2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第13章 選修4-5 不等式選講 第2節(jié) 不等式的證明教案 北師大版

1、2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第13章 選修4-5 不等式選講 第2節(jié) 不等式的證明教案 北師大版2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第13章 選修4-5 不等式選講 第2節(jié) 不等式的證明教案 北師大版年級：姓名：不等式的證明考試要求通過一些簡單問題了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法1基本不等式的推廣如果a1，a2，an為n個正數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)a1a2an時，等號成立2柯西不等式(1)柯西不等式的代數(shù)形式：設(shè)a，b，c，d都是實(shí)數(shù)，則(a2b2)(c2d2)(acbd)2(當(dāng)且僅當(dāng)adbc時，等號成立)(2)柯西不等式的向量形式：設(shè)，是兩個向量，則|，當(dāng)且僅當(dāng)或是零向量，或存在實(shí)數(shù)k，使k

2、(，為非零向量)時，等號成立(3)柯西不等式的三角形不等式：設(shè)x1，y1，x2，y2，x3，y3r，則.(4)柯西不等式的一般形式：設(shè)a1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bn是實(shí)數(shù)，則(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2，當(dāng)且僅當(dāng)bi0(i1,2，n)或存在一個數(shù)k，使得aikbi(i1,2，n)時，等號成立3不等式的證明方法(1)比較法作差法(a，br)：ab0ab；ab0a0，b0)：1ab；1a0，m2a3b3，n2ab2a2b，則m，n的大小關(guān)系為_mn2a3b3(2ab2a2b)2a(a2b2)b(a2b2)(a2b2)(2ab)(ab)(ab)(2ab)因?yàn)閍b

3、0，所以ab0，ab0,2ab0，從而(ab)(ab)(2ab)0，故2a3b32ab2a2b.3已知a，b，c是正實(shí)數(shù)，且abc1，則的最小值為_9abc1，33222369，當(dāng)且僅當(dāng)abc時等號成立4設(shè)a，b，m，nr，且a2b25，manb5，則的最小值為_根據(jù)柯西不等式(manb)2(a2b2)(m2n2)，得255(m2n2)，即m2n25，所以的最小值為. 考點(diǎn)一用綜合法與分析法證明不等式 用綜合法證明不等式是“由因?qū)Ч?，用分析法證明不等式是“執(zhí)果索因”，它們是兩種思路截然相反的證明方法綜合法往往是分析法的逆過程，表述簡單、條理清楚，所以在實(shí)際應(yīng)用時，往往用分析法找思路，用綜合法

4、寫步驟，由此可見，分析法與綜合法相互轉(zhuǎn)化，互相滲透，互為前提，充分利用這一辯證關(guān)系，可以開闊解題思路，開闊視野1(2020全國卷)設(shè)a，b，cr，abc0，abc1.(1)證明：abbcca0且abbcca1，求證：abc.證明因?yàn)閍，b，c0，所以要證abc，只需證明(abc)23.即證a2b2c22(abbcca)3，而abbcca1，故需證明a2b2c22(abbcca)3(abbcca)，即證a2b2c2abbcca.而abbccaa2b2c2(當(dāng)且僅當(dāng)abc時等號成立)成立，所以原不等式成立3(2019全國卷)已知a，b，c為正數(shù)，且滿足abc1.證明：(1)a2b2c2；(2)(a

5、b)3(bc)3(ca)324.證明(1)因?yàn)閍2b22ab，b2c22bc，c2a22ac，且abc1，故有a2b2c2abbcca.所以a2b2c2.(2)因?yàn)閍，b，c為正數(shù)且abc1，故有(ab)3(bc)3(ca)333(ab)(bc)(ac)3(2)(2)(2)24.所以(ab)3(bc)3(ca)324.點(diǎn)評：(1)利用綜合法證明不等式時，常用的不等式有：a20；|a|0；a2b22ab，它的變形形式又有(ab)24ab，2等；(a0，b0)，它的變形形式又有a2(a0)，2(ab0)，2(ab0)等(2)用分析法證明不等式時，不要把“逆求”錯誤地作為“逆推”，分析的過程是尋求結(jié)

6、論成立的充分條件，而不一定是充要條件，同時要正確使用“要證”“只需證”這樣的“關(guān)鍵詞” 考點(diǎn)二放縮法證明不等式 (1)在不等式的證明中，“放”和“縮”是常用的證明技巧，常見的放縮方法有：變換分式的分子和分母，如，上面不等式中kn，k1；利用函數(shù)的單調(diào)性；利用結(jié)論，如“若0a0，則0，|y2|，求證：|2xy4|a.(2)求證：0，|x1|，可得|2x2|，又|y2|，|2xy4|(2x2)(y2)|2x2|y2|a.即|2xy4|a.(2)，1()().點(diǎn)評：(1)本例(1)采用了絕對值不等式的性質(zhì)證明不等式，通過變形、配湊達(dá)到證明的目的；(2)本例(2)采用了從第三項(xiàng)開始拆項(xiàng)放縮的技巧，放縮

7、拆項(xiàng)時，不一定從第一項(xiàng)開始，須根據(jù)具體題型分別對待，即不能放的太寬，也不能縮的太窄，真正做到恰到好處1設(shè)n是正整數(shù)，求證： 1.證明由2nnkn(k1,2，n)，得 .當(dāng)k1時， ；當(dāng)k2時， ；當(dāng)kn時， ， 1.原不等式成立2若a，br，求證：.證明當(dāng)|ab|0時，不等式顯然成立當(dāng)|ab|0時，由0|ab|a|b| ，所以 .綜上，原不等式成立 考點(diǎn)三柯西不等式的應(yīng)用 柯西不等式的解題策略(1)利用柯西不等式證明不等式，先使用拆項(xiàng)重組、添項(xiàng)等方法構(gòu)造符合柯西不等式的形式及條件，再使用柯西不等式解決有關(guān)問題(2)利用柯西不等式求最值，實(shí)質(zhì)上就是利用柯西不等式進(jìn)行放縮，放縮不當(dāng)則等號可能不成立

8、，因此一定不能忘記檢驗(yàn)等號成立的條件. 典例2(2019全國卷)設(shè)x，y，zr，且xyz1.(1)求(x1)2(y1)2(z1)2的最小值；(2)若(x2)2(y1)2(za)2成立，證明：a3或a1.解(1)由于(x1)(y1)(z1)2(x1)2(y1)2(z1)22(x1)(y1)(y1)(z1)(z1)(x1)3(x1)2(y1)2(z1)2，故由已知得(x1)2(y1)2(z1)2，當(dāng)且僅當(dāng)x，y，z時等號成立所以(x1)2(y1)2(z1)2的最小值為.(2)由于(x2)(y1)(za)2(x2)2(y1)2(za)22(x2)(y1)(y1)(za)(za)(x2)3(x2)2(

9、y1)2(za)2，故由已知得(x2)2(y1)2(za)2，當(dāng)且僅當(dāng)x，y，z時等號成立因此(x2)2(y1)2(za)2的最小值為.由題設(shè)知，解得a3或a1.點(diǎn)評：利用柯西不等式證明不等式或求解某些含有約束條件的多變量的最值問題，解決的關(guān)鍵是構(gòu)造兩組數(shù)，并向柯西不等式的形式進(jìn)行轉(zhuǎn)化1已知a，b，cr，且滿足a2b3c6，求a22b23c2的最小值解由柯西不等式，得(123)(a22b23c2)(1abc)2.得6(a22b23c2)(a2b3c)236.所以a22b23c26.當(dāng)且僅當(dāng)，即abc1時，上式等號成立所以a22b23c2的最小值為6.2設(shè)x，y，zr，且1，求xyz的取值范圍解由柯西不等式，得42()2222，