高職材料力學(xué)1—軸向拉伸與壓縮

1、第一章 軸向拉伸與 壓縮 1.1 軸向拉伸與壓縮的概念與實例 液壓傳動機構(gòu)中的活塞桿在油壓和工作阻力作用下受拉 1.1 軸向拉伸與壓縮的概念與實例 內(nèi)燃機的連桿在燃?xì)獗l(fā) 沖程中受壓 1.1 軸向拉伸與壓縮的概念與實例 受力特征：受力特征： 桿受一對大小相等、方向相反的縱向力, 力的作用 線與桿軸線重合。 沿軸線方向伸長或縮短, 橫截面沿軸線平行移動, 伴隨橫向收縮或膨脹。 變形特征：變形特征： 軸向壓縮, 對應(yīng)的力稱為壓力。 軸向拉伸, 對應(yīng)的力稱為拉力。 F FF F F FF F 1.1 軸向拉伸與壓縮的概念與實例 力學(xué)模型如圖 1.2 軸向拉伸或壓縮時的內(nèi)力 1.2.1 內(nèi)力及軸力 內(nèi)

2、力指由外力作用所引起的、物體內(nèi)相鄰部分之間 分布內(nèi)力系的合成（附加內(nèi)力）。 平衡平衡：對留下的部分建立平衡方程，根據(jù)其上的已知外力 來計算桿在截開面上的未知內(nèi)力（此時截開面上的內(nèi)力對所 留部分而言是外力）。 要求截面上的內(nèi)力，一般采用截面法，其基本步驟 如下： 截開截開：在所求內(nèi)力的截面處，假想地用截面將桿件一分 為二。 代替代替：任取一部分，其棄去部分對留下部分的作用，用 作用在截開面上相應(yīng)的內(nèi)力（力或力偶）代替。 FF m m F m m FN x 由左段的平衡方程得： 0,0 xN FFF N FF 說明如下:要求拉（壓）桿橫截面上的內(nèi)力, 可沿截 面m-m假想地把桿件分成兩部分,桿件左

3、右兩段在m- m上相互作用的內(nèi)力是一個分布力系, 其合力為FN。 1.2.1 軸力及軸力圖 因為外力F的作用線與桿件軸線重合, 內(nèi)力的合力 FN的作用線也必然與桿件的軸線重合, 所以FN稱為軸力。 習(xí)慣上, 把拉伸時的軸力規(guī)定為正, 壓縮時的軸力規(guī)定 為負(fù)。 在不知道截面上的軸力的正負(fù)時,一般假設(shè)其為正。 1.2.2 軸力圖軸力圖 用平行于桿軸線的坐標(biāo)表示橫截面的位置, 用 垂直于桿軸線的坐標(biāo)表示橫截面上的軸力數(shù)值, 從 而繪出表示軸力與橫截面位置關(guān)系的圖線, 稱為軸 力圖。一般將正的軸力畫在上側(cè), 負(fù)的畫在下側(cè)。 CABD 600300500400 E 40kN55kN25kN20kN 例1

4、：一等直桿其受力情況如圖所示, 作桿的軸力圖。 解：求支座反力 0,405525200 xR FF10 kN R F CABDE 40kN55kN25kN 1 1 2 2 3 3 4 4 20kN FR 用力的作用點將桿分段 該桿分為：AB, BC, CD, DE四段。 分別求出各段橫截面上的軸力再畫軸力圖。 CABDE 40kN55kN25kN 1 1 2 2 3 3 4 4 20kN FR CABDE 40kN55kN25kN 20kN FR 求AB段內(nèi)的軸力 1 FN1 N1 0 R FF N1 10 kN R FF (+) FR 1 1 CABDE 40kN55kN25kN 20kN

5、FR 求BC段內(nèi)的軸力 2 N2 400 R FF N2 4050 kN R FF (+) FN2 FR AB 40kN 2 2 CABDE 40kN55kN25kN 20kN FR 求CD段內(nèi)的軸力 N3 25200F N3 20255 kNF (-) FN3 3 DE 25kN 20kN 3 3 同理得DE段內(nèi)的軸力 N4 20 kNF CABD 600300500400 E 40kN55kN25kN20kN 作出桿的軸力圖如圖所示。 FAB10 kN （拉力） FBC50 kN （拉力） FCD 5 kN （壓力） FDE20 kN （拉力） 可見，F(xiàn)nmax發(fā)生在BC段內(nèi)任意截面上。

6、10 50 5 20 軸力圖 例2: 圖示桿的A、B、C、D點分別作用著大小為5P、8P、4P、 P的力, 方向如圖, 試畫出桿的軸力圖。 解： 求OA段內(nèi)力FN1：設(shè)置截面如圖 0 x F N1 0 ABCD FFFFF N1 5840 FPPPP N1 2FP ABC D FAFBFCFD O 5P8P4P P ABC D FAFBFCFD FN1 5P8P4PP 軸力圖如右圖 FN2 BC D FBFCFD C D FCFD FN3 D FD FN4 FN x 2P 3P 5P P FN2= 3P FN3= 5P FN4= P 同理, 求得AB、BC、CD段內(nèi)力分別為 ABC D FAF

7、BFCFD FN1 5P8P4PP 研究應(yīng)力的方法 ： （1 1）實驗）實驗 （2 2）觀察現(xiàn)象）觀察現(xiàn)象 （3 3）通過觀察到的現(xiàn)象得出結(jié)論）通過觀察到的現(xiàn)象得出結(jié)論 （4 4）通過結(jié)論推導(dǎo)出應(yīng)力公式）通過結(jié)論推導(dǎo)出應(yīng)力公式 1.3 橫截面上的應(yīng)力 只根據(jù)軸力并不能判斷桿件是否有足夠的強度, 如用同一材料制成粗細(xì)不同的兩根桿, 需用應(yīng)力來度 量桿件的受力程度。 取一等直桿, 在其側(cè)面上畫出與軸線平行的縱向線 和與軸線垂直的橫向線。 在兩端施加一對軸向拉力F。 1.3 橫截面上的應(yīng)力 實驗 所有的縱向線伸長都相等, 而橫向線保持為直線且 與縱向線垂直。 FF 1.3 橫截面上的應(yīng)力 觀察現(xiàn)象

8、(1)各纖維的伸長相同, 所以它們所受的力也相同。 (2)平面假設(shè):變形前為平面的橫截面，變形后仍保 持為平面且仍垂直于軸線。 1.3 橫截面上的應(yīng)力 結(jié)論 FF 由結(jié)論可知, 在橫截面上作用著均勻分布的正應(yīng)力。 F 1.3 橫截面上的應(yīng)力 推導(dǎo)公式 s FN N F A s 式中, FN為軸力, A 為桿的橫截面面積。s的符號與軸 力FN的符號相同。 當(dāng)軸力為正號時(拉伸), 正應(yīng)力也為正號, 稱為拉應(yīng)力。 當(dāng)軸力為負(fù)號時(壓縮), 正應(yīng)力也為負(fù)號, 稱為壓應(yīng)力。 (2.1) (1) 在導(dǎo)出公式時，要求外力合力與桿 件軸線重合，這樣才能保證各縱向纖維 變形相等，橫截面上正應(yīng)力均勻分布。 1.

9、3 橫截面上的應(yīng)力 討論：N F A s N ( ) ( ) ( ) Fx x A x s (2) 若軸力沿軸線變化，可作出軸力圖， 再由公式求出不同橫截面上的應(yīng)力。當(dāng) 截面的尺寸也沿軸線變化時，只要變化 緩慢，外力合力與軸線重合，公式(2.1) 仍可使用。這時把它寫成 (2.2) 1.3 橫截面上的應(yīng)力 (3) 若以集中力作用于桿件端截面 上，則集中力作用點附近區(qū)域內(nèi) 的應(yīng)力分布比較復(fù)雜，公式(2.1) 只能計算這個區(qū)域內(nèi)橫截面上的 平均應(yīng)力，不能描述作用點附近 的真實情況。這就引出，端截面 上外力作用方式不同，將有多大 影響的問題。實際上，在外力作 用區(qū)域內(nèi)，外力分布方式有各種 可能。例如

10、在圖a和b中，鋼索和 拉伸試樣上的拉力作用方式就是 不同的。 1.3 橫截面上的應(yīng)力 不過，如用與外力系靜力等效的合 力來代替原力系，則除在原力系作 用區(qū)域內(nèi)有明顯差別外，在離外力 作用區(qū)域略遠處(例如，距離約等 于截面尺寸處)，上述代替的影響 就非常微小，可以不計。這就是圣 維南原理，它已被實驗所證實。根 據(jù)這個原理，圖a和b所示桿件雖上 端外力的作用方式不同，但可用其 合力代替，這就簡化成相同的計算 簡圖(圖c)。在距端截面略遠處都 可用公式(2.1)計算應(yīng)力。 解解: 1. 計算軸力計算軸力 例2-1: 如圖所示右端固定的階梯形圓截面桿，同時承受軸向 載荷F1與F2作用。試計算桿的軸力與

11、橫截面上的正應(yīng)力。已 知F1= 20 kN, F2= 50 kN桿件AB段與BC段的直徑分別為d1=20 mm與d2=30 mm。 A BC F2 F1 1 1 2 2 F1 FN1 FN2 F1 F2 取1-1截面左側(cè)研究 求AB段軸力 FN1F120 kN 取2-2截面左側(cè)研究 求BC段軸力 FN2F1F230 kN 20 30 作軸力圖 2. 應(yīng)力計算應(yīng)力計算 由式(2.1)可知，AB 段內(nèi)任一橫截面1-1上 的正應(yīng)力為： 4 7 N1 1 2 1 42.0 10 6.37 10 Pa63.7 MPa 0.020 F A s d2 d2 所得FN2為負(fù), 說明BC段軸力的實際方向 與所設(shè)

12、方向相反，即應(yīng)為壓力。 44 N1N2 2.0 10 N,3.0 10 NFF 同理，得 BC 段內(nèi)任一橫截面 2-2 上的正應(yīng)力為： 4 7 N2 2 2 2 4( 3.0 10 ) 4.24 10 Pa42.4 MPa 0.030 F A s 是壓應(yīng)力 1.4 軸向拉伸或壓縮時的變形 直桿在軸向拉力作用下，將引起軸向尺寸的增大和 橫向尺寸的縮小。反之，在軸向壓力作用下，將引 起軸向的縮短和橫向的增大。 F F l l1 b1 b 桿件在軸線方向的伸長為 1 lll 桿件在橫向的收縮為 1 bbb 縱向應(yīng)變 l l b b 橫向應(yīng)變 1.4 軸向拉伸或壓縮時的變形 桿件橫截面上的正應(yīng)力為 N

13、 FF AA s 工程上使用的大多數(shù)材料，其應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系的初始 階段都是線彈性的。即，當(dāng)應(yīng)力不超過材料的比例極 限時，應(yīng)力與應(yīng)變成正比，這就是胡克定律?？梢詫?成 Es N F lFl l EAEA 式中的彈性模量E隨材料而不同。 l l N FF AA s Es 1.4 軸向拉伸或壓縮時的變形 N F lFl l EAEA 這表示：當(dāng)應(yīng)力不超過比例極限時，桿件的伸 長l與拉力F和桿件的原長度l成正比，與橫截面面 積A成反比。這是胡克定律的另一表達形式。以上 結(jié)果同樣可以用于軸向壓縮的情況，只要把軸向拉 力改為壓力，把伸長l改為縮短就可以了。 從上式看出，對長度相同，受力相等的桿件， EA越

14、大則變形l越小，所以EA稱為桿件的抗拉(或 抗壓)剛度。 1.4 軸向拉伸或壓縮時的變形 試驗結(jié)果表明：當(dāng)應(yīng)力不超過比例極限時，橫向應(yīng) 變與橫向應(yīng)變之比的絕對值是一個常數(shù)。即 l l b b 稱為橫向變形因數(shù)或泊松比，是一個無量綱的量。 因為當(dāng)桿件軸向伸長時橫向縮小，而軸向縮短時 橫向增大，所以和的符號是相反的。和的關(guān) 系可以寫成 說明P18:表1-1. 例例 圖所示桿系由兩根鋼桿1和2組成。已知桿端鉸接，兩桿與 鉛垂線均成30的角度，長度均為l2 m，直徑均為d25 mm，鋼的彈性模量為E210 GPa。設(shè)在點處懸掛一重物 P 100 kN，試求A點的位移A。 A BC 解：列平衡方程，求桿

15、的軸力 A BC Ax y FN2 FN1 N2N1 0,sinsin0 x FFF N1N2 0,coscos0 y FFFP N1N2 2cos P FF 兩桿的變形為 N1 12 2cos FlPl ll EAEA 是伸長變形。 A BC 變形的幾何相容條件是：變形后，兩桿仍應(yīng)鉸結(jié)在一起。 以兩桿伸長后的長度BA1和CA2為半徑作圓弧相交于A，即為 A點的新位置。AA就是A點的位移。 A A1 l1 A2 l2 A A A BC A A1 l1 A2 l2 A A 因變形很小，故可過 A1，A2 分別做兩桿的垂線，相交于 A, 可認(rèn)為 A AAAA 1 2 3 922 cos2cos 4

16、 100 102 0.001293 m1.293 mm( ) 2210 100.025cos 30 A lPl AA EA 2 4 d A 例 圖示三角形架AB和AC桿的彈性模量E=200GPa，求當(dāng) P=130kN 時節(jié)點的位移。A1=2172 mm2，A2=2548 mm2。 A B C P 30 2m P A FN1 FN2 x y 30 解：取鉸鏈A分析，由平衡方程 求得兩桿的軸力 N1 2FP 1桿受拉，2桿受壓 。 N1 1.732FP A B C P 30 2m N1 1 11 1 1.198 mm F l AAl EA A1 l1 A2l2 N2 2 22 2 0.765 mm

17、 F l AAl EA 根據(jù)胡克定律求出桿的變形 30 A3 AA3 為所求A點的位移 22 A AA AAA 1 2 cos30 l l 2 23 tan30 A A A A 21 tan30sin30 ll 22 3223 ()()AAAAA A 3.81mm A B C P 30 2m A1 l1 A2l2 A 30 A A1 A2 l1 l2 注注 意意 變形圖中桿件的伸長(縮短)與軸 力一定要對應(yīng)。 分析構(gòu)件的強度時，除計算應(yīng)力外，還應(yīng)了解 材料的力學(xué)性能。材料的力學(xué)性能也稱為機械性質(zhì)， 是指材料在外力作用下表現(xiàn)出的變形、破壞等方面 的特性。它要由實驗來測定。 1.5.1 低碳鋼拉伸

18、時的力學(xué)性能 低碳鋼是指含碳量在0.3%以下的碳素鋼。這類 鋼材在工程中使用較廣，在拉伸試驗中表現(xiàn)出的力 學(xué)性能也最為典型。 1.5 材料拉伸和壓縮時的力學(xué)性能 為了便于比較不同材料的試驗結(jié)果，對試樣的 形狀、加工精度、加載速度、試驗環(huán)境等，國家標(biāo) 準(zhǔn)都有統(tǒng)一規(guī)定。 標(biāo)準(zhǔn)試樣 1. 試樣 l5d和l10d 在試樣上取長為l的一段作為試驗段，l稱為標(biāo)距。對 圓截面試樣，標(biāo)距l(xiāng)與直徑d兩種比例，即 1.5 材料拉伸和壓縮時的力學(xué)性能 在室溫下，以緩慢平穩(wěn)的加載方式進行試驗，稱 為常溫靜載試驗，是測定材料力學(xué)性能的基本試驗。 2. 試驗條件 3. 試驗儀器 液壓式萬能試驗機 球鉸式引伸儀 1.5 材

19、料拉伸和壓縮時的力學(xué)性能 液壓式萬能試驗機液壓式萬能試驗機 底座底座 活動試臺活動試臺 活塞活塞 油管油管 1.5 材料拉伸和壓縮時的力學(xué)性能 4. 試驗過程 試樣裝在試驗機上， 受到緩慢增加的拉 力作用。對應(yīng)著每 一個拉力F，試樣 標(biāo)距l(xiāng)有一個伸長 量l。表示F和l 的關(guān)系的曲線，稱 為拉伸圖或Fl 曲線。 試驗過程Fl曲線與試樣的尺寸有關(guān)。為了消除試樣尺寸 的影響，把拉力F除以試樣橫截面的原始面積A，得出正應(yīng) 力s；同時，把伸長量l除以標(biāo)距的原始長度l，得到應(yīng)變。 以s為縱坐標(biāo)，為橫坐標(biāo)，作圖表示s與的關(guān)系稱為應(yīng)力 應(yīng)變圖或s曲線。 根據(jù)試驗結(jié)果， 低碳鋼的力學(xué) 性能大致如下： 1.5 材

20、料拉伸和壓縮時的力學(xué)性能 1) 彈性階段 Ob段 s 其中在直線Oa段，應(yīng)力 s與應(yīng)變成正比。 寫成等式 Es 這就是拉伸或壓縮的胡克定律。E為與材料有關(guān)的比例常數(shù)， 稱為彈性模量。E的量綱與s相同，常用單位為GPa(1 GPa=109 Pa) E s s/是直線Oa的斜率。直線部分的最高點a所對應(yīng)的應(yīng)力sp稱為 比例極限。顯然，只有應(yīng)力低于比例極限時，應(yīng)力才與應(yīng)變成 正比，材料才服從胡克定律。這時，稱材料是線彈性的。 1) 彈性階段 Ob段 超過比例極限后，從a點 到b點, s與之間的關(guān)系 不再是直線，但解除拉 力后變形仍可完全消失， 這種變形稱為彈性變形。 b點所對應(yīng)的應(yīng)力se是材料只出現(xiàn)

21、彈性變形的極限值，稱為 彈性極限。在s-曲線上，a, b兩點非常接近，所以工程上對 彈性極限和比例極限并不嚴(yán)格區(qū)分。 在應(yīng)力大于彈性極限后，如再解除拉力，則試樣變形的一部 分隨之消失，這就是上面提到的彈性變形。但還遺留下一部 分不能消失的變形，這種變形稱為塑性變形或殘余變形。 2) 屈服階段 bc段 超當(dāng)應(yīng)力超過b點增加到 某一數(shù)值時，應(yīng)變有非 常明顯的增加，而應(yīng)力 先是下降，然后作微小 的波動，在s-曲線上出 現(xiàn)接近水平線的小鋸齒 形線段。這種應(yīng)力基本 保持不變，而應(yīng)變顯著增加的現(xiàn)象，稱為屈服或流動。在 屈服階段內(nèi)的最高應(yīng)力和最低應(yīng)力分別稱為上屈服極限和 下屈服極限。上屈服極限的數(shù)值與試樣形

22、狀、加載速度等 因素有關(guān)，一般是不穩(wěn)定的。下屈服極限則有比較穩(wěn)定的 數(shù)值，能夠反應(yīng)材料的性能。通常就把下屈服極限稱為屈 服極限或屈服點，用ss來表示。 2) 屈服階段 bc段 表面磨光的試樣屈服時， 表面將出現(xiàn)與軸線大致成 45傾角的條紋。這是由 于材料內(nèi)部相對滑移形成 的，稱為滑移線。因為拉 伸時在與桿軸成45傾角 的斜截面上，切應(yīng)力為最 大值，可見屈服現(xiàn)象的出 現(xiàn)與最大切應(yīng)力有關(guān)。 3) 強化階段 ce段 過屈服階段后，材料又恢復(fù)了抵抗變形的能力，要使它 繼續(xù)變形必須增加拉力。這種現(xiàn)象稱為材料的強化。強 化階段中的最高點e所對應(yīng)的應(yīng)力sb是材料所能承受的 最大應(yīng)力，稱為強度極限或抗拉強度。

23、它是衡量材料強 度的另一重要指標(biāo)。在強化階段中，試樣的橫向尺寸有 明顯的縮小。 4) 局部變形階段 ef段 過e點后，在試樣的某 一局部范圍內(nèi)，橫向 尺寸突然急劇縮小， 形成縮頸現(xiàn)象。由于 在縮頸部分橫截面面 積迅速減小，使試樣 繼續(xù)伸長所需要的拉 力也相應(yīng)減少。在應(yīng) 力-應(yīng)變圖中，用橫截 面原始面積 A算出的 應(yīng)力sF/A隨之下降， 降落到f點，試樣被拉 斷。 5) 伸長率和斷面收縮率 ll l 1 100% 5%-塑性材料 AA A 1 100% 5%-脆性材料 伸長率也稱為延伸率 斷面收縮率 6) 卸載定律及冷作硬化 如把試樣拉到超過屈 服極限的d點，然后逐 漸卸除拉力，應(yīng)力和 應(yīng)變關(guān)系

24、將沿著斜直 線dd回到d點。斜直 線dd近似地平行于Oa。 這說明：在卸載過程 中，應(yīng)力和應(yīng)變按直 線規(guī)律變化。這就是 卸載定律。 拉力完全卸除后，應(yīng)力應(yīng)變圖中，dg表示消失了的彈性變 形，而Od表示不再消失的塑性變形。 6) 卸載定律及冷作硬化 如卸載后，如在短期內(nèi) 再次加載，則應(yīng)力和應(yīng) 變大致上沿卸載時的斜 直線dd變化。直到d點 后，又沿曲線def變化。 可見在再次加載時，直 到d點以前材料的變形 是彈性的，過d點后才 開始出現(xiàn)塑性變形。比 較圖中的Oabcdef和ddef兩條曲線， 可見在第二次加載時，其比例極限(亦即彈性階段)得到了提 高，但塑性變形和伸長率卻有所降低。這種現(xiàn)象稱為冷

25、作硬 化。冷作硬化現(xiàn)象經(jīng)退火后又可消除。 6) 卸載定律及冷作硬化 工程上經(jīng)常利用冷作硬化來提高材料的彈性階段。 如起重用的鋼索和建筑用的鋼筋，常用冷拔工藝 以提高強度。又如對某些零件進行噴丸處理，使 其表面發(fā)生塑性變形，形成冷硬層，以提高零件 表面層的強度。但另一方面，零件初加工后，由 于冷作硬化使材料變脆變硬，給下一步加工造成 困難，且容易產(chǎn)生裂紋，往往就需要在工序之間 安排退火，以消除冷作硬化的影響。 1.5.2、其它塑性材料拉 伸時的力學(xué)性能 工程上常用的塑性材料， 除低碳鋼外，還有中碳鋼、 高碳鋼和合金鋼、鋁合金、 青銅、黃銅等。圖中是幾 種塑性材料的s-曲線。其 中有些材料，如Q3

26、45鋼， 和低碳鋼一樣，有明顯的 彈性階段、屈服階段、強 化階段和局部變形階段。 有些材料，如黃銅H62，沒 有屈服階段，但其他三階 段卻很明顯。還有些材料， 如高碳鋼T10A，沒有屈服 階段和局部變形階段，只 有彈性階段和強化階段。 1.5 材料拉伸時的力學(xué)性能 名義屈服應(yīng)力 對沒有明顯屈服極限的 塑性材料，可以將產(chǎn)生0.2% 塑性應(yīng)變時的應(yīng)力作為屈服 指標(biāo)，并用 s0.2來表示，稱為 名義屈服應(yīng)力。 各類碳素鋼中，隨含碳 量的增加，屈服極限和強度 極限相應(yīng)提高，但伸長率降 低。例如合金鋼、工具鋼等 高強度鋼材，屈服極限較高， 但塑性性能卻較差。 1.5.3 鑄鐵拉伸時的力學(xué)性能 灰口鑄鐵拉

27、伸時的應(yīng)力應(yīng) 變關(guān)系是一段微彎曲線，沒有明顯 的直線部分。它在較小的拉應(yīng)力下 就被拉斷，沒有屈服和縮頸現(xiàn)象， 拉斷前的應(yīng)變很小，伸長率也很小。 灰口鑄鐵是典型的脆性材料。 鑄鐵拉斷時的最大應(yīng)力即為 其強度極限。因為沒有屈服現(xiàn)象， 強度極限sb是衡量強度的唯一指標(biāo)。 鑄鐵等脆性材料的抗拉強度很低， 所以不宜作為抗拉零件的材料。 1.5 材料拉伸和壓縮時的力學(xué)性能 由于鑄鐵的s-圖沒有明顯的直線部分，彈性模量E的 數(shù)值隨應(yīng)力的大小而變。但在工程中鑄鐵的拉應(yīng)力不能很 高，而在較低的拉應(yīng)力下，則可近似地認(rèn)為服從胡克定律。 通常取s-曲線的割線代替曲線的開始部分，并以割線的斜 率作為彈性模量，稱為割線彈

28、性模量。 1.5 材料拉伸和壓縮時的力學(xué)性能 1.5.4 材料壓縮時的力學(xué)性能 金屬的壓縮試樣一般制成很短的圓柱, 以免被壓彎。 圓柱高度約為直徑的1.53倍?；炷?、石料等則制成立方 形的試塊。 低碳鋼壓縮時的彈性 模量E和屈服極限ss都與 拉伸時大致相同。屈服階 段以后，試樣越壓越扁， 橫截面面積不斷增大，試 樣抗壓能力也繼續(xù)增高， 因而得不到壓縮時的強度 極限。由于可從拉伸試驗 測定低碳鋼壓縮時的主要 性能，所以不一定要進行 壓縮試驗。 1.5 材料拉伸和壓縮時的力學(xué)性能 鑄鐵壓縮時的-曲線 s b s O 鑄鐵的抗壓強度遠比抗拉強度高,約為抗拉 強度的25倍(600MPa對應(yīng)230MP

29、a) 衡量材料力學(xué)性能的主要指標(biāo)： 比例極限sp: s E, s-關(guān)系是線性、彈性的。 彈性模量E: Es/, Oa段直線的斜率, 反映材料抵抗彈性變形的能力。 彈性極限se: 彈性，ab段為非線性。se與sp數(shù)值相近。 屈服極限ss: 材料是否出現(xiàn)塑性變形的重要強度指標(biāo)。 強度極限sb: 反映材料是否破壞的重要強度指標(biāo)。 彈性應(yīng)變 冷作硬化 伸長率 斷面收縮率Y 塑性應(yīng)變 1.6 拉伸和壓縮時的強度計算 由脆性材料制成的構(gòu)件，在拉力作用下，當(dāng)變形很小時 就會突然斷裂。塑性材料制成的構(gòu)件，在拉斷之前先已出現(xiàn) 塑性變形，由于不能保持原有的形狀和尺寸，它已不能正常 工作?？梢园褦嗔押统霈F(xiàn)塑性變形統(tǒng)

30、稱為失效。受壓短桿的 被壓潰、壓扁同樣也是失效。上述這些失效現(xiàn)象都是強度不 足造成的，可是構(gòu)件失效并不都是強度問題。例如，若機床 主軸變形過大，即使未出現(xiàn)塑性變形，但還是不能保證加工 精度，這也是失效，它是剛度不足造成的。受壓細(xì)長桿的被 壓彎，則是穩(wěn)定性不足引起的失效。此外，不同的加載方式， 如沖擊、交變應(yīng)力等，以及不同的環(huán)境條件，如高溫、腐蝕 介質(zhì)等，都可以導(dǎo)致失效。這里主要討論強度問題，其他形 式的失效將于以后依次介紹。 1. 失效 2. 極限應(yīng)力 脆性材料斷裂時的應(yīng)力是強度極限sb，塑性材 料到達屈服時的應(yīng)力是屈服極限ss, 這兩者都是構(gòu) 件失效時的極限應(yīng)力, 用 su表示。 0.2 (

31、) b u s s s s s 脆性材料 塑性材料 1.6 拉伸和壓縮時的強度計算 3. 許用應(yīng)力 為保證構(gòu)件有足夠的強度，在載荷作用下構(gòu) 件的實際應(yīng)力s (以后稱為工作應(yīng)力)應(yīng)低于極限應(yīng) 力。強度計算中，以大于1的因數(shù)除極限應(yīng)力，所 得結(jié)果稱為許用應(yīng)力，用s來表示。 u n s s s s n s s對于塑性材料 b b n s s對于脆性材料 式中大于1的因數(shù) ns、ns 或 n 稱為安全系數(shù)。 1.6 拉伸和壓縮時的強度計算 安全因數(shù) 安全系數(shù)的確定是一件復(fù)雜的工作，它受具體 構(gòu)件的工作條件影響很大，還有經(jīng)濟上的考慮。因 此，企圖對一種材料規(guī)定統(tǒng)一的安全系數(shù)，從而得 到統(tǒng)一的許用應(yīng)力，并

32、將它用于設(shè)計各種工作條件 不同的構(gòu)件，這是不科學(xué)的。目前，在機械設(shè)計和 建筑結(jié)構(gòu)設(shè)計中，均傾向于根據(jù)構(gòu)件的材料和具體 工作條件，并結(jié)合過去制造同類型構(gòu)件的實踐經(jīng)驗 和現(xiàn)實的技術(shù)水平，規(guī)定不同的安全系數(shù)。對于各 種不同構(gòu)件的安全系數(shù)和許用應(yīng)力，有關(guān)設(shè)計部門 在規(guī)范中有具體的規(guī)定。下面舉幾個例子，說明在 不同情況下安全系數(shù)和許用應(yīng)力的選取。 安全因數(shù) 土建工程中的金屬結(jié)構(gòu)，基本上承受靜載荷，常用Q235鋼，取n 1.5。相應(yīng)的許用應(yīng)力s160 MPa。 起重機金屬結(jié)構(gòu)，因承受動載荷，安全系數(shù)比土建工程用金屬結(jié)構(gòu) 要大些，對Q235鋼，取n1.7，其許用應(yīng)力則為s140 MPa。 緊連接螺栓的許用應(yīng)

33、力還與其直徑有關(guān)。對小直徑的螺栓，由于擰 緊時比大直徑螺栓更易于超載，其許用應(yīng)力要取得小些。例如，在靜載 荷下，對碳素鋼螺栓，當(dāng)名義直徑d06 mm16 mm時，取s(0.20 0.25)ss；當(dāng)d016 mm30 mm時，取s(0.250.4)ss；當(dāng)d030 mm60 mm時，取s(0.40.6)ss。如受動載荷，則再將這些許用應(yīng) 力降低1513。 起重用鋼絲繩，由于提升重物時有一加速過程，實際受力比重物大； 同時考慮到部分鋼絲的折斷、磨損、銹蝕以及彎曲變形等因素，因此按 靜荷拉伸計算時其安全系數(shù)取得較大。對于人力驅(qū)動的起重鋼絲繩，取n 4.5；機器驅(qū)動時取n56；而對于載人用的鋼絲繩則取

34、n9。 由上可見，對各種不同情況下工作的構(gòu)件，它們的安全系數(shù)或許用 應(yīng)力的差別是比較大的，須根據(jù)構(gòu)件的具體情況來確定。 安全因數(shù) 由上可見，對各種不同情況下工作的構(gòu)件，它們的安全 系數(shù)或許用應(yīng)力的差別是比較大的，須根據(jù)構(gòu)件的具體情況 來確定。 安全系數(shù)的選取。關(guān)系到構(gòu)件的安全和經(jīng)濟，兩者是矛 盾的。應(yīng)適當(dāng)處理，將兩者合理地統(tǒng)一起來。片面地將任一 方面強調(diào)到不適當(dāng)?shù)某潭龋际清e誤的。若片面地強調(diào)安全， 采用過大的安全系數(shù)，就會造成構(gòu)件的尺寸過大，這不僅浪 費材料，而且會使設(shè)計出的機器或結(jié)構(gòu)物粗笨。若不適當(dāng)?shù)?強調(diào)經(jīng)濟，采用過小的安全系數(shù)，就會使構(gòu)件尺寸過小，而 不能保證構(gòu)件的安全耐用，甚至造成事

35、故。這都不符合設(shè)計 要求。安全系數(shù)也不是固定不變的，隨著我國工業(yè)技術(shù)的飛 速發(fā)展，設(shè)計能力、工藝水平、材料產(chǎn)品質(zhì)量的不斷提高， 以及人們對客觀事物的進一步認(rèn)識，安全系數(shù)將會取得較小。 安全因數(shù) 至于確定安全因數(shù)應(yīng)考慮的因素，一般有以下幾點：(1)材料的 素質(zhì)，包括材料的均勻程度，質(zhì)地好壞，是塑性的還是脆性的等。 (2)載荷情況，包括對載荷的估計是否準(zhǔn)確，是靜載荷還是動載荷 等。(3)實際構(gòu)件簡化過程和計算方法的精確程度。(4)零件在設(shè)備 中的重要性，工作條件，損壞后造成后果的嚴(yán)重程度，制造和修配 的難易程度等。(5)對減輕設(shè)備自重和提高設(shè)備機動性的要求。上 述這些因素都足以影響安全因數(shù)的確定。

36、例如材料的均勻程度較差， 分析方法的精度不高，載荷估計粗糙等都是偏于不安全的因素，這 時就要適當(dāng)?shù)卦黾影踩驍?shù)的數(shù)值，以補償這些不利因素的影響。 又如某些工程結(jié)構(gòu)對減輕自重的要求高，材料質(zhì)地好，而且不要求 長期使用。這就不妨適當(dāng)?shù)靥岣咴S用應(yīng)力的數(shù)值。可見在確定安全 因數(shù)時，要綜合考慮多方面的因素，很難作統(tǒng)一的規(guī)定。不過，人 類對客觀事物的認(rèn)識總是逐步地從不完善趨向于完善。隨著原材料 質(zhì)量的日益提高，制造工藝和設(shè)計方法的不斷改進，對客觀世界認(rèn) 識的不斷深化，安全因數(shù)的選擇必將日益趨向于合理。 把許用應(yīng)力s作為構(gòu)件工作應(yīng)力的最高限度， 即要求工作應(yīng)力s不超過許用應(yīng)力s。于是得構(gòu)件 軸向拉伸或壓縮時

37、的強度條件為 4. 強度條件 N F A ss 4. 強度計算的三類問題 強度校核 N F A ss 截面沒計 N F A s 確定許可載荷 N FAs 1.6 拉伸和壓縮時的強度計算 例5 起重三腳架如圖所示。木桿AB的許用應(yīng)力s1=12 MPa， AC為鋼桿，許用應(yīng)力s2=160 MPa ，求結(jié)構(gòu)的最大荷載P。 解：取節(jié)點A分析，受力如圖 NN 32 ABAC FPFP 鋼桿設(shè)計: 46 N22 4 1.459 10160 10 2.33 10 N23.3kN AC FAs kN7 .11 max P選 80 20 x4 P B C A 30 木桿設(shè)計: 1 34.8kNP P A FNA

38、B FNAC 26 N11 4 0.0812 10 4 6.03 10 N=60.3kN AB FA s 2 11.7kNP 例6：剛性桿ACB有圓桿CD懸掛在C點，B端作用集中力P 25 kN，已知CD桿的直徑d20 mm，許用應(yīng)力s160 MPa，試校核CD桿的強度，并求： （1）結(jié)構(gòu)的許可荷載P； （2）若P50 kN，設(shè)計CD桿的直徑。 2aa P A B D C 解：求CD桿受力 N 3 ()0, 2 A P mFF N 2 32 119 kN 4 FP Ad ss P A BC FN FAy FAx （1）結(jié)構(gòu)的許可荷載P； N CD F A ss N 3 2 P FAs P=33

39、.5 kN 2aa P A B D C P A BC FN FAy FAx 2aa P A B D C P A BC FN FAy FAx N CD F A ss (2) 若P50 kN，設(shè)計CD桿的直徑。 N 32 FP A ss 2 32 4 dP s d24.4 mm 取d25 mm 例7 圖示結(jié)構(gòu), AC 為剛性梁，BD為斜撐桿, 載荷F可沿梁 AC 水平移動。已知梁長為l, 節(jié)點A和D間的距離為h。試問： 為使斜撐桿的重量最輕, 斜撐桿與梁之間的夾角應(yīng)取何值, 即確定夾角 的最佳角。 l h ABC D P ：設(shè)斜撐桿的軸力為FN ,載荷 P的位置用坐標(biāo)x表示。 P ACB x FN

40、 FAy FAx 顯然, 當(dāng)xl時, 軸力FN最大： Nmax cos Pl F h 則由平衡方程MA(F) =0 ，得： N cos Px F h P ACB x FN FAy FAx Nmax cos FPl A hss 根據(jù)強度要求，斜撐桿所需之最小橫截面面積為： 45 opt 于是得夾角的最佳值為： sin21 可見, 要使斜撐桿的重量最輕, 應(yīng)使其體積最小。由上式得 2 cossinsin2 BD PlhPl VAl hss 由此得斜撐桿的體積為： 1.7 拉伸、壓縮超靜定問題 1.7.1、超靜定問題及求解方法 靜定問題: 桿件的軸力可以用靜力平衡條件求出，這種情況 稱作靜定問題。

41、超靜定問題: 只憑靜力平衡方程已不能解出全部未知力，這 種情況稱做超靜定問題。 超靜定的次數(shù): 未知力數(shù)超過獨立平衡方程數(shù)的數(shù)目, 稱作超 靜定的次數(shù)。 變形協(xié)調(diào)方程: 在靜不定問題中，各部分變形之間必存在相 互制約的條件，這種條件稱為變形相容條件(變形協(xié)調(diào)方程)。 超靜定問題的處理方法：平衡方程、變形協(xié)調(diào)方程、物理方 程相結(jié)合，進行求解。 1.7.2、一般超靜定問題舉例 例：例：兩端固定的等直桿AB橫截面積為A，彈性模量為E，在C 點處承受軸力P的作用，如圖所示。計算約束反力。 FRB B A C P FRA解：解：1）平衡方程 RR 0 AB FFP 這是一次超靜定問題。 b l B A

42、C P a 2）相容條件(變形協(xié)調(diào)條件)：桿的總長度不變 FRB B A C P FRA A C P FRA FRB B C P B A C P C1 1ACCB CCll RA AC F a l EA b l B A C P a RB CB F b l EA 3）物理方程（胡克定律） 補充方程為RRAB FaFb EAEA 平衡方程為 FRB B A C P FRA A C P FRA FRB B C P B A C P C1 b l B A C P a RR 0 AB FFP RA Pb F l RB Pa F l 解超靜定問題的步驟： 根椐變形相容條件建立變形幾何方程。變形幾何方 程的個

43、數(shù)與超靜定次數(shù)相等。 將變形與力之間的關(guān)系（胡克定律）代入變形幾何 方程得補充方程。 聯(lián)立補充方程與靜力平衡方程求解。 解超靜定問題注意 畫變形圖時，桿的變形與假設(shè)的軸力符號要一致。 例題：圖示平行桿系1、2、3懸吊著橫梁AB(AB的變形略去 不計)，在橫梁上作用著荷載G。如桿1、2、3的截面積、長 度、彈性模量均相同，分別為A，l，E。試求1、2、3三桿 的軸力N1，N2，N3。 ABC G 123 aa l 解：(1)平衡方程 這是一次超靜定問題，且 假設(shè)均為拉桿。 ABC G 123 aa l A B C G 123 FN 3 FN 2 FN 1 Fx 0 x F 0 x F 0 y F

44、 N1N2N3 0FFFG ()0 B mF N1N2 20FaFa (2) 變形幾何方程 (3) 物理方程 ABC 123 A C B l3 l1 l2 ABC G 123 aa l 132 2lll N1 1 F l l EA N2 2 F l l EA N3 3 F l l EA 補充方程 N1N3N2 2FFF (4) 聯(lián)立平衡方程與補充方程求解 ABC 123 A C B l3 l1 l2 ABC G 123 aa l N1N3N2 2FFF 0 x F N1N2N3 0FFFG N1N2 20FaFa N1 N2 N3 6 3 5 6 G F G F G F 1.7.3 溫度應(yīng)力

45、溫度變化將引起物體的膨脹或收縮。靜定結(jié)構(gòu)可以自由 變形，當(dāng)溫度均勻變化時，并不會引起構(gòu)件的內(nèi)力。但如超 靜定結(jié)構(gòu)的變形受到部分或全部約束，溫度變化時，往往就 要引起內(nèi)力。 1.7 拉伸、壓縮超靜定問題 對上述兩端固定的AB桿來說，由 平衡方程只能得出 RRAB FF 這并不能確定反力的數(shù)值，必須再補充一個變形協(xié)調(diào)方程。 設(shè)想拆除右端支座，允許桿件自由脹縮，當(dāng)溫度變化為T 時，桿件的溫度變形(伸長)應(yīng)為 Tl lT l 式中l(wèi) 為材料的線脹系數(shù)。然后，再在右端作用FRB，桿件 因F而FRB產(chǎn)生的縮短是 RB F l l EA 1.7 拉伸、壓縮超靜定問題 實際上，由于兩端固定，桿件長 度不能變化

46、，必須有 T ll 這就是補充的變形協(xié)調(diào)方程。 于是得 R Tl B lT l F l l EA RB l F l T l EA RBl FEAT RB Tl F E T A s 1.7 拉伸、壓縮超靜定問題 RB Tl F E T A s 碳鋼： l12.510-6-1, E200GPa 63 12.5 10200 10MPa = 2.5MPa T TTs 可見當(dāng)T較大時，sT的數(shù)值便 非常可觀。為了避免過高的溫 度應(yīng)力，在管道中有時增加伸 縮節(jié)，在鋼軌各段之間留有伸 縮縫，這樣就可以削弱對膨脹 的約束，降低溫度應(yīng)力。 1.7 拉伸、壓縮超靜定問題 開有圓孔的板條帶有切口的板條 s max

47、s max 因桿件外形突然變化而引起局部應(yīng)力急劇增大的現(xiàn) 象，稱為應(yīng)力集中 1.8 應(yīng)力集中的概念 理論應(yīng)力集中系數(shù)： o o maxmax k k 1.8 應(yīng)力集中的概念 max是發(fā)生應(yīng)力集中的橫截面上的最大應(yīng)力 0 是該截面上的名義應(yīng)力（拉壓時即為平均應(yīng)力） 1.8 應(yīng)力集中的概念 各種材料對應(yīng)力集中的敏感程度 并不相同。塑性材料有屈服階段，當(dāng) 局部的最大應(yīng)力smax達到屈服極限ss 時，該處材料的變形可以繼續(xù)增長， 而應(yīng)力卻不再加大。如外力繼續(xù)增加， 增加的力就由截面上尚未屈服的材料 來承擔(dān)，使截面上其他點的應(yīng)力相繼 增大到屈服極限，如圖所示。這就使 截面上的應(yīng)力逐漸趨于平均，降低了 應(yīng)力不均勻程度，也限制了最大應(yīng)力 smax的數(shù)值。因此，用塑性材料制成 的零件在靜載作用下，可以不考慮應(yīng) 力集中的影響。 脆性材料沒有屈服階段，當(dāng)載荷增加時，應(yīng)力集中 處的最大應(yīng)