概率論試題(含解析)

1、一、單項選擇題(本大題共 5小題，每小題3分，共15分)。1、事件 A、B 獨立，且 P(A B) 0.8,P(A)0.4，貝U P(B | A)等于(A) 0;(B) 1/3 ;(C) 2/3 ;( D 2/5.答：(B )2、設f x是連續(xù)型隨機變量X的概率密度函數(shù)，則下列選項正確的是(A) f x 連續(xù)；(B) P(X a) f(a), a R;(C) f x的值域為0,1 ;(D) f x非負。答：(D )3、隨機變量X N( , 2)，則概率PX 1隨著 的變大而(A)變?。?B)變大；(C)不變；(D)無法確定其變化趨勢。答：(A )4、 已知連續(xù)型隨機變量 X、丫相互獨立，且具有

2、相同的概率密度函數(shù)f(x)，設隨機變 量Z min X ,Y，則Z的概率密度函數(shù)為2Z2Z(A)f(z) ；(B) 2 f(u)duf(z) ； (C) 1 1 f(z) ；(D) 2(1 f(u)du)f (z).答：(D )5、設X1,X2,Xm+1,|,Xn是來自正態(tài)總體N(0,1)的容量為n的簡單樣本，則統(tǒng)計m2(n m) X,量 宀 服從的分布是m X2i m 1(A) F (n m, m) (B) F(n m 1,m 1)(C) F (m, n m)(D) F(m 1,n m 1)答：(C )二、填空題(本大題共5小題，每小題3分，共15分)。2&某人投籃，每次命中的概率為，現(xiàn)獨立

3、投籃3次，則至少命中1次的概率為2627 .3(x 1)7、已知連續(xù)型隨機變量X的概率密度函數(shù)為f(x) Ae 2，x 1，貝q常數(shù)A=120, 其它8、 二維隨機變量(X,Y)的分布函數(shù)為F(x,y) (1 2 X)(1 3 V), x腐0，則概率0,其它P(Y 1) = 239、已知隨機變量 X、丫的方差分別為 DX 2,DY 1，且協(xié)方差Cov(X,Y) 0.6，則 D(X Y)=1.8.10、 某車間生產(chǎn)滾珠，從長期實踐中知道，滾珠直徑X (單位：cm)服從正態(tài)分布N( ,0.32)，從某天生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取9個產(chǎn)品，測其直徑，得樣本均值x =1.12，貝U的置信度為0.95的置信區(qū)

4、間為(0.924,1.316).(已知 Zo.0251.96 ， Z0.051.65 ， to.o25(8)2.3060， 10.05(8)1.8595 )三、解答題(本大題共6小題，每小題10分，共60分)。11、玻璃杯成箱出售，每箱20只，設每箱含0,1,2只殘品的概率分別為0.8, 0.1,0.1.顧客購買時，售貨員隨意取一箱，而顧客隨意查看四只，若無殘品，則買下，否 貝退回。現(xiàn)售貨員隨意取一箱玻璃杯，求顧客買下的概率。(結(jié)果保留3個有效數(shù)字)解：設B表示售貨員隨意取一箱玻璃杯，顧客買下；Ai表示取到的一箱中含有i個殘品, i 0,1,2，則所求概率為2(5)P(B) P(B|A)P(A

5、)i 0(9)0.8 1 0.1 19 18 17 16 0.1 18 17 16 1520 19 18 1720 19 18 170.94312、已知連續(xù)型隨機變量X的概率密度函數(shù)為2(x2-),0 x 13，0,(10)f(x)其它(1)求概率P(0 X11/2) ；(2)求 E(K解：(1)由題意122 xP(0 X 12)0 2(x2 -)dx3(4)16(2)由隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望的性質(zhì) 111f(x)dx 2(x )dx x035. 30,13、已知連續(xù)型隨機變量 X的分布函數(shù)為F(x) Aarcsin x,1,(5)(9)(10)(1)求常數(shù)A；(2)求P(1/2 X .3/2

6、) ；(3)求X的概率密度函數(shù)f(x). 解：(1)由分布函數(shù)的性質(zhì)F(1 )F(1 ) Aarcsi n1 1因此可得 A 2.(2)由分布函數(shù)的性質(zhì)P(1/2 X .3/2) FC- 3/2) F(1/2)2 - 2arcsin( 3/2)arcsin(1/2) 1. 3.(1)(3)(5)(7)2(10)(3)由密度函數(shù)的定義 f(x)? x 1dx廿宀0,其它14、已知二維連續(xù)型隨機變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為0 x y其它(1)(2)解：求概率P(X Y 1)；分別求出(X,Y)關(guān)于X、丫的邊緣密度函數(shù)fx(x)、fY(y),并判斷X,Y是否獨立。 (1)由題意P(X Y 1)

7、f(x, y)dxdy.(2)x y 11 21 x1 20 dx x e ydy0 (e x e( x)dy(4)yf(x,y)0,(5)(1 e12)2(2)由邊緣密度函數(shù)的定義e ydy, x 0xe ,x 0fx (x)x0,其它0,其它e ydx, y 0ye y,y 0fY(y)00,其它0,其它(7 )(9)因為當 x 0, y 0 時，f (x, y) fx(x)fY(y)，故 X、丫 不獨立。(10)15、已知二元離散型隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為別求出(X,Y)關(guān)于X、丫的邊緣分布 分別求出EX,EY,DX,DY, xy(X,Y)關(guān)于X的邊緣密度函數(shù)為0.2 0.8(2

8、)(X ,Y)關(guān)于丫的邊緣密度函數(shù)為1 0 10.1 0.3 0.6(5)(2)由(1)可得EX又 E(XY) ( 1) 10.8, DX0.08 10.16; EY1 0.480.5, DY 0.450.40(8)Cov(X,Y)XY DXDYE(XY)EXEY,DX DY已知總體X服從參數(shù)為p(0p)x1，x 1,2j| I，若 X1,X2, p的最大似然估計量。16、P X單樣本，求參數(shù)x p(1n解：似然函數(shù)為L(p) p(1 p)xi 10.4 0.8 0.500.16 0.45p 1)的幾何分布，即X的分布律為,Xn為來自總體X的一個容量為n的簡(10)(3)n(5)對數(shù)似然函數(shù)

9、InL(p) n In p ( xi n)1 n(1 p)n令 dl nL(p)0dpp的最大似然估計量i 1.(8)(10)四、應用題(本大題共1個小題，5分)。17、一系統(tǒng)由n個獨立起作用的部件組成，每個部件正常工作的概率為0.9，且至少有80%的部件正常工作，系統(tǒng)才能運行。問n至少為多大時，才能使系統(tǒng)可以運行的 概率不低于0.95？(已知 (1.65) 0.95)解：設X表示n個部件中正常工作的部件數(shù)，則 X ”b(n,0.9)(1)近似由中心極限定理 X “ N(0.9n,0.09n)(2)X由題意，要求滿足P( 80%)0.95的最小的n,而nP(X 0.8n)0.95(一n 3) 0.95即n至少為25P(X 0.9 n0.8 n 0.9n.(0.3、n 03. n0.95(1.65) n 3 1.65 n 24.5.(4)(5)五、證明題(本大題共1個小題，5分)。18、已知一母雞所下蛋的個數(shù)X服從參數(shù)為 的泊松分布，即X的分布律為kP(X k) e , k 0,1,2,，而每個雞蛋能夠孵化成小雞的概率為 p.證明：這只母 k!雞后代(小雞)的個數(shù)丫服從參數(shù)為p的