單位脈沖函數(shù)及傅里葉變換性質(zhì)

1、單位脈沖函數(shù)及傅里葉變換性質(zhì) 1 1 ( )( ), ( )( ) ( )( ), ( )( ) f tFFf t Ff tf tF 若則； 若則 FF FF 1 ( )( )f tF F F ( )( ) i t Ff t edt 傅氏變換 1 ( )( ) 2 i t f tFe d 傅氏逆變換 ( )( )f tF 傅氏變換對 ( )( )f tF稱為原像函數(shù)，稱為像函數(shù)。 復(fù)習(xí)： 單位脈沖函數(shù)及傅里葉變換性質(zhì) 單位脈沖函數(shù)及其傅氏變換單位脈沖函數(shù)及其傅氏變換 Fourier變換與逆變換的性質(zhì)變換與逆變換的性質(zhì) 單位脈沖函數(shù)及傅里葉變換性質(zhì) 在物理和工程技術(shù)中, 常常會碰到單位脈沖 函數(shù)

2、. 因為有許多物理現(xiàn)象具有脈沖性質(zhì), 如在 電學(xué)中, 要研究線性電路受具有脈沖性質(zhì)的電勢 作用后產(chǎn)生的電流; 在力學(xué)中, 要研究機(jī)械系統(tǒng) 受沖擊力作用后的運動情況等. 研究此類問題就 會產(chǎn)生我們要介紹的單位脈沖函數(shù). 單位脈沖函數(shù)及傅里葉變換性質(zhì) 在原來電流為零的電路中在原來電流為零的電路中, 某一瞬時某一瞬時(設(shè)為設(shè)為t=0) 進(jìn)入一單位電量的脈沖進(jìn)入一單位電量的脈沖, 現(xiàn)在要確定電路上的電流現(xiàn)在要確定電路上的電流 i(t). 以以q(t)表示上述電路中的電荷函數(shù)表示上述電路中的電荷函數(shù), 則則 . 0, 1 ; 0, 0 )( t t tq t tqttq t tq ti t )()( l

3、im d )(d )( 0 當(dāng)當(dāng)t 0時時, i(t)=0, 由于由于q(t)是不連續(xù)的是不連續(xù)的, 從而在從而在 普通導(dǎo)數(shù)意義下普通導(dǎo)數(shù)意義下, q(t)在這一點是不能求導(dǎo)數(shù)的在這一點是不能求導(dǎo)數(shù)的. 單位脈沖函數(shù)及傅里葉變換性質(zhì) 如果我們形式地計算這個導(dǎo)數(shù)如果我們形式地計算這個導(dǎo)數(shù), 則得則得 tt qtq i tt 1 lim )0()0( lim)0( 00 這表明在通常意義下的函數(shù)類中找不到一個函數(shù)能這表明在通常意義下的函數(shù)類中找不到一個函數(shù)能 夠表示這樣的電流強(qiáng)度夠表示這樣的電流強(qiáng)度. 為了確定這樣的電流強(qiáng)度為了確定這樣的電流強(qiáng)度, 引進(jìn)引進(jìn) 一稱為狄拉克一稱為狄拉克(Dirac)

4、的函數(shù)的函數(shù), 簡單記成簡單記成d d-函數(shù)函數(shù): 00 0 t t t d 有了這種函數(shù)有了這種函數(shù), 對于許多集中于一點或一瞬時的量對于許多集中于一點或一瞬時的量, 例如例如 點電荷點電荷, 點熱源點熱源, 集中于一點的質(zhì)量及脈沖技術(shù)中的非常集中于一點的質(zhì)量及脈沖技術(shù)中的非常 窄的脈沖等窄的脈沖等, 就能夠象處理連續(xù)分布的量那樣就能夠象處理連續(xù)分布的量那樣, 以統(tǒng)一的以統(tǒng)一的 方式加以解決方式加以解決. 單位脈沖函數(shù)及傅里葉變換性質(zhì) 0 00 1 ( )0 0 00 ( )lim( ) 0 t tt t t tt t d dd 給函數(shù)序列， 定義。 d(t) 1/ O 000 1 ( )d

5、lim( )dlim1ttttdt dd 工程上將工程上將d d-函數(shù)稱為函數(shù)稱為單位脈沖函數(shù)。單位脈沖函數(shù)。 單位脈沖函數(shù)及傅里葉變換性質(zhì) 可將d-函數(shù)用一個長度等于1的有向線段表示, 這個線段的長度表示d-函數(shù)的積分值. tO d (t) 1 d-函數(shù)有性質(zhì)： 00 (1)( ) ( )d()(0) () ( )d( ). t f ttf ttf ttf tf t d d 及 （為連 篩選性質(zhì) 續(xù)函數(shù)） (2)( )().ttddd函數(shù)為偶函數(shù)，即 單位脈沖函數(shù)及傅里葉變換性質(zhì) 二、二、d d-函數(shù)的傅氏變換為函數(shù)的傅氏變換為: 0 ( )()( )ede1 i ti t t tFtt d

6、d F 于是d (t)與常數(shù)1構(gòu)成了一傅氏變換對. 1 1 ( )1 2 i t ted d F2( ) i t e dt d 證法2：若F()=2d (), 由傅氏逆變換可得 0 1 ( )2( )e d1 2 i ti t f te d 例1 證明：1和2d ()構(gòu)成傅氏變換對. 證法1： 12. i ti s edtsteds d F 1 單位脈沖函數(shù)及傅里葉變換性質(zhì) 1 ( )( )e d 2 i t f tF 證： 0 0 e2() it d 證明和構(gòu)成一個傅氏例2變換對。 由上面兩個函數(shù)的變換可得 0 () 0 ed2( ) ed2() i t it t t d d 0 1 2()

7、e d 2 i t d 0 0 ee. iti t 0 0 e2() it d 即和構(gòu)成了一個傅氏變換對。 單位脈沖函數(shù)及傅里葉變換性質(zhì) 稱這種方式的稱這種方式的 Fourier 變換是一種變換是一種廣義的廣義的Fourier變換變換。 在在 函數(shù)的函數(shù)的 Fourier 變換中，其廣義積分是根據(jù)變換中，其廣義積分是根據(jù) 函數(shù)的函數(shù)的 注注 d dd d 性質(zhì)直接給出的，而不是通過通常的積分方式得出來的，性質(zhì)直接給出的，而不是通過通常的積分方式得出來的， 單位脈沖函數(shù)及傅里葉變換性質(zhì) 例如常數(shù), 符號函數(shù), 單位階躍函數(shù)以及正, 余弦函 數(shù)等, 然而它們的廣義傅氏變換也是存在的, 利用 單位脈

8、沖函數(shù)及其傅氏變換就可以求出它們的傅 氏變換. 在物理學(xué)和工程技術(shù)中, 有許多重要函數(shù)不滿 足傅氏積分定理中的絕對可積條件, 即不滿足條件 |( )|df tt 單位脈沖函數(shù)及傅里葉變換性質(zhì) 例4 求正弦函數(shù)f (t)=sin0t的傅氏變換。 0 ( ) ( )sined i t Ff ttt F t 00O |F()| 0 sint 00 00 j ()( ee1 ed(ee)d 22 itt ititi t tt ii 0000 1 2()2()()() . 2 i i d d d d 單位脈沖函數(shù)及傅里葉變換性質(zhì) 例 5 證明： 0,0 ( ), 1,0 t u t t 單位階躍函數(shù) 1

9、 ( )( ).u t j d F 證： 1 111 ( )( ) 2 j t ed jj d d F 111 ( ) 22 j tj t eded j d 11cossin 22 tjt d j 0 11sin11sin 222 tt dd 單位脈沖函數(shù)及傅里葉變換性質(zhì) 0,2 0,2 sin 0 t t d t 1 11 0,0 22 11 ( ),0( ) 2 11 1,0 22 t tu t j t d F 0 11sin11sin 222 tt dd 單位脈沖函數(shù)及傅里葉變換性質(zhì) 7.2 Fourier變換與逆變換的性質(zhì)變換與逆變換的性質(zhì) 這一講介紹傅氏變換的幾個重要性質(zhì), 為了 敘

10、述方便起見, 假定在這些性質(zhì)中, 凡是需要求傅 氏變換的函數(shù)都滿足傅氏積分定理中的條件, 在 證明這些性質(zhì)時, 不再重述這些條件. )()()()( )()()()( 111 GBFABGAF tgbtfatbgtaf FFF FFF 1.線性性質(zhì)線性性質(zhì): 單位脈沖函數(shù)及傅里葉變換性質(zhì) 2. 位移性質(zhì)位移性質(zhì): 為實常數(shù)，則，若 00 ,)()(tFtfF 0 0 0 0 1 0 0 ()( ) ()( ) ( )() j t jt jt f tteF Fef t ef tF ， 或 F F F 0 00 00 () 0 ()() ( ) ( )( ) j t js t j tjtj s f

11、 ttf tt edt sttf s eds ef s edseF F 證明： 單位脈沖函數(shù)及傅里葉變換性質(zhì) 推論：推論： ( )( )f tF若若， F 000 000 1 ( )cos()() 2 ( )sin()() 2 f ttFF i f ttFF 則， ， F F 00 0 00 1 ( )cos ( )( ) 2 1 ()() 2 itit f ttf t ef t e FF FF 證明： 單位脈沖函數(shù)及傅里葉變換性質(zhì) 例1 . 0sin 00 )( 0 的傅氏變換 求指數(shù)衰減震蕩函數(shù) tte t tf at 解：解： 00 ( ) 0 at t g t et 令令 0 1 (

12、) ati t g teedt ai 而F .sin)()( 0t tgtf則 00 11 ( ) 2()() i f t aiai 所以F 0 22 0 ()ai 單位脈沖函數(shù)及傅里葉變換性質(zhì) 1 ( )( )0, 11 ()() ; ()( ) f tFa t f atFF atf aaaa 若，則F FF 3. 相似性：相似性： 證明： 1 ( ),0 ()() 1 ( ),0 11 ( )() s j a s at j t s j a js a f s edsa a f atf at edt f s edsa a f s edsF aaa F 單位脈沖函數(shù)及傅里葉變換性質(zhì) 4.4.微分

13、性：微分性： 則，且若 原像函數(shù)的微分性： , 0)(lim)()( tfFtf t F ( )( )f tj FF ( ) ( ) lim( )00,1,2,1 , ( )( ) k t n n ftkn ftjF 一般地，若則 F ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )()( )( )( ) nnnnnn Fjtf ttf tjF Fjt f tt f tj F 像函數(shù)的微分性： 或 或 FF FF 單位脈沖函數(shù)及傅里葉變換性質(zhì) 5.5.積分性：積分性： ( )( )lim( )(0)0, 1 ( )( ). t t t f tFf s dsF f s dsF j 設(shè)，若則F

14、F 6. 帕塞瓦爾帕塞瓦爾(Parserval)等式等式 221 ( )d( ). 2 f ttFd ( )( )f tF設(shè)， 則有F 單位脈沖函數(shù)及傅里葉變換性質(zhì) 實際上, 只要知道下面五個傅里葉變換, 則很 多傅里葉變換都無須用公式直接計算而可由傅里 葉變換的性質(zhì)導(dǎo)出. 0 2 2 j 0 4 ( )1 12() e2() 1 ( )() j ee t t t u t d d d d 單位脈沖函數(shù)及傅里葉變換性質(zhì) 0 j 0 ( )1,()e t ttt dd 因由位移性質(zhì)得 例例2 利用傅氏變換的性質(zhì)求d (tt0), 0 j e t 的傅氏變換. 0 j 0 12( ),e2() t

15、d d 由得 單位脈沖函數(shù)及傅里葉變換性質(zhì) 若 f (t)=cos0t u(t), 求其傅氏變換。 1 ( )( ) j u td 解解： 00 00 111 ( )()() 2j()j() Fd d 00 22 0 j ()() 2 d d 00 jj ee ( )( ) 2 tt f tu t 單位脈沖函數(shù)及傅里葉變換性質(zhì) 卷積定義： dtgftgtf)()()()( fggf fghfgfh fghfgh 交換律： 加法分配律： 結(jié)合律： 卷積的基本運算規(guī)律： 一、卷積的定義及運算規(guī)律一、卷積的定義及運算規(guī)律 說明： 12 ( )( )f tf tt是關(guān)于的函數(shù)； 單位脈沖函數(shù)及傅里葉變

16、換性質(zhì) 例1 求下列函數(shù)的卷積： 12 0000 ( ),( );,0,. 0e0 tt tt f tf t ett 解： 12 0 0( )( )ed t t tf tf te （） 當(dāng)時， 12 () 000 ( )() 0 at t ff t et 或 且 -0 12 ( )()ff t 0的區(qū)域如右圖所示： 0 t 12 0( )( )0tf tf t當(dāng)時， 單位脈沖函數(shù)及傅里葉變換性質(zhì) 12 0 0( )( )ed t t tf tf te （） 當(dāng)時， 0 0 1 eedee 1 ee t t tt tt 12 00 ( )( )1 ee0 tt t f tf t t 故 單位脈沖函數(shù)及傅里葉變換性質(zhì) 例例1 求下列函數(shù)的卷積：求下列函數(shù)的卷積： 12 0000 ( ),( );,0,. 0e0 tt tt f tf t ett 由卷積的定義有由卷積的定義有 0 1212 0 () 00 ( )( )( )()d 0ed0eed 11 eeee t t tt tt ttt f tf tff t e 單位脈沖函數(shù)及傅里葉變換性質(zhì) 1 1 ( )( ) ( )( ) 1 ( )( ) 2 ( )( )2 fgfgFG FGfg fgfgFG FGfg 或：化簡卷積運算 或：化簡傅氏變換 FFF F FFF F 二、卷積定理：二、卷積定理： （可用于化簡卷積