別是多少？小球的受力情 況分別如何？況分別如何？(2)(2)若小球在最低若小球在最低 點受到管道的力為點受到管道的力為6 6mgmg，則小球，則小球 在最高點的速度及受到管道的力在最高點的速度及受到管道的力 是多少？是多少？ mg O N R M m O 例題例題3 3

10、、如圖所示，支架的質(zhì)量、如圖所示，支架的質(zhì)量 為為M M，轉(zhuǎn)軸，轉(zhuǎn)軸O O處用長為處用長為L L的輕繩懸的輕繩懸 掛一質(zhì)量為掛一質(zhì)量為m m的小球的小球. .若小球在若小球在 豎直平面內(nèi)做圓周運動，到達(dá)豎直平面內(nèi)做圓周運動，到達(dá) 最高點時，恰好支架對地面無最高點時，恰好支架對地面無 壓力壓力. .設(shè)設(shè)M M=3=3m m. .求：（求：（1 1）小球在）小球在 最高點時的速度大小是多少？最高點時的速度大小是多少？ （2 2）支架對地面的最大壓力是）支架對地面的最大壓力是 多少？多少？ M m O 練習(xí)練習(xí)3 3、如圖所示，支架的質(zhì)量、如圖所示，支架的質(zhì)量 為為M M，轉(zhuǎn)軸，轉(zhuǎn)軸O O處用長為處

11、用長為L L的輕繩懸的輕繩懸 掛一質(zhì)量為掛一質(zhì)量為m m 的小球的小球. .若小球在若小球在 豎直平面內(nèi)做圓周運動，到達(dá)最豎直平面內(nèi)做圓周運動，到達(dá)最 高點時，恰好支架對地面的壓力高點時，恰好支架對地面的壓力 mgmg. .設(shè)設(shè)M M=3=3m m. .求：（求：（1 1）小球在最）小球在最 高點時的速度大小是多少？（高點時的速度大小是多少？（2 2） 改變小球的速度，在保證小球仍改變小球的速度，在保證小球仍 能作圓周運動的前提下，當(dāng)小球能作圓周運動的前提下，當(dāng)小球 運動到最低點時，支架對地面的運動到最低點時，支架對地面的 最小壓力是多少？最小壓力是多少？ 例題例題4:4:如圖中圓弧軌道如圖中

12、圓弧軌道ABAB是在是在 豎直平面內(nèi)的豎直平面內(nèi)的1/41/4圓周，在圓周，在B B點，點， 軌道的切線是水平的軌道的切線是水平的. .一質(zhì)點一質(zhì)點 自自A A點從靜止開始下滑，不計點從靜止開始下滑，不計 滑塊與軌道間的摩擦和空氣阻滑塊與軌道間的摩擦和空氣阻 力，則在質(zhì)點剛要到達(dá)力，則在質(zhì)點剛要到達(dá)B B點時點時 的加速度大小為的加速度大小為_，剛滑，剛滑 過過B B點時的加速度大小為點時的加速度大小為_. _. A B 練習(xí)練習(xí)4:4:如圖中圓弧軌道如圖中圓弧軌道ABAB是是 在豎直平面內(nèi)的在豎直平面內(nèi)的1/41/4圓周，在圓周，在 B B點，軌道的切線是水平的點，軌道的切線是水平的. .

13、一質(zhì)點自一質(zhì)點自A A點上方高點上方高h(yuǎn) h處從靜處從靜 止開始下落，不計滑塊與軌止開始下落，不計滑塊與軌 道間的摩擦和空氣阻力，則道間的摩擦和空氣阻力，則 在質(zhì)點剛要到達(dá)在質(zhì)點剛要到達(dá)B B點時的加速點時的加速 度大小為度大小為_，剛滑過，剛滑過B B點點 時的加速度大小為時的加速度大小為_. _. A B h 例題例題5 5：如圖所示，半徑為：如圖所示，半徑為R R 的光滑半圓球固定在水平面上，的光滑半圓球固定在水平面上， 頂部有一小物體頂部有一小物體A A。今給它一。今給它一 個水平初速度個水平初速度 , ,則則 物體將（物體將（ ） A A、沿球面下滑至、沿球面下滑至M M點點 B B

14、、沿球面下滑至某一點、沿球面下滑至某一點N N， 便離開球面做斜下拋運動便離開球面做斜下拋運動 C C、立即離開半球面做平拋運、立即離開半球面做平拋運 動動 D D、以上說法都不正確、以上說法都不正確 gRv 0M m O R v0 N M m O R 練習(xí)練習(xí)5 5：如圖所示，半徑為：如圖所示，半徑為R R 的光滑半圓球固定在水平面上，的光滑半圓球固定在水平面上， 頂部有一小物體頂部有一小物體A A。今使無初。今使無初 速度放置在球的最高點速度放置在球的最高點, ,現(xiàn)在現(xiàn)在 給其一擾動，則物體將（給其一擾動，則物體將（ ） A A、沿球面下滑至、沿球面下滑至M M點點 B B、沿球面下滑至某

15、一點、沿球面下滑至某一點N N， 便離開球面做斜下拋運動便離開球面做斜下拋運動 C C、立即離開半球面做平拋運、立即離開半球面做平拋運 動動 D D、以上說法都不正確、以上說法都不正確 N 要點疑點考點 三、豎直平面內(nèi)的圓周運動問題的分析三、豎直平面內(nèi)的圓周運動問題的分析 豎直平面內(nèi)的圓周運動是典型的變速圓周運動，高考中經(jīng)常豎直平面內(nèi)的圓周運動是典型的變速圓周運動，高考中經(jīng)常 有這種模型，時常與能量及動量相結(jié)合有這種模型，時常與能量及動量相結(jié)合中學(xué)物理中只研究中學(xué)物理中只研究 物體在最高點與最低點的兩種情況物體在最高點與最低點的兩種情況. .主要有以下兩種類型：主要有以下兩種類型： 1.1.如

16、圖如圖4-4-14-4-1所示：無支撐物的小球在豎直平面內(nèi)最高點情況所示：無支撐物的小球在豎直平面內(nèi)最高點情況. . 圖4-4-1 要點疑點考點 (1)(1)臨界條件：小球達(dá)最高點時繩子的拉力臨界條件：小球達(dá)最高點時繩子的拉力( (或軌道的彈力或軌道的彈力) ) 剛好等于剛好等于0 0，小球在最高點的向心力全部由重力來提供，這，小球在最高點的向心力全部由重力來提供，這 時有時有mg=mvmg=mv2 2min min/r /r，式中的，式中的v vmin min是小球通過最高點的最小速度， 是小球通過最高點的最小速度， 通常叫臨界速度通常叫臨界速度v vmin min= . = . (2)(2

17、)能通過最高點的條件：能通過最高點的條件：v vv vmin min. . (3)(3)不能通過最高點條件不能通過最高點條件v vv vmin min，注意的是這是假設(shè)到最高 ，注意的是這是假設(shè)到最高 點而做出一個點而做出一個v v，其實球沒到最高點就脫離了軌道或是沿原，其實球沒到最高點就脫離了軌道或是沿原 軌道返回或是做斜拋運動了軌道返回或是做斜拋運動了. . gr 要點疑點考點 2.2.有物體支撐的小球在豎地面最高點情況有物體支撐的小球在豎地面最高點情況. . (1)(1)臨界條件：由于硬桿和管壁的支撐作用，小球恰好能臨界條件：由于硬桿和管壁的支撐作用，小球恰好能 到最高點的臨界速度到最高

18、點的臨界速度v vmin min=0. =0. (2)(2)圖圖4-4-24-4-2中的小球到達(dá)最高點時，輕桿對小球的作用力中的小球到達(dá)最高點時，輕桿對小球的作用力 情況；情況； 圖4-4-2 要點疑點考點 當(dāng)當(dāng)v=0v=0時，輕桿對小球有豎直向上的支持力時，輕桿對小球有豎直向上的支持力N N，其大小等，其大小等 于小球的重力，即于小球的重力，即N=mgN=mg； 當(dāng)當(dāng)0 0v v 時，桿對小球的支持力的方向豎直向上，大時，桿對小球的支持力的方向豎直向上，大 小隨速度增大而減小，其取值范圍是小隨速度增大而減小，其取值范圍是:0:0N Nmgmg； 當(dāng)當(dāng)v= v= 時，時，N=0N=0； 當(dāng)當(dāng)v

19、 v 時，桿對小球有指向圓心的拉力，其大小隨速時，桿對小球有指向圓心的拉力，其大小隨速 度的增大而增大度的增大而增大. . (3) (3)圖圖4-4-24-4-2的硬管對小球的彈力情況，請大家參考桿對的硬管對小球的彈力情況，請大家參考桿對 小球的分析自己分析小球的分析自己分析. . gr gr gr 課 前 熱 身 1.1.雜技演員在表演水流星節(jié)目時，盛水的杯子在豎直平雜技演員在表演水流星節(jié)目時，盛水的杯子在豎直平 面內(nèi)做圓周運動，當(dāng)杯子到最高點時，里面水也不流出面內(nèi)做圓周運動，當(dāng)杯子到最高點時，里面水也不流出 來，這是因為來，這是因為( ( ) ) A.A.水處于失重狀態(tài)，不受重力的作用了水

20、處于失重狀態(tài)，不受重力的作用了 B.B.水受平衡力作用，合力為水受平衡力作用，合力為0 0 C.C.水受的合力提供向心力，使水做圓周運動水受的合力提供向心力，使水做圓周運動 D.D.杯子特殊，杯底對水有吸力杯子特殊，杯底對水有吸力 C C 課 前 熱 身 2.2.乘坐游樂園的翻滾過山車時，質(zhì)量為乘坐游樂園的翻滾過山車時，質(zhì)量為m m的人隨車在的人隨車在 豎直平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，下列說法正確的是豎直平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，下列說法正確的是( ( ) ) A.A.車在最高點時人處于倒坐狀態(tài)，全靠保險帶拉住，車在最高點時人處于倒坐狀態(tài)，全靠保險帶拉住， 沒有保險帶，人就會掉下來沒有保險帶，人就會掉下來 B.B.人在最高

21、點時對座仍可能產(chǎn)生壓力，但壓力一定小人在最高點時對座仍可能產(chǎn)生壓力，但壓力一定小 于于mgmg C.C.人在最低點時對座位的壓力等于人在最低點時對座位的壓力等于mgmg D.D.人在最低點時對座位的壓力大于人在最低點時對座位的壓力大于mgmg D D 課 前 熱 身 3.3.如圖如圖4-4-34-4-3所示，長為所示，長為L L 的輕桿，一端固定著一個的輕桿，一端固定著一個 小球，另一端可繞光滑的小球，另一端可繞光滑的 水平軸轉(zhuǎn)使小球在豎直平水平軸轉(zhuǎn)使小球在豎直平 面內(nèi)運動，設(shè)小球在最高面內(nèi)運動，設(shè)小球在最高 點的速度為點的速度為v,v,則則( ( ) ) 圖4-4-3 BCBC A.vA.v

22、的最小值為的最小值為 B.vB.v若增大，向心力也增大若增大，向心力也增大 C.C.當(dāng)當(dāng)v v由由 逐漸增大時，桿對球的彈力也增大逐漸增大時，桿對球的彈力也增大 D.D.當(dāng)當(dāng)v v由由 逐漸減小時，桿對球的彈力也逐漸減小逐漸減小時，桿對球的彈力也逐漸減小 gL gL gL 能力思維方法 【例【例1 1】如圖】如圖4-4-44-4-4所示，細(xì)桿的一所示，細(xì)桿的一 端與小球相連，可繞端與小球相連，可繞O O點的水平軸自點的水平軸自 由轉(zhuǎn)動，現(xiàn)給小球一初速度，使它由轉(zhuǎn)動，現(xiàn)給小球一初速度，使它 做圓周運動，圖中做圓周運動，圖中a a、b b分別表示小分別表示小 球軌道的最低點和最高點，則桿對球軌道的

23、最低點和最高點，則桿對 球的作用力可能是球的作用力可能是( ( ) ) 圖4-4-4 A.aA.a處為拉力，處為拉力，b b處為拉力處為拉力 B.aB.a處為拉力，處為拉力，b b處為推力處為推力 C.aC.a處為推力，處為推力，b b處為拉力處為拉力 C.aC.a處為推力，處為推力，b b處為推力處為推力 ABAB 能力思維方法 【解析】小球以【解析】小球以O(shè) O點為圓心在豎直面內(nèi)做圓周運動，在點為圓心在豎直面內(nèi)做圓周運動，在 最低點時，小球除受重力外，還有桿的作用力，由于最低點時，小球除受重力外，還有桿的作用力，由于 合外力提供向心力且指向圓心，桿對小球的作用力只合外力提供向心力且指向圓心

24、，桿對小球的作用力只 能向上，所以在最低點，桿對小球只能是拉力能向上，所以在最低點，桿對小球只能是拉力 在最高點時，桿對小球可以向下拉，也可以向上在最高點時，桿對小球可以向下拉，也可以向上 推推. .當(dāng)小球速度小于當(dāng)小球速度小于 時，桿對小球向上推，當(dāng)小球時，桿對小球向上推，當(dāng)小球 的速度大于的速度大于 時，桿對小球向下拉時，桿對小球向下拉. . gl gl 能力思維方法 【解題回顧】桿對球既可能推力又可能是【解題回顧】桿對球既可能推力又可能是 拉力、而如果桿摸成線，即線對球就只能拉力、而如果桿摸成線，即線對球就只能 是拉力了。是拉力了。 能力思維方法 【例【例2 2】一內(nèi)壁光滑的環(huán)形細(xì)圓管，

25、位于豎直平面內(nèi)，】一內(nèi)壁光滑的環(huán)形細(xì)圓管，位于豎直平面內(nèi)， 環(huán)的半徑為環(huán)的半徑為R(R(比細(xì)管半徑大得多比細(xì)管半徑大得多) )在圓管中有兩個在圓管中有兩個 直徑與細(xì)管直徑相同的小球直徑與細(xì)管直徑相同的小球.(.(可視為質(zhì)點可視為質(zhì)點) )A A球的質(zhì)球的質(zhì) 量為量為m m1 1，B B球恰好運動到最高點，若要此時兩球作用球恰好運動到最高點，若要此時兩球作用 于圓管的合力為于圓管的合力為0 0，那么，那么m m1 1、m m2 2、R R與與v v0 0應(yīng)滿足的關(guān)系應(yīng)滿足的關(guān)系 式是式是 (m(m1 1-m-m2 2)v)v2 20 0/R+(m/R+(m1 1+5m+5m2 2)g=0.)g=

26、0. 能力思維方法 【解析】【解析】A A球在最低點時作用于管道的作用力一定是豎直球在最低點時作用于管道的作用力一定是豎直 向下的，且二者大小相等向下的，且二者大小相等設(shè)均為設(shè)均為N N，管壁對兩球的作用，管壁對兩球的作用 力的大小也必為力的大小也必為N.N. 對對A A球：球：N-mN-m1 1g=mg=m1 1v v2 20 0/R/R； 對對B B球：球：N+mN+m2 2g=mg=m2 2vv2 2/R./R. 其中其中vv為為B B球通過最高點的瞬時速度，由機械能守恒定律球通過最高點的瞬時速度，由機械能守恒定律 m m2 2g g2R+(1/2)m2R+(1/2)m2 2vv2 2=(1/2)m=(1/2)m2 2v v2 20 0. . 由上式可得關(guān)系式由上式可得關(guān)系式:(:(m m1 1-m-m2 2)v)v2 20 0/R+(m/R+(m1 1+5m+5m2 2)g=0.)g=0. 延伸拓展 【例【例4 4】一宇航員抵達(dá)一半徑為】一宇航員抵達(dá)一半徑為R R的星球表面后，為了測定的星球表面后，為了測定 該星球的質(zhì)量該星球的質(zhì)量M M，做如下實驗，取一根細(xì)線穿過光滑的細(xì)，做如下實驗，取一根細(xì)線穿過光滑的細(xì) 直管，細(xì)線一端拴一質(zhì)量為直管，細(xì)線一端拴