2018年高考數(shù)學12 函數(shù)模型及其應用教學案 文

1、學必求其心得，業(yè)必貴于專精專題12 函數(shù)模型及其應用1。綜合考查函數(shù)的性質;2.考查一次函數(shù)、二次函數(shù)、分段函數(shù)及基本初等函數(shù)的建模問題;3.考查函數(shù)的最值 1幾類函數(shù)模型及其增長差異(1)幾類函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)【解析】式一次函數(shù)模型f(x）axb (a、b為常數(shù)，a0）反比例函數(shù)模型f（x)b (k，b為常數(shù)且k0）二次函數(shù)模型f（x)ax2bxc(a，b，c為常數(shù)，a0)指數(shù)函數(shù)模型f(x）baxc(a，b，c為常數(shù)，b0，a0且a1)對數(shù)函數(shù)模型f（x)blogaxc(a,b，c為常數(shù)，b0，a0且a1）冪函數(shù)模型f(x)axnb （a，b為常數(shù)，a0)（2）三種函數(shù)模型的性質yax（

2、a1)ylogax(a1）yxn(n0）在(0，)上的增減性單調遞增單調遞增單調遞增增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行隨n值變化而各有不同值的比較存在一個x0，當xx0時,有l(wèi)ogaxxn0),小王騎自行車以勻速從甲地到乙地用了20分鐘，在乙地休息10分鐘后，他又以勻速從乙地返回到甲地用了30分鐘，則小王從出發(fā)到返回原地所經過的路程y和其所用的時間x的函數(shù)圖象為（）(2）物價上漲是當前的主要話題,特別是菜價，我國某部門為盡快實現(xiàn)穩(wěn)定菜價，提出四種綠色運輸方案據預測，這四種方案均能在規(guī)定的時間t內完成預測的運輸任務q0,各種方案

3、的運輸總量q與時間t的函數(shù)關系如圖所示,在這四種方案中,運輸效率（單位時間的運輸量）逐步提高的是（）【答案】（1)d(2）b【感悟提升】判斷函數(shù)圖象與實際問題變化過程相吻合的兩種方法（1)構建函數(shù)模型法：當根據題意易構建函數(shù)模型時,先建立函數(shù)模型，再結合模型選圖象（2）驗證法：當根據題意不易建立函數(shù)模型時,則根據實際問題中兩變量的變化快慢等特點，結合圖象的變化趨勢，驗證是否吻合，從中排除不符合實際的情況，選擇出符合實際情況的答案【變式探究】已知正方形abcd的邊長為4，動點p從b點開始沿折線bcda向a點運動設點p運動的路程為x，abp的面積為s,則函數(shù)sf（x）的圖象是(）【答案】d【解析】

4、依題意知當0x4時，f（x）2x；當4x8時，f(x）8;當8x12時，f（x)242x，觀察四個選項知，選d.高頻考點二已知函數(shù)模型的實際問題例2、候鳥每年都要隨季節(jié)的變化而進行大規(guī)模的遷徙,研究某種鳥類的專家發(fā)現(xiàn),該種鳥類的飛行速度v(單位：m/s）與其耗氧量q之間的關系為vablog3（其中a、b是實數(shù))據統(tǒng)計，該種鳥類在靜止的時候其耗氧量為30個單位，而其耗氧量為90個單位時，其飛行速度為1m/s。(1）求出a、b的值；（2)若這種鳥類為趕路程，飛行的速度不能低于2m/s，則其耗氧量至少要多少個單位？解（1)由題意可知，當這種鳥類靜止時，它的速度為0m/s，此時耗氧量為30個單位,故有

5、ablog30，即ab0；當耗氧量為90個單位時，速度為1m/s，故ablog31，整理得a2b1.【感悟提升】求解所給函數(shù)模型解決實際問題的關注點(1)認清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù)(2)根據已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù)(3)利用該模型求解實際問題【變式探究】某般空公司規(guī)定,乘飛機所攜帶行李的質量（kg)與其運費（元)由如圖的一次函數(shù)圖象確定，那么乘客可免費攜帶行李的質量最大為kg?！敬鸢浮?9【解析】由圖象可求得一次函數(shù)的解析式為y30x570，令30x5700,解得x19。高頻考點三構造函數(shù)模型的實際問題例3、某汽車銷售公司在a,b兩地銷售同一種品牌的汽車，在a地的銷

6、售利潤（單位：萬元）為y14.1x0。1x2，在b地的銷售利潤(單位：萬元)為y22x，其中x為銷售量（單位：輛），若該公司在兩地共銷售16輛該種品牌的汽車,則能獲得的最大利潤是()a10.5萬元b11萬元c43萬元d43.025萬元【答案】c【解析】設公司在a地銷售該品牌的汽車x輛，則在b地銷售該品牌的汽車(16x）輛,所以可得利潤y4.1x0.1x22（16x）0.1x22。1x320。1(x）20.132.因為x0，16，且xn，所以當x10或11時，總利潤取得最大值43萬元【變式探究】（1)世界人口在過去40年翻了一番，則每年人口平均增長率約是(參考數(shù)據lg20。3010，100。00

7、751.017)(）a1。5%b1.6c1。7d1。8(2)某位股民購進某支股票，在接下來的交易時間內，他的這支股票先經歷了n次漲停(每次上漲10),又經歷了n次跌停（每次下跌10%），則該股民這支股票的盈虧情況（不考慮其他費用)為（）a略有盈利b略有虧損c沒有盈利也沒有虧損d無法判斷盈虧情況【答案】(1)c(2）b【舉一反三】某市出租車收費標準如下:起步價為8元，起步里程為3km（不超過3km按起步價付費);超過3km但不超過8km時，超過部分按每千米2.15元收費；超過8km時，超過部分按每千米2.85元收費，另每次乘坐需付燃油附加費1元現(xiàn)某人乘坐一次出租車付費22.6元,則此次出租車行駛

8、了km.【答案】9【解析】設出租車行駛xkm時，付費y元,則y由y22。6，解得x9.思維升華構建數(shù)學模型解決實際問題,要正確理解題意，分清條件和結論，理順數(shù)量關系,將文字語言轉化成數(shù)學語言，建立適當?shù)暮瘮?shù)模型，求解過程中不要忽略實際問題對變量的限制【變式探究】 (1）一個人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/ml,在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小時25的速度減少,為了保障交通安全，某地根據道路交通安全法規(guī)定：駕駛員血液中的酒精含量不得超過0.09 mg/ml，那么,此人至少經過小時才能開車（精確到1小時）（2)某企業(yè)投入100萬元購入一套設備，該設備每年的運轉費用是0.5

9、萬元,此外每年都要花費一定的維護費，第一年的維護費為2萬元,由于設備老化，以后每年的維護費都比上一年增加2萬元為使該設備年平均費用最低,該企業(yè)需要更新設備的年數(shù)為(）a10b11c13d21【答案】（1)5（2)a高頻考點四、函數(shù)應用問題例4、已知美國某手機品牌公司生產某款手機的年固定成本為40萬美元,每生產1萬部還需另投入16萬美元設公司一年內共生產該款手機x萬部并全部銷售完，每萬部的銷售收入為r（x）萬美元，且r(x）（1)寫出年利潤w（萬美元)關于年產量x（萬部)的函數(shù)【解析】式;（2)當年產量為多少萬部時，公司在該款手機的生產中所獲得的利潤最大？并求出最大利潤解(1)當040時，wxr

10、（x)（16x40）16x7360.所以w當x32時，w取得最大值6104萬元.【特別提醒】(1)此類問題的關鍵是正確理解題意,建立適當?shù)暮瘮?shù)模型(2)分段函數(shù)主要是每一段自變量變化所遵循的規(guī)律不同，可以先將其當作幾個問題，將各段的變化規(guī)律分別找出來,再將其合到一起，要注意各段自變量的范圍，特別是端點值【方法技巧】1認真分析題意，合理選擇數(shù)學模型是解決應用問題的基礎2實際問題中往往解決一些最值問題，我們可以利用二次函數(shù)的最值、函數(shù)的單調性、基本不等式等求得最值3解函數(shù)應用題的五個步驟:審題；建模；解模;還原；反思高頻考點五、構建函數(shù)模型解決實際問題 例5、(1）（2016四川卷)某公司為激勵創(chuàng)

11、新，計劃逐年加大研發(fā)資金投入,若該公司2015年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎上,每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是（參考數(shù)據:lg 1.120.05，lg 1。30.11,lg 20.30)（)a2018年 b2019年 c2020年 d2021年(2）為了降低能源損耗,某體育館的外墻需要建造隔熱層，體育館要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元該建筑物每年的能源消耗費用c（單位：萬元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿足關系:c(x)（0x10，k為常數(shù))，若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元，設f（x）為隔熱層

12、建造費用與20年的能源消耗費用之和求k的值及f（x）的表達式；隔熱層修建多厚時,總費用f（x）達到最??？并求最小值【答案】b（2)解當x0時，c8,k40,c（x）(0x10),f(x）6x6x(0x10)由得f(x）2（3x5）10。令3x5t,t5,35，則y2t10，y2,當5t20時，y0，y2t10為減函數(shù);當20t35時，y0，y2t10為增函數(shù)函數(shù)y2t10在t20時取得最小值，此時x5，因此f（x）的最小值為70.隔熱層修建5 cm厚時，總費用f（x)達到最小,最小值為70萬元?！痉椒ㄒ?guī)律】(1）構建函數(shù)模型解決實際問題的常見類型與求解方法：構建二次函數(shù)模型，常用配方法、數(shù)形結

13、合、分類討論思想求解構建分段函數(shù)模型，應用分段函數(shù)分段求解的方法構建f(x)x（a0)模型，常用均值不等式、導數(shù)等知識求解（2)解函數(shù)應用題的程序是:審題；建模；解模；還原【變式探究】 (1)某食品的保鮮時間y（單位：小時)與儲藏溫度x（單位：）滿足函數(shù)關系yekxb（e2。718為自然對數(shù)的底數(shù)，k，b為常數(shù))若該食品在0 的保鮮時間是192小時，在22 的保鮮時間是48小時，則該食品在33 的保鮮時間是_小時(2)某旅游景點預計2017年1月份起前x個月的旅游人數(shù)的和p(x)(單位：萬人）與x的關系近似地滿足p（x)x（x1）（392x)（xn,且x12）已知第x個月的人均消費額q（x)(

14、單位:元）與x的近似關系是q(x)寫出2017年第x個月的旅游人數(shù)f(x)(單位：萬人)與x的函數(shù)關系式；試問2017年第幾個月旅游消費總額最大？最大月旅游消費總額為多少元？【答案】24（2）解當x1時，f（1）p(1)37，當2x12，且xn時,f(x)p(x）p（x1)x（x1)（392x)(x1)x（412x)3x240x,驗證x1也滿足此式，所以f(x)3x240x(xn，且1x12)第x個月旅游消費總額為g(x）即g(x)(）當1x6，且xn時，g（x）18x2370x1 400，令g(x)0，解得x5或x（舍去)當1x5時，g（x）0，當5x6時，g（x）0，當x5時，g(x)ma

15、xg(5)3 125(萬元）()當7x12，且xn時,g(x）480x6 400是減函數(shù),當x7時,g（x)maxg（7)3 040(萬元）綜上，2017年5月份的旅游消費總額最大,最大旅游消費總額為3 125萬元1(2016浙江卷)設函數(shù)f(x）x33x21，已知a0，且f(x）f(a）(xb）(xa)2，xr,則實數(shù)a_,b_【答案】212.【2016高考上海理數(shù)】已知,函數(shù).（1）當時,解不等式；（2)若關于的方程的解集中恰好有一個元素，求的取值范圍;(3）設，若對任意，函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差不超過1，求的取值范圍?！敬鸢浮浚?）（2)（3）【解析】（1）由，得，解得(2）,，

16、綜上，的取值范圍為（3）當時,，,所以在上單調遞減函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值分別為,即，對任意成立因為，所以函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，時,有最小值,由，得故的取值范圍為3.【2016年高考北京理數(shù)】設函數(shù)。若，則的最大值為_;若無最大值，則實數(shù)的取值范圍是_。【答案】，。 【2015高考天津，理8】已知函數(shù) 函數(shù) ，其中,若函數(shù) 恰有4個零點，則的取值范圍是（ )(a） （b） （c） （d）【答案】d ,所以恰有4個零點等價于方程有4個不同的解,即函數(shù)與函數(shù)的圖象的4個公共點，由圖象可知.【2015高考浙江,理10】已知函數(shù)，則 ，的最小值是 【答案】，?！窘馕觥?，當時，當且僅當時，等號成立，

17、當時，,當且僅當時，等號成立，故最小值為.【2015高考四川，理13】某食品的保鮮時間y（單位：小時）與儲存溫度x（單位:）滿足函數(shù)關系（為自然對數(shù)的底數(shù)，k、b為常數(shù)）.若該食品在0的保鮮時間設計192小時，在22的保鮮時間是48小時，則該食品在33的保鮮時間是 小時?！敬鸢浮?4【解析】由題意得:，所以時，?！?015高考上海,理10】設為,的反函數(shù)，則的最大值為 【答案】4【2015高考北京,理14】設函數(shù)若,則的最小值為;若恰有2個零點，則實數(shù)的取值范圍是【答案】(1）1，(2)或?！窘馕觥繒r,，函數(shù)在上為增函數(shù)，函數(shù)值大于1，在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，當時，取得最小值為1；（2)若函數(shù)

18、在時與軸有一個交點，則，并且當時，則，函數(shù)與軸有一個交點，所以；若函數(shù)與軸有無交點,則函數(shù)與軸有兩個交點，當時與軸有無交點，在與軸有無交點，不合題意；當時，與軸有兩個交點，和，由于，兩交點橫坐標均滿足；綜上所述的取值范圍或.【2015高考浙江，理18】已知函數(shù),記是在區(qū)間上的最大值.（1） 證明:當時,；（2）當，滿足,求的最大值?！敬鸢浮浚?）詳見【解析】；（2）3.【解析】(1)由，得對稱軸為直線，由，得 在上的最大值為，即,的最大值為3。（2014湖南卷）某市生產總值連續(xù)兩年持續(xù)增加，第一年的增長率為p，第二年的增長率為q，則該市這兩年生產總值的年平均增長率為（）a。 b。c. d.1【

19、答案】d【解析】設年平均增長率為x，則有（1p)(1q)（1x)2，解得x1.（2014陜西卷)如圖1.2，某飛行器在4千米高空水平飛行,從距著陸點a的水平距離10千米處開始下降，已知下降飛行軌跡為某三次函數(shù)圖像的一部分，則該函數(shù)的【解析】式為 （)圖1。2ayx3x byx3xcyx3x dyx3x【答案】a【解析】設該三次函數(shù)的【解析】式為yax3bx2cxd.因為函數(shù)的圖像經過點(0，0),所以d0，所以yax3bx2cx。又函數(shù)過點(5，2)，（5，2），則該函數(shù)是奇函數(shù)，故b0,所以yax3cx，代入點(5，2)得125a5c2。又由該函數(shù)的圖像在點（5，2）處的切線平行于x軸,y3

20、ax2c，得當x5時，y75ac0。聯(lián)立解得故該三次函數(shù)的【解析】式為yx3x。(2013陜西卷） 設x表示不大于x的最大整數(shù),則對任意實數(shù)x，y，有（）axx b2x2xcxyxy dxyxy 【答案】d（2013重慶卷)若abc，則函數(shù)f（x)（xa）（xb）（xb)（xc)（xc）(xa）的兩個零點分別位于區(qū)間（)a（a，b)和(b，c)內 b(,a）和(a,b)內c（b，c）和（c，)內 d(，a）和(c，)內【答案】a【解析】因為f(a）(ab)（ac）0，f(b）(bc)(ba）0，f(c）(ca)(cb）0，所以f(a)f(b)0，f（b）f(c）0，所以函數(shù)的兩個零點分別在（a

21、，b)和(b,c）內，故選a。1某家具的標價為132元,若降價以九折出售（即優(yōu)惠10），仍可獲利10%(相對進貨價)，則該家具的進貨價是（)a118元 b105元c106元 d108元【解析】：選d設進貨價為a元，由題意知132(110)a10a，解得a108。2某商店已按每件80元的成本購進某商品1 000件，根據市場預測，銷售價為每件100元時可全部售完，定價每提高1元時銷售量就減少5件，若要獲得最大利潤，銷售價應定為每件（）a100元 b110元c150元 d190元【解析】:選d設售價提高x元,利潤為y元，則依題意得y（1 0005x）(20x)5x2900x20 0005（x90）2

22、60 500.故當x90時，ymax60 500，此時售價為每件190元3設某公司原有員工100人從事產品a的生產，平均每人每年創(chuàng)造產值t萬元（t為正常數(shù))公司決定從原有員工中分流x（0x100，xn）人去進行新開發(fā)的產品b的生產分流后，繼續(xù)從事產品a生產的員工平均每人每年創(chuàng)造產值在原有的基礎上增長了1.2x。若要保證產品a的年產值不減少，則最多能分流的人數(shù)是()a15 b16c17 d184世界人口在過去40年內翻了一番，則每年人口平均增長率是(參考數(shù)據lg 20。301 0，100.007 51。017）()a1。5 b1.6c1。7% d1.8%【解析】:選c設每年人口平均增長率為x，則

23、(1x）402，兩邊取以10為底的對數(shù)，則40lg(1x)lg 2，所以lg(1x)0.007 5,所以100.007 51x，得1x1.017，所以x1.7。5將甲桶中的a升水緩慢注入空桶乙中，t分鐘后甲桶中剩余的水符合指數(shù)衰減曲線yaent.假設過5分鐘后甲桶和乙桶的水量相等，若再過m分鐘甲桶中的水只有，則m的值為(）a7 b8c9 d10【解析】:選d根據題意知e5n，令aaent，即ent，因為e5n，故e15n，比較知t15，m15510.6將甲桶中的a l水緩慢注入空桶乙中，t min后甲桶中剩余的水量符合指數(shù)衰減曲線yaent.假設過5 min后甲桶和乙桶的水量相等，若再過m m

24、in甲桶中的水只有 l，則m的值為(）a5 b8 c9 d10【解析】5 min后甲桶和乙桶的水量相等，函數(shù)yf(t）aent滿足f(5)ae5na，可得nln，f（t）a,因此,當k min后甲桶中的水只有 l時，f（k)aa，即，k10，由題可知mk55.【答案】a7某化工廠生產一種溶液，按市場要求雜質含量不超過0.1，若初時含雜質2,每過濾一次可使雜質含量減少，至少應過濾_次才能達到市場要求（已知lg 20。301 0,lg 30。477 1)【答案】88某商家一月份至五月份累計銷售額達3 860萬元，預測六月份銷售額為500萬元，七月份銷售額比六月份遞增x%，八月份銷售額比七月份遞增x，九、十月份銷售總額與七、八月份銷售總額相等若一月份至十月份銷售總額至少達7 000萬元，則x的最小值是_【解析】：由題意知七月份的銷售額為500（1x)，八月份的銷售額為500(1x%）2，則一月份到十月份的銷售總額是3 8605002500（1x）