概率論與數(shù)理統(tǒng)計_第二章習(xí)題附答案

1、習(xí)題 2-21. 設(shè) A 為任一隨機(jī)事件 , 且 P( A)= p(0 p1). 定義隨機(jī)變量1,A發(fā)生 ,X0, A不發(fā)生 .寫出隨機(jī)變量X 的分布律 .解X01P1- pp2.已知隨機(jī)變量X 只能取 -1,0,1,2四個值 ,且取這四個值的相應(yīng)概率依次為1 , 3 , 5 , 7 . 試確定常數(shù) c,并計算條件概率P X1 | X0 .2c4c8c16c解 由離散型隨機(jī)變量的分布律的性質(zhì)知，13571,2c4c8c16c37所以 c.161P X18 .所求概率為P X1|X0 =12c7P X05252c8c16c3.設(shè)隨機(jī)變量 X 服從參數(shù)為 2, p 的二項分布 , 隨機(jī)變量 Y服從

2、參數(shù)為 3, p 的二項分布,若PX 15, 求PY1.9解注意 px=k=Cnk pkqn k , 由題設(shè) 5PX 11P X01 q2 ,9故 q1p2從而.3PY 11P Y01 (2)319.3274.在三次獨立的重復(fù)試驗中,每次試驗成功的概率相同, 已知至少成功一次的概率為19求每次試驗成功的概率 .,27解設(shè)每次試驗成功的概率為p,由題意知至少成功一次的概率是19 ，那么一次都沒8 .81 .27有成功的概率是即 (1p)3, 故 p =272735.若 X 服從參數(shù)為的泊松分布 ,且PX1P X3 ,求參數(shù) .解由泊松分布的分布律可知6 .6.一袋中裝有 5只球 ,編號為 1,2

3、,3,4,5.在袋中同時取 3只球 ,以 X 表示取出的 3只球中的最大 ,寫出隨機(jī)變量X的分布律 .解 X 的分布律是X345P13310105習(xí)題 2-31. 設(shè) X 的分布律為X-101P0.150.200.65求分布函數(shù) F( x),并計算概率P X0,P X2, P-2 X1.0,x1,0.15,1 x0,解 (1)F( x)=0 x1,0.35,1,x1.(2) P X0= P X=-1=0.15;(3) P X2= P X=-1+ P X=0+ P X=1=1;(4) P-2 x1= P X=-1+ P X =0=0.35.2. 設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù)為F( x) =A+Ba

4、rctan x -x+ .試求 : (1)常數(shù)A與 ;(2)X落在 (-1, 1的概率 .B解 (1)由于 F(- ) = 0,F(+)=1,可知AB()0112A,B.AB() 122(2) P 1X1F (1)F( 1)1111arctan( 1)(arctan1)(221111 ()1 .242423. 設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù)為0,x0,F( x)=xx 1,021,x1,求 P X -1,P0.3 X0.7,P0 X2.解F (1)0,PX 1P0.3 X0.7= F(0.7)-F0.3-P X=0.7=0.2,0 2=(2)-(0)=1.PXFF習(xí)題 2-41. 選擇題(1)2x

5、,x0, c,則 f ( x) 是某一隨機(jī)變量的概率密度設(shè) f (x)x如果 c=( ),0,0, c.函數(shù) .(A)1 .(B)1.(C) 1.(D)3 .322本題應(yīng)選 (C ).(2)設(shè) X N (0,1), 又常數(shù) c 滿足 P XcP Xc , 則 c 等于 ( ).(A) 1.(B) 0.(C)1 .(D) -1.2本題應(yīng)選 (B).(3)下列函數(shù)中可以作為某一隨機(jī)變量的概率密度的是().cos x, x0, ,1x2,(A)f ( x)(B)f ( x),0,其它 .20,其它 .( x21)x22e,0,e,x0,(C)f ( x)x(D)f (x)20,x0.0,x0.本題應(yīng)

6、選 (D).(6)設(shè)隨機(jī)變量 X 服從正態(tài)分布 N(1, 12) ,Y 服從正態(tài)分布 N(2, 22), 且P X1 1P Y21,則下式中成立的是 ().(A) 1 2.(C)1 2.答案是 (A).(7)設(shè)隨機(jī)變量X 服從正態(tài)分布N(0,1),對給定的正數(shù)(01) ,數(shù) u 滿足P X u , 若PXx, 則 x 等于 ().(A)u .(B)u .(C)u1- .(D)u1.2122答案是 (C).2.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X 服從參數(shù)為的指數(shù)分布 ,要使 P kX2k1成立,應(yīng)當(dāng)怎樣選擇數(shù) k?4解 X 其分布函數(shù)為 F ( x)1e x ,x0,0,由題意可知x0.1P kX2kF (2k

7、)F (k ) (1 e 2 k )(1ek )e ke 2 k .4于是kln 2.3. 設(shè)隨機(jī)變量 X 有概率密度4 x3 ,0 x 1,f (x)0,其它 ,要使 P XaP X a ( 其中 a0) 成立 ,應(yīng)當(dāng)怎樣選擇數(shù) a ?解由條件變形,得 到 1 P X aP X a , 可 知 P Xa 0.5 , 于 是a314x dx0.5 ,因此 a.0424. 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為0,x 0,F( x)x2 ,0x1,1,x 1,求: (1)X的概率密度 ; (2)P0.3X0.7 .2x,0x1,解 (1)由 F ( x)f ( x) 得f ( x)0,其它 .(2)P0

8、.3X0.7F (0.7)F (0.3)0.720.320.4 .5. 設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率密度為2 x,0 x1,f ( x) 0,其它 ,求 PX 1 與 P 1X 2.241111解PX2 2xdxx22;2004111152PX21 2xdxx 1.444166. 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 X具有概率密度函數(shù)x,0x1,f ( x)Ax,1x2,0,其它 .求: (1) 常數(shù) A； (2) X 的分布函數(shù) F( x).解 (1) 由概率密度的性質(zhì)可得121112x)dxx 2 Axx 2 A 1,1xdx( A012021于是A2；(2) 由公式 F ( x)xf ( x)dx 可得（過程簡

9、略）0,x 0,12,0x ,x1F ( x)2x22x1x ,1,221,x2.7. 設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率密度為f ( x)1 ( x1), 0x2,4其它 ,0,對 X獨立觀察 3 次,求至少有2 次的結(jié)果大于1的概率 .21( x1)dx5所以 ,3次觀察中至少有 2 次的結(jié)果大于1 的概率為解 PX 14.18C32 (5)2 (3)C33( 5)3175.8882568. 設(shè) X U(0,5) ,求關(guān)于 x 的方程 4x24Xx20 有實根的概率 .解 若方程有實根 ,則16X 232 0,于是 X22.故方程有實根的概率為P X2 2=1PX221P2X2121dx12.0551

10、0.設(shè)隨機(jī)變量 X N (2,2 ) ,若 P0X40.3 ,求PX0.解因為XN2,所以ZX N(0,1).由條件 P0X40.3可知0.3P0X4P02X24 22)(2() ,于是 220.3,從而(2) 0.65 .( ) 1所以X20222() 1( ) 0.35.PX 0P習(xí)題 2-52.設(shè) X N(1,2), Z2 X3 ,求 Z 所服從的分布及概率密度 .解若隨機(jī)變量XN(,2 ),則 X 的線性函數(shù) YaXb 也服從正態(tài)分布, 即Y aXb N (ab,(a)2 ). 這里1,2 ,所以 Z N (5,8).概率密度為1( x5) 2f ( z)e16 ,x.43. 已知隨機(jī)

11、變量 X 的分布律為X-10137P0.370.050.20.130.25(1)求 Y 2 X的分布律；(2) 求 Y 3 X2 分布律 .解 (1)2 X-5-1123P0.250.130.20.050.37(2)3 X2341252P0.050.570.130.254.已知隨機(jī)變量 X 的概率密度為1，1，fX ( x) 2x ln 2x 4，其它，0且2,試求Y的概率密度 .YX解 FY (y) = P Y yP2X yPX2y1PX2y =1-2 yfX ( x)dx .1,2y 1,于是可得 Y的概率密度為fY ( y)2(2y) ln 20,其它 .5. 設(shè)隨機(jī)變量 X 服從區(qū)間