七年級(jí)三角形知識(shí)點(diǎn)

1、七年級(jí)三角形知識(shí)點(diǎn)三角形知識(shí)點(diǎn)總結(jié)一、 基礎(chǔ)知識(shí)1、三角形的定義：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接組成的圖形叫做三角形.（三角形有三條邊，三個(gè)內(nèi)角，三個(gè)頂點(diǎn).組成三角形的線段叫做三角形的邊;相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)角;相鄰兩邊的公共端點(diǎn)是三角形的頂點(diǎn)）2、三角形的表示 三角形ABC用符號(hào)表示為ABC，三角形ABC的邊AB可用邊AB所對(duì)的角C的小寫字母c表示，AC可用b表示，BC可用a表示.三個(gè)頂點(diǎn)用大寫字母A,B,C來(lái)表示。注意：（1）三條線段要不在同一直線上，且首尾順次相接；（2）三角形是一個(gè)封閉的圖形；（3）ABC是三角形ABC的符號(hào)標(biāo)記，單獨(dú)的沒有意義3、三角形的分類：（1

2、）按邊分類：等腰三角形、等邊三角形、不等邊三角形（2）按角分類：銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形三角形中線知識(shí)點(diǎn)定義：三角形的中線：三角形中，連結(jié)一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊中點(diǎn)的線段性質(zhì)：性質(zhì)1：三角形的中線是線段；性質(zhì)2：三角形三條中線全在三角形的內(nèi)部且交于三角形內(nèi)部一點(diǎn)（重心）性質(zhì)3：直角三角形斜邊上中線長(zhǎng)度是斜邊一半。如果三角形一邊中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形；性質(zhì)4：中線把三角形分成兩個(gè)面積相等的三角形性質(zhì)5：三角形三條中線能將三角形分成面積相等的六部分；性質(zhì)6：重心定理：三角形重心到一個(gè)頂點(diǎn)的距離等于它到對(duì)邊中點(diǎn)距離的2倍；性質(zhì)7：重心和三頂點(diǎn)的連線所構(gòu)成的三個(gè)三角形面積相

3、等；題型：1. 三角形的下列線段中，能將三角形的面積分成相等兩部分的是( ) A: 中線 B: 角平分線 C: 高 D: 中位線 2. 三角形的重心是三角形三條（）的交點(diǎn)。 A: 中線 B: 高 C: 角平分線 D: 垂直平分線 3. 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的_ 4. 如圖，AD是ABC的邊BC上的中線，BE是ABD的邊AD上的中線，若ABC的面積是16，求ABE的面積5. 如圖，AD是ABC的中線，CE是ACD的中線，DF是CDE的中線，如果DEF的面積是2，那么ABC的面積為（ ）6. 一定在ABC內(nèi)部的線段是（） A: 銳角三角形的三條高、三條角平分線、三條中線 B: 鈍角三角形

4、的三條高、三條中線、一條角平分線 C: 任意三角形的一條中線、二條角平分線、三條高 D: 直角三角形的三條高、三條角平分線、三條中線 7. 如圖，ABC的面積為40，AD為ABC的中線，BD=5，BE為ABD的中線， EFBC，求點(diǎn)E到BC邊的距離8. 如圖，CD是RtABC斜邊AB上的中線，CD=1006，則AB=_ 直角三角形斜邊上中線長(zhǎng)度是斜邊一半。n 重心是三條中線的三等分點(diǎn),到頂點(diǎn)距離為到對(duì)邊中點(diǎn)距離的2倍.（2）三角形的角平分線：三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與它的對(duì)邊相交，這個(gè)角頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段如圖：（1）AD是ABC的BAC的平分線.（2）1=2= BAC.注意：三角形的角平分線是

5、線段；三角形三條角平分線全在三角形的內(nèi)部且交于三角形內(nèi)部一點(diǎn)（內(nèi)心）角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等（3）三角形的高：從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在的直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段如圖：AD是ABC的BC上的高線；ADBC于D；ADB=ADC=90.注意：三角形的高是線段；銳角三角形的三條高的交點(diǎn)在三角形內(nèi)部；鈍角三角形的三條高的交點(diǎn)在三角形的外部：直角三角形的三條高的交點(diǎn)在直角頂點(diǎn)上。三角形三條高所在直線交于一點(diǎn)（垂心）由于三角形有三條高線，所以求三角形的面積的時(shí)候就有三種（因?yàn)楦叩撞灰粯樱?）三角形的中垂線：過(guò)三角形一條邊中點(diǎn)所做的垂直于該條邊的線段 如圖：DE是ABC的邊BC的中垂

6、線；DEBC于D；BD=DC 注意：三角形的中垂線是直線； 三角形的三條中垂線交于一點(diǎn)（外心）小總結(jié)：內(nèi)心：三條角平分線的交點(diǎn),也是三角形內(nèi)切圓的圓心.性質(zhì)：到三邊距離相等.外心：三條中垂線的交點(diǎn),也是三角形外接圓的圓心.性質(zhì)：到三個(gè)頂點(diǎn)距離相等.重心：三條中線的交點(diǎn).性質(zhì)：三條中線的三等分點(diǎn),到頂點(diǎn)距離為到對(duì)邊中點(diǎn)距離的2倍.垂心：三條高所在直線的交點(diǎn).5、三角形的三邊關(guān)系：三角形的任意兩邊之和大于第三邊;任意兩邊之差小于第三邊.注意：（1）三邊關(guān)系的依據(jù)是：兩點(diǎn)之間線段最短；（2）圍成三角形的條件是任意兩邊之和大于第三邊6、三角形的角與角之間的關(guān)系：(1)三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180;(2

7、)三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；(3)三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角.(4)直角三角形的兩個(gè)銳角互余.7、三角形的內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和等于180推論：直角三角形的兩個(gè)銳角互余。8、三角形的外角的定義：三角形一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角，叫做三角形的外角.注意：每個(gè)頂點(diǎn)處都有兩個(gè)外角，但這兩個(gè)外角是對(duì)頂角.（所以一般我們只研究一個(gè)）如:ACD、BCE都是ABC的外角，且ACD=BCE.所以說(shuō)一個(gè)三角形有六個(gè)外角，但我們每個(gè)一個(gè)頂點(diǎn)處只選一個(gè)外角，這樣三角形的外角就只有三個(gè)了.三角形外角的性質(zhì)：（1） 三角形的一個(gè)外角等于它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和（2）三角形的一個(gè)

8、外角大于與它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角9、三角形的穩(wěn)定性：三角形的三邊長(zhǎng)確定，則三角形的形狀就唯一確定，這叫做三角形的穩(wěn)定性10、多邊形：在同一平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫多邊形。（1）多邊形的對(duì)角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線。（2）正多邊形：各邊相等，各角都相等的多邊形叫做正多邊形（3）多邊形的內(nèi)角和為（n-2）*180度；多邊形的外角和為360度二、等腰三角形1、等腰三角形的概念定義：有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的兩邊叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰與底邊的夾角叫做底角2、三角形的性質(zhì) （1）等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱為“

9、等邊對(duì)等角”） （2）等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高線、底邊上的中線互相集合（簡(jiǎn)稱為“三線合一”）3、等腰三角形的判定：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)稱為“等角對(duì)等邊”）注意：要正確區(qū)分等腰三角形的性質(zhì)和判定4、等邊三角形定義：三邊都相等的三角形叫做等邊三角形注意：等邊三角形是等腰三角形的特殊情況，它是底邊與腰相等的等腰三角形5、等邊三角形的性質(zhì)和判定性質(zhì)：（1）等邊三角形的三條邊都相等（2） 等邊三角形的每一個(gè)角都等于60度判定：（1）各邊或角都相等的三角形是等邊三角形（2）有一個(gè)角等于60度的等腰三角形是等邊三角形相關(guān)規(guī)律：（1）邊長(zhǎng)為a的等邊三角形面積等于

10、（2）等邊三角形的內(nèi)心、外心、垂心和重心重合于一點(diǎn)三、直角三角形1、定義：有一個(gè)角為直角的三角形稱為直角三角形。在直角三角形中，直角相鄰的兩條邊稱為直角邊。直角所對(duì)的邊稱為斜邊。直角三角形直角所對(duì)的邊也叫作“弦”。若兩條直角邊不一樣長(zhǎng)，短的那條邊叫作“勾”，長(zhǎng)的那條邊叫作“股”。2、分類：直角三角形如圖所示：分為兩種情況，有普通的直角三角形，還有等腰直角三角形（屬于特殊情況)3、判定定理等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質(zhì)：穩(wěn)定性，兩直角邊相等 直角邊夾亦直角銳角45，斜邊上中線角平分線垂線三線合一，等腰直角三角形斜邊上的高為外接圓的半徑R。直角三角形是一種特殊的三角形4、特

11、殊性質(zhì)它除了具有一般三角形的性質(zhì)外，具有一些特殊的性質(zhì)：性質(zhì)1:直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。如圖，BAC=90，則AB+AC=BC（勾股定理)性質(zhì)2:在直角三角形中，兩個(gè)銳角互余。如圖，若BAC=90，則B+C=90性質(zhì)3：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半（即直角三角形的外心位于斜邊的中點(diǎn)，外接圓半徑R=C/2）。該性質(zhì)稱為直角三角形斜邊中線定理。性質(zhì)4:直角三角形的兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積。性質(zhì)5:如圖，RtABC中，BAC=90，AD是斜邊BC上的高，則有射影定理如下：射影定理圖（1）（AD)=BDDC。（2）（AB)=BDBC。（3）（AC)=CDB

12、C。性質(zhì)6:在直角三角形中，如果有一個(gè)銳角等于30，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。在直角三角形中，如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的銳角等于30。證明：先證明定理的前半部分，RtABC中，ACB=90，A=30，那么BC=AB/2A=30B=60（直角三角形兩銳角互余）取AB中點(diǎn)D，連接CD，根據(jù)直角三角形斜邊中線定理可知CD=BDBCD是等邊三角形（有一個(gè)角是60的等腰三角形是等邊三角形）BC=BD=AB/2再證明定理的后半部分，RtABC中，ACB=90，BC=AB/2，那么A=30取AB中點(diǎn)D，連接CD,那么CD=BD=AB/2（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

13、）又BC=AB/2BC=CD=BDB=60 A=30性質(zhì)7:如圖，在RtABC中BAC=90，AD是斜邊上的高，則：證明：SABC=1/2*AB*AC=1/2*AD*BC兩邊乘以2，再平方得AB*AC=AD*BC運(yùn)用勾股定理，再兩邊除以,最終化簡(jiǎn)即得性質(zhì)8:直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似。判定方法：判定1：有一個(gè)角為90的三角形是直角三角形。判定2：若，則以a、b、c為邊的三角形是以c為斜邊的直角三角形（勾股定理的逆定理）。判定3：若一個(gè)三角形30內(nèi)角所對(duì)的邊是某一邊的一半，則這個(gè)三角形是以這條長(zhǎng)邊為斜邊的直角三角形。判定4：兩個(gè)銳角互為余角（兩角相加等于90）的三角

14、形是直角三角形。判定5：若兩直線相交且它們的斜率之積互為負(fù)倒數(shù)，則兩直線互相垂直。那么這個(gè)三角形為直角三角形。判定6：若在一個(gè)三角形中一邊上的中線等于其所在邊的一半，那么這個(gè)三角形為直角三角形。參考直角三角形斜邊中線定理判定7：一個(gè)三角形30角所對(duì)的邊等于某一鄰邊的一半，則這個(gè)三角形為直角三角形。四、勾股定理勾股定理內(nèi)容：如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么 a +b =c ； 即直角三角形兩直角邊長(zhǎng)的平方和等于斜邊長(zhǎng)的平方。如果三角形的三條邊a，b，c滿足a +b =c ，那么這個(gè)三角形是直角三角形。（稱勾股定理的逆定理）五、全等三角形能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形，而

15、該兩個(gè)三角形的三條邊及三個(gè)角都對(duì)應(yīng)相等。全等三角形指兩個(gè)全等的三角形，它們的三條邊及三個(gè)角都對(duì)應(yīng)相等。1、性質(zhì)（1）全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等。（2）全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等。（3）能夠完全重合的頂點(diǎn)叫對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)。（4）全等三角形的對(duì)應(yīng)邊上的高對(duì)應(yīng)相等。（5）全等三角形的對(duì)應(yīng)角的角平分線相等。（6）全等三角形的對(duì)應(yīng)邊上的中線相等。（7）全等三角形面積和周長(zhǎng)相等。（8）全等三角形的對(duì)應(yīng)角的三角函數(shù)值相等。2、全等三角形的判定 SSS（邊邊邊）：三邊對(duì)應(yīng)相等的三角形是全等三角形。 SAS（邊角邊）：兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等的三角形是全等三角形。 ASA（角邊角）：兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等的三角形全等 AAS（角角

16、邊）：兩角及其一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的三角形全等。 HL(斜邊、直角邊)）：在一對(duì)直角三角形中，斜邊及另一條直角邊相等。下列兩種方法不能驗(yàn)證為全等三角形： AAA（角角角）：三角相等，不能證全等，但能證相似三角形 SSA（邊邊角）：其中一角相等，且非夾角的兩邊相等。六、相似三角形三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等、三條邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形。1、預(yù)備定理平行于三角形一邊的直線截其它兩邊所在的直線，截得的三角形與原三角形相似。（這是相似三角形判定的定理，是以下判定方法證明的基礎(chǔ)。這個(gè)引理的證明方法需要平行線與線段成比例的證明）2、判定定理 常用的判定定理有以下6條：判定定理1：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另

17、一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似。（簡(jiǎn)敘為：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似。（AA）判定定理2：如果兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊成比例，并且對(duì)應(yīng)的夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似。（簡(jiǎn)敘為：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩個(gè)三角形相似。（SAS）判定定理3：如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊成比例，那么這兩個(gè)三角形相似。（簡(jiǎn)敘為：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)三角形相似。（SSS）判定定理4：兩個(gè)三角形三邊對(duì)應(yīng)平行，則兩個(gè)三角形相似。（簡(jiǎn)敘為：三邊對(duì)應(yīng)平行，兩個(gè)三角形相似。）判定定理5：如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似。（簡(jiǎn)敘為：斜邊

18、與直角邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)直角三角形相似。）（HL）判定定理6：如果兩個(gè)三角形全等，那么這兩個(gè)三角形相似（相似比為1：1）（簡(jiǎn)敘為：全等三角形相似）。相似的判定定理與全等三角形基本相同，因?yàn)槿热切问翘厥獾南嗨迫切巍?、一定相似符合下面的情況中的任何一種的兩個(gè)（或多個(gè)）三角形一定相似：（1）兩個(gè)全等的三角形全等三角形是特殊的相似三角形，相似比為1：1。補(bǔ)充：如果ABCABC，AB/AB=AC/AC=BC/BC=K當(dāng)K=1時(shí)，這兩個(gè)三角形全等。（K為它們的比值）（2）任意一個(gè)頂角或底角相等的兩個(gè)等腰三角形兩個(gè)等腰三角形，如果其中的任意一個(gè)頂角或底角相等，那么這兩個(gè)等腰三角形相似。（3）兩個(gè)等邊三角形兩個(gè)等邊三角形，三個(gè)內(nèi)角都是60度，且邊邊相等，所以相似。（4）直角三角形被斜邊上的高分