第3章_彈性地基梁理論

1、第第3 3章章 彈性地基梁理論彈性地基梁理論 u 概述 u 彈性地基梁的計(jì)算模型 u 彈性地基梁撓度曲線微分方程式 及其初參數(shù)解 u 彈性地基短梁、長(zhǎng)梁及剛性梁 3.1 概述概述 l 彈性地基梁，是指擱置在具有一定彈性地彈性地基梁，是指擱置在具有一定彈性地 基上，各點(diǎn)與地基緊密相貼的梁，如鐵路基上，各點(diǎn)與地基緊密相貼的梁，如鐵路 枕木、鋼筋混凝土條形基礎(chǔ)梁等。枕木、鋼筋混凝土條形基礎(chǔ)梁等。 l 彈性地基梁與普通梁的區(qū)別彈性地基梁與普通梁的區(qū)別 p普通梁式靜定的或有限次超靜定結(jié)構(gòu)；彈性地基 梁是無(wú)窮多次超靜定結(jié)構(gòu)。 p普通梁的支座通?？醋鰟傂灾ё?，即只考慮梁的 變形；彈性地基梁則必須同時(shí)考慮地基

2、的變形。 3.2 彈性地基梁的計(jì)算模型彈性地基梁的計(jì)算模型 l 局部彈性地基模型局部彈性地基模型 p 溫克爾假設(shè)溫克爾假設(shè)： k p y p 把地基模擬為剛性把地基模擬為剛性 支座上一系列獨(dú)立支座上一系列獨(dú)立 的彈簧。的彈簧。 p 缺點(diǎn)缺點(diǎn)： 局部彈性地基模型 沒(méi)有反映地基的變形連續(xù)性，不能全面的反映地基 梁的實(shí)際情況。但如果地基的上部為較薄的土層， 下部為堅(jiān)硬巖石，這時(shí)將得出比較滿意的結(jié)果。 l 半無(wú)限體彈性地基模型半無(wú)限體彈性地基模型 彈性地基梁的受力和變形 p 假設(shè)假設(shè) 把地基看作一個(gè)均質(zhì)、連續(xù)、彈 性的半無(wú)限體。 p 優(yōu)點(diǎn)優(yōu)點(diǎn) 反映了地基的連續(xù)整體性，同時(shí)從 幾何上、物理上對(duì)地基進(jìn)行了

3、簡(jiǎn)化。 p 缺點(diǎn)缺點(diǎn) 彈性假設(shè)沒(méi)有反映土壤的非彈性性質(zhì)； 均質(zhì)假設(shè)沒(méi)有反映土壤的不均勻性； 半無(wú)限體的假設(shè)沒(méi)有反映地基的分層特點(diǎn)； 數(shù)學(xué)處理上比較復(fù)雜。 3.3 彈性地基梁撓度曲線微分彈性地基梁撓度曲線微分 方程式及其初參數(shù)解方程式及其初參數(shù)解 l基本假定基本假定 p地基梁在外荷載作用下產(chǎn)生變形的過(guò)程中，梁底面 與地基表面始終緊密相貼，即地基的沉陷或隆起與 梁的撓度處處相等； p由于梁與地基間的摩擦力對(duì)計(jì)算結(jié)果影響不大，可 以略去不計(jì)，因而，地基反力處處與接觸面相垂直； p地基梁的高跨比較小，符合平截面假設(shè)，因而可直 接應(yīng)用材料力學(xué)中有關(guān)梁的變形及內(nèi)力計(jì)算結(jié)論。 l彈性地基梁的撓度曲線微分方程

4、式彈性地基梁的撓度曲線微分方程式 彈性地基梁的微元分析 0 Y )(xqky dx dQ 0 A M dx dM Q 考察 微段的平衡有： 化簡(jiǎn)得： 省略二階微量化簡(jiǎn)得： 合并二式得： )(xqky dx Md 2 2 dx dy 2 2 dx yd EI dx d EIM 3 3 dx yd EI dx dM Q 根據(jù)材料力學(xué)有： 代入化簡(jiǎn)得到撓曲微分方程：)(xqky dx yd EI 4 4 l對(duì)應(yīng)齊次微分方程的通解對(duì)應(yīng)齊次微分方程的通解 0 4 4 ky dx yd EI 0 )(xq令撓曲微分方程中 ，得到對(duì)應(yīng)齊次微分方程： xAxAexAxAey axax sincossincos

5、 4321 axshaxBaxshaBaxchaxBaxchaxBysincossincos 4321 )(),( )(),( 424213 322211 2 1 2 1 2 1 2 1 BBABBA BBABBA 且令： 通解為： 利用雙曲函數(shù)關(guān)系：shaxchaxeshaxchaxe axax , 得到另一通解： l初參數(shù)解初參數(shù)解 p初參數(shù)法初參數(shù)法 )sincos()cossin( sincossincos axshaxaxchaxBaxshaxaxchaxBa axshaxBaxshaxBaxchaxBaxchaxBy 21 4321 )sincos()cossin(axshaxax

6、chaxBaxshaxaxchaxBEIQ 21 3 2 )sincos()cossin(axchaxaxshaxBaxchaxaxshaxB 43 )cossincossin(axchaxBaxchaxBaxshaxBaxshaxBEIM 4321 2 2 )cossin()sincos(axshaxaxchaxBaxshaxaxchaxB 43 把四個(gè)積分常數(shù)改用四個(gè)初參數(shù)來(lái)表示，根據(jù)初參數(shù)的物理把四個(gè)積分常數(shù)改用四個(gè)初參數(shù)來(lái)表示，根據(jù)初參數(shù)的物理 意義來(lái)尋求簡(jiǎn)化計(jì)算的途徑。意義來(lái)尋求簡(jiǎn)化計(jì)算的途徑。 p用初參數(shù)表示積分常數(shù)用初參數(shù)表示積分常數(shù) 彈性地基梁作用的初參數(shù) 00 00 00 0

7、0 QQ MM yy x x x x 梁左端邊界條件： 0 2 4 0 3 03 0 3 02 01 2 1 4 1 2 1 4 1 2 1 M EI B Q EI B Q EI B yB 得到積分常數(shù)： 4 4EI kb 其中： 10403 2 020 20104 3 03 2 0 3 2 04 3 01040 403 2 02010 22 2 1 42 22 2 2 1 QM bkbk yQ QM bkbk yM bk Q bk My bk Q bk Myy 用初參數(shù)表示的齊次微分方程的解： axshaxaxchax axshax axshaxaxchax axchax cossin si

8、n cossin cos 4 3 2 1 其中： 微分關(guān)系為： 1 2 4 1 2 d d d d 3 4 2 3 2 d d d d 彈性地基梁已知初參數(shù) A端邊界條件 待求初參數(shù) 自 由 端 M0=0 Q0=0 M0=-m Q0=-P1 MA=0 QA=0 MA=0 QA=P2 0 y0 0 y0 簡(jiǎn) 支 端 M0=0 y0=0 M0=m1 y0=0 MA=0 yA=0 MA=m2 yA=0 0 Q0 0 Q0 實(shí)際工程中常遇到的支座形式反荷載作用下梁端參數(shù)的值 固 定 端 0=0 y0=0 0=0 y0=0 A=0 yA=0 A=0 yA=0 M0 Q0 M0 Q0 彈 性 固 定 端

9、y0=0yA=0 0=M00 M0 Q0 l彈性地基梁的撓度曲微分方程的特解彈性地基梁的撓度曲微分方程的特解 p集中荷載作用下的特解項(xiàng)集中荷載作用下的特解項(xiàng) 集中力作用于地基梁 集中力集中力Pi作用下的特解項(xiàng)作用下的特解項(xiàng) OA和AB段撓曲微分方程分別為： 0404 2 4 4 2 4 1 4 4 1 4 y dx yd y dx yd 2 2 1 403 2 020101 bk Q bk Myy- P yyy 12 )()()()( pApApApAp xx bk Qxx bk Mxxxxyy 413 2 12111 2 2 1 iAAAA pQMy 1111 0, 04 4 4 4 P P

10、 y dx yd 由A點(diǎn)的變形連續(xù)條件和受力情況有： 當(dāng) 時(shí)，特解項(xiàng)為零。 p xx )()( )()( pp pp xxiPxxiP xxiPxxiP PQPM bk P bk Py - - - 12 3 2 4 2 1 2 p xx 當(dāng) 時(shí)， 集中力偶集中力偶Mi作用下的特解項(xiàng)作用下的特解項(xiàng) 集中力偶作用于地基梁 m xxim xxim xxim xxm xx mQ mM bk m bk m y m m m m - - - - - - - )( )( )( )( 4 1 2 3 3 2 2 2 m xx 當(dāng) 時(shí)，取特解項(xiàng)為零。 p分布荷載作用下的特解項(xiàng)分布荷載作用下的特解項(xiàng) 分布荷載作用于

11、地基梁 分布荷載可分解成多個(gè)集中力，分布荷載可分解成多個(gè)集中力， 按集中力求解特項(xiàng)。按集中力求解特項(xiàng)。 x x du bk aq y a uxq)( - 4 荷載在右邊截面x處引起的撓度特解項(xiàng)為： )(ux y bk aqdu d - 4 2 x截面以左所有荷載引起的撓度特解項(xiàng)為： 均布荷載均布荷載 )( )( )( )( a a a a xxq xxq xxq xxq q Q q M bk bk q y - - - - - - - 2 2 2 4 1 2 2 2 1 ba xxx 荷載均布與ab段 ,xxa（積分限（積分限 ） )()( )()( )()( )()( ab ab ab ab

12、xxxxq xxxxq xxxxq xxxxq q Q q M bk bk q y - - - - - - - - 22 33 2 44 11 2 2 2 b xx , ba xx（積分限（積分限 ） 當(dāng)荷載滿跨均布時(shí)，積分限是（0，x），故有： 2 3 2 4 1 2 2 2 1 q Q q M bk bk q y q q q q - - - 三角形分布荷載三角形分布荷載 三角形荷載作用于地基梁 q xx xu q ab a u - - - x x ux u q a du bk q y )( 4 微段上荷載引起的撓度附加項(xiàng)為： )( )( )( )( )( )( a a a a xx ab

13、q xx ab q xx ab q xxa ab q xx q Q xx q M bkxx q xx xxk q y - - - - - - - - - 3 2 2 3 1 2 2 1 4 1 1 1 2 1 ba xxx 當(dāng) 時(shí)，積分限是 ，,xxa )()()( )()()( )()()( )()()( )( )( )( )( )( )( )( )( abb abb abb abb xxxxxxab ab q xxxxxxab ab q xxxxxxab ab q xxxxxxab ab q xx xx q Q xx xx q M xx xxk q xx xxk q y 332 443 2

14、 114 221 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 - - b xx 當(dāng) 時(shí)，積分限是 ，, ba xx 3 2 4 3 1 2 2 4 1 2 1 l q Q l q M kbl q x kbl q y q q q q - - 當(dāng)三角形荷載布滿全跨時(shí)，積分限是（0，x）有： 梁全跨布滿梯形荷載的特解項(xiàng)梁全跨布滿梯形荷載的特解項(xiàng) 梯形荷載作用于地基梁 只須把均布荷載與三角形荷載作用下兩式疊加即可。 2 3 2 4 1 3 2 4 3 1 2 2 2 2 1 2 4 1 2 1 q Q q M bk bk q y l q Q l q M kbl q x kbl q y q q q q q

15、q q q - - - - - p 共同作用下?lián)锨⒎址匠痰耐ń夤餐饔孟聯(lián)锨⒎址匠痰耐ń?qqMpQMy ii 、 0000 綜合荷載作用于地基梁 3 0 2 2 0 10 2 2 bk M yy )()( 21 2 1 1 -x bkl q bk q )()( mp xx i xx i bk m bk P bk Q - 3 2 44 0 2 3 0 2 2 0 3 1040 22 bk Q bk M y )( 14 1 2 - bkl q bk q )()( mp xx i xxi bk m p bk - 2 3 3 2 22 )( p xx i PQ M bkbky M - 22 0

16、104 3 0 3 2 0 2242 4 3 3 2 42 l qq m m xxii)( - )( p xxi PQM bkbky Q - 110403 2 0 2 0 22 3 2 24 22 l qq m m xxi)( - 當(dāng) 時(shí)， 項(xiàng)取值為零。 mb xxxx , ii mp , 3.4 彈性地基短梁、長(zhǎng)梁及剛性梁彈性地基短梁、長(zhǎng)梁及剛性梁 l彈性地基梁的分類彈性地基梁的分類 （a）短梁 （b）無(wú)限長(zhǎng)梁 （c）半無(wú)限長(zhǎng)梁 （d）剛性梁 換算長(zhǎng)度換算長(zhǎng)度al l長(zhǎng)梁的計(jì)算長(zhǎng)梁的計(jì)算 p無(wú)限長(zhǎng)梁作用集中力無(wú)限長(zhǎng)梁作用集中力Pi的計(jì)算的計(jì)算 無(wú)限長(zhǎng)梁作用集中力的計(jì)算 采用梁撓曲方程齊次解式

17、，即： )sincos()sincos(axAaxAeaxAaxAey axax 4321 0 x y 由 有： 0 21 AA 由對(duì)稱條件 有： 0 x dx dy AAA 43 考慮地基反力與外載的平衡條件： i ax PdxaxaxekbA )sin(cos 0 2 kb aP A i 2 化簡(jiǎn)得到： 其中： )sin(cosaxaxe kb aP y axi 2 無(wú)限梁右半部分有： 65 8 2 7 24 2 ii ii P Q P M kb P kb P y 其中： axe axaxe axe axaxe ax ax ax ax sin )sin(cos cos )sin(cos 8

18、 7 6 5 對(duì)于梁的左半部分，只需將式中 和 改變負(fù)號(hào)即可。Q p無(wú)限長(zhǎng)梁在集中力偶無(wú)限長(zhǎng)梁在集中力偶mi作用下作用下的計(jì)算的計(jì)算 無(wú)限長(zhǎng)梁作用集中力偶的計(jì)算 2 0 0 0 i x x m M y 反對(duì)稱條件： 0 321 AAA bk m A i 2 4 代入齊次微分方程通解得： 無(wú)限長(zhǎng)梁右半部分 的變形及內(nèi)力為： 7 6 5 3 8 2 2 2 i i i i m Q m M kb m kb m y 對(duì)于左半部分，只需將上式中y與M變號(hào)即可。 p半無(wú)限長(zhǎng)梁半無(wú)限長(zhǎng)梁作用初參數(shù)作用初參數(shù)的計(jì)算的計(jì)算 半無(wú)限長(zhǎng)梁作用的初參數(shù) 0 x y axshaxBaxshaBaxchaxBaxchax

19、Bysincossincos 4321 將 代入： 得到： 0 0 42 31 shaxBchaxB shaxBchaxB 0 0 0 0 QQMM xx ,再由： 2 0 2 2 0 3 0 1 2 22 EI M B EI M EI Q B 得到： 如梁端作用有初參數(shù) ,則可得到 與 之間的關(guān)系： 00 ,y 00 ,y 00 QM , 8050 7080 6070 2 5060 2 2 1 2 2 2 MQQ MQM MQ k MQ bk y )( )( )( 最終有： )()( 00 2 0000 2 22 MQ bk MQ bk y p半無(wú)限長(zhǎng)梁在梯形荷載半無(wú)限長(zhǎng)梁在梯形荷載作用下作

20、用下的計(jì)算的計(jì)算 0 0 0 Q M bkl q qbkl x bk q y 故任一截面的變形與內(nèi)力為： bk xq y )( 是齊次微分方程的一個(gè)特解。 )(xqky dx yd EI 4 4 梯形荷載作用于半無(wú)限長(zhǎng)梁 l剛性梁的計(jì)算剛性梁的計(jì)算 x q qxkxxkyQ x qqx x k xkyM xyy 22 1 6262 1 0 2 0 3 2 3 0 2 0 0 00 剛性梁的計(jì)算 按靜定梁的平衡條件，得到剛 性梁的變形與內(nèi)力為： 3.5 算例算例 兩端自由的彈性地基梁，長(zhǎng) ，寬 ， ，地基的彈性壓縮系數(shù) ，求梁1、2、3截面的彎矩 m4 mb20. 23 101333mNEI 3

21、4 1004mkNK/. p例子例子1 1 (1)(1)判斷梁的類型判斷梁的類型 )/(.m EI bk 110671 4 4 考慮Pi集中載距右端為1m， 故屬于短梁。 752. (2)(2)計(jì)算初參數(shù)計(jì)算初參數(shù) 梁左端條件：梁右端條件： 0 0 0 0 Q M 0 0 Q M 0 222 0 2242 02223130 2 20 0333 2 3240 3 30 2 )()()()()( )()()()()( q p bk y bk Q qpbk y bk M i i 代入共同作用下?lián)锨⒎址匠痰耐ń獾茫?將各數(shù)值代入后得： 0412992913041601 0492781034332238 00 00 . . y y 解得： )(. )(. rad my 4 0 3 0 1018911 1047292 )()()(