高中數(shù)學 考點26 空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖、空間幾何體的表面積與體積（含2016高考試題）

1、學必求其心得，業(yè)必貴于專精考點26 空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖、空間幾何體的表面積與體積1、 選擇題1。(2016全國卷高考文科t7)同(2016全國卷高考理科t6）如圖，某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條互相垂直的半徑.若該幾何體的體積是,則它的表面積是（)a.17b.18c。20d.28【解析】選a.該幾何體是一個球體挖掉剩余的部分，如圖所示,依題意得r3=，解得r=2，所以該幾何體的表面積為422+22=17.2。（2016全國卷文科t7）同（2016全國卷理科t6)如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖,則該幾何體的表面積為(）a.20b。24c。28d。32

2、【解題指南】觀察三視圖,確定圓柱和圓錐的底面半徑和高,再利用表面積是各個面的和進行計算.【解析】選c.幾何體是圓錐與圓柱的組合體，設圓柱底面圓半徑為r,周長為c，圓錐母線長為,圓柱高為h.由圖得r=2,c=2r=4,h=4,由勾股定理得： =4,s表=r2+ch+c=4+16+8=28。3.(2016全國卷文科t4）體積為8的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為()a.12b。c.8d。4【解題指南】利用正方體的體對角線就是球的直徑求解。【解析】選a.因為正方體的體積為8,所以正方體的棱長為2，其體對角線長為2，所以正方體的外接球的半徑為，所以球的表面積為4()2=12.4.(2016

3、全國卷文科t10）與(2016全國卷3理科t9)相同如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為（）a。18+36b。54+18c.90d.81【解題指南】根據(jù)三視圖作出原幾何體是關(guān)鍵.【解析】選b。根據(jù)三視圖可知原幾何體是一個斜四棱柱,上下底面為邊長為3的正方形，左右為底邊長為3,側(cè)棱為3的矩形，前后為底邊為3,側(cè)棱為3的平行四邊形，且底邊上的高為6，所以s=9+9+18+18+9+9=54+18.5.(2016全國卷文科t11)與(2016全國卷3理科t10)相同在封閉的直三棱柱abc-a1b1c1內(nèi)有一個體積為v的球。若abbc,ab=6,bc=

4、8,aa1=3,則v的最大值是（）a.4b。c。6d。【解題指南】注意當球和直三棱柱的三個側(cè)面內(nèi)切時,球已不在直三棱柱內(nèi)。【解析】選b.當球的半徑最大時,球的體積最大。在直三棱柱內(nèi)，當球和三個側(cè)面都相切時,因為abbc,ab=6,bc=8，所以ac=10,底面的內(nèi)切圓的半徑即為此時球的半徑r=2,直徑為4側(cè)棱。所以球的最大直徑為3,半徑為,此時體積v=.6.（2016山東高考文科t5)同(2016山東高考理科t5）一個由半球和四棱錐組成的幾何體，其三視圖如圖所示。則該幾何體的體積為()a.+ b。+c.+ d。1+【解題指南】充分利用三視圖各測度的數(shù)值，還原幾何體本身各測度的數(shù)值,進而求其體積

5、?！窘馕觥窟xc.由三視圖可知,半球的半徑為，四棱錐底面正方形邊長為1，高為1，所以該組合體的體積=+111=+。7。（2016天津高考文科t3）將一個長方體沿相鄰三個面的對角線截去一個棱錐,得到的幾何體的正視圖與俯視圖如圖所示，則該幾何體的側(cè)視圖為（)【解題指南】利用正視圖和俯視圖進行判斷?！窘馕觥窟xb。由題意得截去的是長方體前右上方頂點。8。(2016北京高考理科t6)某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐的體積為（）a.b.c。d.1【解題指南】三棱錐的體積為sh.【解析】選a。通過三視圖可還原幾何體為如圖所示的三棱錐，則通過側(cè)視圖得高h=1，底面積s=11=，所以體積v=sh=.2、 填空

6、題9。（2016浙江高考理科t11)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm），則該幾何體的表面積是cm2,體積是cm3.【解題指南】先由三視圖還原幾何體再進行求解.【解析】幾何體為兩個相同長方體組合而成，長方體的長寬高分別為4，2，2，所以體積為2（224）=32(cm3)，由于兩個長方體重疊部分為一個邊長為2的正方形，所以表面積為2（222+244）222=72(cm2)。答案：723210.（2016浙江高考理科t14）如圖，在abc中，ab=bc=2,abc=120。若平面abc外的點p和線段ac上的點d，滿足pd=da,pb=ba,則四面體pbcd的體積的最大值是?！窘忸}指南】利用三棱錐

7、的體積公式表示出體積,再利用不等式求最值。【解析】結(jié)合圖形利用不等式的放縮進行求值,注意基本不等式的適用條件.在abc中，ab=bc=2,abc=120，所以ac=，設cd=x,則ad=2x,所以pd=2-x,所以vpbcd=sbcdhbccdsin30pd=2x(2x）=x（2-x)=，當且僅當x=2x,即x=時取“=”,此時pd=，bd=1,pb=2，滿足題意。答案： 11。(2016浙江高考文科t9)某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm)，則該幾何體的表面積是cm2，體積是cm3.【解題指南】先由三視圖還原幾何體再進行求解.【解析】由三視圖知該組合體是一個長方體上面放置了一個小正方體，s

8、表=622+242+424222=80（cm2）,v=23+442=40（cm3)。答案：804012.(2016四川高考理科t13）已知三棱錐的四個面都是腰長為2的等腰三角形,該三棱錐的正視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是?！窘忸}指南】先根據(jù)正視圖和已知條件判斷幾何體的形狀，代入公式即可得出幾何體的體積。【解析】由題可知,因為三棱錐每個面都是腰為2的等腰三角形,由正視圖可得如下俯視圖,且三棱錐高為h=1，則體積v=sh=1=。答案:13。(2016四川高考文科t12)已知某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是.【解題指南】根據(jù)俯視圖求出底面積,根據(jù)側(cè)視圖求出高，從而得出幾何體的體積。【解

9、析】由三視圖可知該幾何體是一個三棱錐，且底面積為s=21=，高為1,所以該幾何體的體積v=sh=1=.答案:14。(2016天津高考理科t11）已知一個四棱錐的底面是平行四邊形,該四棱錐的三視圖如圖所示（單位:m）,則該四棱錐的體積為m3.【解題指南】由幾何體的三視圖判斷原幾何體的構(gòu)成,再求解。【解析】底面為平行四邊形,面積為21=2,高為3，所以v=213=2.答案：215。（2016北京高考文科t11）某四棱柱的三視圖如圖所示,則該四棱柱的體積為.【解題指南】四棱柱的體積為底面積乘以高。【解析】由俯視圖可知底面面積為（1+2)1=，由側(cè)(左）視圖可知高為1，所以體積為1=。答案:3、 解答

10、題16。（2016浙江高考理科t17)如圖,在三棱臺abc-def中,平面bcfe平面abc,acb=90，be=ef=fc=1,bc=2,ac=3。（1）求證：bf平面acfd.（2)求二面角bad-f的平面角的余弦值。【解析】(1)延長ad，be,cf相交于一點k，如圖所示，因為平面bcfe平面abc，且acbc,所以ac平面bck,所以bfac，又因為efbc，be=ef=fc=1,bc=2，所以bck為等邊三角形，且f為ck的中點,則bfck,所以bf平面acfd。(2)過點f作fqak，連接bq.因為bf平面ack,所以bfak，則ak平面bqf，所以bqak。所以,bqf是二面角-

11、d-f的平面角.在rtack中，ac=3,ck=2,得fq=。在rtqf中，fq=，bf=,得cosbqf=。所以，二面角-d-f的平面角的余弦值為.17。(2016江蘇高考t17)（本小題滿分14分）現(xiàn)需要設計一個倉庫,它由上下兩部分組成,上部分的形狀是正四棱錐p-a1b1c1d1，下部分的形狀是正四棱柱abcda1b1c1d1(如圖所示），并要求正四棱柱的高oo1是正四棱錐的高po1的4倍.（1)若ab=6m,po1=2m，則倉庫的容積是多少？（2）若正四棱錐的側(cè)棱長為6m,則當po1為多少時，倉庫的容積最大?【解題指南】根據(jù)正四棱錐和正四棱柱的體積公式以及導數(shù)求解?！窘馕觥?1)由po1=2moo1=8m，則，故倉庫的容積為312m3。（2）設po1=xm，倉庫的容積為v(x），連接a1o1，則oo1=4xm,a1o1=m,a1b1=m,=(288x-8x3)m3。v（x)= +=m3+（288x-8x3）m3=m3(0x6)，所以v（x