第2章流體運動學和動力學基礎

1、第二章第二章 流體運動學和動力學基礎 本章作業(yè)：習題本章作業(yè)：習題1,3,6,8,9,10,11,13,15 流場流場(流場及其描述方法流場及其描述方法,跡線、流線和流管跡線、流線和流管) 流體微團運動的分析流體微團運動的分析(散度、旋度和速度位散度、旋度和速度位) 連續(xù)方程和流函數(shù)連續(xù)方程和流函數(shù)(連續(xù)方程、流函數(shù)連續(xù)方程、流函數(shù)) 旋渦運動旋渦運動(渦線、渦管及旋渦強度、環(huán)量誘導速度及相關定理渦線、渦管及旋渦強度、環(huán)量誘導速度及相關定理) 歐拉運動方程及其積分歐拉運動方程及其積分(歐拉運動方程、伯努利方程歐拉運動方程、伯努利方程) 流體力學中的動量定理流體力學中的動量定理(一般原理及例子一

2、般原理及例子) 2021年6月18日8時15分沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室第2頁 共112頁 2.1.1 拉格朗日方法與歐拉方法拉格朗日方法與歐拉方法 連續(xù)介質假設：流體是由質點組成，無空隙地充滿所占據(jù)的空間。對于無數(shù)多連續(xù)介質假設：流體是由質點組成，無空隙地充滿所占據(jù)的空間。對于無數(shù)多 的流體質點，當其發(fā)生運動時，如何正確描述和區(qū)分各流體質點的運動行為，的流體質點，當其發(fā)生運動時，如何正確描述和區(qū)分各流體質點的運動行為， 將是流體運動學必須回答的問題。描述流體運動的方法有兩種。將是流體運動學必須回答的問題。描述流體運動的方法有兩種。 1 1、LagrangeLagrange方法（方法（拉

3、格朗日方法，拉格朗日方法，質點法）質點法） 1）拉格朗日坐標：）拉格朗日坐標：在某一初始時刻在某一初始時刻t0 ，以不同的一組數(shù)（，以不同的一組數(shù)（a,b,c）來標記不同的）來標記不同的 流體質點，這組數(shù)（流體質點，這組數(shù)（a,b,c）就叫拉格朗日變數(shù)?；蚍Q為拉格朗日坐標。）就叫拉格朗日變數(shù)。或稱為拉格朗日坐標。 2）拉格朗日描述：拉格朗日法著眼于流場中每一個運動著的流體質點，跟蹤觀）拉格朗日描述：拉格朗日法著眼于流場中每一個運動著的流體質點，跟蹤觀 察每一個流體質點的運動軌跡（察每一個流體質點的運動軌跡（流體質點在一定時間內所經(jīng)過的所有空間點的流體質點在一定時間內所經(jīng)過的所有空間點的 集合集

4、合稱為跡線）以及運動參數(shù)（速度、壓強、加速度等）隨時間的變化，然后稱為跡線）以及運動參數(shù)（速度、壓強、加速度等）隨時間的變化，然后 綜合所有流體質點的運動，得到整個流場的運動規(guī)律。綜合所有流體質點的運動，得到整個流場的運動規(guī)律。 具體形式：若具體形式：若f表示流體質點的某一物理量，其拉格朗日描述地說學表達是：表示流體質點的某一物理量，其拉格朗日描述地說學表達是： f=f(a,b,c,t) ; x(a,b,c,tx(a,b,c,t), ), y(a,b,c,ty(a,b,c,t), ), z(a,b,c,tz(a,b,c,t) ) 其中，其中，a,b,ca,b,c為流體質點的標識符，用于區(qū)分和識

5、別各質點的。為流體質點的標識符，用于區(qū)分和識別各質點的。 t t表示時間。表示時間。a.b.c.ta.b.c.t稱為拉格朗日變數(shù)。稱為拉格朗日變數(shù)。 a.b.ca.b.c給定，表示指定質點的軌跡。給定，表示指定質點的軌跡。 t t給定，表示在給定時刻不同質點的空間位置。給定，表示在給定時刻不同質點的空間位置。 x y z t zyx, (a,b,c) 2021年6月18日8時15分沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室第3頁 共112頁 質點法質點法觀察者著眼于個別流體質點，觀察者著眼于個別流體質點， 所獲取的第一手資料是流體質點的軌跡所獲取的第一手資料是流體質點的軌跡 例如流體質點的運動速度的拉格

6、朗日描述為： 壓強 p的拉格朗日描述是：p=p(a,b,c,t) ),( ),( ),( tcbaww tcba tcbauu 脈線：脈線：指在一段時間內，將相繼通過某一空間固定點的不同流體質點，在某一瞬 時（即觀察的瞬時）連成的曲線。如果該空間固定點是釋放染色的源，則在某一 瞬時觀察到一條染色線，故脈線也稱為染色線。染色線也是同一時刻不同流體質 點的連線。經(jīng)過煙頭和煙囪冒出的煙都是形成脈線的例子。 2021年6月18日8時15分沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室第4頁 共112頁 對于給定流體質點，速度表達式是對于給定流體質點，速度表達式是 流體質點的加速度為流體質點的加速度為 流體質點的其它

7、物理量也都是流體質點的其它物理量也都是a,b,c,t的函數(shù)。跡線方程為：的函數(shù)。跡線方程為： t tcbaz w t tcbay v t tcbax u ),( , ),( , ),( 2 2 2 2 2 2 ),( , ),( , ),( t tcbaz a t tcbay a t tcbax a zyx dt w dz v dy u dx 2021年6月18日8時15分沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室第5頁 共112頁 2、Euler方法（歐拉方法，空間點法，流場法）方法（歐拉方法，空間點法，流場法） 1）歐拉法：以數(shù)學場論為基礎，著眼于任何時刻物理量在場上的分布規(guī)律的流體）歐拉法：以數(shù)學

8、場論為基礎，著眼于任何時刻物理量在場上的分布規(guī)律的流體 運動描述方法。運動描述方法。 2）歐拉坐標（歐拉變數(shù)）：歐拉法中用來表達流場中流體運動規(guī)律的質點空間坐）歐拉坐標（歐拉變數(shù)）：歐拉法中用來表達流場中流體運動規(guī)律的質點空間坐 標標(x,y,z)與時間與時間t變量稱為歐拉坐標或歐拉變數(shù)。變量稱為歐拉坐標或歐拉變數(shù)。 在該方法中，觀察者相對于坐標系是固定不動的，著眼于不同流體質點通過空間在該方法中，觀察者相對于坐標系是固定不動的，著眼于不同流體質點通過空間 固定點的流動行為，通過記錄不同空間點流體質點經(jīng)過的運動情況，從而獲得固定點的流動行為，通過記錄不同空間點流體質點經(jīng)過的運動情況，從而獲得

9、整個流場的運動規(guī)律。整個流場的運動規(guī)律。( 流線流線:流場中的瞬時光滑曲線，在曲線上流體質點的速度流場中的瞬時光滑曲線，在曲線上流體質點的速度 方向與各該點的切線方向重合。方向與各該點的切線方向重合。) 壓強場：壓強場：p=p(x,y,z,t) 其中，其中，x,y,zx,y,z為空間點的坐標，為空間點的坐標，t t表示時間，表示時間，x.y.z.tx.y.z.t稱為歐拉變數(shù)。稱為歐拉變數(shù)。 x.y.zx.y.z給定，給定，t t變化，表示不同時刻不同流體質點通過同一空間點的速度。變化，表示不同時刻不同流體質點通過同一空間點的速度。 t t給定，給定， x.y.zx.y.z變化，表示給定時刻，不

10、同流體質點通過不同空間點的速度，給變化，表示給定時刻，不同流體質點通過不同空間點的速度，給 定速度場。定速度場。 (守株待兔，看門房式的工作方法) ),( V ),( ),( tzyxw kwj vi utzyxv tzyxu 2021年6月18日8時15分沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室第6頁 共112頁 應指出，空間點速度本質上指的是t瞬時恰好占據(jù)該空間點流體質點所具有的速度。 2021年6月18日8時15分沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室第7頁 共112頁 一個布滿了某種物理量的空間稱為場。 流場:流體流動所占據(jù)的空間(運動流體所充滿的空間運動流體所充滿的空間)。 用以表示流體運動特征的

11、物理量稱用以表示流體運動特征的物理量稱“流動參數(shù)流動參數(shù)”,如速度、密度、壓強等。所以流場如速度、密度、壓強等。所以流場 又是上述物理量的場。又是上述物理量的場。 如果物理量是速度，描述的是速度場；如果是壓強，稱為壓強場；在高速 流動時，氣流的密度和溫度也隨流動有變化，那就還有一個密度場和溫度 場，這都包括在流場的概念之內。 如果場只是空間坐標的函數(shù)而與時間 無關則稱為定常場定常場，否則為非定常場。非定常場。 對于定常速度場的表達為： u=u(x,y,z) v= v(x,y,z) w= w(x,y,z) 一個速度場 2021年6月18日8時15分沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室第8頁 共112

12、頁 用歐拉法來描述流場時，觀察者直接測量到的是速度，那么在流體質點的用歐拉法來描述流場時，觀察者直接測量到的是速度，那么在流體質點的 運動過程中，質點的速度變化是如何引起的，怎樣正確表示流體質點的加速度運動過程中，質點的速度變化是如何引起的，怎樣正確表示流體質點的加速度 呢，以下面例子說明之。參看下圖，第呢，以下面例子說明之。參看下圖，第1圖表示流體質點從圖表示流體質點從A流到流到B速度不變；第速度不變；第 2圖表示流體質點從圖表示流體質點從A流到流到B點，因水位下降引起速度減?。坏邳c，因水位下降引起速度減?。坏?圖表示流體質點圖表示流體質點 從從A流到流到B點，因管道收縮引起速度增加；第點，

13、因管道收縮引起速度增加；第4圖表示流體質點從圖表示流體質點從A流到流到B點，因點，因 水位下降和管道收縮引起速度的變化。水位下降和管道收縮引起速度的變化。 水位下降表示流場的非定常性，管道收縮表示流場的不均勻性。由此可見，水位下降表示流場的非定常性，管道收縮表示流場的不均勻性。由此可見， 一般情況下引起流體質點速度的變化來自于兩方面的貢獻：其一是流場的不均一般情況下引起流體質點速度的變化來自于兩方面的貢獻：其一是流場的不均 勻性，其二是流場的非定常性。勻性，其二是流場的非定常性。 2021年6月18日8時15分沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室第9頁 共112頁 設速度函數(shù)具有一階連續(xù)的偏導數(shù)，

14、現(xiàn)在來求加速度。設某一流體質點在設速度函數(shù)具有一階連續(xù)的偏導數(shù)，現(xiàn)在來求加速度。設某一流體質點在t 時刻位于流場中時刻位于流場中M點，經(jīng)過微分時段位于點，經(jīng)過微分時段位于N點，根據(jù)加速度定義有點，根據(jù)加速度定義有 根據(jù)泰勒級數(shù)展開，流場非定常性引起的速度變化為根據(jù)泰勒級數(shù)展開，流場非定常性引起的速度變化為 t tMVtNV t tNVttNV dt Vd t tMVttNV t V dt Vd a t t tt ),(),( lim ),(),( lim ),(),( limlim 0 0 00 )( ),( ),(),( 2 tOt t tNV tNVttNV t V t tMV t tOt

15、 t tNV t tNVttNV tt ),( )( ),( lim ),(),( lim 2 00 2021年6月18日8時15分沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室第10頁 共112頁 由于流場不均勻性引起的速度變化為由于流場不均勻性引起的速度變化為 ),.,( ),(),(),( ),(),( ),.,( ),(),(),( ),( ),(),( 2 2 xOz z tMV y y tMV x x tMV tMVtNV xOz z tzyxV y y tzyxV x x tzyxV tzyxV tzzyyxxVtNV z tMV w y tMV v x tMV u z tMV t z y t

16、MV t y x tMV t x t xOz z tMV y y tMV x x tMV t tMVtNV ttt t t ),(),(),( ),( lim ),( lim ),( lim ),.,( ),(),(),( lim ),(),( lim 000 2 0 0 2021年6月18日8時15分沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室第11頁 共112頁 綜合起來，得到流體質點的全加速度為綜合起來，得到流體質點的全加速度為 等式右邊第等式右邊第1項表示速度對時間的偏導數(shù)，是由流場的非定常性引起的，項表示速度對時間的偏導數(shù)，是由流場的非定常性引起的， 稱為局部加速度，或當?shù)丶铀俣?；右邊第稱為局部

17、加速度，或當?shù)丶铀俣?；右邊?項表示因流體質點位置遷移項表示因流體質點位置遷移 引起的加速度，稱為遷移加速度，位變加速度，或對流加速度。二者的引起的加速度，稱為遷移加速度，位變加速度，或對流加速度。二者的 合成稱為全加速度，或隨體加速度。寫成分量形式為合成稱為全加速度，或隨體加速度。寫成分量形式為 VV t V dt Vd a z V w y V v x V u t V dt Vd a )( z w w y w v x w u t w dt dw z v w y v v x v u t v dt dv z u w y u v x u u t u dt du xxxx xxyz yyyy yxy

18、z zzzz zxyz vvvv avvv txyz vvvv avvv txyz vvvv avvv txyz 2021年6月18日8時15分沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室第12頁 共112頁 算子 表示隨流體質點運動的導數(shù)，稱隨體導數(shù)。除速度外，對流場中其 它變量也成立。如對于壓強p，有 z w y v x u tdt d z p w y p v x p u t p dt dp 如果流動參數(shù)是一維空間流程坐標 s和時間 t的函數(shù)，速度場為v（s,t）。 則全加速度表示為： s v v t v Dt Dv as v s 2021年6月18日8時15分沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室第13頁

19、 共112頁 根據(jù)上述分析，可得出以下各圖中的加速度表達式。 2021年6月18日8時15分沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室第14頁 共112頁 在某一瞬時t，從流場中某點出發(fā)，順著這一點的速度指向畫一個微分段 到達鄰點，再按鄰點在同一瞬時的速度指向再畫一個微分段，一直畫下 去，當取微分段趨于零時，便得到一條光滑的曲線。在這條曲線上，任在這條曲線上，任 何一點的切線方向均與占據(jù)該點的流體質點速度方向指向一致，這樣曲何一點的切線方向均與占據(jù)該點的流體質點速度方向指向一致，這樣曲 線稱為流線。線稱為流線。在任何瞬時，在流場中可繪制無數(shù)條這樣的流線。流線的 引入，對定性刻畫流場具有重要意義。 (a)

20、l(a)l1 1瞬時過點瞬時過點1 1的流線的流線 (b)l(b)l2 2瞬時過點瞬時過點1 1的流線的流線 時間 t 固定 2021年6月18日8時15分沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室第15頁 共112頁 流線是反映流場瞬時流速方向的曲線。其是同一時刻，由不同流體質點組成的。與跡流線是反映流場瞬時流速方向的曲線。其是同一時刻，由不同流體質點組成的。與跡 線相比，跡線是同一質點不同時刻的軌跡線。根據(jù)流線的定義，可知流線具有以下性質：線相比，跡線是同一質點不同時刻的軌跡線。根據(jù)流線的定義，可知流線具有以下性質： (1) 在定常流動中，流體質點的跡線與流線重合；在非定常流動中，流線和跡線一般是在

21、定常流動中，流體質點的跡線與流線重合；在非定常流動中，流線和跡線一般是 不重合的。不重合的。 (2) 通過空間固定點流線的形狀，在定常流場中不隨時間變化通過空間固定點流線的形狀，在定常流場中不隨時間變化;而在非定常流場中，要隨而在非定常流場中，要隨 時間變化。這是由于非定常流場中流體質點速度隨時間改變。所以在瞬時時間變化。這是由于非定常流場中流體質點速度隨時間改變。所以在瞬時t2通過流場空間點通過流場空間點 1的速度矢量將改變?yōu)榈乃俣仁噶繉⒏淖優(yōu)関1，按流線的定義，按流線的定義，t2瞬時流過點瞬時流過點1的流線將改變?yōu)榈牧骶€將改變?yōu)閟。見。見圖圖2-1(b)。 (3) 流場中每一點都有流線通過

22、，所有流線的集合稱流線譜或簡稱流譜。流場中每一點都有流線通過，所有流線的集合稱流線譜或簡稱流譜。 (4) 在常點處，流線不能相交、分叉、匯交、轉折，流線只能是一條光滑的曲線；也就在常點處，流線不能相交、分叉、匯交、轉折，流線只能是一條光滑的曲線；也就 是，在同一時刻，一點處只能通過一條流線。在奇點（速度無窮大點，是，在同一時刻，一點處只能通過一條流線。在奇點（速度無窮大點，源和匯源和匯）、駐點）、駐點 （零速度點）流線相切等例外。（零速度點）流線相切等例外。 (5) 在定常流動中，流線是流體不可跨越的曲線。在定常流動中，流線是流體不可跨越的曲線。 A B o 2021年6月18日8時15分沈陽

23、航空工業(yè)學院飛行器設計教研室第16頁 共112頁 由流線上任意點的速度矢量與流線相切這一性質，可以求出流線的微分方程。由流線上任意點的速度矢量與流線相切這一性質，可以求出流線的微分方程。 如圖如圖2-3所示，設在流線上某點所示，設在流線上某點M(x,y,z)處的速度為處的速度為v(其分量為其分量為vx,vy,vz)，M點點 的流線微段長的流線微段長ds(其分量為其分量為 )，根據(jù)流線的定義可知，根據(jù)流線的定義可知ds與各坐標與各坐標 軸的夾角同速度與相應坐標軸的夾角相同，因而相應的夾角余弦必相等軸的夾角同速度與相應坐標軸的夾角相同，因而相應的夾角余弦必相等,即即 ,xyz cos , cos

24、, cos , x y z vdx vi vds v dy v j vds vdz vk vds 式中式中I,j,k分別為分別為x,y,z方向上的單位矢量方向上的單位矢量,由式由式 (2-4)可求出可求出 xyz dxdydz vvv 上式就是流線的微分方程式上式就是流線的微分方程式.當速度分布為已知時當速度分布為已知時, 根據(jù)式根據(jù)式(2-5)可求出流場中通過任意點流線的形狀。可求出流場中通過任意點流線的形狀。 V ds w dz v dy u dx 或或 (2-5) (2-4) 2021年6月18日8時15分沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室第17頁 共112頁 與流線密切相關的，是流管流管

25、和流面流面兩個概念。 流管是由一系列相鄰的流線圍成。在三維流動里， 經(jīng)過一條有流量流量穿過的封閉曲線的所有流線圍成封閉 管狀曲面稱為流管流管。 圖2-6 流管 （a）流線組成流管側壁； （b）沒有流量由流管側壁流出 流面流面是由許多相鄰的流線連成的一個曲面，這個曲面不一 定合攏成一根流管。當然流管的側表面也是一個流面。不 管合攏不合攏，流面也是流動不會穿越的一個面 。 由流線所圍成的流管也正像一根具有實物管壁一樣 的一根管子，管內的流體不會越過流管流出來，管 外的流體也不會越過管壁流進去。 dAnVm A )( dAnVQ A )( dAnVgG A )( 流量流量是單位時間內穿過指定截面的流

26、體量（體積、質量或重量），例如穿過上述 流管中任意截面A的體積流量 、質量流量 和重量流量 可分別表為Q mG 其中， 是局部速度向量， 是密度， 是微元面積 的法線向量 V n dA 2021年6月18日8時15分沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室第18頁 共112頁 例例2-1 2-1 已知二維定常不可壓流動的速度分布為已知二維定常不可壓流動的速度分布為v vx x=ax, =ax, v vy y=-ay=-ay， a a為常數(shù)，求通過點為常數(shù)，求通過點P(2P(2，1)1)的流線方程。的流線方程。 解解 由式由式(2-5)得流線得流線 的微分方程的微分方程 積分后可得積分后可得 即即 將將

27、P點坐標代入上式，定出點坐標代入上式，定出C=2。 最后可得通過最后可得通過P點的流線為點的流線為xy=2. 可見流線是等邊雙曲線，以可見流線是等邊雙曲線，以x,y軸軸 為漸近線，若以為漸近線，若以x,y 軸同時當做軸同時當做 固壁，且只研究在第一象限的流固壁，且只研究在第一象限的流 動，上述流動為直角內的流動，動，上述流動為直角內的流動， 見右圖見右圖2-4。 dxdy xy 1 ln xyC ()xyC常數(shù) 2021年6月18日8時15分沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室第19頁 共112頁 2.2.1 流體微團的基本運動形式流體微團的基本運動形式 在理論力學中，研究對象是質點和剛體（無變形

28、體），它們的基本運動形 式可表示為： （1）質點（無體積大小的空間點）只有平移運動（平動）； （2）剛體（具有一定體積大小，但無變形）運動除平移運動外，還 有整體的旋轉運動（轉動）； 在流體力學中，研究對象是質點和不斷變化形狀與大小的變形體，就變形 體而言，其運動形式除包括了剛體的運動形式外，還有變形運動。 變形運動包括兩種，其一是引起體積大小變化的邊長伸縮線變形運動，其 二是引起體積形狀變化的角變形運動。由此可得變形體的基本運動形式包 括： （1）平動；（2）轉動；（3）線變形運動；（4）角變形運動 2021年6月18日8時15分沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室第20頁 共112頁 流體微團

29、的一般運動流體微團的一般運動 a)a)平移平移 b) b) 線變形線變形 c) c) 角變形角變形 d)d)旋轉旋轉 2.2.1 流體微團的基本運動形式流體微團的基本運動形式 轉動（角平分線轉動）轉動（角平分線轉動） 角變形運動（角平分線不動）角變形運動（角平分線不動） 2021年6月18日8時15分沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室第21頁 共112頁 為便于分析，在流場中任取一平面微團分析。根據(jù)泰勒級數(shù)展開，微分為便于分析，在流場中任取一平面微團分析。根據(jù)泰勒級數(shù)展開，微分 面四個頂點的速度可表示如下。面四個頂點的速度可表示如下。 （1）各頂點速度相同的部分，為微團的平動速度。（）各頂點速度

30、相同的部分，為微團的平動速度。（u,v,w） （2）線變形速率）線變形速率 線變形運動是指微元體各邊長發(fā)生伸縮的運動。線變形線變形運動是指微元體各邊長發(fā)生伸縮的運動。線變形 速率定義為單位時間單位長度的線變形量。如對于速率定義為單位時間單位長度的線變形量。如對于AB邊長，在微分時邊長，在微分時 段內邊長的增加量為段內邊長的增加量為 2.2.1 流體微團的基本運動形式流體微團的基本運動形式 tx x u tux x u uAB )( 2021年6月18日8時15分沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室第22頁 共112頁 由此得到由此得到x方向的線變形速率為方向的線變形速率為 同理，在同理，在y方向的

31、線變形速率為方向的線變形速率為 平面微團的面積變化率為平面微團的面積變化率為 2.2.1 流體微團的基本運動形式流體微團的基本運動形式 x u xt AB t x )( lim 0 y v yt AC t y )( lim 0 yx t y v x u tyx tyx y v x u tyx y v x u tyx yxty y v ytx x u x tyx ACAB Vdiv 2 0t 0t0 lim limlim )( 2021年6月18日8時15分沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室第23頁 共112頁 （3）角變形速率與旋轉角速度）角變形速率與旋轉角速度 在微分時段內，在微分時段內，AB

32、與與AC兩正交邊夾角的變化與微分平面的角變形和轉動兩正交邊夾角的變化與微分平面的角變形和轉動 有關。在微分時段內，有關。在微分時段內，AB邊的偏轉角度為（逆時針為正）邊的偏轉角度為（逆時針為正） 在微分時間內，在微分時間內，AC邊的偏轉角度為（順時針為負）邊的偏轉角度為（順時針為負） 2.2.1 流體微團的基本運動形式流體微團的基本運動形式 t x v x tvx x v v x BB 1 t y u y tuy y u u y CC 2 2021年6月18日8時15分沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室第24頁 共112頁 平面微團夾角的總變化量可分解為像剛體一樣角平分線的轉動部分和角平面微團夾

33、角的總變化量可分解為像剛體一樣角平分線的轉動部分和角 平分線不動兩邊相對偏轉同樣大小角度的純角變形部分。如圖所示。平分線不動兩邊相對偏轉同樣大小角度的純角變形部分。如圖所示。 設在微分時段內，平面微團角平分線轉動角度為設在微分時段內，平面微團角平分線轉動角度為，邊線的純角變形量為，邊線的純角變形量為 ，則由幾何關系可得，則由幾何關系可得 解出可得解出可得 2.2.1 流體微團的基本運動形式流體微團的基本運動形式 21 2 2 2121 2021年6月18日8時15分沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室第25頁 共112頁 定義，平面微團的旋轉角速度（單位時間的旋轉角度）為定義，平面微團的旋轉角速度

34、（單位時間的旋轉角度）為 平面微團的角變形速率（單位時間單邊角變形量）為平面微團的角變形速率（單位時間單邊角變形量）為 對于三維六面體微團而言，其運動形式同樣可分為：平動、轉動和變形對于三維六面體微團而言，其運動形式同樣可分為：平動、轉動和變形 運動，類似平面微團很容易導出相關公式。此處不再推導，以下直接給出。運動，類似平面微團很容易導出相關公式。此處不再推導，以下直接給出。 2.2.1 流體微團的基本運動形式流體微團的基本運動形式 y u x v t t z 2 1 lim 0 y u x v t t z 2 1 lim 0 2021年6月18日8時15分沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室第2

35、6頁 共112頁 流體微團平動速度：流體微團平動速度： 流體微團線變形速率：流體微團線變形速率： 流體微團角變形速率（剪切變形速率）：流體微團角變形速率（剪切變形速率）： 流體微團旋轉角速度：流體微團旋轉角速度： z w y v x u zyx , , y u x v x w z u z v y w zyx 2 1 , 2 1 , 2 1 y u x v x w z u z v y w zyx 2 1 , 2 1 , 2 1 ),(),(),(tzyxwtzyxvtzyxu 2.2.1 流體微團的基本運動形式流體微團的基本運動形式 2021年6月18日8時15分沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室

36、第27頁 共112頁 德國物理學家德國物理學家 HelmholtzHelmholtz（1821-18941821-1894）18581858年提出的流場速度的分年提出的流場速度的分 解定理，正確區(qū)分了流體微團的運動形式。設在流場中，相距微量的解定理，正確區(qū)分了流體微團的運動形式。設在流場中，相距微量的 任意兩點，按泰勒級數(shù)展開給出分解。任意兩點，按泰勒級數(shù)展開給出分解。 在在 速度為速度為 在在 點處，速度點處，速度為為),( 1 tzzyyxxM ),( ),( ),( tzzyyxxw tzzyyxxv tzzyyxxu 2.2.2 流體微團速度分解定理流體微團速度分解定理 ),( 0 t

37、zyxM ),( ),( ),( tzyxw tzyxv tzyxu 2021年6月18日8時15分沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室第28頁 共112頁 按泰勒級數(shù)展開有按泰勒級數(shù)展開有 zyxxytzyxw z z w y y w x x w tzyxwtzzyyxxw zyxzxtzyxv z z v y y v x x v tzyxvtzzyyxxv zyxyztzyxu z z u y y u x x u tzyxutzzyyxxu zxyyx xyzxz yzxzy )(),( ),(),( )(),( ),(),( )(),( ),(),( 2.2.2 流體微團速度分解定理流體微團

38、速度分解定理 2021年6月18日8時15分沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室第29頁 共112頁 應指出的是，實際流體微團的運動可以是一種或幾種運動的組合。如，應指出的是，實際流體微團的運動可以是一種或幾種運動的組合。如， （1 1）對于均速直線運動，流體微團只有平動，無轉動和變形運動。）對于均速直線運動，流體微團只有平動，無轉動和變形運動。 （2 2）無旋流動，流體微團存在平動、變形運動，但無轉動。）無旋流動，流體微團存在平動、變形運動，但無轉動。 （3 3）旋轉容器內的流體運動，流體微團存在平動和轉動，但無變形運動。）旋轉容器內的流體運動，流體微團存在平動和轉動，但無變形運動。 應指出的是

39、，剛體的速度分解定理和流體微團的速度分解定理除了變形應指出的是，剛體的速度分解定理和流體微團的速度分解定理除了變形 運動外，還有一個重要的差別。剛體速度分解定理是對整個剛體都成立，運動外，還有一個重要的差別。剛體速度分解定理是對整個剛體都成立， 因此它是整體性定理；而流體速度分解定理只是對流體微團成立，因它因此它是整體性定理；而流體速度分解定理只是對流體微團成立，因它 是局部性定理。譬如，剛體的角速度是刻畫整個剛體轉動的一整體特征是局部性定理。譬如，剛體的角速度是刻畫整個剛體轉動的一整體特征 量，在剛體上任意一點都是不變的，而流體的旋轉角速度是刻畫局部流量，在剛體上任意一點都是不變的，而流體的

40、旋轉角速度是刻畫局部流 體微團轉動的一個局部性特征量，在不同點處微團的旋轉角速度不同。體微團轉動的一個局部性特征量，在不同點處微團的旋轉角速度不同。 2.2.2 流體微團速度分解定理流體微團速度分解定理 2021年6月18日8時15分沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室第30頁 共112頁 2.2.3 散度及其意義散度及其意義 散度在流體力學里表示流體微團的相對體積膨脹率相對體積膨脹率（單位時間單位體積的增 長量）。 xt x u x 1 yt y v y 1 zt z w z 1 為說明此點可取一簡單的矩形微元六面體來看，設六面體的三邊原長分別是 x, y, z，原來體積是（xyz），經(jīng)過t時間

41、后三個邊長分別變?yōu)椋?三個相互垂直方向的線變形率之和在向量分析中稱為速度V的散度，散度，符號為 divV，即 z w y v x u VVdiv 2021年6月18日8時15分沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室第31頁 共112頁 流體微團在運動中不論它的形狀怎么變，體積怎么變，它的質量總是 不變的。而質量等于體積乘密度，所以在密度不變的不可壓流動里， 微團的體積不變，其速度的散度必為零。 如果是密度有變化的流動，那么散度一般地不等于零。 V z w y v x u zyxzt z w yt y v xt x u tzyx Vdiv t 111 1 lim 0 則相對體積膨脹率（單位時間單位體積

42、的增長量）為： 2.2.3 散度及其意義散度及其意義 0 z w y v x u VVdiv 2021年6月18日8時15分沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室第32頁 共112頁 一個流場，如果各處的都等于零，這樣的流場稱為無旋流場，其流動稱為無無 旋流旋流。否則為有旋流場，其流動稱有旋流有旋流。根據(jù)數(shù)學上Stokes定律 2.2.4 旋度和位函數(shù)旋度和位函數(shù) 業(yè)已知道，流體微團繞自身軸的旋轉角速度的三個分量為x，y，x，合角速 度可用矢量表示為 這個值在向量分析里記為（1/2）rotV，稱為V的旋度。旋度。 即有即有旋度為旋轉角速度的二倍：旋度為旋轉角速度的二倍： VVrotkji zyx 2

43、 1 2 1 AL AdVrotrdV 如果是無渦流場，那么其旋度為零，由此得到 說明速度場的曲線積分與路徑無關，僅是坐標位置的函數(shù)。 0 L rdV yy xxzz vv vvvv curl yzzxxy i+j+k 。 2 2021年6月18日8時15分沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室第33頁 共112頁 ； ； 2.2.4 旋度和位函數(shù)旋度和位函數(shù) 在數(shù)學上表示下列微分代表某個函數(shù)的全微分，即 L 0 L drdVwdzvdyudxrdVd 上式中這個函數(shù)稱為速度勢函數(shù)或速度位，其存在的充分必要條件是無渦 流動。 速度勢函數(shù)僅是坐標位置和時間的函數(shù)。即 速度勢函數(shù)與速度分量的關系為 說明

44、速度勢函數(shù)在某個方向的偏導數(shù)等于速度矢量在那個方向的分量。 0 2 1 Vrot ),(tzyx z w y v x u 2021年6月18日8時15分沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室第34頁 共112頁 解：流體微團繞z軸的旋轉角速度為 流動無旋，存在速度勢函數(shù)。 aydyaxdxvdyudxd22 例2.1 設有一個二維流場其速度分布的式子是 ， 問這個流動 是有旋的還是無旋的？有沒有速度位存在？流線方程是什么？變形率的是什么？ )( 22 yxa 流線方程為 v dy u dx 2.2.4 旋度和位函數(shù)旋度和位函數(shù) 對于無旋流，沿一條連接A、B兩點的曲線進行速度的線積分，結果只與二 端點

45、的值之差有關而與積分路徑無關。即 AB B A B A dwdzvdyudx )( -2ay v2 axu 000 2 1 2 1 y u x v z 2021年6月18日8時15分沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室第35頁 共112頁 積分得 Cxy 常數(shù)C取一系列的值畫得一系列的流線，見下圖。 角變形率： 0 2 1 y u x v z 0 yx Vdiv 考察矩形微團ABCD，在如圖流場中將從左上方流向右下方，由于流動無旋 微團不轉動；由于相對體積膨脹率為零，x方向線段有縮短，y方向線段必 有拉伸，流動過程中矩形微團面積保持不變；流體微團無角變形。 2.2.4 旋度和位函數(shù)旋度和位函數(shù) 流

46、體微團線變形率： a y v a x u x 2 2 y 2021年6月18日8時15分沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室第36頁 共112頁 例例2-2 2-2 在例在例2-12-1流場中，已知流場中，已知vx=ax; vx=ax; vyvy=-ay=-ay，求位函數(shù)，求位函數(shù)。 解解 由式由式 分別進行積分得分別進行積分得, xyz vvv xyz 2 1 1 ( ) 2 axf y 2 2 1 ( ) 2 ayf y 2 1 1 ( ) 2 f yay 2 2 1 ( ) 2 fyax 22 1 () 2 a xy 由由000 y x v v xy 可知流場存在速度位函數(shù)可知流場存在速度位

47、函數(shù),于是有于是有 最后得最后得 2021年6月18日8時15分沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室第37頁 共112頁 22 ()a xy C 等位線是等位線是 ,為等邊雙曲線，以為等邊雙曲線，以x=y，及，及x=-y兩直線為其漸近線，畫兩直線為其漸近線，畫 出來的流線和等位線如圖出來的流線和等位線如圖2-9所示所示.圖中的實線表示流線，虛線表示等位線。該流動圖中的實線表示流線，虛線表示等位線。該流動 稱為直角流動稱為直角流動. 圖圖2-9 流場中的流線和等位線流場中的流線和等位線 2021年6月18日8時15分沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室第38頁 共112頁 0, r k vv r 例2-

48、3 有一二維流動，其流線族為圓心在原點的一系列同 心圓，即 .求流場的速度位函數(shù).(k為常數(shù)) 解解 假定流場存在速度位假定流場存在速度位，應用式，應用式 分別對分別對 r,進行積分進行積分,得得 1 , rz vvv rrz 12 ( )( )fkfr且 由速度位由速度位存在的條件又可得出流場一定是無旋流場存在的條件又可得出流場一定是無旋流場(除原點外除原點外).該流場的流線和該流場的流線和 等位線如等位線如圖圖2-10所示。該流動為流體力學中的基本流動、通常稱為點渦流動所示。該流動為流體力學中的基本流動、通常稱為點渦流動. 圖圖2-10 點渦流動的流線和等位線點渦流動的流線和等位線 202

49、1年6月18日8時15分沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室第39頁 共112頁 例例2-4 2-4 設某二維流動的速度分布為設某二維流動的速度分布為v vx x=ay, =ay, v vy y=0,a=0,a為常數(shù)，求為常數(shù)，求 該流場的速度位函數(shù)。該流場的速度位函數(shù)。 解解 假定流場存在速度位假定流場存在速度位,于是有于是有 ;0 xy vay v xy 將將vx,vy進行積分后得進行積分后得 12 ( )( )axy f yf x且 顯然顯然.無法找到無法找到f1(y)和和f2(x)使上面的兩個表達式一致使上面的兩個表達式一致.故此，速度位函故此，速度位函 數(shù)數(shù)不存在不存在. 另外，注意另外

50、，注意 該流動為有旋流動，即不存在速度位函數(shù)該流動為有旋流動，即不存在速度位函數(shù)，這與前面，這與前面 的結論相符的結論相符.該流動稱為平面該流動稱為平面Couette流動。流動。 0 y x z v v curla xy 2021年6月18日8時15分沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室第40頁 共112頁 連續(xù)方程是質量守恒定律在流體力學中具體表達形式。以下針對一個微分六 面體推導微分形式的連續(xù)方程。由于連續(xù)方程僅是運動的行為，與動力無關， 因此適應于理想流體和粘性流體?，F(xiàn)在流場中劃定一個邊長分別為dx，dy， dz的矩形六面體，這個體的空間位置相對于坐標系是固定的，不隨時間變化， 被流體所通過

51、。 假設六面體中心點坐標為（x，y，z）。在 t 時，過中心點流體微團的三個分速是 u，v，w，密度是。在t瞬時，過該點處 通過垂直于x軸單位面積的流體流量為u， 如果把這個量看作為空間和時間的函數(shù)，則 根據(jù)臺勞級數(shù)展開有 在dt時段內，從ABCD面進入的流體質量為 2.3 理想流體運動微分方程組理想流體運動微分方程組 x z y A B C D A B C D 2.3.1 連續(xù)方程連續(xù)方程 dydzdt dx x u um 2 )( 1 2021年6月18日8時15分沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室第41頁 共112頁 在在dt時段內，從時段內，從ABCD面流出的流體質量為面流出的流體質量為

52、 在在dt時段內，由時段內，由x面儲存在在微分六面體的流體質量為（凈流入量）面儲存在在微分六面體的流體質量為（凈流入量） 同理可得，在同理可得，在dt時段內，由時段內，由y,z面儲存在微分六面體的流體質量為面儲存在微分六面體的流體質量為 2.3.1 連續(xù)方程連續(xù)方程 dydzdt dx x u um 2 )( 2 dxdydzdt x u dydzdt dx x u udydzdt dx x u u mmmx )( 2 )( 2 )( 21 )( )( dxdydzdt z w mdxdydzdt y v m zy 2021年6月18日8時15分沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室第42頁 共11

53、2頁 由此可得，在dt時段內由所有側面流入到微分六面體的凈流體總質量為 由于是空間位置和時間的函數(shù)，在dt時段內，由于密度變化引起微分六面體 質量的增加量為 根據(jù)質量守恒定律，在dt時段內從側面凈流入微分六面體的總質量應等于六 面體內流體質量因密度隨時間變化的引起增量。 )()()( dxdydzdt z w y v x u mmmm zyx dxdydzdt t dxdydzdxdydzdt t mt dxdydzdt )()()( t dxdydzdt z w y v x u mm t 2.3.1 連續(xù)方程連續(xù)方程 2021年6月18日8時15分沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室第43頁 共

54、112頁 上式兩邊同除以dxdydzdt，整理得到微分形式的連續(xù)方程。即 0 0 0)( 0 )()()( V dt d z w y v x u z w y v x u t V t z w y v x u t 對于不可壓縮流體，連續(xù)方程變?yōu)?0 x u 0 0 z w y v V dt d 2.3.1 連續(xù)方程連續(xù)方程 2021年6月18日8時15分沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室第44頁 共112頁 結論：流體在運動時，應服從質量守恒定律，這條定理在空氣動力學中的流體在運動時，應服從質量守恒定律，這條定理在空氣動力學中的 數(shù)學表達式稱為連續(xù)方程或質量方程數(shù)學表達式稱為連續(xù)方程或質量方程. 矢

55、量表達形式矢量表達形式 () 0div t 對于定常不可壓流體的極坐標方程對于定常不可壓流體的極坐標方程 另一形式另一形式 () 0 y xz v vvd dtxyz 1 ()0 rz r vvv rrz 2021年6月18日8時15分沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室第45頁 共112頁 根據(jù)散度的定義，有 A dAnV VVdiv )( lim)()( 0 得到高斯公式，有 A dAVndV)()( 不可壓 指的是每個質點的密度在流動過程中保持不變，但是這個流 體質點和那個流體質點的密度可以不同，即流體可以是非均值的，因此不可 壓縮流體的密度并不一定處處都是常數(shù)，例如變密度平行流動。 0 D

56、t D 2.3.1 連續(xù)方程連續(xù)方程 2021年6月18日8時15分沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室第46頁 共112頁 而均值流體的定義是0，即密度在空間上處處均勻，但不能保證隨時間 不變化。 只有既為不可壓縮流體，同時又是均值時，流體的密度才處處都是同一個常 數(shù)；由不可壓條件得到 均值流體條件得到 從而，有 于是=C，即流體密度既不隨時間變化，也不隨位置變化，在整個流場中是 個常數(shù)。 0 dt d 0 )( V tz w y v x u tdt d 0 t 2.3.1 連續(xù)方程連續(xù)方程 2021年6月18日8時15分沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室第47頁 共112頁 2.3.2 流函數(shù)流

57、函數(shù) 函數(shù)函數(shù)(x,y)稱為流函數(shù)稱為流函數(shù). 對于二維定常不可壓縮流動，連續(xù)方程式對于二維定常不可壓縮流動，連續(xù)方程式(2-21)可寫為可寫為 由高等數(shù)學可知式由高等數(shù)學可知式(2-22)表明是某一函數(shù)表明是某一函數(shù)的全微分，即的全微分，即 又又 故有故有 0 y x v v xy xy dv dyv dx ddydx yx , xy vv yx (2-22) (2-23) (2-24) (2-25) 2021年6月18日8時15分沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室第48頁 共112頁 流函數(shù)與速度位關系流函數(shù)與速度位關系 2021年6月18日8時15分沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室第49頁

58、 共112頁 例例2-5 2-5 已知一二維均勻直線流動已知一二維均勻直線流動,v,vx x=A,v=A,vy y=B=B。A,BA,B為常數(shù)，求流場的流為常數(shù)，求流場的流 函數(shù)及速度位函數(shù)及速度位. . 解解 由式由式( 2-25 )得得, xy vAvB yx 積分后得積分后得 由解的同一性可知由解的同一性可知 12 ( )( )Ayf xBxfy 且 12 ( ),( )f xBx fyAy 即即ByAx B A dx dy p ）（ B A dx dy p ）（ 等位線斜率為等位線斜率為 而而 1 ps dx dy dx dy ）（）（ 于是可知均勻直線流動中的流線于是可知均勻直線流動

59、中的流線 族與等位線族是正交的，見右圖族與等位線族是正交的，見右圖 直勻流場中的流線與等位線直勻流場中的流線與等位線 2021年6月18日8時15分沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室第50頁 共112頁 例例2-6 2-6 設二維不可壓流動中設二維不可壓流動中 v vr rf(rf(r), v), v =0 =0。求滿足質量守恒定律。求滿足質量守恒定律 所要求的所要求的f(rf(r) )的表達式及流函數(shù)和速度位。的表達式及流函數(shù)和速度位。 解解 由二維不可壓流動的質量守恒定律的數(shù)學表達式由二維不可壓流動的質量守恒定律的數(shù)學表達式0div 可得可得 0 1 r r v rdr dv 積分后得積分后

60、得vr的解為：的解為： r k vr 式中式中k為常數(shù)為常數(shù) 極坐標系中極坐標系中 r v r vr , 1 )( 1 rf r k )( 2 f 積分后得積分后得 點源流動的流線與等位線點源流動的流線與等位線 由解的同一性知由解的同一性知 r k frf)(, 0)( 21 最后得最后得 r k 這里的常數(shù)這里的常數(shù)k由通過半徑為由通過半徑為r的圓周的體積流量的圓周的體積流量求出，即求出，即 2 ,22 kkv 流線在原點處相交且原點處速度為無窮大，其在原點處流動為奇點，這類流流線在原點處相交且原點處速度為無窮大，其在原點處流動為奇點，這類流 動稱為點源（或匯）流動，見右圖動稱為點源（或匯）