高中數(shù)學 第二章 推理與證明 2.1.1 合情推理學案（含解析）

1、學必求其心得，業(yè)必貴于專精21.1合情推理歸納推理提出問題如圖甲是第七屆國際數(shù)學教育大會(簡稱icme。7）的會徽圖案，會徽的主體圖案是由如圖乙的一連串直角三角形演化而成的，其中oa1a1a2a2a3a7a81，如果把圖乙中的直角三角形依此規(guī)律繼續(xù)作下去，記oa1，oa2,，oan的長度構(gòu)成數(shù)列an問題1：試計算a1，a2，a3,a4的值提示:由圖知：a1oa11，a2oa2，a3oa3，a4oa42。問題2:由問題1中的結(jié)果,你能猜想出數(shù)列an的通項公式an嗎?提示：能猜想出an（nn)問題3:直角三角形、等腰三角形、等邊三角形的內(nèi)角和都是180，你能猜想出什么結(jié)論？提示：所有三角形的內(nèi)角和

2、都是180。問題4：以上兩個推理有什么共同特點？提示：都是由個別事實推出一般結(jié)論導入新知1歸納推理的定義由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理,或者由個別事實概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理2歸納推理的特征歸納推理是由部分到整體、由個別到一般的推理化解疑難歸納推理的特點(1)由歸納推理得到的結(jié)論具有猜測的性質(zhì)，結(jié)論是否正確，還需經(jīng)過邏輯證明和實踐檢驗，因此，歸納推理不能作為數(shù)學證明的工具（2）一般地，如果歸納的個別對象越多，越具有代表性，那么推廣的一般性結(jié)論也就越可靠。類比推理和合情推理提出問題問題1:在三角形中,任意兩邊之和大于第三邊,那么，在四面體中

3、，各個面的面積之間有什么關(guān)系?提示：四面體中任意三個面的面積之和大于第四個面的面積問題2:三角形的面積等于底邊與高乘積的，那么在四面體中,如何表示四面體的體積?提示：四面體的體積等于底面積與高乘積的。問題3：以上兩個推理有什么共同特點?提示:根據(jù)三角形的特征，推出四面體的特征問題4：以上兩個推理是歸納推理嗎？提示：不是歸納推理是從特殊到一般的推理，而以上兩個推理是從特殊到特殊的推理導入新知1類比推理的定義由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理，稱為類比推理2類比推理的特征類比推理是由特殊到特殊的推理3合情推理歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事

4、實,經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進行歸納、類比,然后提出猜想的推理，它們統(tǒng)稱為合情推理化解疑難對類比推理的定義的理解（1）類比推理是兩類對象特征之間的推理（2)對象的各個性質(zhì)之間并不是孤立存在的，而是相互聯(lián)系和相互制約的如果兩個對象有些性質(zhì)相似或相同，那么它們另一些性質(zhì)也可能相似或相同（3)在數(shù)學中，我們可以由已經(jīng)解決的問題和已經(jīng)獲得的知識出發(fā),通過類比提出新問題和獲得新發(fā)現(xiàn)數(shù)、式中的歸納推理例1已知數(shù)列an的前n項和為sn,a1，且sn2an（n2），計算s1,s2，s3，s4，并猜想sn的表達式解當n1時，s1a1；當n2時，2s1,所以s2；當n3時,2s2,所以s3；當n4時，2s3

5、，所以s4.猜想：sn,nn*。類題通法歸納推理的一般步驟歸納推理的思維過程大致是：實驗、觀察概括、推廣猜測一般性結(jié)論該過程包括兩個步驟:(1)通過觀察個別對象發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；(2)從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表述的一般性命題(猜想)活學活用（1)(陜西高考)觀察分析下表中的數(shù)據(jù):多面體面數(shù)（f）頂點數(shù)（v)棱數(shù)（e）三棱柱569五棱錐6610立方體6812猜想一般凸多面體中f，v，e所滿足的等式是_(2）將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣：12345678910按照以上排列的規(guī)律，則第n(n3)行從左向右數(shù)第3個數(shù)為_解析：（1）觀察表中數(shù)據(jù)，并計算fv分別為11，12，14，又其對應(yīng)e分別

6、為9,10,12,容易觀察并猜想fve2。（2）前(n1）行共有正整數(shù)12（n1）個，即個,因此第n行第3個數(shù)是全體正整數(shù)中第個,即為.答案:（1)fve2(2）圖形中的歸納推理例2(1)有兩種花色的正六邊形地面磚，按下圖的規(guī)律拼成若干個圖案，則第六個圖案中有菱形紋的正六邊形的個數(shù)是(）a26b31c32 d36（2)把1，3，6,10，15，21，這些數(shù)叫做三角形數(shù)，這是因為個數(shù)等于這些數(shù)目的點可以分別排成一個正三角形（如下圖),則第七個三角形數(shù)是_解析（1)法一：有菱形紋的正六邊形個數(shù)如下表：圖案123個數(shù)61116由表可以看出有菱形紋的正六邊形的個數(shù)依次組成一個以6為首項，以5為公差的等

7、差數(shù)列，所以第六個圖案中有菱形紋的正六邊形的個數(shù)是65(61)31。法二：由圖案的排列規(guī)律可知，除第一塊無紋正六邊形需6個有紋正六邊形圍繞（圖案1)外，每增加一塊無紋正六邊形，只需增加5塊菱形紋正六邊形（每兩塊相鄰的無紋正六邊形之間有一塊“公共”的菱形紋正六邊形），故第六個圖案中有菱形紋的正六邊形的個數(shù)為:65（61)31.故選b。(2)第七個三角形數(shù)為123456728。答案：(1)b(2)28類題通法解決圖形中歸納推理的方法解決與圖形有關(guān)的歸納推理問題常從以下兩個方面著手:(1）從圖形的數(shù)量規(guī)律入手，找到數(shù)值變化與數(shù)量的關(guān)系(2）從圖形的結(jié)構(gòu)變化規(guī)律入手，找到圖形的結(jié)構(gòu)每發(fā)生一次變化后，與

8、上一次比較，數(shù)值發(fā)生了怎樣的變化活學活用某種平面分形圖如圖所示,一級分形圖是由一點出發(fā)的三條線段,長度均為1，兩兩夾角為120；二級分形圖是在一級分形圖的每條線段的末端出發(fā)再生成兩條長度為原來的線段，且這兩條線段與原線段兩兩夾角為120,，依此規(guī)律得到n級分形圖n級分形圖中共有_條線段解析：分形圖的每條線段的末端出發(fā)再生成兩條線段，由題圖知，一級分形圖有3（323）條線段，二級分形圖有9(3223）條線段，三級分形圖中有21(3233）條線段,按此規(guī)律n級分形圖中的線段條數(shù)an32n3.答案:32n3類比推理例3設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為sn，則s4，s8s4，s12s8，s16s12成等差數(shù)

9、列,類比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列bn的前n項積為tn，則t4，_,_，成等比數(shù)列解析由于等差數(shù)列與等比數(shù)列具有類比性，且等差數(shù)列與和差有關(guān)，等比數(shù)列與積商有關(guān)，因此當?shù)炔顢?shù)列依次每4項之和仍成等差數(shù)列時，類比等比數(shù)列為依次每4項的積成等比數(shù)列下面證明該結(jié)論的正確性：設(shè)等比數(shù)列bn的公比為q，首項為b1，則t4bq6，t8bq127bq28，t12bq1211bq66，t16bq1215bq120，bq22，bq38，bq54，即2t4，2，故t4,，成等比數(shù)列答案:類題通法類比推理的一般步驟類比推理的思維過程大致是：觀察、比較聯(lián)想、類推猜測新的結(jié)論該過程包括兩個步驟：（1）找出兩類對象之間的相似

10、性或一致性;（2）用一類對象的性質(zhì)去猜測另一類對象的性質(zhì)，得出一個明確的命題(猜想）活學活用 如圖所示，在abc中,abcos cccos b，其中a，b，c分別為角a，b，c的對邊，寫出對空間四面體性質(zhì)的猜想解：如圖所示，在四面體p.abc中，s1，s2，s3，s分別表示pab，pbc，pca，abc的面積，,，依次表示面pab,面pbc,面pca與底面abc所成二面角的大小猜想ss1cos s2cos s3cos .典例三角形與四面體有下列相似性質(zhì)：（1)三角形是平面內(nèi)由直線段圍成的最簡單的封閉圖形；四面體是空間中由三角形圍成的最簡單的封閉圖形(2)三角形可以看作是由一條線段所在直線外一點

11、與這條線段的兩個端點的連線所圍成的圖形;四面體可以看作是由三角形所在平面外一點與這個三角形三個頂點的連線所圍成的圖形通過類比推理,根據(jù)三角形的性質(zhì)推測空間四面體的性質(zhì)，并填寫下表：三角形四面體三角形的兩邊之和大于第三邊三角形的中位線的長等于第三邊長的一半，且平行于第三邊三角形的三條內(nèi)角平分線交于一點,且這個點是三角形內(nèi)切圓的圓心解三角形和四面體分別是平面圖形和空間圖形，三角形的邊對應(yīng)四面體的面,即平面的線類比到空間為面三角形的中位線對應(yīng)四面體的中截面(以任意三條棱的中點為頂點的三角形），三角形的內(nèi)角對應(yīng)四面體的二面角，三角形的內(nèi)切圓對應(yīng)四面體的內(nèi)切球具體見下表：三角形四面體三角形的兩邊之和大于

12、第三邊四面體的三個面的面積之和大于第四個面的面積三角形的中位線的長等于第三邊長的一半,且平行于第三邊四面體的中截面的面積等于第四個面的面積的,且平行于第四個面三角形的三條內(nèi)角平分線交于一點,且這個點是三角形內(nèi)切圓的圓心四面體的六個二面角的平分面交于一點，且這個點是四面體內(nèi)切球的球心多維探究1解決此類問題，從幾何元素的數(shù)目、位置關(guān)系、度量等方面入手，將平面幾何的相關(guān)結(jié)論類比到立體幾何中，相關(guān)類比點如下:平面圖形點線邊長面積線線角三角形平行四邊形圓空間圖形線面面積體積二面角四面體平行六面體球2常見的從平面到空間的類比有以下幾種情況，要注意掌握：(1)三角形類比到三棱錐例：在平面幾何里，有勾股定理：

13、“設(shè)abc的兩邊ab，ac互相垂直,則ab2ac2bc2”，拓展到空間，類比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側(cè)面積與底面積間的關(guān)系,可以得出的正確結(jié)論是：“設(shè)三棱錐a。bcd的三個側(cè)面abc，acd,adb兩兩相互垂直,則_”解析：“直角三角形的直角邊長、斜邊長”類比為“直三棱錐的側(cè)面積、底面積”答案:ssss(2)平行四邊形類比到平行六面體例：平面幾何中，有結(jié)論：“平行四邊形兩條對角線的平方和等于四條邊的平方和”，類比這一結(jié)論，將其拓展到空間，可得到結(jié)論：“_”解析：“平行四邊形的邊、對角線”類比為“平行六面體的棱、對角線”答案：平行六面體四條對角線的平方和等于十二條棱的平方和(3）圓類比到

14、球例：半徑為r的圓的面積s（r)r2，周長c（r）2r,若將r看作（0,）上的變量，則(r2)2r，式可以用語言敘述為：圓的面積函數(shù)的導數(shù)等于圓的周長函數(shù)對于半徑為r的球,若將r看作(0，)上的變量，請你寫出類似于的式子:_,式可以用語言敘述為：_。解析：通過給出的兩個量之間的關(guān)系，類比球的體積公式和球的表面積公式，我們不難發(fā)現(xiàn)4r2,從而使問題解決答案：4r2球的體積函數(shù)的導數(shù)等于球的表面積函數(shù)（4）平面解析幾何類比到空間解析幾何例：類比平面內(nèi)一點p(x0，y0）到直線axbyc0(a2b20)的距離公式，猜想空間中一點p(x0，y0，z0)到平面axbyczd0(a2b2c20）的距離公式

15、為d_.解析：類比平面內(nèi)點到直線的距離公式d，易知答案應(yīng)填.答案:隨堂即時演練1平面內(nèi)平行于同一直線的兩直線平行，由此類比我們可以得到()a空間中平行于同一直線的兩直線平行b空間中平行于同一平面的兩直線平行c空間中平行于同一直線的兩平面平行d空間中平行于同一平面的兩平面平行解析：選d利用類比推理，平面中的直線和空間中的平面類比2根據(jù)給出的等式猜測123 45697等于（)19211，1293111，123941 111,1 2349511 111,12 34596111 111,a1 111 110b1 111 111c1 111 112 d1 111 113解析：選b由題中給出的等式猜測，應(yīng)

16、是各位數(shù)的數(shù)字都是1的七位數(shù)，即1 111 111.3在平面上,若兩個正三角形的邊長比為12,則它們的面積比為14。類似地,在空間中,若兩個正四面體的棱長比為12，則它們的體積比為_解析：。答案:184觀察下列等式：132332,13233362,根據(jù)上述規(guī)律，第五個等式為_解析:觀察等式，發(fā)現(xiàn)等式左邊各指數(shù)冪的指數(shù)均為3，底數(shù)之和等于右邊指數(shù)冪的底數(shù)，右邊指數(shù)冪的指數(shù)為2，故猜想第五個等式應(yīng)為132333435363（123456)2212。答案：1323334353632125已知結(jié)論：“在三邊長都相等的abc中，若d是bc的中點，g是abc外接圓的圓心，則2.”

17、若把該結(jié)論推廣到空間,則有結(jié)論：“在六條棱長都相等的四面體abcd中，若m是bcd的三邊中線的交點，o為四面體abcd外接球的球心，則k(k為定值)”求k的值解:如圖，易知球心o在線段am上，不妨設(shè)四面體abcd的邊長為1，外接球的半徑為r，則bm,am，r，解得r.于是，k3。課時達標檢測一、選擇題1下列類比推理恰當?shù)氖?)a把a（bc)與loga（xy)類比,則有l(wèi)oga(xy)logaxlogayb把a(bc）與sin(xy)類比，則有sin(xy)sin xsin yc把（ab)n與(ab)n類比，則有(ab）nanbnd把a(bc）與a(bc）類比，則有a（bc)abac答案：d2已

18、知bn為等比數(shù)列，b52，則b1b2b3b929。若an為等差數(shù)列，a52,則an的類似結(jié)論為（）aa1a2a3a929 ba1a2a929ca1a2a929 da1a2a929解析：選d等比數(shù)列中的積運算類比等差數(shù)列中的和運算，從而有a1a2a92229.3觀察式子：1，1，1，,則可歸納出第n1個式子為（）a1b1c1d1解析：選c觀察可得第n1個式子為:不等式的左邊為的前n項的和，右邊為分式.4古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù)比如：他們研究過圖（1)中的1，3，6,10，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)；類似地，稱圖(2）中的1,4，9,16，這樣的數(shù)為正方形數(shù)

19、下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是（)a289 b1 024c1 225 d1 378解析：選c記三角形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列為an，則a11，a2312，a36123，a4101234，可得通項公式為an123n.同理可得正方形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列的通項公式為bnn2.將四個選項的數(shù)字分別代入上述兩個通項公式，使得n都為正整數(shù)的只有1 225。5將正整數(shù)排成下表：12 3 45 6 7 8 910 11 1213141516 則在表中數(shù)字2 013出現(xiàn)在（)a第44行第78列b第45行第78列c第44行第77列 d第45行第77列解析：選d第n行有2n1個數(shù)字，前n行的數(shù)字個數(shù)為135（2n1)n2。442

20、1 936,4522 025，且1 9362 0132 025，2 013在第45行又2 0252 01312,且第45行有245189個數(shù)字，2 013在第891277列二、填空題6設(shè)函數(shù)f(x）（x0）,觀察：f1(x)f(x)，f2（x)f(f1(x)，f3（x）f（f2（x)），f4（x）f(f3（x）),根據(jù)以上事實，由歸納推理可得：當nn*且n2時，fn（x）f（fn1(x)_.解析:由已知可歸納如下：f1（x）,f2（x），f3（x），f4(x)，fn（x).答案:7在平面直角坐標系xoy中,二元一次方程axby0（a，b不同時為0）表示過原點的直線類似地：在空間直角坐標系oxy

21、z中，三元一次方程axbycz0(a,b，c不同時為0）表示_解析：由方程的特點可知：平面幾何中的直線類比到立體幾何中應(yīng)為平面,“過原點”類比仍為“過原點，因此應(yīng)得到：在空間直角坐標系oxyz中,三元一次方程axbycz0（a,b，c不同時為0）表示過原點的平面答案:過原點的平面8觀察下列等式：2335，337911，4313151719，532123252729,，若類似上面各式方法將m3分拆得到的等式右邊最后一個數(shù)是109，則正整數(shù)m等于_解析：經(jīng)觀察，等式右邊的數(shù)組成數(shù)列：3，5,7,9，11，所以由3（n1）2109得n54,再由等式右邊的數(shù)的個數(shù)為2，3，4，且分別等于左邊數(shù)的底數(shù)，可得234m54，即54,解得m10.答案:10三、解答題9如圖所示為m行m1列的士兵方陣(mn*，m2)（1)寫出一個數(shù)列，用它表示當m分別是2，3,4，5，時