高中數(shù)學(xué) 考點43 曲線與方程、圓錐曲線的綜合應(yīng)用（含2014高考試題）

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精考點43 曲線與方程、圓錐曲線的綜合應(yīng)用一、解答題1.（2014安徽高考文科21）設(shè),分別是橢圓：的左、右焦點，過點的直線交橢圓于兩點,(1) 若的周長為16，求；(2) 若，求橢圓的離心率?！窘忸}提示】（1）利用橢圓的定義求解；（2）設(shè)，用k表示利用余弦定理解得出等腰，從而得到a,c的關(guān)系式。【解析】（1）由,得,因為的周長為16，所以由橢圓定義可得,故。（2）設(shè)，則k0，且由橢圓定義可得在中，由余弦定理可得即,化簡可得，而a+k0，故a=3k,于是有,因此,故為等腰直角三角形，從而。2。(2014安徽高考理科19）如圖,已知兩條拋物線和，過原點的兩條直線和，與分別

2、交于兩點，與分別交于兩點. (1) 證明：;(2）過原點作直線(異于，)與分別交于兩點.記與的面積分別為與,求的值?！窘忸}提示】（1)設(shè)出兩條直線的方程,聯(lián)立拋物線方程，求出點，的坐標(biāo)，利用向量證明平行關(guān)系；（2）利用兩個相似三角形的面積比等于相似比的平方進行求解?！窘馕觥浚?）設(shè)直線的方程分別為，則由，由，同理可得，所以=，=故=，所以.（2） 由（1）知，同理可得，,所以，因此,又由（1）中的=知，故3。 （2014四川高考理科20）已知橢圓c：（）的焦距為4，其短軸的兩個端點與長軸的一個端點構(gòu)成正三角形（1)求橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程;（2）設(shè)f為橢圓c的左焦點,t為直線上任意一點，過f作tf的

3、垂線交橢圓c于點p，q證明：ot平分線段pq（其中o為坐標(biāo)原點）；當(dāng)最小時,求點t的坐標(biāo).【解題提示】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與方程、直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)形結(jié)合、劃歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合等數(shù)學(xué)思想.【解析】（1)依條件，所以橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2)設(shè),，又設(shè)中點為，因為，所以直線的方程為:，所以，于是，所以因為,所以，三點共線，即ot平分線段pq（其中o為坐標(biāo)原點）,，所以,令(），則（當(dāng)且僅當(dāng)時取“”)，所以當(dāng)最小時，即或，此時點t的坐標(biāo)為或.4.（2014四川高考文科20）已知橢圓：（）的左焦點為，離心率為（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)為坐標(biāo)原點,為直線上一點,過

4、作的垂線交橢圓于,當(dāng)四邊形是平行四邊形時，求四邊形的面積【解題提示】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與方程、直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、推理論證能力，考查數(shù)形結(jié)合、劃歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合等數(shù)學(xué)思想.【解析】（1）依條件，且,所以橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為。（2）設(shè)點的坐標(biāo)為(，），則直線的斜率。當(dāng)時，直線的斜率，直線的方程是.當(dāng)時,直線的方程是，也符合的形式。設(shè)，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，得.消去，得.其判別式。所以，,。因為四邊形是平行四邊形，所以，即.所以.解得。此時四邊形的面積.5。 (2014重慶高考文科21）如圖，設(shè)橢圓的左、右焦點分別為 ，點 在橢圓上,的面積為

5、。(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2）是否存在設(shè)圓心在 軸上的圓,使原在軸的上方與橢圓有兩個交點,且圓在這兩個交點處的兩條切線相互垂直并分別過不同的焦點?若存在，求出圓的方程，若不存在,請說明理由。【解題提示】(1)直接根據(jù)橢圓的定義及題設(shè)條件可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。（2)直接設(shè)出交點坐標(biāo)然后根據(jù)橢圓與圓的對稱性列出方程組求解.【解析】(1）設(shè)其中 由得從而 故 從而由得因此所以故因此,所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(2)如圖，設(shè)圓心在 軸上的圓 與橢圓相交， 是兩個交點， 是圓的切線，且由圓和橢圓的對稱性，易知， 由（1)知所以 再由得由橢圓方程得即解得或當(dāng)時， 重合，此時題設(shè)要求的圓不存在.當(dāng)時， 過分別與

6、垂直的直線的交點即為圓心 設(shè) 由得 而 故 圓的半徑綜上,存在滿足題設(shè)條件的圓，其方程為6.(2014湖北高考理科21）在平面直角坐標(biāo)系中,點m到點的距離比它到軸的距離多1，記點m的軌跡為c。(1) 求軌跡為c的方程(2) 設(shè)斜率為k的直線過定點，求直線與軌跡c恰好有一個公共點，兩個公共點，三個公共點時k的相應(yīng)取值范圍?！窘忸}指南】（）設(shè)出m點的坐標(biāo)，直接由題意列等式，整理后即可得到m的軌跡c的方程；()設(shè)出直線l的方程為，和（）中的軌跡方程聯(lián)立化為關(guān)于y的一元二次方程,求出判別式，再在直線y1=k(x+2）中取y=0得到，然后分判別式小于0、等于0、大于0結(jié)合x00求解使直線l與軌跡c恰好有

7、一個公共點、兩個公共點、三個公共點時k的相應(yīng)取值范圍 【解析】（）設(shè)點,依題意得，即化簡整理得故點的軌跡的方程為。（）在點的軌跡中，記依題意，可設(shè)直線的方程為由方程組,可得 （1)當(dāng)時，此時，把帶入軌跡的方程,得故此時直線與軌跡恰好有一個公共點（2)當(dāng)時，方程的判別式 設(shè)直線與軸的交點為,則由，令,得 ()若,由解得，或。即當(dāng)時，直線與沒有公共點,與有一個公共點，故此時直線與軌跡恰好有一個公共點。（）若或由解得，或.即當(dāng)時，直線與沒有公共點，與有一個公共點,當(dāng)時，直線與只有兩個公共點，與沒有公共點故當(dāng)時,直線與軌跡恰好有兩個公共點。（）若由解得，或即當(dāng)時，直線與有兩個公共點，與有一個公共點故此

8、時直線與軌跡恰好有三個公共點。綜合（1）（2)可知，當(dāng)時，直線與軌跡恰好有一個公共點；當(dāng)時,直線與軌跡恰好有兩個公共點；當(dāng)時，直線與軌跡恰好有三個公共點。7。 （2014湖北高考文科t13）(本小題滿分14分)在平面直角坐標(biāo)系xoy中,點m到點f(1，0)的距離比它到y(tǒng)軸的距離多1。記點m的軌跡為c。（1)求軌跡c的方程。(2）設(shè)斜率為k的直線l過定點p(-2,1）。求直線l與軌跡c恰好有一個公共點、兩個公共點、三個公共點時k的相應(yīng)取值范圍。【解題指南】(1)設(shè)出m點的坐標(biāo),直接由題意列等式,整理后即可得到m的軌跡c的方程。(2）設(shè)出直線l的方程為y1=k(x+2）,和（1）中的軌跡方程聯(lián)立化

9、為關(guān)于y的一元二次方程，求出判別式,再在直線y1=k（x+2)中取y=0得到x0=-,然后分判別式小于0、等于0、大于0結(jié)合x0。即當(dāng)k（,-1)0時，直線l與c1沒有公共點,與c2有一個公共點，故此時直線l與軌跡c恰好有一個公共點.()若或由解得k，或-k0.即當(dāng)k時,直線l與c1只有一個公共點,與c2有一個公共點.當(dāng)時，直線l與c1有兩個公共點，與c2沒有公共點.故當(dāng)k時,直線l與軌跡c恰好有兩個公共點。(）若由解得-1k,或0k.即當(dāng)k時,直線l與c1有兩個公共點，與c2有一個公共點,故此時直線l與軌跡c恰好有三個公共點.綜合（1）（2)可知，當(dāng)k（-，1）0時,直線l與軌跡c恰好有一個

10、公共點;當(dāng)k時，直線l與軌跡c恰好有兩個公共點;當(dāng)k時,直線l與軌跡c恰好有三個公共點。8. (2014湖南高考理科21）（本小題滿分13分)如圖，為坐標(biāo)原點，橢圓的左、右焦點分別為，離心率為；雙曲線的左、右焦點分別為，離心率為已知且（1）求的方程；（2）過作的不垂直于軸的弦的中點當(dāng)直線與交于兩點時，求四邊形面積的最小值【解題提示】(1）利用離心率公式和的關(guān)系解方程組就可解；（2）聯(lián)立方程組，求得弦長ab，及p，q到ab的距離，列得面積的函數(shù),再求最小值.【解析】（1)由題意可得,且,因為，且，所以且，解得，所以橢圓方程為，雙曲線的方程為。(2)由（1）可得，因為直線不垂直于軸，所以設(shè)直線的方

11、程為,聯(lián)立直線與橢圓方程可得，則，則，因為為焦點弦,所以根據(jù)焦點弦弦長公式可得，因為在直線上,所以，即。則直線的方程為，聯(lián)立方程組，消去y整理得, 設(shè)點， 則點，到直線ab的距離之和為，因為,在直線ab的兩側(cè),且關(guān)于原點對稱，所以，且，所以，所以四邊形的面積為因為，故當(dāng)時,.綜上所述，四邊形的面積的最小值為2。9。 （2014上海高考文科22）在平面直角坐標(biāo)系中，對于直線：和點記若0，則稱點被直線分隔。若曲線c與直線沒有公共點，且曲線c上存在點被直線分隔,則稱直線為曲線c的一條分隔線。 求證：點被直線分隔；若直線是曲線的分隔線,求實數(shù)的取值范圍；動點m到點的距離與到軸的距離之積為1,設(shè)點m的軌跡為e，求e的方程，并證明軸為曲線e的分隔線?！窘忸}指南】【解析】10.點記若0，則稱點被直線分隔。若曲線c與直線沒有公共點,且曲線c上存在點被直線分隔,則稱直線為曲線c的一條分隔線。 求證:點